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2. DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
Sobre la demostración en matemáticas
Algunas cuestiones sobre el tipo de demostración conocido como demostración directa.
2.1
Prueba que el cubo de un número impar es también impar.
2.2
()
Demuestra que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, los
puedes escribir en sucesión: un primero, un segundo, un tercero, etc.
2.3
Si f y g son funciones continuas en a, entonces f + g también lo es.
Otro tipo de demostración distinto al anterior es el conocido como “demostración indirecta”.
Tú quieres probar que A  B. Para llevarlo a cabo, supones que es cierta la conclusión B, y deduces algunas cosas que ya conoces o que puedes probar fácilmente. Cuando, trabajando así,
hayas llegado a A o a algo fácilmente deducible a partir de A, inviertes los pasos y, a partir de
aquí, y por demostración directa, llegas a B.
2.4
¿Qué ocurre en este ejemplo?:
Halla todos los números x tales que
x  1  x  1  2 . (Como es natural, consideramos la
raíz cuadrada positiva).
x 1  x 1  2 
x 1 
2.5
x 1  2  x 1  x  1  4  x 1  4 x 1 
x 1  
1

2
5
5
1
 x  . Observa, en cambio, que no es solución de la ecuación.
4
4
4
() Sea  un número fijo con 0 <  < , y pongamos
F ( ) 
sen   sen(   )
siendo
cos   cos(   )
0      . Demuestra que F es constante.
2.6
() Si a, b y c representan las longitudes de los lados de un triángulo, demuestra que
3 (ab + bc + ca)  (a + b + c)2  4 (ab + bc + ca).
1
2.7
() Sea AOB un diámetro de una circunferencia, BM tangente a la circunferencia en B,
CF tangente a la circunferencia en E y C el punto de corte de BM y CF. Si la prolongación de la cuerda AE corta a BM en D, prueba que BC  CD.
2.8
() En la primera vuelta de la liga ACB había n equipos, E1, E2, ... En con n > 1; cada uno
jugó con los demás y, como sabes, no hubo empates. Sean Vr y Dr el número de victorias
n
y derrotas, respectivamente, del equipo Er. Demuestra que

V r2 
r 1
2

xy 
D
2
r
.
r 1
x y
.
2
2.9
Si x e y son números reales positivos, prueba que
2.10
() Una de las desigualdades que aparecen en el ejercicio anterior,
1 1

x y
n
2
1 1

x y

x y
es un
2
caso particular de ésta: Si a y b son números reales positivos con a + b  1, prueba que
1
a b

x y
 ax  by siendo x > 0 e y > 0.
En los siguientes ejercicios, te pedimos que utilizando este método de demostración llamado
“demostración por contraposición”, demuestres las siguientes proposiciones:
2.11
Si n es un entero y n2 es par, entonces n es par.
2.12
Si S es un subconjunto del conjunto de números reales T y S no está acotado, T tampoco.
2.13
Si p y q son números reales positivos tales que
2.14
() Si c es un número impar, la ecuación n2 + n  c  0 no admite soluciones enteras.
2.15
Si n es un entero mayor que 2, no hay ningún entero m con n + m  nm tal que n divida a
pq 
pq
, entonces p  q.
2
m.
2.16
Si en el cuadrilátero RSTU no hay ningún ángulo obtuso, dicho cuadrilátero es un rectángulo.
2.17
Sabes que para decidir si un número es primo, basta ver si admite como divisores a números menores o iguales que su raíz cuadrada. En concreto: demuestra que “Si p es un entero
2
positivo y no existe ningún entero m con 1 < m 
p tal que m divida a p, entonces p es
primo”.
2.18
() Sea p, mayor que 3, un número primo. Sabiendo que existe un entero positivo n para
el que pn tiene 20 dígitos, demuestra que entre estos 20 dígitos hay al menos 3 iguales.
Falacias
2.19
Decir si son ciertos o falsos los siguientes resultados y si son correctas o incorrectas sus
demostraciones:
Teorema. Si m y n son dos números naturales distintos y tales que
cionales, entonces
m n y
n son irra-
m  n también son irracionales.
Demostración: Supongamos, por el contrario, que por ejemplo
ces
m y
m n a 
Enton-
m  a  n y así m  a 2  2a n  n , con lo que 2a n  a 2  n  m , luego por ser
a  0,
n
a2  n  m

