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ANÁLISIS DE CUALQUIER TIPO CONVENCIONAL DE
ESTRUCTURAS PARA EDIFICIOS CON NODOS
INDESPLAZABLES UTILIZANDO UN MODELO DE RED
NEURONAL ARTIFICIAL
Pinto Mindiola, Lácides
García Cerezo, Alfonso
Resumen: Un modelo de red neuronal artificial es utilizado para calcular los momentos rotacionales extremos
y definitivos en una estructura para edificios de varios pisos con nodos indesplazables. Esto se logra con el
entrenamiento no- supervisado de la red. La estructura se formará, de manera que, todos los nodos rotarán
un ángulo y asumiendo que el efecto de las fuerzas axiales sobre las barras de la estructura es nulo. Los
momentos extremos finales Mik y Mki se determinan calculando las diferentes componentes M´ik y M´ki
separadamente, esto se logra utilizando un algoritmo auto – supervisado. Se elige un modelo de red neuronal
apropiado para la estructura proporcionando a la red los parámetros físicos- estructurales, para su
entrenamiento, a través de un algoritmo no- supervisado. El modelo es evaluado con el uso del método de
las aproximaciones sucesivas para el análisis estructural desarrollado por el Dr. Ing. G. Kani. En general, el
nuevo enfoque da mejores resultados comparado con los métodos tradicionalmente utilizados para el análisis
estructural. La comparación con el metodo de Kani muestra que el modelo ANN ejecuta mejor los resultados.
Palabras clave: Red Neuronal Artificial/ Modelo/Análisis Estructural/Algoritmo.
STRUCTURAL ANALYSIS OF ANY TYPE OF
CONVENTIONAL BUILDING FRAME WITH FIXED
JOINTS USING ARTIFICIAL NEURAL NETWORK MODEL
Abstract: An artificial neural network model is used to calculate the rotational end moment and fixed end
moment induced at the ends an artificial neural network model is used for the analysis of any type
conventional building frame of several level with fixed joints under the action of the given loading in terms
of the end moments for any member, the frame will deform so that any node i rotates through an angle τI. At
the same time, no lateral sway will be produced. The final end moments Mik and Mki are determined by
finding out the different components M`ik and M`ki separately it is achieved using a self-supervised
algorithm. Assuming the effect of axial lengths of the bars of the structure is not altered. Choosing an
appropriate neural network model and providing frame parameters to that network for training purpose are
addressed by using unsupervised algorithm. The model is evaluated by using the Kani`s method. In general,
the new approach gives better results compared to several commonly used methods of structural analysis. The
comparison with the Kanis’method shows that the ANN model performs best the results.
Keywords: Artificial Neural Network/Model/Structural Analysis/Algorithm.
I. INTRODUCCIÓN
En las pasadas décadas de los años treinta y cincuenta, se
logró un gran avance en el entendimiento del análisis
estructural de pórticos para edificios de varios pisos. En
la evolución de la ciencia de las estructuras, el mayor
trabajo realizado se ha dado en el análisis de las diferentes
clases de estructuras. La importancia de este tópico se
origina en la tremenda influencia que ha tenido sobre la
ingeniería la necesidad de desarrollar grandes y complejas
estructuras.
En mayo de 1930 se publicó un artículo titulado “Distribución
de Momentos en los Extremos Fijos de las Estructuras
Continuas”, un método totalmente nuevo para el análisis de
estructuras. Cross fue aclamado como un hombre que resolvió
uno de los problemas más espinosos en la ingeniería
estructural. Su enfoque fue extremadamente práctico [1].
Manuscrito finalizado en Ciudad Guayana, Venezuela el 2007/05/17, recibido el 2007/06/19, en su forma final (aceptado) el 2007/07/15. El MSc. Lácides
Rafael Pinto Mindiola es Coordinador del Dpto. de Postgrado en la Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” (UNEXPO),
Vicerrectorado Puerto Ordaz, telf. 0286 8085512 correo electrónico [email protected]. El Dr. Alfonso García Cerezo es catedrático de la Universidad
de Málaga Director del Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática, telf. (00) (34) 952132775, (00) (34) 670949495, correo electrónico
[email protected].
