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UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
CAMPUS GUANAJUATO
DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO EN ALUMNOS DE
BACHILLERATO A PARTIR DE LA DETECCIÓN DE LAS DIFICULTADES,
OBSTÁCULOS Y ERRORES
ADÁN PÉREZ TOVAR
ASESOR:
DR. ABEL RUBÉN HERNÁNDEZ ULLOA
Sandía 86, Pénjamo Gto.
Cel: 469 112 48 93
Email: [email protected]
Resumen
El presente trabajo de investigación refiere a la detección de las
dificultades, obstáculos y errores más frecuentes en la materia de álgebra en
alumnos de bachillerato, específicamente de los alumnos de la Escuela de Nivel
Medio Superior de Pénjamo ciclo 2013-2014. Para ello retomo autores como
Bachelard (1938), Brousseau (1983), Herscovics (1989) y Tall (1989) que hacen
una clasificación de los obstáculos. El propósito de tal detección es para poder
diseñar actividades eficaces para el desarrollo del pensamiento algebraico.
Se trata de una investigación Quasi-experimental con una muestra de 94
estudiantes que representan más del 50% de la población de ese nivel. Se está
trabajando en 3 grupos de primer semestre (1 de control y 2 experimentales) en
los cuales se aplicó un diagnóstico para medir las habilidades del pensamiento
algebraico propuestas por The National Council of Teachers of Mathematics
(NCTM) en el año 2000.
Algunos aspectos relevantes del trabajo se centran en analizar la base aritmética
de los alumnos y el uso que se le da a las letras, puntualizando el uso como
variable, mismo que es considera por varios autores, entre ellos Küchemann
(1981), como el más difícil de adquirir por los alumnos.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO EN ALUMNOS DE
BACHILLERATO A PARTIR DE LA DETECCIÓN DE LAS DIFICULTADES,
OBSTÁCULOS Y ERRORES
Planteamiento del problema
Durante el trayecto de mi formación académica y profesional me he
percatado de que el dominio en álgebra es fundamental para desarrollar las
materias subsecuentes de una forma correcta, como es Geometría y
Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e Integral, etc. Y tal vez al
leer estas líneas alguien puede preguntarse; ¿y eso qué tiene de importante para
los estudiantes que no estudiarán una carrera afín a las matemáticas? La
respuesta es sencilla, puesto que actualmente en los diversos subsistemas de
bachillerato en nuestro país se maneja como “tronco común” al menos hasta
Geometría Analítica, misma que requiere una exigencia en el álgebra.
Mi propuesta está basada por lo tanto, en investigar y analizar las
dificultades, obstáculos y errores que presentan los alumnos de la Escuela de
Nivel Medio Superior de Pénjamo, para posteriormente diseñar actividades
encaminadas a corregir o mejor dicho, erradicar esas fallas.
Considero que el hecho de hacer conscientes a los alumnos de la
naturaleza de sus errores e indagar en el origen de los mismos dará pauta a poder
desarrollar estrategias efectivas para el desarrollo del pensamiento algebraico.
Debemos por tanto, inducir a los alumnos en aspectos como generalización,
característica del álgebra como aritmética generalizada. .
Objetivo General
En la investigación que estoy desarrollando considero por el momento un
solo objetivo general, mismo que en determinado momento pudiera ser
complementado por algunos específicos, pero tal acción quedará sujeta a las
condiciones y necesidades del proyecto. Dicho objetivo es el siguiente:
Determinar las dificultades, obstáculos y erros que presentan los alumnos
de la Escuela de Nivel Medio Superior de Pénjamo (ENMSP) en la materia
de Álgebra, para diseñar actividades favorables al desarrollo del
pensamiento algebraico.
Preguntas de investigación
¿Cuáles son las dificultades, obstáculos y errores más comunes en álgebra
presentes en los alumnos de la Escuela de Nivel Medio Superior de
Pénjamo?
¿Cómo se puede desarrollar, a partir de la detección de los errores, el
pensamiento algebraico en alumnos de bachillerato?
Supuestos
En base a la experiencia como alumno y ahora como docente, he generado
los siguientes supuesto referentes al desarrollo del pensamiento algebraico.
