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UNIDAD 2 Álgebra de matrices
Resolución de algunos Ejercicios y Problemas:
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Ejercicio 27
27 Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:
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a) u1 = (1, –1, 3, 7), u2 = (2, 5, 0, 4) y di cuál es el rango de la matriz cuyas columnas son u1 y u2.
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b) v1 = (1, 0, –2, 3, 1), v2 = (2, –1, 3, 0, 2), 8
v3 = (4, –1, –1, 6, 4) y di cuál es el rango de la matriz cuyas fi8
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las son v1, v2, v3.
Resolución
Sabemos que el rango de una matriz coincide con el número de filas o de columnas linealmente independientes.
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a) Estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son u1 y u2:
( )
1
–1
M=
3
7
2
5
0
4
( )
1
0
0
0
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
(4.ª) – 7 · (1.ª)
8
2
7
–6
–10
()
1
0
0
0
(1.ª)
(2.ª)
6 · (2.a) + 7 · (3.a)
10 · (2.a) + 7 · (4.a)
2
7
0
0
8 ran (M) = 2
8
Los vectores u1 y u2 son linealmente independientes.
8
8
8
b) Estudiamos el rango de la matriz cuyas filas son v1, v2, v3:
(
1 0 –2 3 1
M = 2 –1 3 0 2
4 –1 –1 6 4
)
(
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 4 · (1.ª)
8
8
1 0 –2 3 1
0 –1 7 –6 0
0 –1 7 –6 0
)
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
(
1 0 –2 3 1
0 –1 7 –6 0
0 0 0 0 0
)
8 ran (M) = 2
8
El conjunto de vectores v1, v2, v3 es linealmente dependiente. Hay dos vectores linealmente independientes.
Otra forma de resolverlo
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Sabemos que la condición necesaria para que los vectores u1, u2, …, un sean linealmente independientes es que
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la igualdad x1 u1 + x2 u2 + … + xn un = 0 solo sea cierta cuando todos los números x1, x2, …, xn sean cero.
a) Para estudiarlo, aplicamos la propiedad anterior:
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8
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m u1 + n u2 = 0 8 m (1, –1, 3, 7) + n (2, 5, 0, 4) = (0, 0, 0, 0)
Haciendo operaciones en el primer miembro, obtenemos:
(m + 2n, –m + 5n, 3m, 7m + 4n) = (0, 0, 0, 0)
Igualando las coordenadas de estos vectores, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:
m + 2n = 0 °
§
–m + 5n = 0 §
¢ Las soluciones son m = 0, n = 0
3m
= 0§
§
7m + 4n = 0 £
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Por tanto, los vectores u1 y u2 son linealmente independientes, ya que la única combinación lineal de ellos
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que da lugar al vector 0 es la que se obtiene multiplicando cada uno de ellos por cero.
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El rango de la matriz cuyos vectores columnas son u1 y u2 es 2 porque son linealmente independientes.
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Ejercicio 27
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b) Aplicando la propiedad citada anteriormente:
m (1, 0, –2, 3, 1) + n (2, –1, 3, 0, 2) + p (4, –1,, –1, 6, 4) = (0, 0, 0, 0, 0)
m + 2n
–n
–2m + 3n
3m
m + 2n
+
–
–
+
+
4p
p
p
6p
4p
=
=
=
=
=
0°
§
0§
§
0 ¢ Resolvemos este sistema aplicando el método de Gauss:
§
0§
0 §£
) )
1 2 4
0 –1 –1
M = –2 3 –1
3 0 6
1 2 4
) )
1
0
0
0
0
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 2 · (1.ª)
(4.ª) – 3 · (1.ª)
(5.ª) – (1.ª)
2 4
–1 –1
7 7
–6 –6
0 0
Las filas 2.a, 3.a y 4.a son proporcionales. En la 5.a fila, todos los elementos son ceros.
m + 2n + 4p = 0 °
¢ El sistema es compatible indeterminado.
–n – p = 0 £
Las soluciones son (–2l, –l, l)
Para l = 1, la solución es m = –2, n = –1, p = 1.
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Entonces: –2 v1 – v2 + v3 = 0
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8
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Por tanto, los vectores v1, v2, v3 son linealmente dependientes, porque existe una combinación lineal de
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ellos con coeficientes no nulos que da lugar al vector 0 .
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El rango de la matriz cuyas filas son v1, v2, v3 es 2, el mismo que el de la matriz cuyos vectores columnas
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son v1, v2, v3 y que hemos hallado antes.