Volumen 11, Nº 44, septiembre 2007. pp 141-149
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Volumen 11, Nº 44, septiembre 2007 pp 141-149
El enfoque de Kani (1930s) está basado en los métodos de las
aproximaciones sucesivas y en la distribución de momentos
para expresar el efecto de las rotaciones y desplazamientos
nodales. El método iterativo de análisis de estructuras
desarrollado por G. Kani, viene a ser extremadamente
satisfactorio para el análisis de cualquier estructura
convencional para edificios de varios pisos bajo cualquier
condición de cargas dada. Kani propuso extender este método
a las estructuras con columnas continuas a través de varios
pisos con sólo ligeras modificaciones [Structural Engineering
Archive].
relativamente avanzado en el área de las matemáticas.
En la Fig. 1 se muestra un pórtico de tres niveles que permitirá
ilustrar acerca de la capacidad del modelo de red neuronal
propuesto en este trabajo.
Los enfoques de Cross y Kani (1930s) basados en los métodos
de las “aproximaciones sucesivas” y la “distribución de
momentos”, descartan las complejas relaciones matemáticas y
por el contrario se apoyan en simplicidades aritméticas.
Es erróneo suponer que un método de aproximaciones
sucesivas sea un método aproximado. Esencialmente,
un método aproximado, es aquel que proporciona como
su nombre lo indica, valores aproximados, mientras que
los métodos de aproximaciones sucesivas arrojan
resultados con la precisión deseada por el calculista
[2].
Del enfoque matricial, existe la creencia que en los comienzos
de los 1930s, una persona que trabajaba en la industria de las
avionetas de Gran Bretaña o Alemania fue la primera que
formuló la matriz de rigidez o de flexibilidad.
El enfoque del análisis estructural con la aplicación de
matrices tuvo las más grandes contribuciones de cuatro
protagonistas: Collar, Duncan, Argyris y Turner. Entre 1934 y
1938 los dos primeros publicaron los primeros artículos con la
representación y terminología para los sistemas matriciales
que son utilizados hoy. En el año 1930 Collar y Duncan
formularon la aeroelasticidad discreta en forma matricial. Los
primeros dos artículos y el primer libro sobre el tópico
apareció en el mundo estructural entre 1934 y 1938. El
segundo avance que se realizó en el análisis estructural
matricial apareció en los años 1954 y 1955 cuando el profesor
Argyris sistematizó una unificación formal de los Métodos de
las Fuerzas y de los Desplazamientos utilizando los teoremas
de energía dual. Este trabajo sistematizó el concepto de
ensamblaje del sistema de ecuaciones estructurales a partir de
sus componentes elementales [3].
M. Turner propuso en el año 1959 el Método Directo de las
Rigideces para el Análisis Estructural, y logró los cambios
más dramáticos: un método bastante general y muy eficiente
de la implementación computacional del entonces incipiente,
Método de los Elementos Finitos [3].
La teoría de la elasticidad es una teoría que ha estado
disponible para todos los diferentes enfoques requeridos del
análisis estructural, pero requiere de un conocimiento
142
Fig. 1 Problema Estructural Propuesto
Una red neuronal artificial es un dispositivo de procesamiento
de un algoritmo, o de un hardware efectivo, cuyo diseño fue
inspirado en el sistema biológico del cerebro de los humanos
y sus componentes. Existe una variedad de modelos de redes
neuronales y procedimientos de aprendizaje. El aprendizaje
de las redes neuronales incluye el ajuste de los pesos y
tendencias de las conexiones. El éxito de las aplicaciones de
las redes neuronales no- supervisadas en la solución de
cualquier problema, depende fundamentalmente del
entrenamiento de la red y de la eficiencia del algoritmo de
aprendizaje. En este artículo utiliza un algoritmo, que está
asociado de tal manera al modelo de red que ambos
constituyen un todo esencial para el éxito del proceso.