Los alumnos cometen errores en álgebra debido a una
aritmética.
Determinando la naturaleza del error algebraico en los
posible corregirlos y se obtendrá información sobre los
subyacentes de los educandos facilitando de esta forma la
tareas para el desarrollo del pensamiento algebraico
deficiencia en
alumnos, será
conocimientos
elaboración de
Antecedentes
El cálculo algebraico nace como generalización del modelo numérico. El
álgebra comienza en realidad, cuando los matemáticos se empiezan a interesar
por las «operaciones» que se pueden hacer con cualquier número. Todo cálculo
algebraico se constituye a partir de cinco propiedades características del sistema
numérico: la conmutativa y asociativa para la suma y producto, y la distributiva.
.
a + b= b + a
(a + b)+c= a+(b + c)
a*b=b*a
(a*b)*c=a*(b*c)
a*(b + c)=a*b + a*c
Según Mercedes Palarea (1998), el álgebra como materia escolar se
introduce a finales del siglo XIX en los niveles de secundaria en los países
europeos y americanos. Los contenidos y su secuencia han permanecido casi
inalterables hasta la fecha. Es importante resaltar el dato, ya me muestra un
estancamiento en los programas de estudio y libros de texto de álgebra, entonces
resulta conveniente hacer una revisión sobre los errores que pueden ser comunes
en varias generaciones y de esta forma se podrá tener más material de análisis.
La incógnita comenzó llamándose la “cosa” durante el nacimiento del
Álgebra árabe (comienzos del siglo IX) en su forma “retórica”. Durante los siglos
XV y XVI fue reduciéndose mediante abreviaturas, hasta llegar al uso de las letras.
La significación de estas resulta relevante para el buen manejo del álgebra, este
aspecto lo desarrollaré posteriormente.
El razonamiento algebraico se inicia a partir de las actividades aritméticas de
cuantificación de cantidades mediante los procesos de simbolización numérica. El
siguiente esquema muestra las variables que caracterizan la actividad algebraica.
Figura 1 - Variables que caracterizan la actividad algebraica
Complementario a lo anterior, Radford presenta los objetos implicados en la
práctica algebraica, al respecto resulta pertinente considerar la siguiente cita; “Lo
que esto significa es que, en álgebra, se calcula con cantidades indeterminadas
(esto es, se suma, resta, divide, etc., incógnitas y parámetros como si se
conocieran, como si fueran números específicos)” (RADFORD, 2010).
Figura 2 - Objetos implicados en la práctica algebraica
El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas en Estados Unicos (The
National Council of Teachers of Mathematics, abreviado NCTM) Afirma que Los
estudiantes necesitan aprender (del algebra) sus conceptos, las estructuras y
principios que rigen la manipulación de símbolos y cómo pueden usarse estos
para registrar ideas y ampliar su comprensión de las situaciones. En base al
NCTM, es que considero las 8 habilidades del pensamiento algebraico para
favorecer su desarrollo, las cuales son:
Reconocer y describir patrones numéricos
Generalizar un patrón numérico
Construir sucesiones de números a partir de una regla dada
Expresar relaciones numéricas usando el lenguaje algebraico
Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas
Traducir expresiones verbales adecuadas para operar con las variables
Manejar técnicas adecuadas para operar con las variables
Plantear y resolver problemas a través del álgebra e interpretar las
soluciones
Uso de las letras en Álgebra
El uso de las letras de manera intencionada resulta importante para trabajar
en lenguaje algebraico. Al respecto Küchemann (1981) identifica seis categorías:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Evaluada: si a+8=12, ¿cuál es el valor de a?
Ignorada: si a+b=34, entonces a+b+2=?
Objeto: al simplificar expresiones algebraicas (7m+4m)
Incógnita: al añadir 7 a 3n
Número generalizado: para qué valor de x se verifica que 3x+1<19?
