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Teoría Cuántica de Campos
2do cuatrimestre 2006 - Gustavo Lozano
guia 5: Teoría de Grupos y grupo de Lorentz
1. Grupos contínuos:
(a) Muestre que si dos grupos tienen la misma álgebra de Lie entonces son localmente isomorfos.
(b) Muestre que SU (2) y O(3) son localmente isomorfos.
2. Con sólo conocer una representación de un grupo uno puede averiguar mucho de su estructura y así de otras representaciones:
(a) Usando la representación usual del grupo de Lorentz que transforma los cuadrivectores x µ , halle sus generadores
infinitesimales (g.i.) y muestre que el álgebra de Lie queda definida a través de las reglas de conmutación
[Ki , Kj ] = −i ijk Jk ,
[Ji , Jj ] = i ijk Jk ,
[Jx , Ky ] = i ijk Kk ,
donde Ki corresponde al g.i. de un boost en el eje i, y Ji a una rotación en el eje i (i, j = x, y, z).
(b) Una vez connocida la estructura del grupo de Lorentz, SO(3, 1), muestre que usando las matrices de Pauli σ 1 , σ 2
y σ 3 pueden generarse dos representaciones matriciales irreducibles del grupo de Lorentz (i.e. demuestre la composición SO(3, 1) ∼ SU (2) × SU (2).)
3. El grupo de Lorentz actuando sobre los spinores de Dirac.
(a) Compruebe que Sµν = − 4i [γµ , γν ] son los g.i. de la representación del grupo de Lorentz que actua sobre los
spinores de Dirac.
(b) Muestre que usando la representación de Weyl se obtiene explícitamente la división SO(3, 1) ∼ SU (2) × SU (2).
Entonces, es la representación de Weyl (también de Dirac) una representación irreducible del grupo de Lorentz?
Discuta la naturaleza de los elementos (spinores) que transforman ante sendas representaciones.
4. Construya las distintas representaciones del grupo de Lorentz explícitamente, indique en cada caso de qué campo físico
se trata. Antes de empezar a hacer cuentas, indique el spin de las partículas y la cantidad de grados de libertad.
(a)
(b)
(c)
(d)
( 12 , 0)
(0, 12 ) ¿Qué diferencia (si lo hay) hay con la anterior?
( 12 , 0) ⊕ (0, 12 )
( 12 , 12 ) ¿Qué diferencias y qué similitudes existe entre este caso y el anterior?
5. El grupo de rotaciones en tres dimensiones SO(3) es un subgrupo del grupo de Lorentz SO(3, 1). Una representación
de SO(3) esta dada en término de operadores diferenciales, a saber
J i = iεijk xj ∂k
(a) Halle una extensión de dicha representación para incluir los boosts también.
(b) Muestre que es posible extender aún más el álgebra, llegando a representar todo el grupo de Poincaré si los operadores Pµ = i∂µ son considerados como representación de los generadores de las translaciones.
6. Para discutir
(a) Ahora que demostró que los Sµν son g.i. de una representación del grupo de Lorentz, reflexione sobre la naturaleza
de los espinores de Dirac, la ecuación de Dirac y sobre su invarianza de Lorentz.
(b) La condición para que los espinores de Dirac (de dimensión cuatro) provean una representación irreducible del
grupo de Lorentz es que se lo extienda incluyendo paridad. Pero paridad se viola en la Naturaleza! Entonces, por
qué usamos una repressentación de dimensión cuatro?
(c) Entiende la diferencia entre proveer una representación de un grupo (to furnish a representation) y representar a
un grupo? (Porque muchas veces uno halla, en abuso de lenguaje, que se confunden.)
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