Este artículo evalúa un enfoque de las redes neuronales en el
análisis de estructuras reticuladas de varios pisos utilizando un
algoritmo auto- supervisado que se apoya en los parámetros físicos
de la estructura propuesta. El objeto del estudio es calcular los
momentos rotacionales extremos y definitivos en una estructura
reticulada de varios pisos con nodos indesplazables. Varias pruebas
fueron hechas, para diseñar la arquitectura conveniente del modelo
de red. El modelo fue entrenado con los factores de distribución
de momentos seleccionados sobre las bases de las consideraciones
teóricas del equilibrio estático de la estructura. El modelo de red
neuronal artificial, ofrece una flexibilidad extrema ya que permite
la variación de los tipos de cargas, el desplazamiento horizontal de
los nodos, cambio de las secciones de los miembros y en
consecuencia, tolera igualmente las modificaciones de los
momentos de inercia de las barras. Para ello, no es necesario
modificar el modelo, sino volver al entrenamiento de la red
neuronal, previo ajuste de algunos parámetros del algoritmo.
Pinto, L., García A. Análisis de cualquier tipo convencional de estructuras para edificios con nodos indesplazables
El enfoque neuronal es tolerante a fallas, por ser correctivo, esto
permite calificarlo como un “método con eliminación automática
de errores” a medida que la red aprende. La comprobación de los
resultados que se obtienen después de realizar los productos y
sumas de unos pocos valores puede hacerse con facilidad extrema
en cualquier elemento de procesamiento o nodo y en cualquier
capa de neuronas, sin que para ello se requiera de los servicios de
expertos en ingeniería estructural.
El artículo presenta la definición de redes neuronales, la
arquitectura de la red, la fase de aprendizaje de la red, el
entrenamiento de la red, la comparación con el método de
Kani y la evaluación del modelo
procesos industriales, clasificación de patrones, etc. La
alimentación hacia adelante, es una característica muy
especial de las redes neuronales multi-capa, cuyas
conexiones alimentan exclusivamente las entradas desde
las capas más bajas hasta las capas más altas. En otras
palabras, las conexiones de los pesos ponderados y de las
tendencias alimentan las actividades desde la capa de
entrada hasta la capa de salida con sentido hacia delante. El
aprendizaje de las redes neuronales artificiales comprende
el ajuste de los pesos y tendencias de las conexiones. El
éxito de una aplicación de entrenamiento auto- supervisado
de una red neuronal sobre cualquier problema, depende del
entrenamiento adaptativo de la red neuronal con suficiente
rango de los datos y el rango de las condiciones.
II. DESARROLLO
1. Redes neuronales artificiales
2. Arquitectura de la red
Axioma
“los nodos de una estructura reticulada son inteligentes. En
consecuencia, todo nodo es capaz de distribuir las influencias de las
cargas actuantes directamente sobre él, en forma automática,
proporcionalmente a la rigidez de cada una de las barras que
concurren en el mismo”
Un modelo de red neuronal artificial es un sistema compuesto
de muchos procesadores simples, cada uno de ellos contiene
una memoria local. Los elementos de procesamiento están
conectados por conexiones unidimensionales, “completamente
conectados”, “parcialmente conectados”, o “localmente
conectados”, cuya función está determinada por la conexión
topológica y las fuerzas de conectividad. Cada capa tiene su
propia matriz de los pesos W, su propio vector tendencia b, un
vector de entrada neta n y un vector de salida a.