Variable: cuando son consideradas como una representación de un
conjunto de valores no especificados, y se observa una relación sistemática
entre dos conjuntos de valores
En la primera categoría la letra tiene un aparente carácter de incógnita, pero es
evaluable, es decir podemos calcular su valor atendiendo la relación numéricaliteral. Con referencia a la letra ignorada o no tenida en cuenta, casi resulta
improcedente decir que sea una “interpretación” de la letra, pues en realidad es un
rechazo, haciendo precisamente una “no interpretación” de ella. Aquí los alumnos
ignoran las letras, o, a lo más, reconocen su existencia, pero no le asignan
significado.
Los alumnos escriben expresiones como “5k” sin tener en cuenta más que el
número 5, y, acompañándolo de la k, simplemente porque “estaba escrito así”. No
conceden ningún sentido a la letra. Le “permiten” estar ahí, simplemente.
Esta no - interpretación de la letra, puede detectarse en ejercicios como: “Añade 3
a 5n”, cuando se produce una respuesta como “8n”. Sin embargo, resulta bastante
interesante que puede pasar desapercibida en ejercicios como: “Multiplica 5 por
2n”, pues la respuesta “10n” es correcta, a pesar de la no interpretación de la “n”.
Cuando el alumno manifiesta este olvido de las letras, inicia un proceso de
incomprensión del Álgebra elemental; al no dar un sentido correcto a las
expresiones que debe utilizar, no comprende los procesos que se siguen con esas
expresiones, ni su finalidad.
La interpretación de la letra como objeto es considerarla como un objeto concreto
(frutas, lados de un polígono, etc.), eliminando así el significado abstracto de las
letras por algo más concreto y real; corresponde a las ocasiones en que el alumno
“lee” la letra pensando que simboliza un objeto determinado. Considera que la
letra es, o bien la inicial de una palabra, o bien un objeto en sí misma.
Puede ser en una expresión algebraica: “5 m + 6 p + 2 m”, en la que las letras se
tomen como representantes de objetos cuyas iniciales son: (m), manzanas y (p),
peras, por ejemplo. Con esta interpretación se trata de sumar: “5 manzanas + 6
peras + 2 manzanas”. Incluso pueden pensar “simplemente” en 7 “emes” más 6
“pes”, es decir, cada letra como el objeto - letra con el que se escribe. O bien,
puede ser en una fórmula geométrica para un cálculo de áreas (a) o de perímetros
(b).
La incógnita es, en cierto modo, una variable. Para la enseñanza y aprendizaje del
Álgebra es fundamental el concepto de variable (Schoenfeld, 1988) y, sin
embargo, la mayoría de las veces las variables se utilizan como si pudieran
entenderse sin ningún problema, simplemente, después de una cierta práctica; el
uso de las variables se confunde con el uso de las x, las y…, o de otras letras,
manejándolas habitualmente con naturalidad, sin llegar a valorar ni la complejidad
que tiene el concepto, ni los múltiples significados y usos que pueden tener las
letras para los alumnos.
El adquirir el concepto de variable supone la conjunción de dos procesos:
Generalización, que permite pasar de un conjunto de situaciones concretas a
algún aspecto común a todas ellas, y, simbolización, que permite expresar de
forma abreviada lo que tienen en común todas las situaciones.
Para que se pongan en práctica de forma simultánea estos dos procesos hace
falta utilizar, en cada caso, capacidades muy distintas y a la hora de planificar
cualquier estrategia de enseñanza, se debe abordar cada uno de ellos de forma
diferente. Cuando se habla del concepto de variable, se incluyen múltiples
significados, y cada uno de ellos se corresponde con las distintas formas de
enfrentarnos a la generalización. Podemos decir que es una variable con cierta
“predeterminación”. Puede tomar uno o dos valores (o más, según el grado de la
ecuación), pero no puede adquirir cualquier valor dentro de su dominio, como
sucede con la variable. Salimos del valor único para cada caso y entramos en el
conjunto de los “valores posibles”. Esto ya supone una bivalencia (o trivalencia, o
polivalencia), que es un paso hacia la complejidad de la variable. Las letras son
consideradas como una representación de un rango de valores no especificado y
se ve como una relación sistemática entre dos conjuntos de valores.
