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Números y operaciones
Rosa y Julián tienen en su granja ciento veinte vacas, ochenta de
leche y el resto de engorde. Además, crían tres cerdos, cuatro pavos y
el triple de gallinas que de pavos. También, guardan siete caballos, de
gente que vive en la ciudad.
Me expreso
1 ¿Cuántos animales hay en total en la granja?
2 ¿Qué operación haces para calcular el número de vacas de engorde? ¿Cuántas son?
3 Si la estancia de un caballo en la granja cuesta siete euros diarios,
¿qué ingresos tienen cada día Rosa y Julián por el cuidado de los
caballos? ¿Y cada semana?
4 ¿Cuál es, para ti, la principal razón por la que debemos cuidar y
respetar a los animales?
4
?
QUÉ SABEMOS
CM DM UM
2
3
0
C
D
U
4
2
8
Doscientos treinta mil cuatrocientos veintiocho
1 CM = 10 DM = 100 UM = 1 000 C = 10 000 D = 100 000 U
PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN
propiedad conmutativa
50 + 90 = 90 + 50 = 140
4 × 5 = 5 × 4 = 20
propiedad asociativa
(50 + 90) + 60 = 50 + (90 + 60) = 200
(4 × 5) × 2 = 4 × (5 × 2) = 40
prioridad de la multiplicación
Cuando en una expresión aritmética
aparecen sumas, restas y multiplicaciones combinadas, primero se realizan
las multiplicaciones.
4 × 9 + 3 × 3 = 36 + 9 = 45
1 Escribe cómo se leen estos números:
a) 56 328
b) 10 508
c) 584 230
d) 880 000
2 Calcula.
728 + 937
937 + 728
8 047 + 25 033
25 033 + 8 047
¿Qué propiedad se cumple?
3 Copia y completa en tu cuaderno.
(4 × 2) × 3
4 × (2 × 3)
(7 × 9) × 3
7 × (9 × 3)
¿Qué propiedad has comprobado?
4 Copia, calcula y escribe en tu cuaderno el término que falta en cada caso.
a) 48 + … = 62
b) 85 – … = 15
c) … + 132 = 200
e) … – 65 = 155
d) … – 142 = 30 f) 48 + … = 171
5 Calcula.
a) 25 – 12 + 8
b) 25 – (12 + 8)
c) 2 × 3 + 4
e) 5 + 2 × 3
d) 2 × (3 + 4) f) (5 + 2) × 3
g) 9 – 2 × 4
h) (9 – 2) × 4
5
Los millones
Diez centenas de millar (10 CM) hacen
una unidad de millón (1 UMM).
DMM UMM CM DM UM
C
D
Diez unidades de millón (10 UMM) hacen
una decena de millón (1 DMM).
U
DMM UMM CM DM UM
1 UMM = 10 CM = 1 000 000 U
C
D
1 DMM = 10 UMM = 10 000 000 U
Así se nombran los números de siete u ocho cifras:
MILLONES
MILES
UNIDADES
CMM DMM UMM CM DM UM
1
6
8
1
3
C
D
U
5
8
0
Dieciséis millones
ochocientos trece mil
16 813 580
quinientos ochenta
16 813 580
Dieciséis millones ochocientos trece mil quinientos ochenta
1 Escribe cómo se leen estos números:
a) 53 238
b) 90 500
c) 248 311
e) 8 000 000
d) 990 990 f) 7 240 000
g) 2 037 510
h) 15 687 000
2 Escribe con cifras.
a) Seis millones.
d) Seis millones trescientos diez mil.
b) Setenta millones.
e) Setenta millones once mil cien.
c) Quince millones. f) Quince millones ciento cuarenta y ocho.
