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b) Como
var(x) =
Examen de Estadística (Soluciones)
1
n¾2
¾2
§var(xi ) = 2 =
n2
n
n
y un estimador insesgado para ¾ 2 es S 2 =
Ingeniería de Telecomunicaciones
var(x) es
Septiembre, 2001
S2 =
C1. n=1000;
pb =
Se trata de hacer el contraste:
H0
H1
474
= 0:474
1000
: p = 0:5(= p0 )
: p < 0:5
§x2i + nx2 ¡ 2x§xi
= 133:7067
n¡1
vd
ar(x) =
S2
n
ar(x) = 5:348
y vd
S
¾
c) Asintóticamente x » N (¹; p ): Como la varianza de la población es desconocida, usamos p :
n
n
Como la distribución es desconocida, el intervalo de con…anza aproximado del 95% sería:
S
S
x ¡ z®=2 p · ¹ · x + z®=2 p
n
n
Para nuestros datos:
S = 11:5631;
al nivel de signi…cación ® = 0:05:
§(xi ¡ x)2
; resulta que un estimador insesgado para
n¡1
z®=2 = 1:96;
resulta:
Como
(93:5198; 102:5602)
pb ¡ p0
z=q
p0 (1¡p0 )
n
= ¡1:644
y para el contraste unilateral tenemos:
z0:95 = ¡1:65
C3. Para contraste bilaterales, rechazamos la hipótesis nula si el intervalo de con…anza correspondiente no incluye al valor ¹0 : Como sucede esto, rechazamos ¹0 = ¡2:5:
no tenemos evidencias para rechazar que el 50% son estudiantes de secundaria, por lo que no se
invertirá en publicidad.
C4.
C2. a) El estimador insesgado para la media es x;
P{consumir café}=0.4
a) Xi =
x=
§xi
= 98:04
n
1
½
1;
toma café
es una Bernoulli con probabilidad p=0.4.
0; no toma café
Su media es E[Xi ] = p = 0:4, y su varianza es var(Xi ) = pq = 0:24, por lo que su desviación típica
es ¾(Xi ) = 0:4899:
2
b) X es una binomial con n = 20; p = 0:4; con media E[X] = np = 8; var(X) = npq = 4:8;
¾(X) = 2:1909:
- para las medias:
La probabilidad de que X sea 12 es:
P fX = 12g =
µ
¶
¾
¹ § 3p
= (998:5; 1001:5)
n
¡20¢ 12 8
12 0:4 0:6 = 0:0355;
La probabilidad de que ninguna tome café diariamente es:
P fX = 0g =
P1. a) Dado que conocemos ¹ = 1000; ¾ = 1; y que las medias se distribuyen aproximadamente
como una N(¹; p¾n ), tendremos los límites de control:
- para las desviaciones:
(n=4; c2 = 0:7979; B3 = 0; B4 = 2:266)
(B3 c2 ¾; B4 c2 ¾) = (0; 1:808)
¡20¢ 0 20
= 3:65 ¤ 10¡5 ;
0 0:4 0:6
y P fal menos dos tomen cafég = 1 ¡ P fX = 0g ¡ P fX = 1g =
¡ ¢ 0 20 ¡20¢ 1 19
= 0:995;
= 1 ¡ 20
0 0:4 0:6 ¡ 1 0:4 0:6
b) P{detectar un cambio en ¹ igual a 1 durante el primer segundo}=
=1-P{no detectarj¹ = 1001 }=
c) Si n=1000, podemos aproximar la binomial B(1000,0.4) a una normal N(400,15.4919).