El concepto de variable implica claramente el conocimiento de la incógnita y de
sus posibles valores. Pero esto está más allá de la comprensión de las letras
como incógnitas específicas y como generalización de números. Señala
Küchemann que este concepto es difícil de encontrar con toda exactitud debido a
que la mayoría de los ítems que pueden dar idea de variable, a menudo son
resueltos en un nivel de interpretación más bajo, incluso dentro de la resolución de
un mismo problema, el alumno cambia de interpretación, lo que genera gran
dificultad al observador y también al mismo niño.
La idea de “variable” para el alumno es un concepto de difícil asimilación, pues los
símbolos que ha usado en Aritmética - signos de operaciones, paréntesis y
números - son de significación unívoca y está acostumbrado a poder interpretar,
de manera única, cada símbolo que encuentra.
Cuando las letras vienen a sustituir a un número, son aceptadas como letras
desconocidas que en algún momento, se podrán calcular, como letras
“incógnitas”. Lo que resulta mucho más difícil, para el alumno, es imaginar que
para una misma letra existen distintas posibilidades; aceptar la idea de la letra
como “variable”.
Otro contexto no funcional en el que las letras "n" o "x", respectivamente, tienen
claramente las características de una variable es el de los siguientes ejercicios:
“¿quién es más largo 2n ó 2 + n? Explicarlo” y “probar que si x > 5, entonces 4 x +
1 > 3 x + 4”. El interés de esta cuestión es comprender si los niños reconocen que
el tamaño relativo de ambas depende del valor de “n” o “x”, es decir logran
entenderlas como variables.
El NCTM cita a Shoenfeld y Arcavi (1998) quienes afirman “la comprensión del
concepto de variable debería ir más allá de reconocer que las letras pueden
usarse para representar números desconocidos en las ecuaciones”.
En Aritmética los signos de operación indican una acción que se va a realizar con
números, y que da como resultado otro número, por tanto, dar un significado a
estos signos es dar un procedimiento que permita llegar a la respuesta. En
Álgebra tienen un carácter de “representación”, ya que indican operaciones que no
siempre tienen por qué realizarse y pueden quedar indicadas como operaciones
“en potencia”.
Los símbolos en álgebra
Con referencia a los símbolos de las operaciones, estos son un recurso que
permite detonar y manipular abstracciones. Es necesario el reconocimiento de la
naturaleza y significado de los símbolos para poder comprender cómo operar con
ellos y cómo interpretar los resultados. Este conocimiento les permitirá la
transferencia de conocimiento aritmético hasta el álgebra, aceptando las
diferencias entre ambos.
Collis (1974), señaló que los principiantes en Álgebra ven las expresiones
algebraicas como proposiciones que son, de alguna manera, incompletas.
Atribuye esta percepción a la incapacidad de los alumnos para admitir operaciones
indicadas. Necesitan que dos números que están conectados mediante un signo
de operación se reemplacen inmediatamente por el resultado de esa operación.
Por ejemplo, 4+3=, generaría un 7 en automático puesto que por ser un problema
aritmético el foco está en el resultado, mientras que en problemas como 3a+2b=
no resalta el resultado, sino la relación que existe entre 3a y 2b.
La dificultad del lenguaje algebraico frecuentemente se subestima y no es
explicativo por si mismo: “su sintaxis consiste en un largo número de reglas
basadas en principios que, parcialmente, contradicen el lenguaje cotidiano y el
lenguaje de la aritmética y que, además, son mutuamente contradictorios”
(Freudenthal, 1992). Por ejemplo 3 + 4 es un problema de aritmética, se debe
interpretar como sumar 3 a 4. Sin embargo, a + b no es fácilmente interpretado
como un problema.
Muchas de las dificultades son debidas a la significación que poseen las letras.
Por ejemplo “3l” es comprendida a menudo como “tres lápices” más que 3 veces el
número de lápices. Un acercamiento a la comprensión de estas afirmaciones es
animar constantemente a comprobar por sustitución en el trabajo que se realice
así como a “pensar con letras”.
Para que el método algebraico se pueda incorporar como algo natural, es
necesario que, además de cambiar los símbolos, se produzca un cambio en su
significado, es decir, que no se haga solamente una sustitución de los números
por letras, sino que se realice el paso de números a variable.