Una red neuronal artificial (ANN) es un sistema de
procesamiento de información que opera sobre unas
entradas para extraer información y produce salidas
correspondientes a la información extraída. Las redes
también son conocidas como “modelos conexionistas”,
“modelos de procesamiento distribuidos en paralelo”,
“sistema neuromórfico”, cuyos diseños son análogos a las
neuronas biológicas, base de su inspiración. Las redes son
bien conocidas como enfoques de aplicaciones para la
predicción, procesamiento de base de datos, control de
La Fig. 2 muestra la red multi-capa alimentada hacia adelante,
incluyendo las capas ocultas. El vector de entrada x contiene
las entradas a las neuronas de la capa de entrada L1
representando un conjunto de parámetros (x1, x2, x3)T. Las
salidas de las neuronas en esa capa no están normalizadas y
tampoco escaladas. La capa de salida L4 tiene dos neuronas
con un vector de salida (a1, a2,)T.
Fig. 2. Modelo de red multi-capa alimentada hacia adelante
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Las salidas de los elementos de procesamiento (neuronas) de
una capa son transferidas a las neuronas en la siguiente capa
a través de las conexiones que amplifican o inhiben tales
salidas a través de los factores de ponderación. Con excepción
de los elementos de la capa de entrada, la entrada a cada uno
de los elementos de procesamiento es la suma de la salida
ponderada del nodo correspondiente de la capa que precede y
su tendencia. Todos los elementos de procesamiento en una
capa pueden variar, todos los elementos de procesamiento en
una capa tienen la misma función de transferencia.
El modelo de red neuronal artificial lineal propuesto, tiene cuatro
capas de neuronas. Cada una de las capas se nombra así, la
primera es la capa de entrada L1, que consta de tres neuronas,
una segunda capa L2 (capa oculta) que contiene tres, nodos
(neuronas), una tercera capa L3 (capa oculta), que posee tres
elementos de procesamiento, y una cuarta capa llamada de salida
L4 que tiene dos unidades (neuronas). Cada elemento de
procesamiento es activado en conformidad con su umbral y el
argumento de su función de transferencia (entrada neta).
Neural network object:
Arquitectura:
Numinputs: 1
Numlayers: 4
Bias Connect: [1; 1; 1; 1]
Input Connect: [1; 0; 0; 0]
Layer Connect: [4x4 Boolean]
Output Connect: [0 0 1 1]
Target Connect: [0 0 0 0]
de umbral, en la cual un nivel de umbral es logrado. La entrada
neta y la salida de las j-ésima neurona es igualmente tratada
como en las ecuaciones (1) y (2).
3. Fase de aprendizaje
En la fase de aprendizaje de la red, se representa un vector x cuyas
componentes son los factores de distribución de la capa de nodos
de la entrada que se presenta a la red como vector de entrada. Los
pesos y tendencias del sistema son ajustados para minimizar el
error. Una vez que este ajuste ha sido conseguido, se somete la red
a otro proceso de iteración, y así sucesivamente. Finalmente, la red
aprende. La salida actual at no será el valor deseado, si:
(3)
y el error,
(4)
La salida de la i-ésima neurona de la L-ésima capa en la
k-ésima iteración, es:
(5)
La salida de la i-ésima neurona de la L-ésima capa en la
(r+1)-ésima iteración es:
(6)
La Fig. 3 muestra una neurona que simula un elemento de
procesamiento típico de la red neuronal artificial. La neurona
ejecuta el cálculo de una suma de productos, utilizando la entrada,
el escalar peso de conexión y el umbral de la neurona multiplicado
por uno, limitada por la función de activación. La entrada neta y la
salida hasta y desde la i- ésima neurona de la L-ésima capa son:
Particularmente,
está representada por una función lineal
(7)
pero
es la entrada xj a la i–ésima neurona y
el peso, por lo tanto,
,y
en consecuencia,
es
(8)
siendo
la variación de la salida en dos iteraciones
continuas y donde
sirve como un valor de umbral.