3 Escribe con cifras y con letras el número representado.
DMM UMM CM
DM UM
C
D
U
4 Copia y completa en tu cuaderno.
a) 1 CM = ... UM
b) 10 DM = ... CM
6
c) 1 UMM = ... CM
e) 1 UMM = ... UM
d) 100 DM = ... UMM f) 100 UMM = ... DM
U
1
a) 5 CM + 2 DM + 3 UM
b) 4 CM + 6 DM + 2 D + 7 U
Unidad
5 Escribe el número que corresponde en cada caso.
c) 4 UMM + 6 CM + 2 DM + 8 C
d) 1 DMM + 5 UMM + 6 CM
6 Descompón como en el ejemplo.
6 340 000 =
a) 725 600
6 000 000 + 300 000 + 40 000
6 UMM + 3 CM + 4 DM
b) 3 400 500
c) 20 690 000
d) 58 502 700
7 Ordena de menor a mayor el número de habitantes.
madrid
londres
parís
roma
3 213 271
7 556 900
2 203 817
2 726 539
8 Observa el número de habitantes de cada país y contesta.
francia
63 601 002
suiza
portugal
7 301 994
10 613 192
a) ¿Cuál es el valor de la cifra 3 en cada uno?
b) Redondea esas cantidades a las unidades de millón.
Resuelvo problemas
9 Se estima que en el bosque de Robledillo había el año pasado un
millón de árboles, pero un incendio destruyó una centena de millar.
¿Cuántos árboles quedan?
+
-x
=
CÁLCULO MENTAL
437
+ 200
637
+ 2
7
La propiedad distributiva
Producto de una suma por un número
8
Producto de una resta por un número
4
12
5
5
8+4
4
(8 + 4) × 5 = 8 × 5 + 4 × 5
12 × 5 =
60
(12 – 4) × 5 = 12 × 5 – 4 × 5
8 × 5 = 60 – 20
40 + 20
=
12 – 4
60
40
=
•
•
1 Calcula completando en tu cuaderno los pasos que se indican.
a) 4 × 3 + 2 × 3 = … + 6 = …
b) (4 + 2) × 3 = … × 3 = …
¿Qué propiedad has comprobado?
2 Copia y completa en tu cuaderno.
a) 5 × (2 + 4) = … × … + … × …
d) 3 × (9 – 5) = … × … – … × …
b) … × (… + …) = 4 × 7 + 4 × 2
e) … × (… – …) = 2 × 8 – 2 × 5
c) 6 × (4 + 5) = … × … + … × … f) 8 × (9 – 4) = … × … – … × …
Resuelvo problemas
3 Marta gasta cada día 4 € en el autobús y 10 € en la comida. ¿Cuál o
cuáles de estas expresiones reflejan el gasto durante los cinco días laborables de la semana?
4 + 10 × 5
8
4 × 5 + 10 × 5
(4 + 10) × 5
40
1
Unidad
Práctica de la multiplicación
Para multiplicar 4 308 × 264, procedemos de la siguiente forma:
UMM CM DM UM
4 U × 4 308
60 U × 4 308
200 U × 4 308
2
8
1
2+
1
1
5
6
3
4
×
7
8
1
7
C
D
U
3
2
2
4
6
3
0
6
3
8
0
1
8
4
2
0
0
2
En la práctica, no escribimos
los ceros finales de los productos parciales:
4308
× 264
17232
25848
+ 8616
1137312
1 Coloca en vertical y calcula.
a) 146 × 28
b) 429 × 163
c) 2 734 × 167
d) 429 × 41
2 Coloca en vertical y calcula como en el ejemplo.
352
× 206
2112
+ 704
72512
a) 143 × 208
b) 241 × 409 c) 2 154 × 308
d) 5 006 × 407
3 Calcula mentalmente.
a) 10 × 10 b) 10 × 100 c) 10 × 1 000
e) 100 × 1 000
d) 100 × 100 f) 1 000 × 1 000
Resuelvo problemas
4 Un camión transporta 145 cajas con 24 botellas de agua de 1 litro y 65
garrafas de 25 litros. ¿Cuántos litros de agua lleva el camión?
25 l
1l
24
5 Un almacenista de fruta dispone de 247 cajas para envasar 3 000 kilos
de naranjas que ha recibido. Si cada caja debe llevar 15 kilos de naranjas, ¿tendrá suficientes cajas?
9
Operaciones combinadas
Observa estas dos expresiones:
Tres cestas de cinco manzanas, y hemos
comido dos manzanas de cada cesta.