2a
Análogamente (compruébelo el lector) se demuestra que
m n 
/ .
Corolario. La suma y la diferencia de dos números irracionales positivos o bien es nula o
bien es irracional.
Demostración: Si x e y son irracionales positivos, entonces podemos escribir x  m e
y  n con m y n naturales, y aplicamos el teorema anterior.
2.20
Analizar la siguiente argumentación:
Evidentemente, se tiene
2 x  4  4 x  x 2  2 x  (2  x ) 2  2 x  2  x  x  2 .
Comprobémoslo, por si acaso:

2  0  4  4  0  0 2  4  2
haciendo x  0, 

0  2  2
(¡naturalmente!); para mayor seguridad,
2  4  4  1  2  1  3
haciendo x  1, 
1  2  3
3
(¡claro!); pero para que no quepa la menor duda,
4  4  8  4  4  0  4
haciendo x  2, 
2  2  4
(¡por supuesto!) ¿Hacen falta más comprobaciones? De todos modos, para contentar a los
más pelmas,
6  4  12  9  6  1  7
haciendo x  3, 
3  2  5
(¡caramba! ¡¿qué ha pasado?!)
2.21
Analizar la siguiente argumentación:
Si 0 < a < b, entonces
ab  b  ab  b 2  a  b ,
ab < b, porque
ab  b es cierto.
lo cual es cierto por hipótesis. Por tanto,
¿Es cierto el resultado? ¿Es correcto el razonamiento propuesto para probarlo?
2.22
Examina la siguiente argumentación:
Dados a, b  , sea
a > b > 0.
(1)
Multiplicando la desigualdad anterior por b > 0,
ab > b2.
(2)
Sumando ahora a2,
ab  a2 > b2  a2.
(3)
a (b  a) > (b + a) (b  a). (4)
Sacando factor común,
Como a y b son positivos, dividiendo por b  a, queda a > b + a.
(5)
Pero por ser b > 0,
b + a > a.
(6)
Por tanto
a > b + a > a.
(7)
Así, finalmente
a > a.
(8)
Señala cuál de las siguientes implicaciones son ciertas o falsas (en este caso, explica por
qué):
(1)  (2)
(2)  (3)
(3)  (4)
(4)  (5)
cierto
falso
2.23
Sea
1 5
a
, b
2
1 5
1
2
.
1 5
2
2
4
(1)  (6)
(5) y (6)  (7) (7)  (8)
Comprueba con tu calculadora que
1  5 1  2,2360679 ...

 1,6180339 ...,
2
2
a  1 0,6180339 ...
b

 1,6180333 ...,
2  a 0,3819661 ...
a
es decir, que a > b.
Sin embargo,
a b  a 
a  1 2a  a 2  a  1 a  a 2  1 a (1  a )  1



2a
2a
2a
2a
y
a (1  a ) 
1 5  1 5  1 5 2 1 5 1 5 1 5 1 5  4
1 






 1 ,
2 
2 
2
2
2
2
4
4
de donde se sigue a  b 
11
0

 0 , o sea, a  b contra lo que habíamos obtenido
2a 2a
antes.
¿Están bien hechos los cálculos? ¿No valen las reglas usuales para manejar los números
decimales? ¿Hay alguna explicación clara para la situación anterior?
2.24
Sea a un número real. ¿Es la condición a2 < a
(1)
necesaria
(2)
suficiente
(3)
necesaria y suficiente
para que a3 < a2? ¿Por qué?
2.25
Pidiendo resolver la ecuación x 2  x  6  x  2 se encuentra la siguiente respuesta:
La ecuación propuesta equivale a las dos ecuaciones
2

 x  x  6  x  2, si x  0;

2

 x  x  6  x  2, si x  0.