Fig. 3 Un elemento de procesamiento ajustable
4. Conexión sináptica entre neuronas
(1)
(2)
Donde fi= función de activación (función de transferencia
lineal). Esta función de transferencia representa una función
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La conectividad del modelo de red neuronal permite que cada uno
de los procesadores de un nivel se comunique con su respectiva
neurona del próximo nivel. En otras palabras, cada elemento de
procesamiento de una capa determinada está conectado a su
neurona correspondiente en la siguiente capa con peso excitatorio
y una tendencia. Esto es, de topología “localmente conectado”,
resultando para cada capa una matriz de los pesos diagonal.
Pinto, L., García A. Análisis de cualquier tipo convencional de estructuras para edificios con nodos indesplazables
Las conexiones sinápticas en el modelo ANN están reforzadas
por medio de un entrenamiento auto- supervisado, esto es,
aprendizaje sin un supervisor del proceso. Durante el proceso
de entrenamiento, a la red se le presenta un vector en la capa
de entrada. En el modelo de red neuronal, el algoritmo para el
reforzamiento de la sinapsis está determinado haciendo uso
directo de los parámetros físicos del modelo estructural. El
algoritmo está esencialmente soportado con el criterio de la
obtención del mejor desempeño que otros enfoques del
análisis estructural. El reforzamiento de las conexiones
sinápticas es ejecutado desde las capas más superficiales hasta
las más profundas, siempre alimentadas hacia adelante. Por
ejemplo, el reforzamiento de la entrada sináptica de la Lésima capa es ejecutada después de completar el
reforzamiento de la (L-1)-ésima capa.
5. Algoritmo de la red
Utilizando el procedimiento del algoritmo, la red calcula
y
en la red para el vector de entrada en cada iteración. Este
procedimiento se repite para todas las iteraciones durante el
entrenamiento, para todos y cada uno de los pesos ponderados
y las tendencias de esa iteración. Una vez que las correcciones
a los pesos y tendencias son realizadas, las salidas son
nuevamente evaluadas del modo que lo requiere el modelo
propuesto.
Las discrepancias entre las salidas actuales y los valores de
las salidas esperadas resultan de la evaluación de los pesos y
cambios en las tendencias. Después de complementar la
iteración durante el proceso de entrenamiento, un nuevo
conjunto de pesos ponderados y tendencias se obtiene y con
ellos otra vez, evaluadas nuevas salidas, como siempre con
alimentación hacia delante, hasta cuando se obtenga la
tolerancia de un error específico. El software para este artículo
fue escrito en el Toolbox para Redes Neuronales del Matlab y
aplicado en un PC convencional.
fijación (
y
) respectivamente en las
juntas i y k bajo la acción de las cargas externas suponiendo
que los extremos permanecen completamente fijos. El
momento en el i-ésimo nodo debido a la rotación del nodo
es
llamado el momento rotacional en el i-ésimo
extremo debido a la rotación
(en radianes) del extremo i,
es en forma similar llamado el momento
rotacional en el i–ésimo extremo debido a la rotación
(en
radianes) del extremo k, además
distribución para el miembro i-k donde
miembro i-k y
es el factor de
es la rigidez del
la suma de las rigideces de todas las
barras que acceden al i–ésimo nodo. Estos parámetros son
reprensados dimensionalmente en varios estudios previos. La
Tabla I muestra un resumen de los parámetros dimensionales
frecuentemente utilizados, que generalmente, son usados en
las investigaciones de los problemas del análisis estructural.
Kani (1935) aplicó el concepto de “las aproximaciones
sucesivas” y a partir de este conocimiento, dedujo un grupo
de ecuaciones pragmáticas para dar solución a problemas
estructurales de una alta hiperestaticidad, a partir del
principio de superposición de efectos como se ilustra en la
Fig. 4.
Tabla I. Momentos extremos
totales - variables relevantes
El algoritmo estudiado se puede enmarcar en cuatro descriptores:
1. Tipo de ecuación: cálculo algebraico simple, tales como
productos y sumas. 2. Conexión topológica: modelo de red
que se caracteriza por una topología localmente conectada con
matriz diagonal, para cada capa. 3. Esquema de
procesamiento: los nodos de la red se actualizan dependiendo
completamente de la iteración previa. 4. Modo de
transmisión sináptica: el modelo de cálculo general para la
red está en los valores neuronales multiplicados por los pesos
sinápticos y sumados a la tendencia.
