Download introduccion a los contrastes de hipotesis

x ≈ N( µ 0 , σ )
n
x
x ≈ N( µ a , σ )
n
1- α
µ0
µ 0 -a
α
µ0+a µa
β
1−β
INTRODUCCION A LOS
CONTRASTES DE HIPOTESIS
José Luis Vicente Villardón
Departamento de Estadística
Universidad de Salamanca
INDICE
0.-
INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN......................................................... 3
1.-
CONCEPTOS GENERALES DE CONTRASTE............................................ 3
2.-
EL CONTRASTE PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL.............. 5
2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.-
P LANTEAMIENTO GENERAL ..............................................................................................5
VARIANZA (DESVIACIÓN TÍPICA) CONOCIDA.......................................................................7
LA POTENCIA DEL CONTRASTE.........................................................................................11
EL P-VALOR DEL CONTRASTE...........................................................................................13
LOS CONTRASTES UNILATERALES ....................................................................................14
VARIANZA DESCONOCIDA...............................................................................................18
C ONTRASTES PARA MUESTRAS GRANDES..........................................................................21
3.EL CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS POBLACIONES
NORMALES CON DATOS INDEPENDIENTES...................................................22
3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.3.6.-
P LANTEAMIENTO GENERAL .............................................................................................22
VARIANZAS CONOCIDAS.................................................................................................24
VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES.......................................................................26
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DISTINTAS .........................................................................29
C ONTRASTES DE COMPARACIÓN DE MEDIAS PARA MUESTRAS GRANDES...............................30
OBTENCIÓN DE DATOS PARA LA COMPARACIÓN DE MEDIAS.................................................31
4.EL CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS POBLACIONES
NORMALES CON DATOS APAREADOS..........................................................32
5.ARBOL DE DECISIONES PARA LA COMPARACIÓN DE MEDIAS DE DOS
POBLACIONES NORMALES.........................................................................35
6.CONTRASTES PARA LA COMPARACIÓN DE LA TENDENCIA CENTRAL
CUANDO LAS POBLACIONES NO SON NORMALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
6.1.-
C OMPARACIÓN DE MEDIANAS DE DOS POBLACIONES CON DATOS INDEPENDIENTES: EL
CONTRASTE U DE MANN-WITHNEY ..............................................................................................37
6.2.C OMPARACIÓN DE MEDIANAS DE DOS POBLACIONES CON DATOS APAREADOS: EL TEST DE
WILCOXON ...............................................................................................................................38
7.COMPARACIÓN DE VARIAS POBLACIONES. INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA
DE LAS COMPARACIONES MÚLTIPLES........................................................39
8.-
VALIDACIÓN DE LAS HIPÓTESIS DE PARTIDA.....................................40
0.- INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN
Antes de comenzar con el desarrollo del tema se supone que el lector conoce los conceptos
fundamentales de muestreo, los principales estimadores de los parámetros de distribuciones
normales y sus correspondientes distribuciones muestrales.
Trataremos de explicar alguna de las ideas generales impòrtantes para pasar despues a la
explicación de algunos de los contrastes más habituales en la práctica. Comenzaremos
ilustrando las ideas generales sobre el contraste más simple, el de la media de una población
normal, para ir extendiendo progresivamente las ideas a dos poblaciones, a la comparación de
proporciones y a las poblaciones no normales. Analizaremos la problemática de realizar un
número elevado de contrastes sobre el mismo conjunto de datos, y extenderemos las ideas
fundamentales al diseño de experimentos con varios grupos experimentales.
1.- CONCEPTOS GENERALES DE CONTRASTE
Una hipótesis estadística es una afirmación que se hace acerca de una o varias características
de una población. Las características pueden ser los parámetros de una distribución de
probabilidad predeterminada, seleccionada para la población. En este caso hablaremos de
hipótesis paramétricas. En algunas situaciones las características a estudiar no son parámetros
de una distibucion concreta y decimos que las hipótesis son no paramétricas.
Un contraste de hipótesis es un procedimiento para decidir si una hipótesis se acepta como
válida o se rechaza.
Dos son las hipótesis que generalmente se contrastan, la que denominamos hipótesis nula
(H0 ) que es la hipótesis en la que se basa el procedimeineto de contraste, y la que denominamos
hipótesis alternativa (H a ) que es la hipótesis que se acepta cuando se rechaza la nula y
viceversa. Generalmente la hipótesis nula está formada por un único valor del parámetro
mientras que la hipótesis alternativa está formada por un conjunto de valores. A la hipótesis
alternativa se la denomina también hipótesis de trabajo o hipótesis a investigar ya que, en la
mayor parte de las situaciones practicas reales es la hipótesis alternativa la que se desea aceptar.
Para realizar el contraste de una hipótesis seleccionamos una muestra aleatoria de la población y
trataremos de tomar una decisión de acuerdo con la información que nos proporcionan los
valores muestrales, a través de una estimación de la característica (parámetro) a estudiar y de su
distribución muestral. Denominaremos estadígrafo o estadistico de contraste a una variable
aleatoria con distribución conocida cuando la hipótesis nula es cierta. La variable aletoria es una
transformación directa de la distribución muestral.
Obviamente, la única forma de estar seguros de cual es la hipótesis correcta sería investigar toda
la población, cosa que no es posible ya que, en general, estamos trabajando con poblaciones
infinitas. Como disponemos de la información limitada que nos proporciona la muestra
podemos realizar decisiones erróneas. Dos son los tipos de errores que podemos cometer:
Error de tipo I: Rechazar H0 cuando es verdadera.
Error de tipo II: Aceptar H0 cuando es falsa.
A la probabilidad de cometer un error de tipo I la denominaremos nivel de significación y la
denotaremos con α. A la probabilidad de cometer un error de tipo II la denotaremos con β a su
complemento 1-β lo denominamos potencia del contraste, y se define como la probabilidad
de rechazar cuando es falsa. Seleccionaremos, si es posible, aquel procedimiento de contraste
en el que los errores sean lo más pequeños posible. Desgraciadamente, ambos covarian de
forma inversa, es decir, cuando α aumenta β disminuye y viceversa. Como no es posible fijar
ambos, se toma como norma fijar el nivel de significación para realizar el contraste.
Explicaremos estos conceptos con más detalle en el capítulo siguiente. Utilizando un α fijo
dividimos los valores del estdígrafo de contraste en dos regiones mutuamente excluyentes:
La región de aceptación: Conjunto de valores del estadígrafo de contraste que nos llevan a
aceptar la hipótesis nula.
La región crítica: Conjunto de valores del estadígrafo de contraste que nos llevan a rechazar la
hipótesis nula (y aceptar la alternativa).
De acuerdo con lo explicado, los pasos que se han de realizar `para llevar a cabo un contraste de
hipótesis son los siguientes:
- Determinar las hipótesis nula y alternativa, traduciendo hipótesis básicas de trabajo en
hipótesis acerca de parámetros (o características) de una distribución de probabilidad asignada a
la población.
- Fijar un nivel de significación: Generalmente el 0.05 (5%) y 0.01 (1%).
- Determinar cual es el estadígrafo de contraste y su distribución muestral.
- Determinar la región crítica y la región de aceptación.
- Seleccionar una muestra y calcular el valor experimental del estadísgrafo de contraste.
- Tomar la decisión estadística de acuerdo con el valor experimental obtenido.
- Sacar conclusiones de tipo no estadistico.
Los procedimientos de contraste pueden diseñarse tambien utilizando alguna media de la
discrepancia o de la similitud entre el valor teórico de la hipótesis nula y el valor estimado a
partir de la muestra, la hipótesis se rechaza cuando la discrepencia es muy grande. Este tipo de
medida se denomina p-valor y se explicará detalladamente más adelante.
2.- EL CONTRASTE PARA LA MEDIA DE UNA
POBLACIÓN NORMAL
2.1.- Planteamiento general
Consideremos un caso muy simple mediante un ejemplo concreto. Supongamos que
pertenecemos al consejo regulador de la denominación de origen de los vinos de Ribera de
Duero. Sabemos que los vinos jóvenes de años anteriores tienen un grado alcohólico medio de
12.5 grados, tal y como aparece en la etiqueta. Para el año actual, el consejo regulador, de
acuerdo con todos sus miembros, ha decidido cambiar algunos de los pasos del proceso de
fabricación. El primer problema que se plantea es : ¿Se ha modificado el grado alcohólico al
modificar el proceso de fabricación?.
La definición del problema a estudiar nos permite determinar la población que queremos
estudiar, los vinos jóvenes de ribera de Duero en el año actual; la variable que queremos medir,
el grado alcohólico de los mismos, y la hipótesis de trabajo inicial ¿Se ha modificado el grado
alcohólico?.
