Download Funciones básicas

4. Funciones básicas
1
Función Exponencial
Sea z = x+iy, definimos la función exponencial
como:
e z = e x (cos y + i sin y )
e1+iπ = e(cos π + i sin π ) = −e
¿Por qué?
e 3+iπ / 2 = e3 (cos π / 2 + i sin π / 2) = ie3
(1) ez se reduce a ex cuando z es real (cuando y = 0).
(2) ez es una función entera (es analítica en todo punto).
(3) Su derivada coincide con la función misma, como
en el caso de la exponencial real.
2
1
(2) Veamos que ez es una función entera, es decir analítica para
todo z:
v(x,y) = ex sin y
Tenemos: u(x,y) = ex cos y ;
cuyas derivadas parciales son continuas para todo (x,y) y
ux = ex cos y = vy
uy = -ex sin y = -vx
es decir, cumplen las las ECR, para todo (x,y).
(3) Su derivada es:
de z ∂u ∂v
=
+ i = e x cos y + ie x sin y = e z
dz ∂x ∂x
3
Podríamos haber abordado la definición de la
siguiente manera:
Recordando que la función exponencial real se determina
por la ecuación diferencial f'(x) = f(x) con f(0)=1, nos
preguntamos si existe una solución analítica a:
f'(z) = f(z) con f(z)=1. Si la solución existe, coincidirá con
ex cuando z = x.
df ( z ) ∂u ∂v
=
+ i = u + iv = f ( z ), u (0) = 1, v(0) = 0
dz
∂x ∂x
⇒
∂u
∂v
= u ( x, y ),
= v ( x, y )
∂x
∂x
Supongamos como soluciones (separación de variables):
u ( x, y ) = p( y )e x , p(0) = 1;
v ( x , y ) = q ( y ) e x , q ( 0) = 0
4
2
u ( x, y ) = p( y )e x , p(0) = 1;
v ( x , y ) = q ( y ) e x , q ( 0) = 0
Derivemos ambas ecuaciones respecto a y y apliquemos CR:
p ' ( y )e x = u y = − v x = − q ( y ) e x
q ' ( y ) e x = v y = u x = p ( y )e x
p' ' ( y) = −q' ( y) = − p( y) ⎫
⇒ p' ( y) = −q( y)
⇒
⎬ φ ' ' ( y) + φ ( y) = 0
q' ' ( y ) = p' ( y ) = −q( y )⎭
q' ( y) = p( y)
Todas las soluciones son de la forma: A cos y + B sin y
con A y B constantes. Como: q' (0) = p(0) = 1; p ' (0) = −q(0) = 0
⇒ p ( y ) = cos y; q( y ) = sin y
f ( z ) = e x cos y + ie x sin y
5
O bien podríamos haber alcanzado la definición a través de series...
6
3
Propiedades de la función exponencial
(1)
e z1 + z2 = e z1 e z2
e z1 + z2 = e ( x1 + x2 ) +i ( y1 + y2 )
= e x1 + x2 [cos( y1 + y2 ) + i sin( y1 + y2 )]
= e x1 + x2 [(cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2 )
+ i (sin y1 cos y2 + cos y1 sin y2 )]
= e x1 (cos y1 + i sin y1 )e x2 (cos y2 + i sin y2 )
= e z1 e z2
7
(2) Resolvamos ez = 1:
Igualando la parte imaginaria:
ex sin y = 0 ⇒ y = ± nπ (n = 0,1,2.....).
Igualando la parte real:
1 = ex cos y = ex cos (± 2nπ) = ex ⇒ x=0.
⇒ z = ± 2nπ i (n = 0,1,2.....).
En particular e0 = 1.
(3) (ez)-1 = e-z
Observemos que 1 = e0 = ez-z = ez e-z.
(4) (ez)n = enz , con n entero.
Para n=0,1 la igualdad es cierta por definición.
Para n > 1, aplicamos ez+w = ez ew e inducción.
Para n < -1, (ez)n = [(ez)-1] –n = (e-z) –n = enz.
8
4
9
(5) Observemos que ez ≠ 0 ∀ z. El rango de la función
exponencial es todo el plano w, excepto 0, C - {0}.
(6) arg ez = y ± 2nπ
(n = 0,1,2...).