6. Selección de los parámetros estructurales
Las variables más pertinentes en el análisis estructural son
y
que son respectivamente, los momentos de
empotramiento perfecto en los nodos i, k y los momentos de
Fig. 4 Superposición de efectos miembro i – k
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El examen de las ecuaciones convencionales presentadas del
momento externo ayuda a seleccionar los parámetros para
utilizar fundamentalmente los parámetros medibles para evitar
de esta manera, el uso de cualquier fórmula, lo cual puede
afectar la precisión de los resultados. El desarrollo final de las
expresiones para el momento total en el i- ésimo y k-ésimo
extremos son:
(9)
(10)
Donde los momentos Mik y Mki son los momentos extremos
finales del miembro i- k dados por las ecuaciones de la
pendiente de deflexión.
En el análisis estructural desarrollado en este modelo de red neuronal,
los momentos extremos finales Mik y Mki son determinados
encontrando las diferentes componentes M´ik y M´ki separadamente y
sumando a ellos los términos expresados según el caso por las
expresiones (9) y (10). Las componentes del momento extremo final
serán consideradas positivas en el sentido de las manecillas del reloj.
7. Entrenamiento de la red y verificación de los resultados
El entrenamiento de la red fue procesado esencialmente teniendo
en cuenta los cuatro parámetros que intervienen en las ecuaciones
neuronas (nodos) de la estructura se corresponden con el vector de
entrada a la red ( , , ), que son los factores de distribución
correspondientes a la primera capa de nodos. Los momentos
rotacionales M´11, M´12 y M´13 constituyen las componentes del
vector de salida de la primera capa de la red. La capa de entrada
contiene tres neuronas, mientras la capa de salida contiene dos.
Entre las capas de entrada y de salida existen otras dos capas
llamadas ocultas que contienen un número adecuado de elementos
de procesamiento. La red fue entrenada con siete iteraciones,
suficientes para obtener una salida cuya tolerancia de error satisface
las expectativas planteadas. Los números de unidades (neuronas)
en las capas ocultas y los parámetros ajustables, pesos y tendencias
fueron determinados con el número de nodos de la estructura, los
factores de distribución y los momentos rotacionales en los
extremos. Los resultados fueron obtenidos como se dijo más arriba
después de siete iteraciones del modelo ANN.
Una comparación entre el modelo ANN presentado y el
método de Kani fue ejecutado sobre 15 nodos de la estructura,
incluyendo los nodos de empotramiento de las columnas
entierra. Una relación de discrepancia
fue utilizada
para la comparación nodo a nodo donde CN es el valor de los
momentos calculados por el modelo de red y Ck es el
calculado con las aplicaciones del método de las
aproximaciones sucesivas del Doctor G. Kani. El valor de la
media
y la desviación estándar σ son
y
(9) y (10) y los factores de distribución
como las variables más pertinentes. Los factores de distribución
correspondientes a las vigas entre la primera y segunda capas de
respectivamente. El análisis es mostrado en las Tablas II y III.
Puede concluirse de las tablas que el modelo ANN propuesto arroja
los mismos resultados que el método del ingeniero G. Kani.
TABLA II: Momentos rotacionales en los extremos – nodos indesplazables
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Pinto, L., García A. Análisis de cualquier tipo convencional de estructuras para edificios con nodos indesplazables
TABLA III. Precisión de las fórmulas para los momentos rotacionales extremos en CADA NODO
8. Procedimiento numérico
El procedimiento explicado arriba, es mejor ilustrado
resolviendo la estructura mostrada en la Fig. 1, que está
cargada en forma bastante compleja. Las rigideces Kik de los
diferentes miembros están indicadas sobre el diagrama.