El paso siguiente consiste en suponer un modelo de comportamiento teórico para la población
(a priori). Suponemos que la variable que estamos midiendo en la población a estudiar sigue
una distribución normal. La suposición de normalidad la haremos de acuerdo con el
conocimiento previo que tengamos sobre la población objeto de estudio tratando de que las
características de la distribución reflejen en la mayor medida posible las de la población, se trata
simplemente de buscar un modelo probabilístico que aproxime la variable a estudiar. En el caso
que nos ocupa, parece razonable suponer, a priori, que el grado alcohólico se concentra de forma
simétrica alrededor de un valor medio. Si consideráramos, por ejemplo, los salarios de una
empresa la hipótesis de normalidad no es plausible puesto que cabe esperar que la distribución
de los mismos sea marcadamente asimétrica debido a los altos salarios de un grupo reducido de
ejecutivos.
Formularemos ahora la hipótesis de trabajo en términos de los parámetros del modelo (media
y/o desviación típica en el caso de la normal). La hipótesis principal la denominamos hipótesis
nula (H0).
H 0 = µ = µ 0 =12.5
La hipótesis nula suele ser la de igualdad del parámetro a un único valor concreto µ 0
procedente de la hipótesis de trabajo.
Junto con la hipótesis nula planteamos la que denominamos hipótesis alternativa (Ha o H 1) que
será aceptada cuando se rechace la nula y viceversa. Por el momento tomaremos la más sencilla,
la hipótesis e que la media es diferente de 12 que resultará en un contraste bilateral.
H a = µ ≠ µ 0 = 12.5
Trataremos de diseñar un procedimiento para decidir entre ambas hipótesis a partir de la
información contenida en una muestra de tamaño n, por ejemplo 14 observaciones.
Supongamos que la muestra ha sido seleccionada al azar de la población y que se han obtenido
los resultados siguientes.
12,8
12,8 12,5
11,9 12,5
RIBERA DE DUERO
12,1 12,2 12,6 13,0 12,4
12,6
12,2 12,8
13,0
Tabla 1: Grado alcohólico de 14 vinos de la denominación de Ribera de Duero.
La primera cuestión que hemos de tener en cuenta es que la decisión por una hipótesis concreta
ha de tomarse con un cierto riesgo de equivocarse al no disponer de la información de todos los
individuos de la población. Trabajaremos con la media muestral como estimador de la media
poblacional desconocida. En el ejemplo la media muestral es de 12,529, que como ya sabemos
no coincide con la media poblacional.
Trataremos de decidir entre las dos hipótesis a partir del valor de la media muestral pero, si la
media muestral no coincide con la media poblacional, ¿será la diferencia entre el valor observado
y el teórico lo suficientemente grande como para rechazar la hipótesis nula? ó ¿la diferencia
observada es lo suficientemente pequeña como para ser debida simplemente al azar o al
desconocimiento de la población?. Daremos respuesta a ambas preguntas utilizando los
conceptos sobre distribuciones aprendidos en temas anteriores.
2.2.- Varianza (desviación típica) conocida
2
2
Supondremos, por el momento, que la varianza de la población es σ = 0. 5 conocida.
Sabemos que la media muestral para distintas muestras sigue una distribución normal
N( µ,
σ
) , luego, cuando la hipótesis nula es cierta
n
σ
x ≈ N( µ 0 ,
)
n
En la práctica, este resultado tiene implicaciones importantes. Veámoslo con un dibujo.
x ≈ N( µ 0 , σ )
n
µ0
x
Figura 3 : Distribución de la media muestral.
El dibujo muestra como, aunque los valores de la media muestral no coinciden con la media
poblacional, se concentran en torno a ella y por tanto es muy probable que sean cercanos
aunque, con el modelo supuesto puede tomar cualquier valor. Obsérvese también que cuanto
mayor es el tamaño muestral más se concentran los valores de la media muestral en torno a la
media poblacional.
Intuitivamente, aceptaremos la hipótesis nula cuando la media muestral sea próxima a µ 0 y la
rechazaremos (aceptando la alternativa) cuando la media muestral sea muy diferente de µ 0 , es
decir, utilizamos la media muestral como estadístico, o estadígrafo, de contraste. Nos queda por
determinar cual es el criterio para decidir si la media muestral está próxima o no al valor teórico
propuesto utilizando el concepto de riesgo tipo I definido previamente. Fijamos el riesgo tipo Y
en α (por ejemplo en 0.05 o el 5%)
Nos plantearemos el contraste como un juicio en el que la media muestral es inocente (procede
de una población con media µ 0 ) y no la declararemos culpable (no procede de una población
con media µ 0 ) hasta que no se demuestre claramente lo contrario.
Sobre la distribución de la media seleccionamos dos puntos µ 0 − a y
µ 0 + a , simétricos
alrededor de µ 0 de forma que si la hipótesis nula cierta en el (1-α)100% (por ejemplo el 95%)
de las muestras la media muestral esté entre esos dos valores (figura 4).
P( µ 0 − a ≤ x ≤ µ 0 + a) = 1 − α
Aceptaremos la hipótesis nula si la media muestral está dentro del intervalo seleccionado y la
rechazaremos en caso contrario. Es claro que si la media está fuera del intervalo seleccionado
hay una clara evidencia de que la hipótesis no es cierta ya que toma los valores correspondientes
solo en el 5% de los casos en los que la hipótesis nula es cierta. Por supuesto, estamos
asumiendo un riesgo del 5% de equivocarnos y rechazar indebidamente.
Como ya es conocido, al conjunto de valores que nos llevan a aceptar la hipótesis nula lo
denominamos Región de Aceptación, y al conjunto de valores que nos llevan a rechazarla lo
denominaremos Región Crítica. En este caso la región crítica se ha dividido en las dos colas de
la distribución por lo que se dice que el contraste es bilateral o de dos colas.
x ≈ N( µ 0 , σ )
n
1-α=0.95
α/2 = 0.025
α/2 = 0.025
µ 0 -a
Región
crítica
µ0
µ0+a
Región de
Aceptación
x
Región
crítica
Figura 4: Procedimiento de contraste a partir de la media muestral
En la práctica no se trabaja directamente con la media muestral y su distribución asociada sino
con la distribución normal estándar. Teniendo en cuenta las propiedades de la normal podemos
escribir
P( µ 0 − a ≤ x ≤ µ 0 + a) = P( −z α/2 ≤
x − µ0
≤ z α/2 ) = 1 − α
σ
n
de forma que el procedimiento descrito se convierte ahora en el que se muestra en la figura 5. El
x − µ0
y mide la discrepancia entre el valor observado de la
σ
n
estadígrafo de contraste es ahora
media y el valor teórico de la misma, en la escala de la desviación típica. No es lo mismo una
diferencia de una unidad en una escala de centímetros que en una escala de kilómetros.
x −µ0
≈ N(0, 1)
σ
n
1-α=0.95
α/2 = 0.025
-z α/2
Región
crítica
α/2 = 0.025
0
x −µ0
σ
n
zα/2
Región de
Aceptación
Región
crítica
Figura 4: Procedimiento de contraste a partir de la media muestral estandarizada.
La interpretación intuitiva del nuevo procedimiento sigue siendo clara, rechazaremos la hipótesis
nula solamente cuando la discrepancia entre la media observada y la teórica ( x − µ 0 ) sea
grande, en relación a la variabilidad intrínseca medida por
σ
. La magnitud de la diferencia
n
necesaria para rechazar se determina a través del riesgo de tipo 1 mediante la distribución
normal estándar.
A los valores de zα/2 se les suele denominar valores críticos ya que determinan la frontera entre
la región crítica y la región de aceptación.
El cuadro siguiente muestra el procedimiento completo con los pasos que se siguen
habitualmente en la construcción de cualquier contraste.
H 0 : µ = µ0
H a :µ ≠ µ 0
HIPOTESIS:
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Z =
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
REGION DE ACEPTACION
:
REGION CRITICA
{Z /
:
{Z /
x − µ0
σ
n
0
ES CIERTA:
N(0,1)
Z ≤ z α /2 }
Z > z α /2 }
Cuadro 2: Contraste para la media de una población normal con varianza conocida.
Una vez que hemos determinado la forma general del contraste pasamos a aplicarlo a los datos
del problema inicial que nos ocupa.
Hipótesis:
H 0 : µ = 12.5
H a :µ ≠ 12.5
Nivel de significación: 5% y 1%.
Estadígrafo de contraste: Z =
x − µ 0 12.529 − 12.5
=
= 0.217
σ
0.5
n
14
Valores críticos : para el 5% z0.025 = 1,96
para el 1% z0.005 = 2,57
Decisión estadística: El valor del estadígrafo de contraste pertenece a la región de aceptación,
por tanto aceptamos la hipótesis nula.