Para la primera se tiene, equivalentemente,
x2  2x  8  0, x  0,
que da
x  1  3, x  0, es decir, x  4.
La segunda ecuación se reduce a x2  4  0, x < 0, de donde x  2.
Por tanto, las soluciones de la ecuación propuesta son x  4 y x  2.
Sin embargo, por sustitución directa se ve que x  2 también es solución. ¿Qué ha sucedido?
5
2.26
Intentando probar que si a y b son números positivos tales que
a
 2 se tiene
b
a  2b
 2 , se encuentra la siguiente argumentación:
ab
Si
a
 2 , también
b
(*)
a  2b
 2
ab
porque si multiplicamos las dos desigualdades, como solamente intervienen números positivos, obtenemos la desigualdad
a a  2b
a 2  2ab
 2 , es decir,
 2,
b ab
ab  b 2
de donde
a2 + 2ab < 2ab + 2b2 , lo que implica que a < 2b2,
o, equivalentemente,
a
 2
b
que es cierto por hipótesis, luego (*) es cierto (si fuese falso, hubiésemos llegado a una
contradicción).
¿Es correcta o incorrecta esta argumentación?
2.27
Para que una sucesión convergente tenga límite estrictamente positivo, la condición de
que sus términos sean estrictamente positivos desde un lugar en adelante es
2.28
(a)
necesaria.
(b)
suficiente.
(c)
necesaria y suficiente.
(d)
ninguna de las tres cosas.
Para que una sucesión de términos estrictamente positivos tienda a 0, la condición de que
sea decreciente desde un lugar en adelante es
2.29
(a)
necesaria.
(b)
suficiente.
(c)
necesaria y suficiente.
(d)
ninguna de las tres cosas.
Para que una sucesión no esté acotada superiormente, la condición de que diverja a + es
(a)
necesaria.
(b)
suficiente.
(c)
necesaria y suficiente.
(d)
ninguna de las tres cosas.
6
2.30
Demuestra que en un triángulo cualquiera ABC
a) Las tres bisectrices concurren.
b) Las tres mediatrices concurren.
c) Las tres alturas concurren.
d) Las tres medianas concurren.
2.31
Demuestra que 6 círculos de radios iguales se pueden colocar en el plano de modo que
cada uno sea tangente al menos a otros tres. En cambio 5 no y 7 círculos tampoco.
2.32
Demuestra que los únicos polígonos regulares con los que se puede enlosetar el plano con
losetas iguales y sin huecos son: triángulos equiláteros, cuadrado, hexágono.
2.33
Un poliedro regular es un poliedro que tiene todas sus caras, ángulos, lados iguales. Justifica que sólo hay cinco.
2.34
()
Demuestra que si f :

es una función creciente y acotada, entonces existe
lím f ( x ) y también lím f ( x ) .
x  
2.35
x  
Demuestra que si (m, n, p) es una forma de números naturales pitagórica (m2  n2 + p2)
entonces hay al menos uno de ellos que es par.
n veces
2.36
Demuestra que si x > 0 entonces
2.37
Demuestra que para cualquier x

lím
n 
x 1
.


 n veces

lím sen  sen  sen   (sen x )     0
n




pero


 n veces

lím cos  cos  cos   (cos x )    existe y no es cero. ¿Podrías hallar este límite con tu
n




calculadora? ¿Y gráficamente?
2.38
Demuestra que si D y d son dos números naturales D > d, y dividimos, es decir
7
Dividendo
D
r
resto
  c   cociente 
con 0  r < d, entonces cualquier divisor
divisor
d
d
divisor
común de D y d es divisor de r.
2.39
Sea n natural. Si n es par se define  ( n ) 
n
. Si n es impar se define  (n)  3n + 1.
2
a) Demuestra que para cualquier n la sucesión de números
a1  n, a2   (n), a3    (n), a4     (n), ... no es siempre creciente ni siempre
decreciente.
b) ¿Puedes hallar algún período?
2.40
Para el punto P (x, y) de
2
, (x, y)  (0, 0) se define el punto T (P/) de
2
cómo
 x
y 
T ( P )  2
, 2

2
2 
x y x y 
a)
Demuestra que T T ( P)  P
b)
Hay algún punto A tal que T (A)  A. Calcúlalos todos.
c)
Si P(x, y), satisface 3x + 4y  0, calcula qué expresión satisfacen las coordenadas
(X, Y) de T (P).
d)
Si P (x, y) satisface x2 + y2 + ax + by  0 ¿qué ecuación satisfacen las coordenadas
(X, Y) de T (P)?
e)
Si P (x, y) satisface x2 + y2 + ax + by + c  0 ¿qué ecuación satisfacen las coordenadas (X, Y) de T (P)?
2.41
Sea (a, b) 
Demuestra que si mcd (a, b)  D y mcm (a, b)  M se verifica
a) mcd (a2, b2)  D2
b) mcm (a2, b2)  M2
c) ¿Es cierto lo inverso, es decir
Si mcd (a2, b2)  D2 entonces mcd (a, b)  D
y mcm (a2, b2)  m2 entonces mcm (a, b)  m?
2.42
Demuestra que si mcd (a, b)  D mcm (a, b)  M entonces DM ab.
8
2.43
De dos números naturales a, b se desconocen a, b, D, M, pero se sabe que DM  60. Calcular las posibles parejas (a, b).
2.44
Demostrar por inducción las siguientes igualdades
n
1.