Los factores de distribución
para los momentos
rotacionales son calculados con la ayuda de la ecuación
Los factores de distribución de los nodos 1, 2 y 3 son las
componentes del vector de entrada a la red.
Los momentos de empotramiento perfecto para los diferentes
miembros cargados como se muestra en la Fig. 1, son calculados
con el uso de las fórmulas estándares disponibles en cualquier
manual de la ingeniería estructural. Los valores
son encontrados sumando los empotramientos perfectos de todas
las barras que actúan en el i-ésimo nodo. Habiendo completado
estos cálculos preliminares, puede darse comienzo al
entrenamiento. La red fue inicializada con tres parámetros
(factores de distribución de las vigas) como vector de entrada y
los momentos rotacionales debido a la rotación del extremo
como la salida de la primera capa.
Los cálculos comienzan en la capa de entrada y continuaron
de capa en capa en secuencia hasta la salida. Todos estos
cálculos son ejecutados en fracciones de segundos. Después
de 6 o 7 iteraciones ejecutadas como se explicó arriba, se
notará que existen pequeños o ningún cambio en los valores
de dos iteraciones consecutivas de cálculos en los respectivos
nodos. Los cálculos se detienen y los valores de la última
iteración se toman como los correctos. Los valores previos de
las salidas pueden ser observados posteriormente para
comprender mejor el proceso de aprendizaje del modelo de
red propuesto. Para una mejor claridad del proceso de cálculo,
estos valores finales han sido indicados separadamente en la
Tabla IV.
TABLA IV: Momentos extremos finales en miembros – nodos indesplazables
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9. Comparación con el método de Kani
Una comparación entre el modelo ANN presentado y el
método de Kani fue ejecutado sobre los mismos resultados
y
nodo por nodo. Una relación de discrepancia
fue utilizada para la comparación, donde CN es el momento
rotacional en el extremo o salida de la red y CK es el resultado
obtenido a través del método de Kani. El valor de la media
de la discrepancia y la desviación estándar σ son
respectivamente. El análisis de las fórmulas de los momentos
rotacionales se muestra en la Tabla III. Análogamente, sucede
con los momentos extremos finales mostrados en la Tabla V.
TABLA V. Precisión de las fórmulas para los momentos totales extremos en cada nodo
Puede concluirse después de un análisis sencillo de las Tablas II y III que los resultados obtenidos a través de ambos enfoques
prácticamente coinciden.
10. Evaluación del modelo
Un grupo de 15 nodos fueron utilizados para la verificación
del modelo. Los nodos fueron seleccionados de los cálculos de
un pórtico de 3 niveles. Los momentos rotacionales M´ik y M´ki
fueron calculados utilizando las formulas derivadas del
método de las aproximaciones sucesivas de G. Kani. Los
momentos finales en los extremos Mik y Mki son determinados
encontrando las componentes M´ik y M´ki separadamente y
adicionando las dos momentos de empotramiento perfecto
y
según el caso.
Comparando los resultados nodo a nodo por el método
iterativo de aproximaciones sucesivas del Dr. Ingeniero Kani,
los resultados obtenidos en el presente estudio son
consistentes. Al realizar los cálculos a través del momento
rotacional cercano al extremo i, M´ik para cualquier miembro
i – k expresado en términos del momento de empotramiento
perfecto
y del momento rotacional extremo Mki como
sigue:
Donde
es la suma algebraica de todos los
momentos de empotramiento que actúan en el i – ésimo nodo
y
es el factor de distribución correspondiente al miembro
i – k dado por la expresión:
148
La comparación con el otro método muestra que el modelo
ANN cálcula los mismos valores prácticamente para los 15
nodos de la estructura. Se supone que el modelo ANN produce
una significativa economía de cálculo para diferentes nodos.
III. CONCLUSIONES
1. Las redes neuronales artificiales pueden ser utilizadas con
ventajas, para extender el modelo ANN a la solución de
problemas más complejos y además pueden ser utilizadas
en la solución de vigas continuas sobre soportes elásticos.