(7) De modo que ez es periódica con periodo 2π i
y
ez+ 2π i = ez ∀ z
v
3π
Así que podemos dividir el
plano z en bandas periódicas
infinitas de ancho 2π. De modo
que la imagen de cada banda
llena la totalidad del plano w
(excepto w = 0). La banda
- π< y ≤ π se denomina región
fundamental o principal de ez.
π
x
u
-π
-3π
10
5
f ( z ) = e z = e x (cos y + i sin y )
(r =
)
(
x 2 + y 2 , θ = arctan( y / x) → R = e x , φ = y
)
Las líneas y = c e y = d se transforman en los rayos φ = c, d
respectivamente (a excepción del origen). Las línea x = a y x = b se
transforma en los círculos de radio R = a, b respectivamente.
Combinando ambos hechos, observa como se transforma el rectángulo.
11
f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y)
Esquema de color dependiente del valor real
Dominio
Rango
12
6
f(z) = exp(z) = ex (cos y + i sen y)
Esquema de color dependiente del valor imaginario
Dominio
http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html
The complex exponential
maps the infinite open strip
bounded by the horizontal
lines through ±πi one-toone onto the plane minus
the negative real axis. The
lines of constant real part
are mapped to circles, and
lines of constant imaginary
part to rays from the origin.
In the animation we view a
rectangle in the strip rather
than the entire strip, so the
region covered is an
annulus minus the negative
real axis. The inner
boundary of the annulus is
so close to the origin as to
be barely visible. We also
make the strip a bit thinner
than 2π, so that the annulus
does not quite close up.
Rango
13
14
7
ez = ex (cos y + i sen y)
(1.1)
15
16
8
17
18
9
19
20
10
21
22
11
(8) Fórmula de Euler
e z = e x +i y
= e x (cos y + i sin y )
Cuando z es imaginario puro (x = 0):
e z = e i y = cos y + i sin y
e iθ = cosθ + i sin θ
23
¿Cómo llegó Euler a esta fórmula? (Series de potencias ...)
(cos θ + i sin θ )(cos φ + i sin φ ) = cos(θ + φ ) + i sin(θ + φ )
(cos θ + i sin θ )n = cos(nθ ) + i sin(nθ )
f (θ ) f (φ ) = f (θ + φ )
[ f (θ )]n = f ( nθ )
f (θ ) = e kθ
e kθ e kφ = e k (θ +φ )
f (φ ) = e kφ
(e )
kφ n
= e nkφ
f (θ ) = cos θ + i sin θ = e kθ
df
= − sin θ + i cos θ = i (cos θ + i sin θ ) = ke kθ
dθ
k =i
f (θ ) = cos θ + i sin θ = e iθ
24
12
(9) “The most remarkable fórmula in math”
(Richard Feynman)
Observa que para θ = π
la fórmula de Euler,
eiθ = cosθ + i sin θ
nos proporciona la siguiente identidad:
iπ
e +1 = 0
25
From Gianluca Gorni's web site
26
13
(10) |eiy| = |cos y + i sin y| = √(cos2y + sin2y) = 1
(11) |ez| = |ex+iy|= |ex| |eiy|= |ex|= ex > 0
e 4+ 0.5i =
(e
4
) (
)
2
2
cos 0.5 + e 4 sin 0.5 =
(e ) (cos
4 2
2
)
0.5 + sin 2 0.5 = e 4
Ejercicio: Hallar todas las soluciones de ez = 3+4i
Solución: Igualando módulos
|ez| = ex = 5
x = ln(5) = 1,609. Igualando partes real e imaginaria:
ex cos y = 3; ex sin y = 4
⇒ cos y = 0,6; sin y = 0,8 ⇒ y = 0,927 ± 2nπ
z = 1,609 + (0,927 ± 2nπ) i
(n = 0,1,2.....)
27
(12) Las formas exponencial y trigonométrica
Recuerda que la forma polar para un número complejo es
r
θ
z
y
z = r (cos θ + i sin θ )
x
La fórmula de Euler nos dice que
Forma
exponencial
de un número
complejo
cosθ + i sin θ = e iθ
z = re iθ
28
14
(13) La función exponencial
y el conjugado
y
z = e iπ / 4
z = re iθ
z = re
z = e iθ
z
x
z = e − iπ / 4
−iθ
¿Qué números complejos satisfacen la expresión
z = e iθ ?
