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Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal
Editorial Mc Graw Hill. Edición 2007
Kozak – Pastorelli – Vardanega
Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
Respuestas faltantes en ejercicios edición 2007
Sección 4.4: Superficie cuadráticas de revolución
Ejercicio 4-1
Respuesta:
R 2 − r 2 + x 2 + y 2 + 2R x 2 + y 2 + z 2 = 0
Ejercicio 4-3
Respuesta:
Ecuaciones:
x 2 + 4 y 2 + 4z 2 = 4 y
x2 + 4y2 + z2 = 4
Ejercicio 4-4
Respuesta:
a) −
( x − 1) 2 ( y − 2) 2 ( z + 2) 2
+
−
=1
9
c2
c2
b) −
( x − 1) 2 ( y − 2) 2 ( z + 2) 2
+
−
=1
4
9
4
Capítulo 4.
Superficies. Página 1
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Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
Ejercicio 4-5
Respuesta:
a) ( x − 1) 2 + 2 z 2 = y : paraboloide elíptico con eje paralelo al eje y (x=1; z=0). Vértice (1; 0 ; 0)
b) ( x − 1) 2 − 2 z 2 = y : paraboloide hiperbólico (silla de montar) con eje paralelo al eje y (recta
x=1; z=0). Punto de silla en (1; 0 ; 0)
c) ( x − 1) 2 = y : cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z
( x − 1) 2 = y ; z=0
Capítulo 4.
Superficies. Página 2
y directriz
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d) ( x − 1) 2 + k z 2 = y; k ∈ R : Si
• k > 0 ∧ k ≠ 1 paraboloide elíptico con eje paralelo al eje y (recta x=1; z=0). (ver ítem a)
• k = 1 el paraboloide es de revolución alrededor de la recta x=1; z=0.
•
•
k < 1 silla de montar con eje x=1; z=0 (ver ítem b)
k = 0 cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje (ver ítem c)
Ejercicio 4-6
Respuesta:
Valores de los factores de producción para máximo beneficio x =25; y = 50. La
representación gráfica de la función beneficio es una porción de del paraboloide
z = 15875 − ( x − 25) 2 − ( y − 50) 2 (vértice en (25;50;15875)
Capítulo 4.
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Ejercicios Anexados Edición 2007
Ejercicio anexado 01:
Determinar una ecuación de la superficie de revolución generada por la directriz z = a y 2 ,
x = 0 alrededor del eje y. Graficarla.
Respuesta:
x2 + z2 = a2 y4
Notar que la ecuación no es cuadrática
Ejercicio anexado 02:
Determinar una ecuación que represente a la superficie de revolución
directriz z = y 3 , y = 0 alrededor del eje z. Graficarla
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generada por la
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Respuesta:
z 2 = ( x 2 + y 2 )3
Ejercicio anexado 03:
Determinar si las siguientes ecuaciones representa superficies generada por la rotación de una
curva plana al girar alrededor de uno de los ejes coordenados. En tal caso determinar el eje y
una generatriz.
a) z = sen( x 2 + 3 y 2 )
b) z = sen(3 x 2 + 3 y 2 )
c)
x =
y2 − z2
d) y 2 + x 2 + cz 2 = 1 ; c número real.
Respuesta:
a) no
y = 0
b) Si. Eje de rotación z. Generatrices 
,o
2
z
sen
3
x
=

( )
x = 0
(hay infinitas más).

2
z
sen
3
y
=

( )
z = 0
x = 0
x = 0
c) Si. Eje de rotación y. Generatrices 
,o 
,o 
(hay infinitas más). Es
y = x
y = z
y = −z
un cono.
d) Si. Cualquiera sea el c, es una superficie de rotación alrededor del eje z. Dos de sus
Capítulo 4.
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x = 0
y = 0
posibles generatrices son  2
y
.
 2
2
2
 y + cz = 1
 x + cz = 1
Si c es positivo resulta un elipsoide (de revolución), mientras que si es negativo resulta un
hiperboloide de una hoja (de revolución). En el caso que c = 1 , la superficie es de
revolución alrededor de los tres ejes coordenados (es un caso particular de un elipsoide,
esto es una superficie esférica).
Las superficies se pueden visualizar en el siguiente gráfico.
Ejercicio anexado 04:
Determinar una ecuación de la esfera que cumpla con las condiciones:
a) Centro en (0;−1;−2) y radio 3.
b) Centro en (0;0;0) y tangente al plano x + y + z = 2
c) Centro en (3;6;−4) y tangente al plano z = 2 x − 2 y − 10
d) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos (6 ; 2 ;−5 ) ; (− 4 ; 0 ; − 3 )
e) Contiene a los puntos
(1; 0 ;−
24
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) (− 1;1;
21
) (2 ; − 1; ±
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)
¿Los puntos
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( 0;0 ;
)
23 ,
( 0;0 ;5 ) y (− 2;1,3) pertenecen a la esfera?
Respuesta:
a) x 2 + ( y + 1) + (z + 2 ) = 9
2
2
2 2 2 
b) x 2 + y 2 + z 2 = 4 . El punto de tangencia es  ; ; 
3
3 3 3 
 17 10 − 16 
2
2
c) ( x − 3) 2 + ( y − 6 ) + ( z + 4 ) = 16 . El punto de tangencia es  ; ;

