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TEMA 2: MÉTODO MONTE CARLO
Introducción al tema:
En esta sección continuaremos estudiando los elementos necesarios que sustentan el método
Monte Carlo. Ya en el tema anterior se vio la aplicación de la ley de los grandes números, ahora
con base en el Teorema del Límite Central, veremos la fortaleza o debilidad de éste método, y
empezaremos a aplicarlo a algunos problemas, incluyendo integrales múltiples.
2.1 Método Monte Carlo:
Ve a la biblioteca y busca el libro de Ross, Sheldon M. Introduction to probability
models. Sheldon M. Ross. Décima edición. Academic 2010. Realiza la lectura sobre el
teorema del límite central e intervalos de confianza, sus hipótesis y sus aplicaciones.
Hasta ahora hemos aproximado el valor de integrales y valores esperados, pero, ¿qué tan
buenos son estos resultados?
De acuerdo con el Teorema del Límite Central, si X1 , X2 ,... son v.a.i.i.d. con media común
µ y varianza finita σ² se tiene
.
Actividad 7ª: ¿Recuerdas la normal estándar?
¿Qué debo hacer?
Entra en el siguiente ejercicio y selecciona la respuesta correcta.
Ya que a la larga
Normal(0, 1)?
Elija la respuesta correcta. Zm =
a.
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, ¿cómo debe definir Zm, a partir de
, para que Zm ~
b.
c.
d.
Recomendación:
Para los problemas siguientes, es muy conveniente que tengas a la mano una calculadora,
computadora o tablas en donde puedas obtener valores de la distribución normal estándar.
Actividad 7b: intervalos de confianza:
¿Qué debo hacer?
Entra en el siguiente ejercicio y selecciona la respuesta correcta.
1. Si Z1.
~ Normal(0, 1), entonces P(|Z| < 1.96)
0.950
0.900
0.975
0.990
2. Si Z ~ Normal(0, 1), entonces el valor de x tal que P(|Z| < x) = 0.99, con una
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aproximación a dos lugares decimales, es
2.58
2.33
2.30
2.50
3. Ahora si Zm=
centrado en
~"Normal(0,1)" entonces un intervalo del 95% de confianza para Zm
es
Actividad 7c. Integrales múltiples
 Descarguen el documento anexo, que contiene las instrucciones de la actividad que
deberán realizar.
Conclusión de la actividad 7:
En general, se tiene que si X1, X2,... son v.a.i.i.d. con media común μ y varianza finita σ²
entonces
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es un intervalo de confianza 100(1-α)% y
es la puntuación z correspondiente.
Una consecuencia del teorema de Slutsky dice que, para el intervalo de confianza anterior se
puede utilizar la desviación estándar muestral, s , en lugar de σ, y se conserva el intervalo
cuando m es “grande”. Así que el intervalo que se propone en la práctica, ante la ausencia del
conocimiento de σ², es el intervalo
como un intervalo de confianza de m con 100(1-α)% de confianza.
2.2 Aplicaciones del Método Monte Carlo
En el ejercicio se desarrolló el experimento de lanzar un dado, que es un hexaedro (un
poliedro regular de seis caras). Recuerda que otro poliedro regular es el dodecaedro, tiene
doce caras y cada una es un pentágono regular. Supón que tienes un “dado” en forma de
dodecaedro y numeras sus caras del 1 al 12. Supón que este “dado” es legal. Realiza el mismo
experimento del ejercicio, es decir, simula el tiro de un par de estos “dados”, sea X la variable
aleatoria cuyo valor es la suma del resultado de cada uno de los “dados”. Aproxima el valor de
E[X] simulando el tiro de M tiros. Llena la tabla siguiente:
M
(Límite inferior,
Límite Superior) Longitud del intervalo
100
500
1000
5000
10000
50000
100000
Tabla 1. Simulación del tiro de un par de “dados” en forma de dodecaedro para estimar E[X] y
construcción de un intervalo del 95% de confianza.
Para calcular de manera eficiente la media aritmética y la varianza muestral (y por tanto, la
desviación estándar muestral) lee el libro de Sheldon Ross, Simulación o el de Patricia
Saavedra y Víctor Ibarra, Método Monte Carlo aplicado a finanzas.
Actividad 8. Tiro de Dados
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¿Qué debo hacer?
De acuerdo a los resultados de la tabla, comenta sobre el valor de
pueda existir entre los valores M¸
a E[X], y la relación que
, longitud del intervalo y E[X].
Conclusión del tema:
En esta parte del curso hemos sentado las bases del método Monte Carlo, y cómo, por lo regular,
deben presentarse los resultados realizados en un estudio de Simulación. Se comentaron las
ventajas y desventajas del método Monte Carlo, y su amplio espectro de aplicación, así como
fórmulas recursivas para el cálculo de la media aritmética y la varianza muestrales, útiles cuando
se utiliza el método Monte Carlo. Ya con este fundamento, en las siguientes secciones del curso se
resolverán casos prácticos.
Bibliografía:




Saavedra, P. e Ibarra V. Método Monte Carlo y su aplicación a finanzas Libro electrónico.
http://docencia.izt.uam.mx/psb/coloq.pdf
Glasserman, P. (2003) Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Estados Unidos.
Springer.
Herzog, Thomas y Lord, G. (2002) Applications of Monte Carlo Methods to Finance and
Insurance. Actex publications.
Ross, Sheldon M. , Introduction to probability models / Sheldon M. Ross, décima edición.
Academic, 2010.
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