El módulo es 1 y θ puede tomar cualquier valor, de modo que
satisfacen la expresión todos los números complejos sobre el
círculo unidad.
iθ
¿Qué números complejos satisfacen la expresión z = 1 + 2 e ?
y
z = 1+ 2eiθ
2
x
z0=1
Todos los números complejos sobre un
círculo de radio 2, centrado en z0=1
29
(14) Producto y división en forma exponencial
Es sencillo multiplicar y dividir en forma
exponencial. Por ejemplo, dividamos:
− i = e − (π / 2 )i
2 − 2i = 8e −(π / 4 )i
En general:
z1 = r1eiθ1
z 2 = r2 eiθ 2
1 e ( −π / 2 ) i
1 ( −π / 4 ) i
−i
→
=
=
e
( −π / 4 ) i
2 − 2i
8e
8
z1 z 2 = r1e iθ1 r2 e iθ 2t = r1r2 e i (θ1 +θ 2 )
z1 r1e iθ1
r1 i (θ1 −θ 2 )
= iθ 2 = e
z 2 r2 e
r2
30
15
31
Aplicación: Fasores
Muchas señales pueden ser representadas como senoides:
a
π
ω
2π
ω
X (t ) = a sin(ωt )
t
32
16
B
z (t )
ω
ωt
C
B
A
B
π C
ω
A
D
A 2π
ω
C
t
D
z ( t ) = a [cos( ω t ) + i sin( ω t ) ] = ae iω t
Representación de un número complejo en forma de fasor
33
Cambio de Fase
B
ω
ωt − φ
C
φ
D
z ' (t )
A
B
B
z (t )
Aφ
ω
π +φ C
ω
A 2π + φ
t
C
ω
D
z (t ) = A[cos(ωt ) + i sin(ωt )] = Ae iωt
z ' (t ) = A[cos(ωt − φ ) + i sin(ωt − φ )] = Ae i (ωt −φ )
34
17
Corriente Alterna
i (t ) = I cos( ω t )
Circuitos
Resistencia R
(
v(t) = IR cos(ωt )
v(t) = I Re R e jω t
)
La tensión está en fase con la corriente
v(t) =
I
ωC
π⎞
⎛
cos ⎜ ω t − ⎟
2⎠
⎝
La tensión se retrasa respecto a la corriente en
Inductancia L
π
2
π⎞
⎛
v(t) = ω LI cos ⎜ ω t + ⎟
2⎠
⎝
La tensión adelanta a la corriente en
⎛ − j jω t ⎞
v(t) = I Re ⎜⎜
e ⎟⎟
⎝ωC
⎠
(
v(t) = I Re jω L e jω t
)
π
2
35
v(t ) = IR cos(ω t )
(
)
Pero R e jω t = R(cos(ωt ) + j sin(ωt ) ). Así que Re R e jω t =
(
= R cos ωt. Por tanto v(t) = IR cos(ωt ) = I Re R e jω t
v(t) =
=
)
π⎞
π
π⎞
I ⎛
I
⎛
cos⎜ ω t − ⎟ =
⎜ cos(ω t ) cos + sin(ω t ) sin ⎟ =
ωC
2⎠
2
2⎠ ωC ⎝
⎝
⎛ − j jω t ⎞
−I
I
sin(ω t ) =
Re je jω t = I Re ⎜⎜
e ⎟⎟
ωC
ωC
ω
C
⎝
⎠
(
)
π⎞
π
π⎞
⎛
⎛
v(t) = ω LI cos ⎜ ω t + ⎟ = Iω L ⎜ cos( ω t ) cos − sin( ω t ) sin ⎟ =
2⎠
2
2⎠
⎝
⎝
= − Iω L sin( ω t ) = Iω L Re je jω t = I Re jω Le jω t
(
)
(
)
36
18
Definimos la impedancia compleja Z como
⎧ R
⎪⎪ − j
Z =⎨
ωC
⎪
⎪⎩ jω L
Resistencia
Capacitancia
Inductancia
(
Como v(t) = I Re R e jω t
⎛ − j jω t ⎞
v(t) = I Re ⎜⎜
e ⎟⎟
⎠
⎝ωC
)
(
v(t) = I Re jω L e jω t
)
Cada una de esas fórmulas pueden ser escritas como
(
v(t) = I Re Z e jω t
)
(
v(t) = Re IZ e jω t
o
)
Si definimos la tensión compleja como V = IZ
podemos escribirlo en la forma
(
v(t) = Re V e jω t
)
37
Funciones trigonométricas
A partir de la fórmula de Euler:
e iθ = cosθ + i sin θ , e − iθ = cosθ − i sin θ
Podemos escribir:
e iθ + e − iθ
= cosθ ,
2
y
e iθ
θ
e − iθ
e iθ − e − iθ
= sin θ
2i
e − iθ
x
2 cos θ
38
19
(Un paréntesis)
Whittaker & Watson,
A Course of
Modern Analysis,
Fourth edition 1927
39
Observa que los autores suponen que el lector está familiarizado con la