 3 3 3 
2
2
d) ( x − 1) 2 + ( y − 1) + ( z + 4 ) = 27 .
(
)
0;0 ; 23 pertenece a la esfera mientras que no
e) ( x − 1) 2 + ( y − 1) + z 2 = 25 .
pertenecen ( 0;0 ;5 ) y (− 2;1,3) (el primero es exterior y el segundo interior)
2
Ejercicio anexado 05:
Determinar una ecuación implícita para la esfera que cumpla con las condiciones:
a) Contiene a los puntos
(1; − 3 ; 4) , (1; − 5 ; 2) , (1; − 3 ; 0)
y tiene su centro en el plano
x + y + z = 0 . Precisar su centro y radio
b) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos (6 ; 2 ;−5 ) ; (− 4 ; 0 ; 7 ) . Precisar
su centro y radio
Respuesta:
a) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z + 10 = 0 . C = (1;−3;2) ; r = 2
b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 59 = 0 . C = (1;1;1) ; r = 62
Ejercicio anexado 06:
Describir la superficie de ecuación:
a) 3 x 2 + 4 y 2 + z 2 − 12 x − 16 y + 4 z − 4 = 0
b) 2 x 2 − 3 y 2 − 4 z 2 − 12 x − 6 y = 21
c) 16 y 2 − 9 x 2 + 4 z 2 − 36 x − 64 y − 24 z − 80 = 0
d) 2 x 2 + 4 z 2 − 4 x − y − 24 z + 36 = 0
Respuesta:
a) Ecuación canónica:
( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 + ( z + 2 )2
(2 3 )
2
32
62
= 1 . Elipsoide con centro en (2;2;−2 ) y
semiejes paralelos a los ejes coordenados de longitud 2 3 ; 3 y 6.
Capítulo 4.
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(x − 3)2 − ( y + 1)2 − (z )2
= 1 . Hiperboloide de dos hojas con centro
18
12
9
 y = −1
en (3;−1;0) , eje 
; Vértices en 3 ± 18 ;−1;0 . Ecuación canónica: 3 y 6.
z = 0
b) Ecuación canónica:
(
)
c) Ecuación canónica: −
( x + 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z − 3) 2
d) Ecuación canónica:
(x − 1)2 + 2(z − 3)2
16
y
 =2
centro en (− 2;2;3) , eje 
.
z = 3
(1 ; − 2 ; 3) . Eje
9
36
=
= 1 . Hiperboloide de una hoja con
y+2
. Paraboloide elíptico con vértice
2
x = 1
. Abre hacia los y positivos.