Conclusión no estadística: La modificación en el proceso de fabricación no ha modificado
significativamente el grado alcohólico.
Cuadro 3: Aplicación del contraste para la media de una población normal con varianza conocida al problema de
la modificación en el grado alcohólico del vino de Ribera de Duero.
Una vez que hemos tomado la decisión final, no sabemos si es correcta o no, simplemente
esperamos que sea del 95% de las muestras en las que aceptamos la hipótesis correctamente. Si
aceptamos la hipótesis nula no quiere decir que sea cierta y el grado medio sea exactamente de
12.5 grados (probablemente no lo es), sería más correcto interpretar que, con la información de
la que disponemos no hemos encontrado evidencia suficiente de que la media sea distinta de
12.5. Evidentemente, los valores muestrales son compatibles con muchos otros posibles valores
teóricos.
Si aumentamos el tamaño de muestra indefinidamente, la variabilidad de la media sería cada vez
menor y conseguiríamos que la pequeña diferencia observada sea lo suficientemente grande
como para considerarla significativa. Es por esto por lo que en Estadística decimos que es tan
malo tener un tamaño de muestra demasiado alto como tenerlo demasiado bajo ya que en el
primer caso cualquier pequeña diferencia es considerada como significativa mientras que en el
segundo no se declara significación incluso en el caso en el que la diferencia sea elevada.
2.3.- La potencia del contraste
En todo el proceso descrito hasta el momento solamente se ha utilizado el riesgo de tipo I en el
desarrollo del contraste. Sabemos que esta asociado con el riesgo de tipo II de forma que
cuando uno aumenta, el otro disminuye. Tampoco hemos hecho ninguna afirmación acerca de
un concepto importante como es el de potencia del contraste (probabilidad de rechazar la
hipótesis nula cuando es falsa).
No es posible calcular la potencia del contraste porque para ello necesitaríamos un único valor
en la hipótesis alternativa (revísese el ejemplo de los cirróticos utilizado como aplicación de la
distribución normal), aunque si podemos realizar el cálculo para distintos valores en la
alternativa (función de potencia) y analizar lo que ocurre.
Veámoslo con un ejemplo.
Cual sería la potencia del contraste obtenido para detectar que la media no es 12.5 si en realidad
la media fuera 13 (y suponiendo un nivel de significación del 5%).
En términos de la media muestral el procedimiento de contraste consiste en aceptar la hipótesis
nula si la media muestral está entre 12.238 y 12.762. La probabilidad de cometer un error de
tipo 2 (aceptar indebidamente) si la media real fuera de 13 se podría calcular como
P(12.382 ≤ X ≤12.762) en una normal de media 13 y desviación típica
probabilidad es 0.037 de forma que la potencia es
esquematizada aparece en la figura 5.
x ≈ N( µ 0 , σ )
n
x
1 - 0.037 = 0.963. La situación
x ≈ N( µ a , σ )
n
1- α
µ0
µ 0 -a
α
0.5
. Esta
14
µ0+a µa
β
1−β
Figura 5: Cálculo de la potencia del contraste para una alternativa predeterminada.
En la figura 6 se muestra la función de potencia para distintos valores posibles de la hipótesis
alternativa.
1,1
1
,9
,8
Potencia
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
0
11,5
11,75
12
12,25 12,5 12,75
alternativa
13
13,25
Figura 6: Función de potencia para distintos valores de la alternativa.
13,5
El gráfico muestra como la potencia es mayor cuando los valores de la alternativa se alejan del
valor para la hipótesis nula. En la práctica este hecho tiene una implicación obvia: es más fácil
detectar diferencias o efectos experimentales de gran magnitud.
Aunque no es posible un control directo de la potencia, a la vista de la figura 5 es claro que la
potencia puede modificarse modificando el nivel de significación o el tamaño muestral ya que la
forma de las curvas depende de éste. Cuanto mayor sea el tamaño muestral más concentrada es
la curva normal y, por tanto, mayor es la potencia para el mismo nivel de significación.
En la práctica suele hacerse un estudio de potencia para los contrastes no significativos,
calculando cual sería el tamaño muestral necesario para que la diferencia observada en los datos
sea significativa. Si este tamaño es muy grande es difícil declarar la significación por lo que
consideraremos que estamos haciendo lo correcto, si el tamaño muestral necesario es pequeño,
sería conveniente revisar el experimento.
El cálculo es muy simple cuando se trabaja con distribuciones normales. La hipótesis nula se
rechaza cuando
x − µ0
> z α/2 de forma que, para que la diferencia sea significativa el
σ
n
valor de n será
n>
z 2α/2 σ 2
x − µ0
para el ejemplo del grado alcohólico, n> 1141,97, es decir, para que la diferencia observada fuera
significativa tendríamos que haber recogido más de 1142 observaciones lo que da una idea de
que la diferencia observada es muy pequeña y, por tanto es muy probable que la hipótesis nula
sea cierta.
2.4.- El p-valor del contraste
Una forma habitual de medir la significación en los contrastes de hipótesis es el denominado pvalor del contraste. Su utilización en la investigación aplicada es debida a que es la forma de
presentación de los resultados de un contraste usada por la mayor parte de los programas de
ordenador.
Se puede definir el p-valor de un contraste como la probabilidad de obtener un valor muestral
más extremo que el obtenido en nuestro caso particular (cuando H0 es cierta). Si el p-valor es
muy pequeño rechazaremos la hipótesis nula ya que el valor experimental es muy extremo,
mientras que si el p-valor es grande aceptaremos la hipótesis nula ya que el valor es compatible
con la misma.
De forma general, el p-valor para el contraste actual
P( Z >
se puede calcular como
x − µ0
) en una distribución normal estándar.
σ
n
Para el ejemplo anterior el p-valor es 1-P(-0.217 < Z < 0.217) = 2 P(Z > 0.217) = 0.8285, es
decir el p-valor puede considerarse grande. En la práctica se suele adoptar el criterio de aceptar
la hipótesis cuando el p-valor es mayor que el nivel de significación fijado en el procedimiento
de contraste.
x −µ0
≈ N(0, 1)
σ
n
p-valor
-z α/2
Región
0
zα/2
± Z exp erimental
crítica
Región de
Aceptación
Región
crítica
Figura 7: El p-valor de un contraste bilateral.
2.5.- Los contrastes unilaterales
En algunas situaciones concretas no estamos interesados en todos los posibles valores de la
hipótesis alternativa propuesta en un contraste bilateral. Supongamos, por ejemplo, que en el
caso práctico anterior sospechamos a priori que la modificación en el procedimiento de
fabricación produce un incremento en el contenido alcohólico. En este caso sería conveniente
modificar la hipótesis alternativa para que sea de la forma H a :µ > µ 0 . El procedimiento de
contraste es muy similar al anterior y se muestra en el cuadro siguiente.
H 0 : µ = µ0
HIPOTESIS:
H a :µ > µ 0
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Z =
x − µ0
σ
n
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
0 ES CIERTA:
REGION DE ACEPTACION
: {Z / Z ≤ z α }
REGION CRITICA
:
N(0,1)
{Z / Z > z α }
Cuadro 4: Contraste unilateral superior para la media de una población normal con varianza conocida.
El contraste así obtenido se denomina contraste unilateral superior ya que solo estamos
interesados en las desviaciones positivas. La diferencia fundamental con el contraste bilateral es
que se produce un incremento en la potencia para detectar diferencias positivas de la hipótesis
nula y un decremento drástico para detectar las negativas.
El p-valor sigue teniendo la misma interpretación aunque ahora se calcula como
P(Z >
x − µ0
).
σ
n
x −µ0
≈ N(0, 1)
σ
n
p-valor
0
zα
Z exp erimental
Figura 8: El p-valor de un contraste unilateral superior.
De la misma manera que se ha construido el contraste unilateral superior es posible construir el
contraste unilateral inferior si estamos interesados exclusivamente en detectar diferencias
negativas con respecto a la hipótesis nula. La construcción del contraste es completamente
análoga con la correspondiente modificación de la hipótesis alternativa. El contraste unilateral
inferior incrementa la potencia para detectar diferencias negativas aunque no tiene potencia para
detectar las positivas.
H 0 : µ = µ0
H a :µ < µ 0
HIPOTESIS:
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Z =
x − µ0
σ
n
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
0 ES CIERTA:
REGION DE ACEPTACION
: {Z / Z ≥ z α }
REGION CRITICA
p-valor:
:
P(Z <
N(0,1)
{Z / Z < z α }
x − µ0
)
σ
n
Cuadro 5: Contraste unilateral inferior para la media de una población normal con varianza conocida.
x −µ0
≈ N(0, 1)
σ
n
p-valor
-z α
0
Z exp erimental
Figura 9: El p-valor de un contraste unilateral inferior.