El discernimiento del significado de los valores simbólicos les puede llevar a dar
“7x” como respuesta de “3x + 4”, que tiene que ver con su interpretación del
símbolo de la operación. En Aritmética, el símbolo “+” es interpretado como una
acción a realizar, es decir, “+” significa realizar la operación. Por ejemplo, en
Aritmética el “+” de “6 + 5”, indica la operación suma entre 6 y 5, y no se suele
escribir 6 + 5 más que como un paso previo para obtener el resultado
Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje del álgebra
Dificultades:
Estas dificultades de procedencia distinta se conectan y refuerzan en redes
complejas que se concretan en la práctica en forma de obstáculos y se
manifiestan en los alumnos, mediante errores.
Las dificultades, sin embargo, pueden abordarse desde varias perspectivas según
se haga hincapié en unos u otros elementos. Con relación a las dificultades
asociadas a la complejidad de los objetos del Álgebra, observamos cómo éstos
operan a dos niveles, el nivel semántico -los signos son dados con un significado
claro y preciso-, y el nivel sintáctico -los signos pueden ser operados mediante
reglas sin referencia directa a ningún significado-. Son éstos dos aspectos los que
ponen de manifiesto la naturaleza abstracta y la complejidad de los conceptos
matemáticos.
Con relación a las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento en
Álgebra, también se observa que se ponen de manifiesto en la naturaleza lógica
del Álgebra y en las rupturas que se dan necesariamente en relación a los modos
de pensamiento algebraico.
Los modos de pensamiento algebraico provocan rupturas que se convierten en
dificultades en el proceso normal de construcción del conocimiento matemático. El
saber matemático anterior produce modelos implícitos para resolver los problemas
matemáticos. Muchas veces estos modelos son adecuados, pero otras, por el
contrario, aparecen como dificultades para el saber matemático nuevo, el saber
algebraico. Estas dificultades, en general, no se pueden evitar ya que forman parte
del proceso normal de construcción del conocimiento matemático, pero los
profesores tienen que conocerlas y reflexionar sobre ellas para facilitar su
explicitación por parte de los alumnos. Si se quedan implícitas, es muy difícil
incorporar otro saber nuevo.
Veamos un ejemplo como al quedar implícito un modelo, éste constituye un
conflicto para otros. Así por ejemplo a los modelos “a x + b”, “x2”, “ x ” ó “1/x”, se
les suele aplicar las propiedades de linealidad: (a + b)2 = a2 + b2, a + b = a + b ,
1/(x + y)= 1/x + 1/y, donde este primer error adquiere más fuerza a causa de la
analogía con (a+b) (a-b) = a2 - b2. A otras expresiones también se les aplica las
propiedades de linealidad 2n + m = 2n + 2m.
Obstáculos
Otro problema en la enseñanza-aprendizaje del Álgebra es el de los obstáculos
que tienen que ver con la organización de los errores. Podemos señalar que un
obstáculo es un conocimiento adquirido, no una falta de conocimiento, sino de
algo que se conoce positivamente, o sea, está constituyendo un conocimiento.
Tiene un dominio de eficacia. El alumno lo utiliza para producir respuestas
adaptadas en un cierto contexto en el que el dominio de ese conocimiento es
eficaz y adecuado.
Cuando se usa este conocimiento fuera de ese contexto, genera respuestas
inadecuadas, incluso, incorrectas; el dominio resulta falso. Es resistente, y
resultará más resistente cuanto mejor adquirido esté, o cuanto más haya
demostrado su eficacia y su potencia en el anterior dominio de validez. Es
indispensable identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber.
Para Bachelard (1938) el conocimiento científico se edifica salvando obstáculos,
no sólo de tipo externo, como los debidos a la complejidad de los fenómenos o a
la debilidad de las facultades perceptivas humanas, sino también a los que se
producen en el propio acto de conocer y que se manifiestan como una especie de
inercia que provoca el estancamiento o, incluso, la regresión del conocimiento.
Éstos son los que él denomina obstáculos epistemológicos.
Brousseau (1983) manifiesta que la noción de obstáculo tiene tendencia a
extenderse fuera del campo estricto de la epistemología: a Didáctica, a Psicología,
a Psicofisiología, etc.