siguiente identidad trigonométrica:
sin πn sin 2nπ
sin (
n −1)π
n
= 2nn−1
que es equivalente a:
( 2sin πn )( 2sin 2nπ )
(
2sin (
n−1)π
n
) =n
40
20
kπ
n
kπ
n
n
π
n
n
2 sin ( kπ/n )
n
( n −1)π
π
sin ( kπ/n )
( n −1)π
1
Esta identidad trigonométrica ( 2sin π )( 2sin π ) ( 2sin
es equivalente al siguiente teorema geométrico:
n
2
n
1
( n −1)π
n
)=n
Si equiespaciamos n+1 puntos alrededor del círculo
unidad y trazamos un conjuntos de cuerdas paralelas, entonces
el producto de las longitudes dobladas de las n-1 cuerdas es n.
kπ
n
( n −1)π
e
2 kπ i
n
π
2 si
n
2 sin ( kπ/n )
n
e
n(
kπ/
2π i
n
e
π i
n
n)
1
1
e
2 ( n − 1 )π i
n
Reordenando las cuerdas, introduciendo números complejos y usando la idea de que
el valor absoluto y la suma de números complejos corresponde a la adición de
vectores. La longitud de la k-ésima cuerda será:
2 sin(kπ / n) = 1 − e 2 kπi / n
Y el producto de la longitud de las n-1 cuerdas será:
1− e
2 (1)π i n
1− e
2 ( 2 )π i n
1− e
2 ( n −1)π i n
=
(1 − e ( ) ) (1 − e ( ) ) (1 − e (
2 1 πi n
2 2 πi n
2 n −1)π i n
)
21
e
2 kπ i
n
e
2 si
n(
kπ/
2π i
n
e
2 kπ i
n
e
π i
e
z
2π i
n
n
n)
1
e
1
2 ( n − 1 )π i
n
e
2 ( n − 1 )π i
n
Introduzcamos un número complejo arbitrario z y definamos la
función:
2(1)π i n
2 ( 2 )π i n
2( n −1)π i n
g (z) =
(z − e
)(z − e
g (1) =
Evaluemos:
) (z − e
)
(1 − e ( ) ) (1 − e ( ) ) (1 − e (
2 1 πi n
2 n −1)π i n
2 2 πi n
).
Para ello observemos que en los factores aparecen los n números:
1, e 2(1)π i n , e 2( 2 )π i n , e 2( 3)π i n , … , e 2( n −1)π i
e
2 kπ i
n
e
2 si
n(
2π i
n
e
kπ/
n
n)
, que son las raíces enésimas de la unidad.
e
2 kπ i
n
π i
n
1
1
e
z
2π i
n
e
2 ( n − 1 )π i
n
e
2 ( n − 1 )π i
n
Las n raíces de la unidad son solución de la ecuación: z n = 1
Por el teorema fundamental del álgebra, la ecuación polinómica z n − 1 = 0
tiene exactamente n raíces, que son:
1, e 2(1)π i n , e 2( 2 )π i n , e 2( 3)π i n , … , e 2( n −1)π i n ,
z n − 1 puede factorizarse únicamente como:
Así el polinomio
zn − 1 =
( z − 1) ( z − e 2(1)π i n ) ( z − e 2( 2 )π i n )
(z − e (
2 n −1)π i n
)
=
( z − 1) g ( z )
Como, además:
zn − 1 =
Así:
( z − 1) ( z n −1 + z n −2 + z n −3 +
g ( z ) = z n −1 + z n − 2 + z n −3 +
+ z 1 + 1) =
g (1) = n . Finalmente tenemos:
+ z +1 y
(
( z − 1) g ( z )
)(
2 1 πi n
2 2 πi n
Longitud
delofproducto
de las
n-1 chords
cuerdas = 1 − e ( )
the
product
the lengths
of the
1− e ( )
) (1 − e (
2 n −1)π i n
) = g (1) = n
22
Teorema de Cotes (1716)
Ck
C3
C2
C1
O
x
P
Cn
C n −1
Roger Cotes (1682 –1716)
Si C 1 C 2 C 3 C n es un n-ógono regular inscrito en un círculo de radio unidad centrado
en O y P el punto sobre
O C 1 a distancia x de O, entonces
xn − 1 = PC1 ⋅ PC
2
PC
n
Nota: Cotes no publicó una prueba de este teorema, quizás porque el uso de los
números complejos no eran todavía considerado una manera respetable de probar un
teorema en geometría.