La decisión por el tipo de contraste debe hacerse a priori, antes de tomar los datos.
Supongamos, por ejemplo, que sospechamos, antes de realizar el experimento, que la
modificación en el proceso de fabricación, aumenta el grado alcohólico. El procedimiento de
contraste para los datos de la tabla 1 se muestra en el cuadro siguiente
Hipótesis:
H 0 : µ = 12. 5
H a :µ >12. 5
Nivel de significación: 5% y 1%.
x − µ 0 12. 529 − 12. 5
=
= 0. 217
σ
0. 5
n
14
Valores críticos : para el 5% z0.025 = 1,65
para el 1% z 0.005 = 2,33
p-valor: 0.4129
Estadígrafo de contraste: Z =
Decisión estadística: El valor del estadígrafo de contraste pertenece a la región de aceptación,
por tanto aceptamos la hipótesis nula.
Conclusión no estadística: La modificación en el proceso de fabricación no haaumentado
significativamente el grado alcohólico.
Cuadro 6: Aplicación del contraste para la media de una población normal con varianza conocida al problema de
la modificación en el grado alcohólico del vino de Ribera de Duero
La función de potencia para distintos valores de la alternativa aparece en la figura siguiente.
Obsérvese como el contraste no tiene ninguna potencia para detectar valores a la izquierda de la
hipótesis nula.
1,2
1
Potencia(uni)
,8
,6
,4
,2
0
-,2
11,25 11,5 11,75
12
12,25 12,5 12,75
alternativa
13
13,25 13,5
Figura 10: Función de potencia para un contraste unilateral superior.
2.6.- Varianza desconocida
En la mayor parte de las aplicaciones prácticas la varianza de la distribución es también
desconocida y ha de ser estimada a partir de los datos. El problema es que ya no es posible
seguir utilizando la distribución normal para el procedimiento de contraste ya que es necesario
eliminar el parámetro σ del estadígrafo de contraste.
De acuerdo con la teoría, además de la distribución muestral de la media sabemos que
(n − 1)Sˆ 2
sigue una distribución ji-cuadrado con n-1 grados de libertad. Si suponemos que
σ2
media y varianza son independientes1 , es posible combinar las correspondientes distribuciones
muestrales para obtener una distribución t de Student y eliminar el parámetro σ.
Utilizando la definición de distribución t de Student con n-1 grados de libertad como el cociente
entre una normal estándar y la raíz cuadrada de una ji-cuadrado con n-1 grados de libertad
dividida por sus grados de libertad, y ambas independientes, obtenemos que la variable aleatoria
t=
x − µ0
σ
x − µ0
n
=
Sˆ
(n − 1) Sˆ 2
n
σ2
(n − 1)
sigue una distribución t de Student con n-1 grados de libertad.
El procedimiento de contraste en este caso es análogo al anterior pero sustituyendo la
distribución normal por la distribución t. El cuadro 6 muestra el procedimiento de contraste
completo.
1
La demostración completa no se realiza aquí.
HIPOTESIS
H 0 : µ = µ0
H a :µ ≠ µ 0
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
x − µ0
Sˆ
n
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO LA HIPOTESIS NULA
ES CIERTA:
REGION DE ACEPTACION
REGION CRITICA
:
tn-1
:
{t /
{t /
t ≤ t n−1,α
t > t n−1,α
}
}
2
Cuadro 6: Contraste para la media de una población normal con varianza desconocida.
En la práctica, la sustitución de la distribución normal por la distribución t de Student implica un
aumento de la dispersión por lo que es más difícil detectar diferencias. La situación se muestra
el la figura siguiente en la que se comparan la distribución normal estándar (en línea
discontinua) y la distribución t (en línea continua).
t=
x − µ0
^
S
n
≡ t n−1
1−α
α/2
α/2
-t α
0
tα
Figura 11: Diferencia entra la distribución normal y la distribución t de Student.
Es posible construir contrastes unilaterales de la misma manera que en el caso de varianza
conocida. El cuadro 7 muestra el contraste unilateral superior, el contraste unilateral inferior se
deja como ejercicio al lector.
tn-1,α es el valor crítico de la t de Student tal que P(-tn-1,α ≤ t n-1 ≤ tn-1,α ) = 1-α. Se ha denotado con el
subíndice α porque es el que se utiliza para buscar el valor correspondiente en la tabla.
2
HIPOTESIS:
H 0 : µ = µ0
H a :µ > µ 0
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
REGION DE ACEPTACION
REGION CRITICA
:
x − µ0
Sˆ
n
0
ES CIERTA:
{t / t ≤ t n−1,2α }
{t / t > t n−1,2α }
:
tn-1
3
Cuadro 7: Contraste para la media de una población normal con varianza desconocida.
Para el ejemplo del grado alcohólico de los vinos de la denominación de origen de Ribera de
Duero los resultados del contraste bilateral se muestran en el cuadro 8.
Hipótesis:
H 0 : µ = 12.5
H a :µ ≠ 12.5
Nivel de significación: 5% y 1%.
Estadígrafo de contraste: t =
x − µ 0 12.529 − 12. 5
=
= 0.316
0.338
Sˆ
14
n
Valores críticos : para el 5% t18, 0..05= 2.101
para el 1% t 18, 0..01= 2.878
p-valor : 0,7571
Decisión estadística: El valor del estadígrafo de contraste pertenece a la región de aceptación,
por tanto aceptamos la hipótesis nula.
Conclusión no estadística: La modificación en el proceso de fabricación no ha modificado
significativamente el grado alcohólico.
Cuadro 8: Aplicación del contraste para la media de una población normal con varianza desconocida al problema
de la modificación en el grado alcohólico del vino de Ribera de Duero
Todos los conceptos explicados para el contraste de la media de una población normal con
varianza conocida siguen siendo válidos aquí.
tn-1,2α es el valor crítico de la t de Student tal que P( tn-1 > tn-1,2α ) = α. Se ha denotado con el subíndice 2α
porque es el que se utiliza para buscar el valor correspondiente en la tabla.
3
2.7.- Contrastes para muestras grandes
Cuando las muestras de las que se dispone son muestras grandes (aproximadamente mayores
de 30 observaciones) es posible utilizar directamente la distribución normal ya que es muy
similar a la t de Student. Además el teorema central del límite permite relajar la hipótesis de
normalidad ya que la normalidad de la distribución muestral de medias está garantizada, bajo
ciertas condiciones de regularidad, aunque la población original no sea normal. Hay que tener
en cuenta que se trata sólo de una aproximación y, cuanto mayor es el tamaño de la muestra
mejor es la aproximación normal obtenida. El procedimiento de contraste para muestras grandes
se muestra en el cuadro 9. Mostramos solamente el contraste bilateral ya que los unilaterales se
construyen exactamente de la misma manera que en los casos anteriores.
H 0 : µ = µ0
H a :µ ≠ µ 0
HIPOTESIS:
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Z =
x − µ0
Sˆ
n
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO LA HIPOTESIS NULA
ES CIERTA:
N(0, 1)
REGION DE ACEPTACION
:
REGION CRITICA
{Z /
:
{Z /
Z ≤ z α /2 }
Z > z α /2 }
Cuadro 9: Contraste para la media de una población normal con varianza desconocida cuando la muestra es
grande.
3.- EL CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS DE DOS POBLACIONES NORMALES
CON DATOS INDEPENDIENTES.
3.1.- Planteamiento general
En la investigación aplicada la situación más habitual es aquella en la que se quieren comparar
dos poblaciones a las que se les ha aplicado, por ejemplo, dos tratamientos diferentes.
Pongámonos en el mismo supuesto que en el ejemplo que sirvió para ilustrar el contraste para
una población, y supongamos que lo que deseamos es conocer si los vinos de nuestra
denominación de origen tienen el mismo contenido alcohólico que los de otra denominación de
origen, por ejemplo la de Toro. Se trata de saber si existe una clara diferenciación en los mismos
ya que, debido a la proximidad geográfica de ambas regiones, es posible que haya fraudes y se
intercambien vinos de ambas dependiendo del mercado de los mismos. La hipótesis de trabajo
inicial es entonces ¿Existen diferencias en el grado alcohólico de ambas denominaciones?.
Procediendo de la misma manera que en el caso de una población, suponemos una distribución
de probabilidad para la población que es la distribución normal. En la primera población (Ribera
de Duero) el grado alcohólico sigue una distribución normal N(µ1 , σ1 ); en la segunda
población (Toro) el grado alcohólico sigue una distribución normal N(µ2 , σ2 ).