Tres cestas de cinco manzanas, y hemos
comido dos manzanas.
3 × (5 – 2)
3×5–2
3 × 3
15 – 2
9
13
Primero, el paréntesis; después, la multiplicación.
Primero, la multiplicación; después, la resta.
•
•
•
1 Copia y completa en tu cuaderno.
a) 16 – 5 × 2 = 16 – … = …
b) 6 × 3 – 2 × 7 = … – 14 = …
c) 6 × 8 – 35 = … – 35 = …
d) 5 × 3 + 4 × 7 = 15 + … = …
2 Calcula.
a) 3 + 3 × 4
b) 20 – 3 × 6
c) 10 × 3 – 22
d) 4 × 9 + 14
3 Copia y completa.
a) 20 – 4 × (12 – 8) = 20 – 4 × … = 20 – … = …
b) 3 × (8 – 6) + 5 = 3 × … + 5 = … + 5 = …
4 Calcula como en el ejercicio anterior.
a) 5 + 2 × (10 – 7)
b) 6 × (10 – 8) – 3
c) 16 – 5 × (8 – 6)
d) 2 × (6 – 3) + 4
5 Entre las siguientes expresiones hay dos mal resueltas. Encuéntralas y
corrige los errores.
a) 14 – 4 × 3 = 10 × 3 = 30
b) 8 + 2 × 4 = 8 + 8 = 16
c) 3 × 8 + 2 × 5 = 3 × 10 × 5 = 30 × 5 = 150
10
Unidad
1
Resuelvo problemas
6 Observa la ilustración y escribe el enunciado de un problema que se
resuelva con la expresión: 35 – 2 × 15
15 km/h
35 km
7 Escribe la expresión que corresponda y resuelve.
a) V
íctor, el frutero, lleva en la furgoneta 5 cajas de manzanas de 15 kilos y 3 cajas de peras de 10 kilos. ¿Cuántos kilos lleva la furgoneta?
15 kg
10 kg
b) A
lmudena lleva en el bolso cuatro billetes de 20 euros, tres billetes
de 10 euros y dos billetes de 5 euros. ¿Cuántos euros lleva en el
bolso?
8 Escribe la expresión adecuada en cada caso y calcula el resultado.
8€
8€
a) A
bel compra cuatro macetas con flores y le rebajan seis euros.
¿Cuánto paga?
b) Raquel compra cuatro macetas y le rebajan dos euros en cada una.
¿Cuánto paga?
+
-x
=
CÁLCULO MENTAL
637
– 200
437
– 2
11
Potencias
Una potencia es el resultado de multiplicar un
número por sí mismo varias veces.
La base es el número que se multiplica y el exponente indica las veces que se multiplica.
exponente
53 = 5 × 5 × 5 = 125
base
Para expresar la multiplicación, además del signo ×, se suele utilizar un
punto (·).
7 · 7 · 7 = 73
11 · 11 = 112
Las potencias de exponente 2 reciben el
Las potencias de exponente 3 reciben el
nombre de cuadrados.
nombre de cubos.
4
42
Cuatro al cuadrado
2
4 = 4 × 4 = 16
4
4
43
Cuatro al cubo
3
4 = 4 × 4 × 4 = 64
4
4
1 Escribe en forma de potencia.
a) 4 × 4 × 4 × 4
b) 7 × 7
c) 8 · 8 · 8
d) 12 · 12 · 12
2 Copia y completa en tu cuaderno.
a) 73 = 7 × 7 × 7 = ...
b) 34 = ... × ... × ... × ... = ... c) 62 = ... × ... = ...
d) 104 = ... × ... × ... × ... = ...
3 Calcula.
a) El cuadrado de 2.
b) El cuadrado de 5.
c) El cuadrado de 20.
d) El cubo de 2.
d) El cubo de 5.
e) El cubo de 20.
4 Calcula.
a) 91 b) 31 c) 62
d) 92 e) 13 f) 33 g) 44 h) 14
5 Comprueba con una calculadora de cuatro operaciones que si pulsas
la secuencia 2 × × y después repetidamente la tecla =, vas obteniendo
los números, 2, 4, 8, 16, etc.