45
Funciones trigonométricas de variable compleja
A partir de la observación anterior, resulta natural definir las
funciones seno y coseno de una variable compleja z por medio de
las siguientes expresiones:
Observa que en
ei z + e − i z
ei z − e − i z
cos z =
, sin z =
2
2i
Con estas definiciones:
variable compleja
las funciones
trigonométricas y
exponencial están
íntimamente
relacionadas, cosa
que no ocurre en
variable real.
(1) cosz (sin z) se reduce a cos x (sin x) cuando z
es real.
(2) cosz y sin z son funciones enteras (analíticas en todo punto).
(3) Sus derivadas coinciden con sus equivalentes en variable real.
d
(cos z ) = − sin z
dz
d
(sin z ) = cos z
dz
46
23
Ejemplo: Resolver cos z = 5.
Solución: Aplicamos la definición en exponenciales del coseno:
cos z = [eiz + e-iz]/2 = 5
eiz + e-iz – 10 = 0; multiplicando la ecuación por eiz
ei2z –10 eiz + 1 = 0; Haciendo el cambio de variable t = eiz
t = eiz = 5 ± √(25-1) = 9.899 o 0.101
-y
⇒ e = 9.899 ó 0.101
eix
⇒ y = ±2.292
= 1 ⇒ x = ±2nπ (n=0,1,2....)
z = ± 2nπ ± 2.292 i (n=0,1,2....)
47
Two-to-one
coverings of a disk
by the complex
cosine restricted to
a rectangle of
width 2π and
height 2 centered at
the origin.
48
24
Two-to-one
coverings of a disk
by the complex
sine restricted to a
rectangle of width
2π and height 2
centered at the
origin.
49
El resto de funciones trigonométricas se definen en relación a las
funciones seno y coseno mediante las relaciones conocidas:
tan z =
sin z
cos z
1
1
, cot z =
, sec z =
, csc z =
cos z
sin z
cos z
sin z
Observa por ejemplo que:
1 e iθ − e − iθ
tan θ = iθ
i e + e − iθ
tan z y sec z (cot z y csc z) no son enteras, ya que no son analíticas en
los puntos donde cos z (sin z) es 0.
Las fórmulas usuales para las funciones trigonométricas de variable real
siguen siendo válidas para las correspondientes de variable compleja:
cos( z1 ± z 2 ) = cos z1 cos z 2 ∓ sin z1 sin z 2
sin( z1 ± z 2 ) = sin z1 cos z 2 ± cos z1 sin z 2
cos 2 z + sin 2 z = 1
50
25
51
Funciones hiperbólicas de variable real (recordatorio)
sin z =
(
1 iz
e − e −iz
2i
)
cos z =
1 e iz − e − iz
tan z = iz
i e + e −iz
(
1 iz
e + e − iz
2
)
Las funciones hiperbólicas reales se definen por analogía a las
definiciones de seno, coseno y tangente en variable compleja:
sinh x =
(
1 x −x
e −e
2
)
cosh x =
sinh x e x − e − x
tanh x =
=
cosh x e x + e − x
(
1 x −x
e +e
2
)
52
26
Representación gráfica de las funciones reales hiperbólicas
y = sinh x
10
y = cosh x
15
10
5
5
-3
-2
0
-1
1
2
3
-5
1
-10
-3
-15
-2
-1
-1
0
1
2
3
Nota: La ecuación de una cuerda suspendida
de dos puntos a la misma altura es
y = tanh x 1
-3
-2
0
1
2
3
⎛x⎞
y = a cosh ⎜ ⎟ .