z = 3
Ejercicio anexado 07:
Escribir una ecuación para el elipsoide con centro en (1,−1, 0) , cuyos semiejes son paralelos a
los ejes coordenados, y donde el semieje mayor tiene la dirección del eje x, y el menor la del
eje z. El mayor es el cuádruple del menor y el doble del otro, y contiene al origen de
coordenadas.
Respuesta:
( x − 1) 2 + 4( y + 1) 2 + 16 z 2 = 5
Ejercicio anexado 08:
Hallar la ecuación del paraboloide con eje paralelo a uno de los coordenados, que pasa por el
origen, por los puntos (1;2;2) y (2;6;8) y que es simétrico con respecto al eje x.
Respuesta:
z 2 − 2 y 2 + 4 x = 0 (paraboloide hiperbólico)
Ejercicio anexado 09:
Mostrar que las siguientes ecuaciones implícitas representan gráficamente paraboloides. En
cada caso, determinar su vértice y discriminar si es un paraboloide elíptico, hiperbólico o de
revolución. Graficar.
a) 4 x 2 + 3 z 2 − 4 y + 12 z + 12 = 0
b) y 2 − 4 x 2 + 2 z − 6 y − 6 = 0
Capítulo 4.
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c) k z 2 − 9 y 2 − 2kz + 36 y − x + k − 32 = 0
Respuesta:
) V (0 ; 0 ;− 2) : paraboloide elíptico. Eje paralelo al eje y .
b) V (−1,5 ; 3 ; − 3) : paraboloide hiperbólico. Eje paralelo al eje z.
c) Ecuación canónica: ( x − 4) = −9( y − 2) 2 + k ( z − 1) 2 . V (4 ; 2 ; 1) . Según los valores de k
será
Si k > 0 paraboloide hiperbólico.
Si k < 0 ∧ k ≠ −9 paraboloide elíptico; si k = −9 paraboloide de revolución.
Si k = 0 no es un paraboloide sino un cilindro parabólico.
Ejercicio anexado 10:
Proponer una ecuación y la gráfica aproximada para las superficies que se describen:
a) Cono con vértice en (2 ; − 1 ; 3) y eje paralelo al eje y. La curva de intersección con
el plano xz es una elipse de eje mayor paralelo al eje x de longitud 2 y eje menor
paralelo al eje z, de longitud 1.
b) Paraboloide con vértice en (2 ; − 1 ; 0) ; eje paralelo al eje x y que tiene traza con
el plano yz una circunferencia de radio 2.
c) Cilindro hiperbólico, siendo una de sus directrices el eje x y una de sus directrices
una hipérbola equilátera ubicada en el plano x = 2 , vértice en (2 ; − 1 ; 3) .
 x = −1
y vértice ubicado en el plano
d) Elipsoide de revolución alrededor de la recta 
y = 3
Capítulo 4.
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z = 1 . Las longitudes del eje mayor es 4 y del menor 2.
 x = −1
y vértice ubicado en el plano z = 1 .
e) Paraboloide hiperbólico con eje 
y = 3
Respuesta:
(x − 2)2 − 4( y + 1)2 + 4(z − 3)2 = 0
b) ( y + 1) 2 + z 2 = −2( x − 2)
c) ( z − 3) 2 − ( y + 1) 2 = A ; A ≠ 0
d) ( x + 1) + ( y − 3) +
2
2
e) A( x + 1) − B ( y − 3)
2
(z − 1)2
2
=1 o
(x + 1)2 + ( y − 3)2 + (z − 1)2
=1
4
4
4
= C ( z − 1) siendo A, B y C no nulos y sig ( A) = sig ( B ) .
Ejercicio anexado 11:
Hallar y describir el lugar geométrico de los puntos que cumplen las condiciones:
a) la suma de los cuadrados de sus distancias a los planos 2 x − y + z = 0 ;
2 x + y − 3 z = 0 y x + 4 y + 2 z = 0 es igual a 10.
b) la suma de la distancia a los puntos (3 ; 2;−4) (3 ; 2;4) es 10.
Capítulo 4.
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c) la distancia al plano yz es el doble a las correspondientes al punto (1;−2;2) .
d) el cuadrado de la distancia al eje z es el doble de la correspondiente al plano xy.
e) la diferencia de la distancia a los puntos (2;−3,4 ) y (2;3,4) es siempre 5.
f) son generados por la rotación de la curva formada por todos los puntos
2