Formulamos a continuación las hipótesis de trabajo en términos de los parámetros de los
modelos. Las hipótesis nula y alternativa son ahora
H 0 : µ1 = µ 2
H a :µ 1 ≠ µ 2
(µ 1 − µ 2 = 0)
(µ1 − µ 2 ≠ 0)
para el contraste bilateral. Vemos como el contraste de que las medias son iguales es equivalente
al contraste de que la diferencia de medias vale 0.
Supongamos que los datos obtenidos son los siguientes para muestras aleatorias de tamaño
n1 = 14 y n2 = 6.
Ribera de Duero
12,8 12,8 12,5 11,9 12,5
Toro
13,0
14,0
13,2
13,4
12,1
13,2
12,2 12,6
13,0 12,4
12,6
12,2 12,8
13,0
13,9
Tabla 2: Grado alcohólico de 20 vinos de las denominaciones de origen de Ribera y Toro.
Se supone que las muestras se han obtenido de forma independiente en ambas denominaciones.
La estadística descriptiva básica para ambos grupos aparece en la tabla siguiente.
Descriptiva
básica
grado, Total
grado, Ribera
grado, Toro
12,805
12,529
13,450
Desv. Tip.
,557
,338
,409
Error Estd.
,124
,090
,167
20
14
6
Minim0
11,900
11,900
13,000
Maximo
14,000
13,000
14,000
Media
n
Tabla 3: Descriptiva básica del grado alcohólico.
Una primera aproximación a las diferencias entre los dos grupos sería la construcción de
gráficos comparativos que muestren la estructura de los mismos, por ejemplo, un Box-Plot con
los grupos separados.
14,25
14
13,75
13,5
Box
Plot
Ribera
Toro
13,25
13
12,75
12,5
12,25
12
11,75
grado
Figura 12: Box plot para la comparación del grado alcohólico de las denominaciones de Ribera y Toro.
Una simple inspección visual del gráfico nos muestra que hay una clara diferencia entre los
grados de ambas denominaciones, a pesar de que la diferencia muestral es muy evidente
necesitamos un procedimiento más formal para establecer si las diferencias observadas pueden
ser consideradas estadísticamente significativas. Construiremos el procedimiento de contraste en
varios supuestos comenzando desde el más sencillo hasta los más complejos.
3.2.- Varianzas conocidas
Supongamos, para simplificar que las desviaciones típicas son conocidas, por ejemplo
σ1
= 0.5 y σ2 = 0.6 para las denominaciones de Ribera de Duero y Toro respectivamente.
Desarrollaremos el procedimiento general para después aplicarlo a los datos de los que
disponemos.
Conocemos la distribución de la media muestral en ambas poblaciones.
x1 ≈ N( µ 1 ,
σ1
)
n1
x 2 ≈ N( µ 2 ,
σ2
)
n2
y ambas distribuciones son independientes. El estimador de la diferencia de medias
poblacionales será la diferencia de medias muestrales y, como la diferencia de normales
independientes es también una distribución normal, tenemos que
x1 − x 2 ≈ N( µ1 − µ 2 ,
σ 12
n1
+
σ 22
n2
)
Estandarizando se obtiene que
Z=
( x1 − x 2 ) − (µ1 − µ 2 )
≈ N(0,1)
2
2
σ1 σ2
+
n1 n 2
Cuando la hipótesis nula es cierta µ 1 − µ 2 = 0 y se tiene que
Z=
( x1 − x 2 )
≈ N(0,1)
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
luego Z será el estadígrafo de contraste que utilizaremos.
El procedimiento de contraste completo se muestra el cuadro 9. Solo se incluye el contraste
bilateral ya que la construcción de los correspondientes unilaterales es la misma que en los
casos previos y se deja como ejercicio al lector.
HIPOTESIS:
H 0 : µ1 = µ 2
H a :µ 1 ≠ µ 2
(µ 1 − µ 2 = 0)
(µ1 − µ 2 ≠ 0)
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Z =
( x1 − x 2 )
σ 12
n1
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
n2
ES CIERTA:
Z ≤ z α /2 }
REGION CRITICA : {Z / Z > z α /2 }
REGION DE ACEPTACION
:
{Z /
0
+
σ 22
N(0, 1)
Cuadro 10: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianza conocida.
Si aplicamos el contraste a los datos del ejemplo, obtenemos los resultados del cuadro 10.
HIPOTESIS:
H 0 : µ1 = µ 2
H a :µ 1 ≠ µ 2
(µ 1 − µ 2 = 0)
(µ1 − µ 2 ≠ 0)
NIVEL DE SIGNIFICACION: α= 0.05 (5%)
ó
0.01 (1%)
(12.529 − 13. 450)
= −10.829
0.25 0.36
+
14
6
para el 1% z0.005 = 2,57
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Z =
Valores críticos : para el 5% z0.025 = 1,96
Decisión estadística: El valor del estadígrafo de contraste pertenece a la región crítica, por
tanto rechazamos la hipótesis nula.
Conclusión no estadística: Los grados alcohólicos medios de las dos denominaciones son
diferentes.
Cuadro 11: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianza desconocida aplicado
al ejemplo de la comparación del grado alcohólico en dos denominaciones de origen.
3.3.- Varianzas desconocidas pero iguales
Supongamos ahora que las varianzas son desconocidas pero iguales (σ1 =
σ2 = σ). La
distribución de la diferencia de medias muestrales es ahora
Z=
( x1 − x 2 ) − (µ1 − µ 2 )
≈ N(0,1)
1
1
σ
+
n1 n2
Tenemos que eliminar el parámetro σ, para lo cual utilizaremos las distribuciones muestrales
asociadas a las cuasi-varianzas muestrales
(n 1 − 1) Sˆ 12
σ2
≈ χ 2n −1
1
(n 2 − 1) Sˆ 22
y
σ2
≈ χ 2n −1
2
La suma de dos ji-cuadrado es también una ji-cuadrado, sumando las dos anteriores
(n 1 − 1) Sˆ 12
σ2
+
(n 2 − 1)Sˆ 22
σ2
=
(n 1 − 1) Sˆ 12 + (n 2 − 1)Sˆ 22
σ2
≈ χ 2n + n −2
1 2
Suponiendo que ambas distribuciones son independientes4 , podemos combinarlas para obtener
una distribución t de Student. La variable aleatoria
t=
(x1 − x 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
1
1
σ
+
n1 n 2
=
(n 1 − 1)Sˆ 12 + (n 2 − 1) Sˆ 22
σ2
ˆ=
con S
n1 + n2 − 2
(n 1 − 1) Sˆ 12 + (n 2 − 1)Sˆ 22
n1 + n 2 − 2
(x 1 − x 2 ) − (µ1 − µ 2 )
1
1
Sˆ
+
n1 n2
sigue una t de Student con n 1 + n 2 -2 grados de
libertad.
Si la hipótesis nula es cierta, el estadígrafo de contraste que utilizaremos es
t=
(x1 − x 2 )
= t n1+ n2 −2
1
1
Sˆ
+
n1 n2
Es posible considerar un estadígrafo de contraste alternativo si se utilizan las varianzas
muestrales en lugar de las cuasi-varianzas. Para ello basta tener en cuenta que las distribuciones
muestrales asociadas a las varianzas son
n 1 S12
σ2
≈ χ 2n −1
1
y
n 2 S22
σ2
≈ χ 2n −1
2
El nuevo estadígrafo de contraste es de la forma
t=
(x1 − x 2 )
= t n1+ n2 −2
1
1
S
+
n1 n2
n 1 Sˆ 12 + n 2 Sˆ 22
con S =
. Los dos estadísticos toman exactamente el mismo valor por lo
n1 + n2 − 2
que pueden utilizarse indistintamente. Usaremos el calculado a partir de las cuasi-varianzas
porque son estimadores insesgados de la varianza poblacional.
En ambos casos lo que se ha hecho es estimar la varianza común de ambas poblaciones
mediante una media ponderada de las varianzas estimadas en cada población, y se ha cambiado
la distribución normal por la t de Student con el correspondiente aumento en la dispersión que
hace que sea más difícil encontrar diferencias.
En este caso es necesario que las varianzas sean iguales para poder despejarlas y eliminarlas en
el cálculo del estadígrafo de contraste. La comprobación de la igualdad de varianzas se hará
4
La demostración puede encontrarse en cualquier libro de Estadística Matemática. No se ha incluido aquí porque
supera los propósitos de este trabajo.
posteriormente aunque sea un paso previo a la decisión del tipo de contraste.
Las cuestiones relacionadas con la potencia del contraste se interpretan de la misma manera que
en todos los casos anteriores. Cuanto mayor sea la diferencia que queremos detectar mayor será
la potencia para detectarla. Cuanto más pequeño sea el efecto que queremos detectar mayor será
el tamaño de muestra necesario para hacerlo. Si aumentamos indefinidamente el tamaño
muestral conseguiremos que la diferencia muestral sea siempre estadísticamente significativa por
pequeña que sea.