n ( n  1)
;
2
2.
( 2k  1)  n 2 ;
4.
k
k 1
n
3.

n
 (2k  1)
2

k  ( k! )  ( n  1)!1 ;
k 1
n
9.
2.45
 k (k  1) 
n
6.
k
k 1
n
8.
k
k
 2
n
2
n

3

n( n  1)(n  2)
;
3
n 2 ( n  1) 2
;
4
 ( 4k  2) 
k 1
2
k 1
n( n  1)( 2n  1)
;
6
n
n( 4n 2  1)
;
3

k 1
n

k 1
n
7.
2
k 1
k 1
5.
k
( 2n )!
;
n!
1
2
n 1
Demostrar que el cubo de cualquier número entero es la diferencia de los cuadrados de
dos números enteros. (Emplea alguna de las nueve igualdades anteriores)
2.46
Calcula las soluciones de la ecuación
(x2 + x + 1) + (x2 + 2x + 3) + (x2 + 3x + 5) + ... + (x2 + 20x + 39  4500.
9
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS CON ASTERISCO ()
2.2
Veamos que el conjunto de los racionales positivos se pueden poner en sucesión. Para
ello, los disponemos en un cuadro como el siguiente:
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1

6
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2

6
3
1

3
2
3
3
3
4
3
5
3

6
Ves claramente cómo lo hemos hecho ¿no? En la primera fila todos los de numerador 1,
en la segunda todos los de numerador 2, etc. Como ves hemos escrito todos los racionales
positivos (de hecho, infinitas veces ¿no?)
Ahora fíjate como los escribimos en sucesión:
1
1
1
2
1
3
1
4
1

5
2
1
2
2
2
3
2
4
2

5
1
2
a1  ; a 2 
1
1
a3 
1
2
(Nos hemos saltado
a4 
1
3
3
a5  , ...
1
2
porque ya lo hemos
2
escrito: a1) y así sucesivamente.
3
1
3
2
3
3
3
4
3

5
No es, ciertamente, una sucesión creciente,
no decreciente, ni incluso es cómodo hallar
a50, por ejemplo, pero lo que pretendíamos,
que era escribir todos los racionales positivos
en sucesión, lo hemos conseguido.
Construye tú, ahora, una sucesión en la que estén todos los racionales: los positivos, los
negativos y el cero.
2.5
Un caso típico de demostración indirecta. Queremos probar A  B donde B es que la función F( ) es constante y A las hipótesis dadas.
10
Supondremos B cierto y deduciremos cosas que sean evidentes. Cuando, trabajando así,
hayamos llegado a A o algo fácilmente deducible a partir de A, invertiremos los pasos y,
por demostración directa, llegaremos a B.
Supongamos, pues, que F es constante. Entonces F( )  F(0) para todo  con 0    n 
. Así pues,
sen  sen (   )
sen
; (1)

cos   cos(   ) 1  cos 
[sen  + sen ( +)] (1cos )  sen  [cos   cos ( +)] ; (2)
sen  + sen ( +)  sen  cos   sen ( +) cos   sen  cos  sen  cos ( +); (3)
sen  +sen ( +)  (sen  cos  + sen  cos  )  sen ( +) cos   cos ( +) sen; (4)
sen  + sen ( +)  sen ( +)  sen ( +); (5)
sen   sen  ; (6) evidentemente cierto.
Ahora observemos que todos los pasos son reversibles; el único problema se plantea en el
plano 2  1 que será correcto si los denominadores que aparecen en (1) no son cero.
Veámoslos:
1  cos   0 pues 0 <  <  y cos   cos( + ) > 0 pues 0   <  +   .
2.6
Empecemos con 3 (ab + bc + ca)  (a + b + c)2. Otro caso de demostración indirecta.
3 (ab + bc + ca)  a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + ca)
ab + bc + ca  a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2  ab  bc  ca  0
2a2 + 2b2 + 2c2  2ab  2bc  2ca  0
(a2  2ab + b2) + (b2  2bc + c2) + (c2  2ca + a2)  0
(a  b)2 + (b  c)2 + (c  a)2  0 evidentemente cierto y todos los paos reversibles.
Veamos ahora
(a + b + c)2  4 (ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)  4 (ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2  2 (ab + ac + bc)
a2 + b2 + c2  a (b + c) + b (a + c) + c (b + a)
Pero cada sumando de la izquierda es menor que el correspondiente de la derecha pues
11
a2  a (b + c)  a  b + c que es obviamente cierto por ser a, b y c lados de un triángulo.
Análogamente los otros dos. Como todos los pasos son reversibles, la demostración está
completa.
2.7
A
Demostración indirecta:
F
a
Supongamos BC  CD. Como CB  CE, entonces
CE  CD y los ángulos e y d son iguales. Como d
O
E
+ a  90º y e + c  90º (recordar que AB es diáme-
c
tro), sigue que a  c.
B
e
d
C
D
M
Pero ya sabíamos que a  c por tratarse de un ángulo inscrito (a) y uno semiinscrito (c)
que abarca el mismo arco, BE.
Así pues, a partir de a  c, invertimos los pasos y llegamos a BC  CD.
2.8
Otro ejemplo de demostración indirecta.
n
Supongamos