⎝a⎠
La curva se conoce como catenaria.
-1
53
Interpretación de las funciones hiperbólicas reales
2
2
(cos x, sin x ) se hallan sobre el círculo x 2 + y 2 = 1 (cos x + sin x = 1)
(cosh x , sinh x ) se halla sobre la hipérbola
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
x2 − y2 = 1
(cos x , sin x )
(cosh x , sinh x )
Así como las funciones circulares (trigonométricas) aparecen
en problemas que involucran integrales con (1-x2)1/2, las
hiperbólicas aparecen con (1+x2)1/2.
54
27
Derivadas de las funciones hiperbólicas reales
(sinh x)′ = cosh x
(cosh x)′ = sinh x
Demostración:
(tanh x)′ = sec h 2 x
(
(
) (
) (
)
)
′ 1
1 x
e − e − x = e x + e − x = cosh x
2
2
1 x
1
−x ′
= e x − e − x = sinh x
• (cosh x )′ = e + e
2
2
−1
• Como tanh x = sinh x (cosh x )
• (sinh x )′ =
(tanh x)′ = sinh x(−1)(cosh x) −2 sinh x + cosh x(cosh x) −1
sinh 2 x
+1
cosh 2 x
= 1 − tanh 2 x
=−
= sec h 2 x
55
56
28
Escribamos las funciones trigonométricas complejas
en forma binómica: f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y )
cos z =
(
)
(
)
(
)
1 iz
1
1
e + e −i z = ei ( x +i y ) + e −i ( x +i y ) = e − y +ix + e y −ix =
2
2
2
[
]
1 −y
e (cos x + i sin x ) + e y (cos x − i sin x )
2
e y + e− y
e y − e− y
= cos x
− i sin x
2
2
cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y
De la misma manera para la función seno tenemos:
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
57
Si particularizamos en las definiciones de las funciones
trigonométricas complejas para z = ix tendremos:
(
)
1 − x x −1 x −x i2 x −x
sin ix =
e − e = (e − e ) = ( e − e )
2i
2i
2i
i
= (e x − e − x ) = i sinh x
2
cos ix =
tan ix =
(
)
1 −x
e + e x = cosh x
2
sin ix i sinh x
=
= i tanh x
cos ix cosh x
58
29
sin ix = i sinh x
cos ix = cosh x
tan ix = i tanh x
Estos resultados nos dan una regla general para convertir
identidades trigonométricas en identidades hiperbólicas:
Cualquier identidad trigonométrica seguirá siendo válida si
reemplazamos sin(), cos(), tan() por sinh(), cosh(), tanh()
respectivamente. Teniendo en cuenta, además, que si hay un
producto de dos sin() ó tan(), cambia el signo del término
sustituido.
Por ejemplo:
sin(θ + ϕ ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ
sinh(θ + ϕ ) = sinh θ cosh ϕ + cosh θ sinh ϕ
cos(θ + ϕ ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ
cosh(θ + ϕ ) = cosh θ cosh ϕ + sinh θ sinh ϕ
59
(1) Resolver cos z = 0
cos z = cos x cosh y – i sin x sinh y = 0
Parte real: cos x cosh y = 0 ⇒ cos x = 0;
x = ±(2n+1)π/2 (n = 0,1,2...)
Parte imaginaria: sin x sinh y = 0 ⇒ sinh y = 0; y = 0
z = ± (2n+1)π/2 (n = 0,1,2....)
(2) Resolver sin z = 0
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = 0
Parte real: sin x cosh y = 0 ⇒ sin x = 0;
x = ± nπ (n = 0,1,2...)
Parte imaginaria: cos x sinh y = 0 ⇒ sinh y = 0; y = 0
z = ± nπ (n = 0,1,2....)
Los ceros de cos z y sin z son los mismos que los de sus
análogas funciones cos x y sin x reales.
60
30
Funciones hiperbólicas complejas
Hemos definido las funciones hiperbólicas de una variable real como:
e x + e− x
2
x
e − e−x
sinh x =
2
cosh x =
Parece natural definir las funciones
hiperbólicas de variable compleja
mediante las expresiones:
e z + e− z
e z − e− z
cosh z =
, sinh z =
2
2
(1) Estas funciones son enteras y con derivadas:
(cosh z)’ = sinh z ; (sinh z)’ = cosh z
(2) Otras funciones hiperbólicas se definen como:
tanh z = sinh z / cosh z ; coth z = cosh z / sinh z
sech = 1/cosh z
; csech z = 1/sinh z
que son analíticas excepto en los puntos en que el denominador
se anula.