El contraste completo se muestra en el cuadro siguiente.
HIPOTESIS:
H 0 : µ1 = µ 2
H a :µ 1 ≠ µ 2
(µ 1 − µ 2 = 0)
(µ1 − µ 2 ≠ 0)
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
(x1 − x 2 )
1
1
Sˆ
+
n1 n2
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
ˆ=
con S
(n 1 − 1) Sˆ 12 + (n 2 − 1)Sˆ 22
n1 + n 2 − 2
ó
t=
ó
(x1 − x 2 )
1
1
S
+
n1 n 2
n 1 Sˆ 12 + n 2 Sˆ 22
S=
n1 + n2 − 2
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO LA HIPOTESIS NULA
ES CIERTA:
t de Student t n1 +n 2 −2
{t / t ≤ t n + n −2,α }
: {t / t > t n + n −2,α }
REGION DE ACEPTACION
REGION CRITICA
:
1
1
2
2
Cuadro 10: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas pero
iguales.
El contraste se ha aplicado a los datos del ejemplo inicial y se han obtenido los siguientes
resultados.
HIPOTESIS:
H 0 : µ1 = µ 2
H a :µ 1 ≠ µ 2
(µ 1 − µ 2 = 0)
(µ1 − µ 2 ≠ 0)
NIVEL DE SIGNIFICACION: α= 0.05 (5%)
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
ó
0.01 (1%)
(12.529 − 13.450)
= −5.256
1 1
0.359
+
14 6
Valores críticos : para el 5% t18,0.025= 2.101
para el 1% t 18,0.005= 2.878
Decisión estadística: El valor del estadígrafo de contraste pertenece a la región crítica, por
tanto rechazamos la hipótesis nula.
Conclusión no estadística: El grado alcohólico es significativamente diferente en Ribera de
Duero y Toro.
Cuadro 11: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas pero
iguales, aplicado a los datos sobre el grado alcohólico.
3.4.- Varianzas desconocidas y distintas
Supongamos ahora que las varianzas son desconocidas y distintas (σ1 ≠ σ2) de forma que ya
no es posible eliminar el parámetro en el cálculo de la t de Student. Se han propuesto diversas
aproximaciones para la aproximación de la distribución del estadígrafo de contraste.
Describiremos aquí la aproximación de Welch. La demostración completa está fuera de los
propósitos de este trabajo.
HIPOTESIS:
H 0 : µ1 = µ 2
H a :µ 1 ≠ µ 2
(µ 1 − µ 2 = 0)
(µ1 − µ 2 ≠ 0)
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
(x1 − x 2 )
Sˆ 12 Sˆ 22
+
n1 n 2
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO LA HIPOTESIS NULA
ES CIERTA: t de Student t f donde f es el entero más próximo a
2
 Sˆ 2 Sˆ 2 
 1 + 2
f=
 n1

 Sˆ 2  2
 1
n 2 
−2
 Sˆ 2  2
 2
 n1 
 n2 




+
n1 + 1
n2 + 1
REGION DE ACEPTACION
REGION CRITICA
:
:
{t /
{t /
t ≤ t f,α
t > t f,α
}
}
Cuadro 11: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas y
distintas.
3.5.- Contrastes de comparación de medias para muestras grandes.
Como ya se comentó para el caso de una única población, el teorema central del límite permite
asignar distribuciones normales a las medias muestrales aunque la distribución en la población
no sea normal. Si disponemos de una muestra de tamaño grande y estimamos la varianza
poblacional a través de la cuasivarianza muestral, podemos construir un contraste aproximado de
comparación de medias utilizando la distribución normal.
HIPOTESIS:
H 0 : µ1 = µ 2
H a :µ 1 ≠ µ 2
(µ 1 − µ 2 = 0)
(µ1 − µ 2 ≠ 0)
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
(x1 − x 2 )
Sˆ 12 Sˆ 22
+
n1 n 2
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO LA HIPOTESIS NULA
ES CIERTA:
N(0,1)
REGION DE ACEPTACION
:
REGION CRITICA
{Z /
:
{Z /
Z ≤ z α /2 }
Z > z α /2 }
Cuadro 12: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas y
tamaños muestrales grandes.
Obsérvese que estamos suponiendo implícitamente que la cuasi-varianza muestral es un buen
estimador de la varianza poblacional, próximo al verdadero valor.
3.6.- Obtención de datos para la comparación de medias.
Dos son los tipos de datos de los que es posible disponer para la comparación de las medias
- Datos procedentes de estudios observacionales.
- Datos procedentes de estudios experimentales.
En el primer caso se toman muestras aleatorias en dos poblaciones. La muestra aleatoria
garantiza la representatividad . A este tipo de datos corresponde el ejemplo que hemos utilizado
como guía para la explicación.
Los datos experimentales se corresponden con experimentos planificados en los que se asignan
dos tratamientos distintos a un grupo de individuos. En este tipo de diseños es necesario que
todas las características que no intervienen en el diseño y puedan modificar la respuesta, estén
controlados y sean similares en los dos grupos a comparar. Por ejemplo, si se desea hacer un
ensayo clínico en el que se dispone de un grupo de pacientes de forma que a un subconjunto se
le aplicará el tratamiento a comparar y el resto será utilizado como control sobre el que se
utilizará un placebo (substancia no activa) con la misma apariencia que el tratamiento, los
pacientes de ambos grupos han de ser similares en composición con respecto a características
como la edad peso u otros factores que pudieran alterar la respuesta y que no intervienen
directamente en el diseño. Se tratará de evitar sesgos de forma que los efectos puedan ser
asignados a los tratamientos, por ejemplo, en un experimento con ratones de laboratorio en el
que se dispone de dos camadas distintas, no sería correcto asignar un tratamiento diferente a
cada una de las camadas ya que sería imposible separar los efectos del tratamiento y de la
camada. En Estadística decimos que los tratamientos están confundidos.
La forma de asignar tratamientos a individuos para que no existan errores sistemáticos es
hacerlo al azar, por ejemplo, sorteando cual es el tratamiento que se aplica a cada individuo. A
este procedimiento se le denomina aleatorización, y juega un papel fundamental en el diseño de
experimentos planificados. Hay que hacer notar que al azar no significa “de cualquier manera”
o “cualquiera de los tratamientos”, para conseguir una verdadera aleatorización es necesario
utilizar la probabilidad.
En los experimentos diseñados es muy importante realizar estudios previos sobre el tamaño de
muestra necesario para detectar un determinado efecto. Este problema está fuera del alcance de
un curso introductorio aunque las ideas básicas fueron expuestas cuando se trató con los
intervalos de confianza.
Este tipo de experimentos se comenzó en Agricultura para extenderse después a otras
aplicaciones como la Industria o la Medicina. Actualmente los ensayos clínicos controlados,
basados fundamentalmente en conceptos de Estadística, forman una parte importante de la
investigación médica. Todo el mundo ha oído alguna vez en las noticias los resultados de
ensayos clínicos controlados antes de lanzar al mercado un nuevo medicamento.
4.- EL CONTRASTE PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS DE DOS POBLACIONES NORMALES
CON DATOS APAREADOS.
En el caso de datos independientes en el punto anterior, se dispone de dos conjuntos distintos
de individuos para cada una de las situaciones experimentales que se quiere compara. Una
forma de controlar la variabilidad debida a los propios sujetos consiste en aplicar todos los
tratamientos en estudio a todos los individuos de la muestra en dos ocasiones diferentes. A este
tipo de datos lo denominaremos datos apareados, relacionados, o ligados y consisten en dos
mediadas tomadas sobre el mismo conjunto d individuos en dos ocasiones diferentes.
Para ilustrar los procedimientos utilizaremos datos tomados de MARTIN ANDRES y LUNA
CASTILLO (1990).
Supongamos que deseamos saber si la presión sistólica de personas alcohólicas se modifica
cuando dejan el hábito de beber, para ello se toma una muestra de 10 personas que ingresan en
en el hospital para tratar su alcoholismo y se toma una medida de la presión sistólica antes y
después de dos meses de haber dejado de beber. El experimento fue diseñado de esta manera ya
que aunque se espera una reducción en la presión sanguínea, esta depende del valor inicial en
cada individuo.