V r2
r 1
n
 V
r 1
r


 V
n
n
D r2
. Así pues
r 1
r 1
2
r
 Dr2   0 , es decir,
 Dr Vr  Dr   0 . Pero Vr + Dr  n  1, por lo que
n
n
r 1
r 1
 Vr  Dr n  1  0 , o sea, (n  1)  Vr  Dr   0 , y como n  1,
n
n
r 1
r 1
Vr   Dr . Esta última igualdad es obviamente cierta, pues el número de partidos ganados entre todos los equipos coincide con el de perdidos (cada vez que gana uno, pierde
n
uno). Invirtiendo los pasos llegamos a la igualdad buscada,

r 1
V r2 
n
D
2
r
.
r 1
2.10
Demostración indirecta:
Si
1
a b

x y
a b
y
x
 (ax  by )  a 2  ab  ba  b 2 
x
y
x y
 ax  by , entonces 1  
y x
 a 2  b 2  ab    a 2  b 2  2ab (Recordar: un número positivo más su inverso es
 x y
como mínimo 2).
12
Pero a 2  b 2  2ab  (a  b) 2  1. (Lo veo ahora más claro como ejemplo de demostración directa). En efecto: queremos probar que, en las condiciones dadas,
1
a b

x y
 ax  by ,
a b
o sea, 1    (ax  by ).
x y
a b
y
x
Calculemos   (ax  by )  a 2  ab  ba  b 2 
x
y
x y
 x y
1
 ax  by .
 a 2  b 2  ab    a 2  b 2  2ab  (a  b) 2  1 
a
b
y
x



x
y
2.14
¿Cómo es n2 + n, si n es entero? ¿Par o impar? ¿Cómo será, pues, n2 + n  c siempre que
n sea entero, si c es impar?
2.18
Supongamos que no fuera así. Entonces, cada uno de los 10 dígitos 0, 1, 2, ..., 9, aparecería 2 veces en pn, por lo que la suma de los dígitos de pn sería 2 (0 + 1 + 2 + ... + 9)  90,
de donde pn sería divisible por 3, lo que es imposible pues p es primo y mayor que 3.
2.34
Sea M el menor número real tal que f (x)  M para todo x  .
(Observa que por estar f acotada, en particular, superiormente, podemos asegurar la existencia del tal M) Veamos que lím f ( x )  M. Para ello, debemos probar que
x  
  0, T  / si x > T, entonces M  f (x) < .
Probar M  f (x) <  es equivalente a probar M   < f (x) y como M era el menor número
tal que f (x)  M  x  , M   no verifica esa propiedad, por lo que existe un x0 
con f (x0) > M   y, al ser f creciente, si x > x0, f (x) > M  , es decir M  f (x) <  con
lo que el x0 es el T buscado. Resuelve tú, ahora, el otro apartado del problema.
2.44
Apartado 9
Hay que probar que
1 2
3
n
n
1
 2  3  ...  n  2  n  n 1 .
2 2
2
2
2
2
Para n  1 es cierto pues
1
1 1
 2  0 .
2
2 2
13
1 2
3
n
n
1
 2  3  ...  n  2  n  n 1 , debemos
2 2
2
2
2
2
Si la afirmación es cierta para n, o sea si
probar que lo es para n + 1, es decir, que
Para ello, bastaría ver que 2 
probar que
1 2
3
n
1
n 1 1
 2  3  ...  n  n 1  2  n 1  n .
2 2
2
2
2
2
2
n
1
n 1
n 1 1
 n 1  n 1  2  n 1  n , lo que es equivalente a
n
2
2
2
2
2
n 1 n 1 n
1
1
n 1 n
1
 n 1  n  n 1  n , es decir que
 n  n que es evidenten 1
n
2
2
2
2
2
2
2
2
mente verdadero.
14