Herscovics (1989) reconoce la introducción de la noción de obstáculo
epistemológico por parte de Bachelard y su definición en el contexto del desarrollo
del pensamiento científico (no menciona a Brousseau ni sus obstáculos
didácticos), se sitúa en un punto de vista esencialmente constructivista e interpreta
la noción de obstáculo cognitivo en términos de la teoría piagetiana, señalando
que el estudiante se enfrenta a nuevas ideas que no tienen cabida en sus
estructuras cognitivas ya existentes, lo que ocasiona que no pueda enfrentarse
adecuadamente a la nueva información.
Podemos pues tomar como válido que los obstáculos cognitivos son producto de
la experiencia previa de los alumnos y del procesamiento interno de estas
experiencias, y que nuestra organización curricular, diseñada para presentar los
objetos matemáticos de las formas lógicamente más simples, puede realmente
causar obstáculos cognitivos, pero que también surgen obstáculos cognitivos que
no tienen que ver con esta organización curricular sino que tienen que ver con
otros aspectos, como por ejemplo, la lógica interna de las Matemáticas y en
algunos casos con los que hemos denominado en los apartados anteriores, lógica
social.
Siguiendo con este análisis sobre las obstrucciones en el aprendizaje del Álgebra,
interesa destacar lo que indica Tall (1989) en su trabajo “Different Cognitive
Obstacles in a Technological Paradigm”. El no hace distinciones entre los
obstáculos; los llama simplemente obstáculos cognitivos, y distingue dos tipos:
a) Obstáculos basados en la secuencia de un tema, en que afirma que la razón
para creer en obstáculos surge fundamentalmente del hecho de que ciertos
conceptos tienen un grado de complejidad, por lo que es preciso familiarizarse con
ellos en un cierto orden. Por ejemplo, el caso del Álgebra, en el que las destrezas
operatorias son enseñadas con anterioridad a ideas conceptuales aparentemente
más profundas.
b) Obstáculos basados sobre casos simples, posiblemente causados por limitar al
estudiante a casos simples por un período sustancial de tiempo, antes de pasar a
casos más complejos. Observamos que la idea de obstáculo parte de la misma
fuente: el “obstáculo epistemológico” de Bachelard (1938).
En el contexto del desarrollo del pensamiento matemático éste está lleno de
obstáculos caracterizados como epistemológicos; éstos no están especificados en
términos de experiencia de enseñanzas regladas y organizadas en el sistema
educativo, no obstante aceptamos que tales organizaciones de las Matemáticas
en el sistema escolar pueden originar obstáculos que podemos caracterizar como
didácticos. Además la adquisición por parte del alumno de nuevos esquemas
conceptuales está salpicado de obstáculos que podemos considerar cognitivos,
son producto de la experiencia previa de los alumnos y del procesamiento interno
de estas experiencias; además nuestra organización curricular, diseñada para
presentar los objetos matemáticos de las formas lógicamente más simples, puede
realmente causar obstáculos cognitivos, y aún más, surgen obstáculos cognitivos
que no tienen que ver con esta organización curricular sino con otros aspectos.
Errores
El conocimiento significativo comporta intuición o comprensión y es en realidad un
proceso de resolución de problemas. Es decir, el aprendizaje significativo se
caracteriza porque los nuevos contenidos que son objeto de aprendizaje, así como
el proceso mismo de aprendizaje, están relacionados con capacidades ya
poseídas y con contenidos adquiridos anteriormente, y, por tanto, incorporados no
de forma aislada, sino en conexión con las estructuras cognitivas precedentes.
La posición cognitiva sugiere que la mente del alumno no es una página en
blanco. El alumno tiene un conocimiento anterior que parece suficiente y establece
en su mente, un cierto equilibrio. Dos parecen las razones básicas a tener en
cuenta en la adquisición de un nuevo conocimiento. Primero, el nuevo
conocimiento debe tener significado para el alumno y para ello debe contestar a
preguntas que él se ha hecho a sí mismo, o por lo menos recuperar algunas
representaciones que ya estaban en su mente, es decir, el alumno debe asumir la
responsabilidad de la construcción del saber y considerar los problemas como
suyos y no como problemas del profesor. Y segundo, el saber anterior produce
modelos implícitos que a veces son favorables con el nuevo conocimiento
matemático y que por tanto hay que explicitarlos, y otras veces, al contrario, son
obstáculos. En ningún caso el conocimiento nuevo se añade al saber antiguo, muy
al contrario se construye luchando contra él, porque debe provocar una
estructuración nueva del conocimiento total.