Los resultados obtenidos para la presión sistólica mediada en milímetros de mercurio fueron los
siguientes:
Individuo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Antes
140
165
160
160
175
190
170
175
155
160
Después
145
150
150
160
170
175
160
165
145
170
-5
15
10
0
5
15
10
10
10
-10
Reducción
Como las variables están relacionadas, todos los cálculos que realizamos en el caso de datos
independientes ya no son válidos. Para evitar este problema nos centraremos en una sola
variable aleatoria que es la diferencia entre los dos valores obtenidos para cada uno de los
individuos estudiados que mide el efecto del tratamiento aplicado. Tenemos ahora una nueva
variable D que suponemos que tiene una distribución normal de media µd desviación típica σd .
La hipótesis de interés es ahora que, en promedio, el tratamiento aplicado a los individuos es 0,
es decir, µd = 0. El contraste es ahora exactamente igual que el descrito para la media de una
población normal (ahora la población de las diferencias.
Describimos a continuación el contraste para muestras pequeñas y varianza desconocida para
ˆ d a la cuasi
datos apareados. Llamaremos d , a la media muestral de las diferencias y S
desviación típica. El contraste se muestra en el cuadro ??.
H 0 : µd = 0
HIPOTESIS:
H a :µ d ≠ 0
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
d
Sˆ d
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
REGION DE ACEPTACION
REGION CRITICA
:
:
{t /
{t /
n
ES CIERTA:
0
t ≤ t n−1,α
t > t n−1,α
tn-1
}
}
Cuadro 6: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con datos apareados.
El resto de los contrastes se construye de la misma manera que en el caso de una sola
población. El cuadro ?? muestra ejemplo.
HIPOTESIS:
H 0 : µd = 0
H a :µ d ≠ 0
Nivel de significación: 5% y 1%
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: t =
6
8. 433
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
= 2.250
10
0
ES CIERTA:
t9
Valores críticos : para el 5% t9, 0.05= 2,262
para el 1% t 9, 0.01= 3,250
p-valor : 0,0510
Decisión estadística: El valor del estadígrafo de contraste pertenece a la región de aceptación,
por tanto aceptamos la hipótesis nula.
Conclusión no estadística: Con los datos de los que disponemos no existe una evidencia
significativa de que exista una diferencia entre la presión sistólica antes y después de haber
dejado de beber.
Cuadro 6: Contraste para la diferencia de medias de dos poblaciones normales con datos apareados aplicado al
ejemplo de la reducción de la tensión arterial en alcohólicos.
5.- ARBOL DE DECISIONES PARA LA
COMPARACIÓN DE MEDIAS DE DOS
POBLACIONES NORMALES.
La figura siguiente muestra de forma esquemática el proceso de decisión por el tipo de contraste
a utilizar en poblaciones normales.
M. GRANDES
VARIANZA
CONOCIDA O
DESCONOCIDA
VARIANZA
CONOCIDA
Z =
test Z
(x 1 − x 2 )
2
σ
n
Z =
test Z
1
1
2
+
σ
n
= N(0,1)
2
2
(x 1 − x 2 )
2
σ
n
1
1
INDEPEND.
= N(0,1)
2
+
σ
n
2
2
(x 1 − x 2 )
tc =
test t
IGUALES
C
1
2 (n 1 −
s =
M. PEQUEÑAS
tw =
VARIANZAS
DESCONOCIDAS
NORMALES
1
n
s
2
1
n
test t(Welch)
1)s 21
1
+
s
n
2
=t n +n -2
1
2
+ (n 2 −
2
1)s 22
= tf
2
2
f=
DISTINTAS
1
n
n1 + n 2 − 2
(x 1 − x 2 )
s
+
 s2
 1 +
 n
1
2
 2
 s1 
 
n 
 1
(n +1)
1
s
n
2
2
2

2
2
+
 2
 s 2


n 
 2
(n +1)
−2
2
test U
Za =
d
σd
≡ N(0,1)
n
M. GRANDES
test Z a
d =media de las diferencias
σ d = desviación de las diferencias
APAREADOS
ta =
M. PEQUEÑAS
test t
d
S
d
≡ t n−1
n −1
a
d
=media de las diferencias
S d = desviación de las diferencias
Figura : Arbol de de decisiónes para el contraste de comparación de las medias de dos poblaciones normales.
6.- CONTRASTES PARA LA COMPARACIÓN DE LA
TENDENCIA CENTRAL CUANDO LAS
POBLACIONES NO SON NORMALES.
En muchas situaciones prácticas es difícil aceptar la hipótesis previa de que los datos son
normales al disponerse, por ejemplo, de distribuciones muy asimétricas. En estos casos los
contrastes anteriores no detectan claras diferencias en el comportamiento de las poblaciones,
debido a que la dispersión es muy grande o debido a que la medida de tendencia central
utilizada (la media) no es la correcta porque está afectada por los valores extremos. Los
contrastes paramétricos descritos antes son especialmente sensibles a valores extremos de la
variable.
Para solucionar el problema se utiliza la mediana en lugar de la media construyéndose los que
se denominan contrastes no paramétricos al no referirse ya a parámetros de una distribución
concreta.
Me1
x1
x2
Me2
En la figura se muestra como para distribuciones asimétricas es mucho más intuitiva la
comparación de las medianas que la comparación de las medias, ya que estas están afectadas por
los valores muy extremos de la distribución. La situación del esquema es muy típica, por
ejemplo, en problamas médicos en los que la mayoría de los controles (curva de la izquierda)
presentan valores normales de la variable, y solamente algunos de ellos presentan valores
elevados, en el grupo de los pacientes enfremos, la mayoría presenta valores elevados y
solamente alguno presenta valores normales. El problema es particularmente crítico cuando el
tamaño de muestra es pequeño pero, incluso cuando el tamaño de muestra es grande y se utiliza
erróneamente el contraste paramétrico correspondiente, se subestima el tamaño del efecto a
pesar de que la distribución normal esté correctamente utilizada aplicando el Teorema Central
del límite. La práctica habitual, especialmente en el ámbito médico, de aplicar contrastes no
paramétricos cuando la muestra es pequeña y paramétricos cuando es grande es claramente
errónea y puede llevar a no encontrar efectos experimentales que aparecen claramente definidos
en los datos.
Para la comparación de medianas de dos poblaciones con datos independientes el contraste más
utilizado es el conocido como U de Mann-Withney, está basado en la suma de los rangos de
orden de las observaciones de las dos poblaciones consideradas conjuntamente y consiste
básicamente en calcular todas las ordenaciones posibles con muestras de los mismos tamaños
en el caso de que las medianas fueran iguales, para comprobar el percentil en el que se encuentra
nuestro caso particular. Cabe esperar que si las medianas de las dos poblaciones son iguales los
datos estén mezclados y las sumas de rangos de orden sean similares en amos grupos. El resto
del razonamiento es similar al de cualquier contraste, si el valor muestral obtenido es muy
probable aceptamos la hipótesis nula y si no la rechazamos.
Para el caso de datos apareados se utiliza el test de Wilcoxon que contrasta la hipótesis de que
la mediana de las diferencias es cero. La base del contraste es similar al caso de muestras
independientes.
6.1.- Comparación de medianas de dos poblaciones con datos
independientes: el contraste U de Mann-Withney
Está basado en la suma de los rangos de orden de las observaciones de las dos poblaciones
consideradas conjuntamente y consiste básicamente en calcular la distribución muestral a partir
de todas las ordenaciones posibles con muestras de los mismos tamaños en el caso de que las
medianas fueran iguales. Cabe esperar que si las medianas de las dos poblaciones son iguales
los datos estén mezclados y las sumas de rangos de orden sean similares en ambos grupos.
HIPOTESIS:
H 0 : Me1 = Me 2
H a :Me 1 ≠ Me 2
(Me 1 − Me 2 = 0)
(Me1 − Me 2 ≠ 0)
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Ordenar las observaciones, asignar el rango
correspondiente y calcular las sumas de rangos de las observaciones de cada grupo.(R1 y R2 )
n (n + 1)
U = min(U 1 ,U 2 ) U i = n 1n 2 + i i
− Ri
2
n n
U− 1 2
2
n 1 n 2 (n 1 + n 2 + 1)
12
Para muestras grandes: Z =
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
Distribución empírica o
REG. DE ACEP.
REGION CRITICA
:
ES CIERTA:
N(0,1) para muestras grandes.
≤U≤ U
{U / U
{U / U ∉[U ;U
sup
α;n1,n 2
inf
α;n1 ,n2
:
0
inf
α;n1 ,n 2
}
{Z /
}
Z ≤ z α /2 }
{Z /
sup
α;n1 ,n2 ]
Z > z α /2 }
6.2.- Comparación de medianas de dos poblaciones con datos apareados:
el test de Wilcoxon
Contrasta la hipótesis de que la mediana de las diferencias es cero. La base del contraste es
similar al caso de muestras independientes.