61
Escribamos las funciones hiperbólicas complejas en forma binómica:
cosh z =
(
)
(
)
1 z − z 1 x+i y − x−i y
e +e = e +e
=
2
2
(
1 x
e (cos y + i sin y ) + e − x (cos y − i sin y
2
)
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
De la misma manera podemos demostrar que:
sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y
62
31
Ejemplo: Veamos que |cos z|2 = cos2x + sinh2y
|cos z|2 = cos2x cosh2y + sin2x sinh2y
Como cosh2y – sinh2y = [½(ey + e-y)]2-[½(ey - e-y)]2 = 1
|cos z|2 = cos2x (1 + sinh2y) + sin2x sinh2y = cos2x + sinh2y
Ejercicio: Demostrar que : cosh (iz) = cos z y sinh (iz) = sin z
Ejercicio: Demostrar la identidad de Moivre para funciones
hiperbólicas:
(cosθ + i sinθ )n = cos(nθ ) + i sin(nθ )
(cosh θ + sinh θ ) n = cosh(nθ ) + sinh(nθ )
63
64
32
65
3 i = sen z
Ejercicio: Hallar todas las soluciones de la ecuación
. sen
(z) =
e iz − e − iz
e iz − e − iz
⇒
= 3i ⇒ e iz − e − iz = − 6
2i
2i
. Hacemos
e iz = T
, y la ecuación resulta:
T −T
−1
= −6 ⇒ T
2
+ 6T − 1 = 0
, cuyas soluciones son:
T =
−6 ±
−6 ± 2 10
36 + 4
=
= −3 ±
2
2
10
, de donde
(
iz = ln − 3 +
)
(
10 + (2 kπ )i
)
(
1 0 + (π + 2 k π ) i
1 0 = ln − 3 +
)
, y también
(
iz = ln − 3 −
1 0 = ln 3 +
)
con k un número entero. Despejando z se obtiene la solución:
(
z = 2 k π − i ln − 3 +
, con k un nº entero.
)
(
10 , z = π + 2 k π − i ln 3 +
10
)
66
33
f(z) = sen z
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
Esquema de color dependiente del valor imaginario
Dominio
Rango
67
f(z) = cosh z
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
Esquema de color dependiente del valor real
Dominio
Rango
68
34
f(z) = cosh z
Esquema de color dependiente del valor imaginario
Dominio
Rango
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
69
70
35
Pescando Biomorfos
Algunas veces me considero un pescador.
Los programas de ordenador y las ideas son
mis herramientas, cañas y redes. Los
gráficos que aparecen en mi pantalla son
trofeos y deliciosas mieles.
Clifford A. Pickover,
Computers, Pattern, Chaos and Beauty
http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/home.htm
71
Partimos de una función iterada::
f ( z n ) = z n +1 = sin z n2
Escogemos una región del plano complejo y
tomamos cada punto de esta región como
semilla inicial z0 para iterar. Tomemos uno
de ellos. Lo iteramos, por ejemplo, 150 veces.
Conocido el valor final de z, pintamos en
función del valor absoluto de su parte real e
imaginaria:
(1) Si alguna de ellas excede o es igual a 100
(por ejemplo), pintamos z0 como un punto
blanco,
(2) En caso contrario lo pintamos en negro.
Biomorfos
f ( z n ) = z n +1 = cosh z n2
72
36
Función logarítmica
Definimos el logaritmo de un número complejo z como
ln z = ln | z | +i arg z
= ln r + iθ
(|z| > 0,
no continua
en z = 0).
Definido de esta manera, observemos que:
eln z = eln|z|+ i arg z = eln|z|ei arg z =| z | ei arg z = z
El logaritmo complejo es multivaluado, una correspondencia
multívoca, no una biyección. Debido a la multivaluación de la
función arg z, a cada z corresponden un número infinito de
valores.
73
Por ejemplo, calculemos el valor de
ln(1 + i ) = ln 2 ± i (π / 4 + 2nπ ), n = 0,1,2,...
z =1+ i
2
π /4
Para cada valor de n obtenemos un
posible valor de la función logaritmo.