2**=
=
=
=
{ŽŽŽŽ¢}
{ŽŽŽŽ°}
{ŽŽŽ‘\}
{ŽŽŽ«“}
a) Observa que esas cantidades son las potencias sucesivas de 2.
22 = 4
23 = 8
24 = 16 ...
b) Prueba a obtener, por el mismo método, las potencias sucesivas de 3.
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243 ...
12
1
Unidad
Potencias de base 10
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros
como indica el exponente.
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
...
106 = 1 000 000
...
Con las potencias de 10 expresamos, de forma abreviada, números grandes.
1 800 000 = 18 · 100 000 = 18 · 105
Las potencias de 10 permiten descomponer un número atendiendo al valor de las cifras (descomposición polinómica).
4 528
4 000 + 500 + 20 + 8
4 · 1 000 + 5 · 100 + 2 · 10 + 8
4 · 103 + 5 · 102 + 2 · 10 + 8
1 Calcula las siguientes potencias de 10:
a) 104
b) 105
c) 106
d) 107
2 Expresa en forma abreviada con ayuda de una potencia de 10.
a) 450 000
b) 7 800 000
c) 12 000 000
d) 50 000 000
3 Expresa con todas sus cifras la distancia que separa la estrella del cometa.
23 · 107 km
4 Realiza la descomposición polinómica de estos números:
a) 3 785
b) 75 049
c) 630 985
d) 8 672 000
Resuelvo problemas
5 ¿Cuántas pegatinas necesita Marisa para formar un cuadrado de 10 filas
y 10 columnas? Exprésalo con una potencia y después calcula el resultado.
13
REPASO DE LA UNIDAD
RECUERDO
Los millones
DMM UMM CM DM UM
1
1
2
2
0
3
0
5
0
0
C
D
U
0
0
0
0
0
0
10 CM = 1 UMM
Doce millones
Doce millones trescientos cincuenta mil
10 UMM = 1 DMM
La propiedad distributiva
(4 + 7) × 5 = 4 × 5 + 7 × 5
(3 – 1) × 4 = 3 × 4 – 1 × 4
Operaciones combinadas
Primero, se realizan las operaciones que están entre paréntesis; después,
las multiplicaciones y, por último, las sumas y las restas.
14 – 3 × (7 – 4) = 14 – 3 × 3 = 14 – 9 = 5
Potencias
exponente
104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000
base
1 Escribe con cifras.
4 Copia y completa en tu cuaderno.
a) Un millón quinientos mil trescientos.
b) Diez millones cuarenta mil.
c) S esenta y seis millones doscientos tres
mil.
2 Escribe cómo se leen estos números:
a) 3 650 000
b) 53 000 000
c) 15 400 070
3 Calcula mentalmente y escribe en tu cuaderno.
a) 40 × 80
d) 50 × 30
g) 20 × 90
b) 25 × 100
e) 300 × 21
h) 36 × 200
c) 80 × 100 f) 300 × 40 i) 2 500 × 40
14
a) 52 × ... = 520
d) 75 × ... = 7 500
b) ... × 10 = 2 800 e) ... × 1 000 = 18 000 c) 250 × ... = 2 500 f) 370 × ... = 37 000
5 Coloca en vertical y calcula.
a) 547 × 95
c) 600 × 21
b) 248 × 106
d) 405 × 30
6 Calcula y compara los resultados.
7 × (10 – 4)
7 × 10 – 7 × 4
(8 + 7) × 10
8 × 10 + 7 × 10
¿Qué propiedad has comprobado?
Unidad
7 Recuerda la prioridad de las operaciones
y calcula.
a) 8 + 2 × 4 – 6
b) 2 + 4 × (7 – 5)
13 Un supermercado ha comprado doscientas cincuenta bolsas de naranjas, de cinco kilos, por trescientos ochenta euros, y
las pone a la venta a tres euros la bolsa.
¿Qué ganancia espera obtener de la venta de las naranjas?
c) 3 × (11 – 5) – 8
d) 17 + 5 × (5 – 2)
8 Copia en tu cuaderno y coloca los paréntesis necesarios para que se cumplan
las igualdades.