 x ; 2 − x ; 0  alrededor del eje y
3


Respuesta:
a) Esfera con centro en el origen de coordenadas y radio 10 .
b) Elipsoide de revolución de ecuación
( x − 3) 2 + ( y − 2 ) 2
9
9
+
z2
= 1 . C = (3,2,0) Semiejes:
25
x = 3
3;3;5. Eje de revolución 
y = 2
c) Elipsoide de revolución de ecuación 3 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 − 8 x + 16 y − 16 z + 36 = 0 .
C = 4 ;2;−2 Semiejes 2 ; 1 ; 1 .
3
3
3
3
d) Paraboloides de revolución de ecuación x 2 + y 2 − 2 z = 0 y x 2 + y 2 + 2 z = 0
(
)
( x 2 + y 2 = 2 z ). Eje de revolución: eje z. Vértice en el origen.
x = 2
.
e) Hiperboloide de revolución de dos hojas con centro en (2;0;4) y eje de revolución 
z = 4
( x − 2 ) 2 + ( y ) 2 − ( z − 4) 2 = 1
Ecuación: 44 y 2 − 100 x 2 − 100 z 2 + 400 x + 800 z = 2275 o −
275
275
275
100
44
100
2
2
2
f) Superficie cónica recta de ecuación
4 x − 9 y + 4 z + 36 y − 36 = 0
(o
4 x 2 + 4 z 2 = 9( y − 2) 2 ). Vértice (0;2;0) . Eje, eje y.
Ejercicio anexado 12:
Caracterizar la familia de superficies x 2 − y 2 + z 2 + k = 0 ; k ∈ R . Graficar algunas de las
integrantes (casos característicos).
Respuesta:
Todas superficies de revolución alrededor del eje y. Si k < 0 hiperboloide de de una hoja,
k = 0 cono, si k > 0 , hiperboloide de dos hojas.
Capítulo 4.
Superficies. Página 11
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Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
Ejercicio anexado 13:
Mostrar gráficamente que el hiperboloide de dos hojas x 2 + y 2 − z 2 + 1 = 0 está dentro del
2
2
2
cono x 2 + y 2 − z 2 = 0 y éste dentro del de una hoja x + y − z − 1 = 0 .
Respuesta:
Sugerencia: trazar las generatrices de cada superficie trazadas en el mismo plano coordenado.
Ejercicio anexado 14:
Dado el cono x 2 + y 2 − z 2 = 0 , determinar las curvas intersección de la superficie con los
planos:
a) z = 0.5 x + 1
b) z = 1.5 x + 1
c) z = x + 1
d) z = 2 ,
e) z = 0
f) x = 0
g) z = x .
Describir y graficar estas curvas. Luego de realizar la descripción rever el apartado “Cónicas.
Definición geométrica” del capítulo cónicas y relacionar los resultados obtenidos con el
ángulo que forma cada plano con el eje del cono.
Determinar una forma paramétrica para cada curva.
Respuesta:
a) elipse,
b) hipérbola,
c) parábola,
d) circunferencia,
e) punto (vértice);
Capítulo 4.
Superficies. Página 12
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Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
f) par de rectas que se cortan (ambas generatrices).
g) una recta (una generatriz)
Formas paramétricas:
4 2
2
2 4
sin(t ) ; z = + cos(t ) ; t ∈ [0 : 2π ) (elipse)
a) x = + cos(t ) ; y =
3 3
3 3
3
2
−6 4
−4 6
b) x =
± Ch(t ) ; y =
Sh(t ) ; z =
± Ch(t ) ; t ∈ R (hipérbola)
5 5
5 5
5
1
1
c) x = (t 2 − 1); y = t ; z = (t 2 + 1) ; t ∈ R (parábola)
2
2
d) x = 2 cos(t ) ; y = 2 sin(t ) ; z = 2 ; t ∈ [0 : 2π ) (circunferencia)
e) No es una curva sino un punto x = 0 ; y = 0 ; z = 0
f) x = 0 ; y = t ; z = ± t ; t ∈ R (dos rectas)
g) x = t ; y = 0 ; z = t ; t ∈ R (una recta)
Ejercicio anexado 15:
Describir la intersección de cada superficie con el plano dado. Interpretar gráficamente.
2
2
2
a) x + y + 3 z − 3 = 0 ; x = 1
b) x 2 + y 2 − 3 z 2 = 0 ; x = 1
Capítulo 4.
Superficies. Página 13
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Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
c) x 2 − y 2 = 2 z ; x = 1
d) x 2 − y 2 = 2 − z ; z = 2
e) x 2 + y 2 = 2 − z ; z = 2
Respuesta:
x = 1
 2
z2
a) Elipse  y
+
=1
2 3
2

x = 1
;
c) Parábola 
2
1
−
y
=
2
z

e) Punto (0;0;2)
x = 1
.
b) Hipérbola  2
2
3z − y = 1
z = 2
d) rectas 
y = ±x
Ejercicio anexado 16:
Curvas en el espacio: Al igual que las curva en el plano, hay distintas maneras de
representar una curva en el espacio. Una de ellas como intersección de dos superficies
Capítulo 4.
Superficies. Página 14
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Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
 F ( x, y , z ) = 0
y otra es
dar la curva en su forma paramétrica; esto es