HIPOTESIS:
H 0 : Me d = 0
H a :Me d ≠ 0
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: Calcular las diferencias entre los valores de ambos
grupos, Suprimir las observaciones nulas, Ordenar las observaciones en valor absoluto, asignar
el rango correspondiente y calcular las sumas de rangos de las observaciones positivas y
negativas.(T+ y T-)
T = min(T+ , T− )
Para muestras grandes: Z =
n(n + 1)
4
n(n + 1)(2n + 1)
24
T−
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
Distribución empírica o
REG. DE ACEP.
:
0
ES CIERTA:
N(0,1) para muestras grandes.
sup
{T / Tα;ninf ≤ T ≤ Tα;n
}
{Z /
Z ≤ z α /2 }
REGION CRITICA
sup
inf
;Tα;n ]}
{T / T ∉[Tα;n
:
{Z /
Z > z α /2 }
7.- COMPARACIÓN DE VARIAS POBLACIONES.
INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA DE LAS
COMPARACIONES MÚLTIPLES.
En muchas situaciones experimentales se dispone de r >2 poblaciones a comparar. La primera
aproximación al problema es la comparación de todas la parejas de medias, sin embargo, la
propia construcción del procedimiento de contraste hace que la probabilidad de error no se
mantenga al realizar todas las comparaciones por parejas.
Supongamos que disponemos de r poblaciones y queremos contrastar la hipótesis de que todas
las medias son iguales
H 0 : µ1 = K = µ i =K = µ r
i,j
La hipótesis es cierta si y solo si las hipótesis por parejas H 0 :µ i = µ j para todas las
 r  r(r − 1)
k=  =
combinaciones posibles de i y de j.
2
 2
Si contrastamos la hipótesis por separado a un nivel de significación α, tenemos
P(Aceptar
i,j
H0 /
i,j
H0
cierta ) = 1 − α
Si las comparaciones fueran independientes
P(Aceptar
H0 /
H0
cierta) = P(
I Aceptar
i≠ j
∏ P(Aceptar
i,j
H0 /
i,j
H0
H i,j
0 /
H0
cierta ) = (1 − α) k
i≠ j
es decir, la probabilidad de cometer un error tipo I es
P(Re chazar H 0 / H 0
= 1 − P(Aceptar
H0 /
H0
cierta ) =
cierta ) = 1 − (1 − α) k ≥ α
cierta ) =
Por ejemplo, para tres poblaciones en las que se realizan comparaciones individuales al 5%, hay
3
una probabilidad de 1 − 0.95 = 1 − 0.8574 = 0.1426 de rechazar la hipótesis nula
10
indebidamente. Con 5 poblaciones la probabilidad sería 1 − 0.95 = 1 − 0.5987 = 0.4013 .
45
Con 10 poblaciones 1 − 0.95
= 1 − 0.0994 = 0.9006 , es decir, con 10 poblaciones, aunque
todas las medias fueran iguales tendríamos una probabilidad del 90% de encontrar diferencias
en alguna de las parejas.
Este problema es importante no solo en la comparación de medias por parejas sino también
cuando se quieren realizar muchas comparaciones sobre el mismo conjunto de datos.
Supongamos, por ejemplo, que un investigador desea demostrar que es capaz de encontrar
diferencias entre personas convictas por algún tipo de delito y personas que no. A tal fin realiza
100 medidas biométricas como el perímetro torácico, el perímetro craneal, etc ... que compara en
los dos grupos. En cada comparación tiene una probabilidad del 5% de rechazar indebidamente,
sin embargo (si las medidas fueran independientes) tendría una probabilidad del 99,41% de
encontrar diferencias en alguna de las variables. El número esperado de contrastes significativos
sería de 5.
El problema de mantener el nivel de significación global en la comparación de las medias de
varios grupos se soluciona mediante la técnica denominada Análisis de la varianza seguido de
las comparaciones por parejas en las que se hace algún tipo de corrección en el nivel de
significación individual.
El Análisis de la Varianza se menciona aquí simplemente para alertar al lector de que existen
muchos problemas abiertos que pueden ser objeto de estudio posterior.
8.- VALIDACIÓN DE LAS HIPÓTESIS DE PARTIDA.
A lo largo de los distintos puntos de la descripción de los contrastes básicos hemos ido
haciendo una serie de suposiciones que no hemos verificado como son las hipótesis de
normalidad o de igualdad de varianzas (homocedasticidad) de las poblaciones. La validación de
estos supuestos se ha dejado para el final aunque debe realizarse previamente a la aplicación de
los procedimientos de contraste.
Existen muchos métodos que permiten la validación de la hipótesis de normalidad, desde los
más formales consistentes en nuevos contrastes cuya hipótesis nula es la hipótesis de que los
datos proceden de una distribución normal, hasta simples procedimientos descriptivos como el
histograma o el Box-Plot que nos permiten decidir si la distribución es aproximadamente
simétrica o normal y si la dispersión de los grupos en estudio es aproximadamente la misma.
Los procedimientos de contraste de comparación de medias suelen ser robustos con respecto a
la hipótesis de normalidad aunque muy sensibles a la presencia de outliers (datos anormalmente
grandes o pequeños). En las representaciones Box-plot de los grupos a comparar buscaremos la
simetría de lo grupos y, sobre todo, la presencia de observaciones extrañas en los extremos de la
distribución.
La figura siguiente muestra el gráfico con los Box-Plots correspondientes al ejemplo de las
denominaciones de origen.
14,25
14
13,75
13,5
Box
Plot
Ribera
Toro
13,25
13
12,75
12,5
12,25
12
11,75
grado
Figura 12: Box plot para la comparación del grado alcohólico de las denominaciones de Ribera y Toro.
El gráfico muestra como no hay observaciones muy extremas, las dos distribuciones tienen
aproximadamente la misma dispersión y la correspondiente a la denominación de origen de
Toro parece más asimétrica. La asimetría podría ser debida simplemente a que el tamaño
muestral es muy pequeño en este grupo.
En líneas generales parece que las hipótesis se verifican y es posible aplicar el contraste par la
igualdad de medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas pero iguales.
Para contrastar más formalmente que las varianzas son iguales se puede construir un contraste
muy simple teniendo en cuenta la distribución del cociente de varianzas basado en el cociente de
las distribuciones ji-cuadrado asociadas.
El cociente
(n 1 − 1)
σ 12
Sˆ 12 σ 22
(n 1 − 1)
F ==
= 2 2
2
ˆ
(n 2 − 1) S2
Sˆ 2 σ 1
σ 22
(n 2 − 1)
sigue una distribución F de Snedecor con n1-1 y n2-1 grados de libertad.
2
2
Si la hipótesis nula H 0 : σ 1 = σ 2 es cierta, el cociente de cuasi-varianzas muestrales
Sˆ 12
F = 2 sigue una distribución F de Snedecor con n1-1 y n2-1 grados de libertad.
Sˆ
2
El contraste completo aparece en el cuadro siguiente.
HIPOTESIS:
H 0 : σ 12 = σ 22
H a :σ 12 ≠ σ 22
NIVEL DE SIGNIFICACION: α
Sˆ 12
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: F = 2
Sˆ
2
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
0
ES CIERTA:
F n1−1, n2 −1
REGION DE ACEPTACION
:
{F / F ∈[F n −1,n −1, 1−α /2 ,F n −1,n −1, 1−α/2 ]}
1
2
1
2
REGION CRITICA
:
{F / F ∉[F n −1,n −1, 1−α /2 ,F n −1,n −1, 1−α/2 ]}
1
2
1
5
2
Cuadro 6: Contraste de comparación de las varianzas de dos poblaciones normales.
Para el ejemplo de la comparación del grado alcohólico en las dos denominaciones de origen
consideradas el contraste de comparación de varianzas se muestra en el cuadro siguiente.
HIPOTESIS:
H 0 : σ 12 = σ 22
H a :σ 12 ≠ σ 22
NIVEL DE SIGNIFICACION: α = 5% y 1%
Sˆ 12
ESTADIGRAFO DE CONTRASTE: F = 2 = 0.686
Sˆ
2
DISTRIBUCION DEL ESTADIGRAFO CUANDO H
0
ES CIERTA:
F n1−1, n2 −1
p-valor : 0.6261
Conclusión : Se acepta la hipótesis nula.
Cuadro 7: Contraste de comparación de las varianzas de dos poblaciones normales aplicado ala comparación de la
variabilidad del grado alcohólico.
Como se acepta la hipótesis de igualdad de varianzas, la comparación de medias ha de hacerse
en el supuesto de que las varianzas son iguales.
El valor F n −1,n −1, 1−α /2 es el valor crítico que deja a la derecha un área de 1 −
1
2
1
puede calcularse como F n −1,n −1, 1−α /2 =
1
2
F n −1,n −1, α /2
2
1
5
α / 2 . En la práctica