14 Los huevos se envasan, al por mayor, en
cajas de diez bandejas, con dos docenas
y media cada bandeja. ¿Cuántos huevos
lleva cada caja?
a) 12 – 2 × 4 + 2 = 42
b) 12 – 2 × 4 + 2 = 0
c) 12 – 2 × 4 + 2 = 6
9 Escribe en forma de potencia.
a) 9 · 9
d) 9 · 9 · 9 · 9 · 9
b) 2 · 2 · 2
e) 20 · 20 · 20 c) 5 · 5 · 5 · 5 f) 11 · 11 · 11
10Calcula.
a) 17
b) 22
c) 35
e) 83
d) 54 f) 152
g) 41
h) 104
AVANZO
15 Estamos a primeros de octubre. Tengo
ahorrados en la hucha 137 € y quiero
comprar los patines. Si ahorro 4 € de mi
paga cada semana, ¿podré comprarlos a
primeros de febrero?
11Margarita va con sus padres y su hermana al cine. Sacan 4 entradas, a 6 euros,
y compran 4 paquetes de palomitas, a 2
euros. ¿Cuáles de estas expresiones reflejan el gasto realizado?
4+6+4+2
4 × (6 + 2)
4×6×2
4×6+4×2
RESUELVO PROBLEMAS
12 Observa estos tres sacos de patatas.
¿Cuántos kilos hay que pasar del grande
al mediano y al más pequeño para que
los tres pesen lo mismo?
40 kg
15 kg
199 €
3 4
2
1
16 Expresa con una potencia y calcula el
número de dados de madera que se han
necesitado para construir este cubo:
20 kg
15
1
APRENDO A RESOLVER PROBLEMAS
3 4
2
1
SIGO UNOS PASOS
L eo el enunciado hasta entenderlo.
Aclaro los datos y la pregunta.
DatosPregunta
•
•
•
•
•
H
ago un esquema.
bicicletas
165 €
165 €
balones
27 €
27 €
27 €
P
lanteo y realizo las operaciones.
•
•
•
•
Escribo una frase con la solución.
Problema 1
Problema 2
Juana ha pagado 1 388 euros por la compra de una mesa y cuatro sillas. ¿Cuál era
el precio de venta de la mesa?
En Villa Arriba viven 708 mujeres, 654
hombres y 327 niños. En Villa Abajo viven
612 hombres, 715 mujeres y 336 niños.
¿Cuál es la diferencia de población entre
estos dos pueblos?
159 €
Problema 3
Un comerciante compró 45 piezas de tela
de 12 metros cada pieza. Si ha vendido
174 metros, ¿cuántos metros le quedan?
16
COMPETENCIAS
TAREA: Cuentas en la granja
Rosa lleva las cuentas de la granja. En su ordenador anota día a día la
producción de leche, el gasto en piensos y forrajes, el control de vacunas, la evolución del peso en los animales de engorde y todos los datos
que se necesitan para una buena administración.
número de animales
vacas
De leche
80
De engorde
...
caballos
7
cerdos
3
pavos
4
gallinas
12
1 Un pavo consume diez medidas de pienso al mes, y una gallina, dos.
¿Cuál de estas expresiones da el gasto mensual de pienso de las aves?
Calcúlalo.
a) 10 + 2 × 4 + 12
b) 10 × 4 + 2 × 12
c) 4 + 2 × 12 × 2
d) (4 + 12) × (10 + 2)
2 Cada una de las vacas da, por término medio, 15 litros de leche al día.
¿Cuál es la producción de leche?
3 Julián hace queso con parte de la leche que produce. Si para cada
queso emplea 10 litros, ¿cuántos litros necesita para hacer 10 quesos?
Exprésalo con una potencia.
4 El camión de la central lechera se lleva todos los días mil litros de
leche de la granja. Con el resto, Julián hace queso. ¿Cuántos quesos
crees que hace cada día?
5 La estancia de un caballo en la granja cuesta siete euros al día. ¿Cuál o
cuáles de estas expresiones reflejan lo que cuestan todos los caballos
en una semana?
7+7+7
7×7×7
3×7
73
17