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Cajón de Ciencias
Límites de sucesiones
Recordemos primero que una sucesión (o progresión) es una serie de números que siguen algún tipo
de fórmula matemática. Normalmente (pero no siempre) trabajarás con sucesiones aritméticas (en
las que se suma siempre una cantidad fija) o geométricas (en las que se multiplica por una cantidad
fija). Sin embargo, para estudiar los límites de las sucesiones no tienes por qué preocuparte de a qué
tipo pertenece, sólo ver cómo se comporta.
Por ejemplo, considera las siguientes fórmulas, cada una de las cuales genera la serie de números
que tiene a su derecha:
an = 4 + (n-1)2
→
4, 6, 8, 10, 12...
bn = 6·(1/2)n-1
→
6, 3, 3/2, 3/4...
cn = (n-1)/(n+1)
→
0, 1/3, 1/2, 3/5...
dn = (1 + 1/n)n
→
2, 9/4, 64/27, 625/256...
en = (-1)n·n2
→
-1, 4, -9, 16, -25...
¿Hay alguna forma de saber cómo termina una sucesión? O, como lo preguntaría un matemático, ¿a
qué tiende cada una de estas sucesiones en el infinito? Podemos tener varios casos posibles, así que
vamos a verlos uno por uno.
Sucesiones que tienden a infinito
Cojamos la primera de nuestras sucesiones de ejemplo:
an = 4 + (n-1)2
→
4, 6, 8, 10, 12...
Es fácil ver que a medida que avanzamos en la sucesión los números se van haciendo cada vez más
grandes. Si esto ocurre, decimos que la sucesión tiende a más infinito (+∞). No tiene nada que ver
con que esta sucesión sea aritmética: cualquier progresión en la que los números vayan siendo cada
vez mayores se ajusta a este tipo.
Si los números crecen pero en sentido negativo (-3, -5, -7, -9...) decimos, claro está, que la sucesión
tiende a menos infinito (-∞).
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Sucesiones que tienden a cero
Vamos ahora con el segundo ejemplo:
bn = 6·(1/2)n-1
→
6, 3, 3/2, 3/4...
Ahora los números van siendo más y más pequeños (si no lo ves bien, pasa las fracciones a
decimales). Al fin y al cabo, en esta sucesión partimos del 6 y lo vamos dividiendo por dos en cada
paso. Si seguimos haciendo esto, los números que se encuentren más allá del puesto número 100
serán ridículamente pequeños. Podemos hacer la aproximación de que en el infinito, cuando
hayamos dividido 6 por 2 infinitas veces, el resultado va a valer cero. Este sería el límite de nuestra
sucesión.
Sucesiones que tienden a un número concreto
Observa ahora la tercera progresión de ejemplo:
cn = (n-1)/(n+1)
→
0, 1/3, 1/2, 3/5...
Vamos a pasar los números a decimales, para ver las cosas más claras:
c1 = 0
c2 = 0,33333....
c3 = 0,5
c4 = 0,6
Parece una sucesión creciente, como las que hemos explicado en primer lugar. Pero si sacamos
algunos términos más, notaremos que no se da mucha prisa por acercarse a infinito. De hecho,
cuantos más términos calculemos, veremos que en lugar de infinito se acerca a un número concreto,
que es el 1.
c1 = 0
c2 = 0,3333333....
c3 = 0,5
c4 = 0,6
c5 = 4/6 = 0,6666...
c6 = 5/7 = 0,714
c10 = 9/11 = 0,81...
c100 = 99/101 = 0,980
c200 = 199/201 = 0,990
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Estas progresiones podrían confundirse, como hemos dicho, con las que tienden a infinito. Si tienes
dudas de que una progresión sea de ese tipo o que tienda a un número en concreto, calcula unos
cuantos términos bien espaciados entre sí, como hemos hecho en la demostración.
Una sucesión famosa
La cuarta sucesión no es una cualquiera. Vamos a ver cuál es su límite:
dn = (1 + 1/n)n
→
2, 9/4, 64/27, 625/256...
Una vez más, vamos a pasar los términos a decimales para ver mejor todo. De paso, calculemos
algunos términos más, un poco espaciados, como hemos aprendido del caso anterior:
d1 = 2
d2 = 2,25
d3 = 2,370
d4 = 2,441
d10 = 2,594
d30 = 2,674
d100 = 2,705
d500 = 2,716
...
Es una sucesión creciente, eso se ve bien, como también se ve que no crece indefinidamente, sino
que parece acercarse a un número (fíjate que del término 100 al término 500 sólo ha crecido 0,11).
Sin embargo, no es un número redondo como el cero o el 1. Tampoco es un número indefinido o
anónimo: es ni más ni menos que el número e, cuyas primeras cifras son:
2,7182818284590452353602874713527...
Como π, tiene infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón definido. Aunque no te lo
creas, se han escrito libros y libros sobre esta cifra. En nuestra sección de “Matemáticas”, en el
apartado de “Números”, encontrarás curiosidades acerca de e.
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Sucesiones que no tienen límite definido
Por último, vamos a echarle un vistazo a la quinta progresión de ejemplo:
en = (-1)n·n2
→
-1, 4, -9, 16, -25...
La segunda mitad de la fórmula es la que hace que cada término de la serie sea el cuadrado de la
posición que ocupa. Si sólo estuviera esto, la sucesión tendería claramente hacia infinito. Pero la
primera mitad de la fórmula de la sucesión provoca que los términos vayan cambiando de signo
positivo a negativo y viceversa1.
Entonces ¿a qué tiende la sucesión? Cuando cojamos un término muy avanzado, tendremos un
número muy grande, y parecerá que la sucesión tiende a inifinito. Pero en el término siguiente nos
saldrá un número todavía más grande ¡pero que tiende a menos infinito! Y el siguiente será mayor,
esta vez positivo, y luego otro mayor aún, negativo... creo que se ve bien por dónde van los tiros.
Conclusión: estas sucesiones no tienen límite, porque ni se acercan a números cada vez más grandes
(o más pequeños) ni tienden a un número concreto.
Para los más expertos
Si ya has trabajado en clase con límites, no tienes que comprobar el límite de una sucesión
calculando términos cada vez más avanzados de la sucesión. Basta con hallar el límite de la
progresión en el infinito como si ésta fuera una función más.
Lim (n-1)/(n+1)
n→∞
1
Cuando el número pertenece a una posición impar, (-1)n sale negativo; cuando está en una posición par, el resultado
es positivo. Quédate con este truco cuando tengas que explicar por qué los términos de una sucesión cambian todo el
rato de signo.
Por cierto, si los signos menos estuvieran en las posiciones pares en lugar de las impares, sólo tendríamos que
cambiar (-1)n por (-1)n+1. Compruébalo,
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