G ( x, y, z ) = 0
x = x(t ) ; y = y (t ) ; z = z (t ) ; con t ∈ I
Para mostrar que una curva dada en forma paramétrica x = x(t ) ; y = y (t ) ; z = z (t ) es la
intersección de las superficies F ( x, y, z ) = 0 y G ( x, y, z ) = 0 se debe verificar que la
ecuación verifica ambas ecuaciones simultáneamente.
Verificar que la curva c es la intersección de las superficies S1 y S 2 . Utilizar estos datos para
graficar la curva c.
a) c : x = cos(t ) ; y = sen(t ) ; z = 1 + cos(t ) ; t ∈ [0;2π )
S1 : x 2 + y 2 = 1 y S 2 : x − z + 1 = 0
b) c : x = 2 cos(t ) ; y = 2 ; z = 2 sen(t ) ; t ∈ [0;2π )
S1 : x 2 + z 2 = 4 y S 2 : y − 2 = 0
c) c : x = 2 cos(t ) ; y = 1 + sen(t ) ; z = 3sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) ;
x2 z2
+
=1
4
9
y S2 : 3y − z = 3
d) c : x = 2 cos(t ) ; y = cos 2 t ; z = 3sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) ;
S1 :
x2 z2
+
=1
2
4
9
y S2 : x = 4 y
e) c : x = 2 cos(t ) ; y = cos(2t ) ; z = − sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) ;
S1 :
x2
+ z2 =1
2
2
4
y S 2 : 4 y = x − 4z
f) c : x = ±2Ch(t ) ; y = 2 Sh(t ) + 1; z = Sh(t ); t ∈ ℜ ;
S1 :
S1 :
x2
− z2 = 1
4
y S2 : y = 2z + 1
Respuesta:
Capítulo 4.
Superficies. Página 15
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Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
Ejercicio anexado 17:
Tal como se mencionó para curvas en R 2 la representación paramétrica de una curva en R 3
no es única, por lo que no resulta en general una tarea sencilla.
 F ( x, y , z ) = 0
Si la curva está representada por la intersección de dos superficies 
y si en
G ( x, y, z ) = 0
al menos una de ellas falta una de las variables (lo que significa que al menos una de las
superficies es un cilindro con eje paralelo a uno de los ejes coordenados) la tarea resulta
algorítmica.
Para ello, el la ecuación que le falta una de las variables se elige una de las presentes como
parámetro y se despeja la otra o se procede de manera similar a la forma de parametrizar en
R2 .
Por último se reemplaza el valor asignado a las dos variables en ecuación de la restante
superficie y se despeja la tercera.
 x 2 + y 2 − z 2 = 0
Así por ejemplo, dada c :  2
, una representación para c puede obtenerse de la
2 x + z 2 = 2
siguiente manera:
De la segunda ecuación se puede elegir x = cos(t ); z = 2 sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) . Remplazando
estas ecuaciones en x 2 + y 2 − z 2 = 0 se tiene (cos(t ) ) + y 2 − ( 2 sen(t )) 2 = 0 . Luego
2
cos 2 t + y 2 − 2 sin 2 t = 0
parametrización es
lo
que
implica
que
y 2 = 2 sin 2 t − cos 2 t .
x = cos(t ) ; y = ± 2 sin 2 t − cos 2 t ; z = 2 sen(t ) t ∈ [0;2π ) .
Capítulo 4.
Superficies. Página 16
Entonces
una
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Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
Utilizando esta metodología parametrizar y representar gráficamente cada curva c dada por
S1 ∩ S 2 . Verificar la gráfica trazada utilizando un sistema algebraico de cómputos.
a) S1 : x 2 + y 2 = 1 ; S 2 : x − z + 1 = 0
b) S1 : x 2 + z 2 = 4 ; S 2 : y − 2 = 0
x2 z2
+
= 1 ; S2 : 3y − z = 3
4
9
x2 z2
d) S1 :
+
= 1 ; S2 : x2 = 4 y
4
9
2
x
e) S1 :
+ z 2 = 1 y S 2 : 4 y = x 2 − 4z 2
4
x2
f) S1 :
− z 2 = 1 y S2 : y = 2z + 1
4
c) S1 :
Respuesta:
a) c : x = cos(t ) ; y = sen(t ) ; z = 1 + cos(t ) ; t ∈ [0;2π ) .
b) c : x = 2 cos(t ) ; y = 2 ; z = 2 sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) .
c) c : x = 2 cos(t ) ; y = 1 + sen(t ) ; z = 3sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) .
d) c : x = 2 cos(t ) ; y = cos 2 t ; z = 3sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) .
e) c : x = 2 cos(t ) ; y = cos(2t ) ; z = − sen(t ) ; t ∈ [0;2π ) .
f) c : x = ±2Ch(t ) ; y = 2 Sh(t ) + 1; z = Sh(t ); t ∈ ℜ .
Capítulo 4.
Superficies. Página 17
Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal
Editorial Mc Graw Hill. Edición 2007
Kozak – Pastorelli – Vardanega
Capítulo 4: Superficies (Autor Sonia Pastorelli).
Capítulo 4.
Superficies. Página 18