2. El modelo de ANN tiene la preferencia sobre el método
de Kani, por las siguientes razones:
2.1 Los modelos ANNs son más rápidos por su paralelismo
masivo, aún operando sobre los PCs convencionales.
2.2 El modelo ANN es construido con el solo uso del
modelo estructural. En otras palabras, la arquitectura
de la red es sencillamente determinable.
2.3 Muchos ingenieros pueden calcular los momentos
rotacionales M´ik y M´ki utilizando el ANN sin
conocimiento exhaustivo de la teoría del análisis
estructural, con tal que ellos conozcan los parámetros
físico- estructurales que intervienen en la operación
del modelo ANN.
2.4 Es un método exacto, auto-correctivo de
Pinto, L., García A. Análisis de cualquier tipo convencional de estructuras para edificios con nodos indesplazables
aproximaciones sucesivas.
2.5 Tiene rápida convergencia
2.6 Permite comprender claramente el fenómeno físico –
estructural
2.7 El modelo de diseño neuronal es fácil de recordar
2.8 Se requiere de un reducido número de operaciones
por capa de neuronas con el uso de muy poco tiempo
de computación.
IV. REFERENCIAS
V. APÉNDICE
Notación
= son los momentos de empotramiento perfecto
inducidos en los extremos de los miembros bajo la acción de
las cargas externas, suponiendo que los extremos están
completamente fijos en posición y dirección;
= es la suma algebraica de todos los momentos
de empotramientos perfecto que actúan en el i – ésimo nodo;
(1) Eaton, L. K. “Hardy Cross and the Moment Distribution
Method” Revista Journal, Vol. 3 nª 3 (summer 2001), May
2007. http://nexus journal.com, consultado May 2007
τi , τk = rotación en el extremo i y k respectivamente;
(2) Kani,G. Konrad Wittwer Verlag, 5th ed. English
Translation published by F. Ungar & Co., New York 1956.
M´ik = es el momento rotacional en el extremo i debido a la
rotación τi ;
(3) A Historical outline of Matrix Structural Analysis; A Play
in –three Acts, C.A. Felippa. www.colarado.edu/Felipa.d/F
consultado April 2007.
M´ki = es el momento rotacional en el extremo k debido a la
rotación τk;
(4) Freeman, J.A and Skapura, D. M. Neural Networks
Algorithms, Applications, and Programming Techniques,
Addison – Wesley Publishing Company, Inc. 1992, p55.
(5) Published by AFCA INTERNACIONAL, DARPA
NEURAL NETWORK STUDY, USA, book of congress
cataloging in Publication Data, 1988, p. 131 – 133.
(6) Thadani, B. N. “An Iteration Method of Frame analysis”,
Indian Concrete Journal, May 1956. p8 -10
(7) Thadani, B. N., “Analysis of Continuous Beams on Elastic
up ports”, Civil Engineering & Public Works Review,
December 1958, January 1959. p 4 – 5.
= es un factor de distribución para el miembro i - k;
Mik , Mk = son los momentos extremos totales ejercidos sobre
los extremos i y k respectivamente;
fi = función de activación correspondiente a la i–ésima
neurona.
ai = variable que representa la salida de i- ésima neurona
L1, L2, L3, L4 = nombres de las capas de la red,
respectivamente
Wij = pesos ponderados de las conexiones de la red entre la j–
ésima neurona de la L–ésima y la i–ésima neurona de la
(L+1)–ésima capa.
bi= valor de tendencia de i–ésima neurona
(8) Thadani, B. N. Solution of Complex Multi – Storeyed
Structure A. M. I. Struct. E, June 1959. Revista
p25.
xj= variable que representa la salida de la j–ésima neurona
(9) Wikipedia, the free encyclopedia. www.wikipedia.com
consultado April 2007.
Subíndices
i, j, k = sub-índices enteros y positivos
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