=1-P{998:5 < x < 1001:5 j¹ = 1001 }=
447 ¡ 400
353 ¡ 400
·Z·
g=
15:4919
15:4919
= P f¡3:0338 · Z · 3:0338g =
= 2P fZ · 3:0338g ¡ 1 =
= 2 £ 0:9988 ¡ 1 = 0:9976
P f353 · X · 447g ¼ P f
=1-P{
1001:5 ¡ 1001
998:5 ¡ 1001
<z<
}=
1=2
1=2
=1-P{¡5 < z < 1}=1-0.8413=0,1587
c) P{detectar un cambio en ¹ igual a 1 durante los tres primeros segundos}=
con Z ´ N (0; 1):
=1-P{no detectar en los tres primeros segundosj¹ = 1001 }=
d) Si n=10000, aproximamos la binomial B(10000,0.4) a una normal N(4000,48.9898) y tenemos.
=1-(P{no detectar en un segundoj¹ = 1001 })3 =
4470 ¡ 4000
3530 ¡ 4000
·Z ·
g=
48:9898
48:9898
= P f¡9:5938 · Z · 9:5938g =
= 2P fZ · 9:5938g ¡ 1 =
= 2£1¡1=1
P f3530 · X · 4470g ¼ P f
=1-0.84133 = 1 ¡ 0; 5954 = 0:4045
d) Se puede detectar un cambio en la ¾;o bien mediante el grá…co para desviaciones, o bien con el
grá…co de medias, pues:
P{detectarj¾ = 1:1 }=1-P{no detectarj¹ = 1000; ¾ = 1:1 }=
con Z ´ N (0; 1):
¡1:5
<z<
=1-P{ 1:1=2
1:5
1:1=2 }=0.006.
Al aumentar la muestra, la probabilidad aumenta.
P2. n=6. c2 = 0:8686;
3
B3 = 0:03;
B4 = 1:97
4
a) Tenemos que
Todas las muestras están bajo control.
x = 49:615
s = 5:077
La estimación de ¾ es
Los límites de control son:
y la estimación de la capacidad es
- para las medias:
¾
b=
¶
µ
s
x§3 p
= (42:457; 56:774)
c2 n
s
= 5:6604
c2
6b
¾ = 33:9627
b) Para los límites de tolerancia dados, el índice de capacidad del proceso viene dado por:
- para las desviaciones:
(B3 s; B4 s) = (0:152; 10:001)
ic =
La muestra 13 tiene un valor para la media fuera de control; la desviación está dentro de los límites
(suponemos desplazamiento en la media). Eliminamos la muestra y recalculamos:
54 ¡ 44
= 0:2944
6b
¾
Puesto que ic < 1; podemos concluir que el proceso no es capaz.
x0
s0
= 49:32
= 5:20
c) P{defectuoso bajo control}
P{aceptable bajo control}= P fLI < x < LSg =
Los límites de control son:
- para las medias:
¶
µ
s
x§3 p
= (41:988; 56:652)
c2 n
<z<
=P f 44¡49:2917
5:6604
54¡49:2917
5:6604 g
= P f¡0:934 86 < z < 0:831 80g =
= ©(0:831 80) ¡ (1 ¡ ©(0:934 86)) = :7967 + 0:8238 ¡ 1: = 0:620 5
- para las desviaciones:
P{defectuoso bajo control}=1-0:6205 = 0:3795
(B3 s; B4 s) = (0:156; 10:224)
La muestra 18 tiene un valor para la desviación mayor que el límite superior de control. Eliminamos
la muestra y obtenemos de nuevo:
x00
s00
= 49:2917
= 4:9167
Luego la proporción de defectuosos cuando el sistema está bajo control es del 37.95%.
d) Tomando pA = 37:95%; un tipo de inspección estándar y un rigor de inspección normal, tenemos
de la tabla de códigos para Military Standard, para lotes de tamaño 1000, la letra J.
Mirando en la tabla de rigor normal (tomando pA ¼ 40), obtenemos que en muestras de tamaño 80,
rechazamos el lote si encontramos 22 elementos defectuosos o más (y aceptamos en caso de encontrar
21 o menos).
Los límites de control son:
- para las medias:
¶
µ
s
x§3 p
= (42:359; 56:224)
c2 n
- para las desviaciones:
(B3 s; B4 s) = (0:147; 9:686)
5
6