El trabajo que Marylin Matz (1980) ha emprendido, tratando de dar una explicación
teórica a la presencia tan frecuente, uniforme y persistente de los errores de
sintaxis algebraica en poblaciones escolares de entre 15 y 18 años de edad, ha
puesto de manifiesto que los procesos que generan las respuestas algebraicas
incorrectas no son resultado de acciones arbitrarias o del azar, sino que son
producto de procesos intelectuales razonables, generados por desafortunadas
adaptaciones del conocimiento adquirido previamente.
Muchos de los errores comunes, afirma, surgen de uno de los siguientes
procesos: el uso de una regla conocida en una situación para la cual resulta
inapropiada, o, la adaptación incorrecta de una regla conocida, de tal manera que
pueda utilizarse para resolver un problema nuevo y señala que “los errores son
intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una
nueva situación”. Los errores aparecen en el trabajo de los alumnos sobre todo,
cuando se enfrentan a conocimientos novedosos que les obliga a hacer una
revisión o reestructuración de lo que ya saben.
Esta conjunción de ideas junto a nuestra experiencia en estos niveles escolares
nos llevó a una primera organización de los errores: Errores del Álgebra que están
en la Aritmética y errores de Álgebra debidos a las características propias del
lenguaje algebraico:
1) Errores del Álgebra que están en la Aritmética.
2) Errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje
algebraico
El significado de los signos usados es el mismo en ambas ramas de las
Matemáticas. El Álgebra no está separada de la Aritmética y aquella se puede
considerar con la perspectiva de Aritmética generalizada. De aquí que para
entender la generalización de relaciones y procesos, se requiere que éstos sean
antes asimilados dentro del contexto aritmético. Por eso a veces las dificultades
que los estudiantes encuentran en Álgebra, no son tanto dificultades en el Álgebra
como problemas que se quedan sin corregir en la Aritmética; por ejemplo, en el
uso de paréntesis, potencias, etc. Al respecto, dice Brousseau (1983): “Podríamos
considerar que hay un campo previo, natural, que es la Aritmética, el campo
primero. El Álgebra sería un medio de hablar de la Aritmética, de hablar de cosas
aritméticas que pedirían un contrato didáctico un poco especial con los alumnos”
Metodología
La metodología de la investigación es de tipo Quasi-experimental, se
aplicará a 94 estudiantes cursantes del 1er semestre en la Escuela de Nivel medio
Superior de Pénjamo, los cuales representan el 54.97% de la población inscrita en
ese nivel. El proceso completo está dividido en 4 etapas; planificación,
diagnóstico, ejecución y evaluación
.
Etapa Diagnóstica
La prueba se aplicó a un total de 94 alumnos de 3 grupos de primer semestre de
la Escuela de Nivel Medio Superior de Pénjamo.
Grupo
Hombres
Mujeres
Total
1A
15
15
30
1B
16
16
32
1E
16
16
32
Total
47
47
94
A modo de ejemplo presento el siguiente cuadro de los resultados obtenidos en el
reactivo 4 que constaba de 2 incisos. En el cuadro señalo el número de alumnos
que respondieron correctamente, incorrectamente y aquellos que dejaron en
blanco el problema. La última columna representa los porcentajes de cada
categoría:
Correctas
Incorrectas
No contestó
4a
32
58
4
4b
8
67
19
%
21.27
66.48
12.23
Fuentes de consulta
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(Traducción al castellano, 1985. La formación del espíritu científico. Siglo
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COLLIS, K.F. (1974) Cognitive Development and Mathematics Learning. Paper
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FILLOY, E. (1993). Tendencias cognitivas y procesos de abstracción en el
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