Podemos construirnos una función unívoca
tomando el argumento principal Arg z, en
vez de arg z.
74
37
Valor principal del logaritmo
Tenemos:
ln(1 + i ) = ln 2 ± i (π / 4 + 2nπ ), n = 0,1,2,...
El valor principal de ln z se define como el valor
correspondiente al valor principal del argumento de z:
Ln(1 + i ) = ln 2 + i (π / 4)
valor principal
(−π <θ ≤ π )
Usamos la letra mayúscula L para designar al valor principal:
Ln z = ln z + iArg z
75
76
38
(1) ln ( z1 z 2 ) = ln [r1e iθ r2 e iθ ] = ln [r1 r2 e i (θ +θ ) ]
= ln r1 r2 + i (θ 1 + θ 2 )
= ln r1 + ln r2 + iθ 1 + iθ 2 Esta es una relación
1
2
= ln z1 + ln z 2
Sea
1
2
familiar para los
logaritmos naturales
z1 = z2 = eπi = -1, entonces si tomamos ln z1 = lnz2 = πi
observa que ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2) = 2πi = ln(1)
PERO: ¡no se cumple para el valor principal!
Ln(z1z2) = Ln(1) = 0
ln(ez) = ln(ex+iy) = ln(ex) + i y ± 2nπi
= z ± 2nπi
77
78
39
Resumen repetición
79
80
40
81
82
41
83
f(z) = Ln z = ln z + iArg z
Esquema de color dependiente del argumento
Dominio
Rango
84
42
85
86
43
87
Derivada del ln(z)
Sea
ln z = u(x,y) + i v(x,y).
Entonces: u(x,y) = ln|z| = ½ln(x2+y2)
v(x,y) = arg z = tan-1(y/x) + 2nπ; n=0,1,...
ux = x/(x2+y2)
vy = y/(x2+y2)
(ln z)/ = ux + i vx= x/(x2+y2) – i y/(x2+y2)
= (x - i y)/(x2+y2) = 1/z
Ejercicio:
Repetir los cálculos anteriores en polares.
88
44
Analiticidad de Ln z
Ln z = ln z + iArg z
Como no existe ln 0, Ln z no está definido en z = 0.
Como el argumento principal Arg z toma valores
−π < θ ≤ π , el logaritmo experimenta un “salto”
al cruzar el eje real negativo.
y
Lnz = ln z + iπ
x
Lnz = ln z − iπ
89
De modo que podemos tomar como dominio de analiticidad:
D = plano z –{R- U 0}
y
Analítica en todo
punto
excepto aquí
El logaritmo no es analítico
en z = 0 ni a lo largo del eje real negativo
x
¿Existen y son continuas las derivadas parciales y se cumplen
las ECR en el dominio D?
ux = x/(x2+y2) = vy = [1/(1+(y/x)2)](1/x)
Se satisfacen ECR
uy = y/(x2+y2) = -vx = -[1/(1+(y/x)2)](-y/x)
90
45
91
92
46
93
Repetimos: tomaremos como dominio de analiticidad
D = Z -{R- U 0}, o en polares los z's tq. r > 0 y -π < ө ≤ π.
Veamos sin son continuas las derivadas parciales y se
cumplen las ecuaciones de CR en el dominio D en polares:
∂u 1 1 ∂v
= =
∂r r r ∂θ
1 ∂u
∂v
=0=−
r ∂θ
∂r
⎛ ∂u ∂v ⎞
f ' ( z ) = (cos θ − i sin θ )⎜ + i ⎟
∂r ⎠
⎝ ∂r
1
1
⎞
⎛1
f ' ( z ) = e − i θ ⎜ + i 0 ⎟ = iθ =
z
⎠ re
⎝r
94
47
Ejemplo: determinar el mayor dominio de analiticidad
de la función f(z) = Ln[z-(3+4i)].
El Ln() es analítico para todo punto del plano z excepto
la recta semi-infinita negativa y el cero. Descartaremos
los valores de z que hacen que el argumento de f() sea
negativo o cero: z-(3+4i) = x+iy-3-4i = (x-3)+i(y-4).
Es decir: y-4 = 0, x-3≤ 0
y=4
y
3+4i
x≤3
4
x
3
95
a) Determinar la región del plano complejo en la que la
función f ( x) = log[sh(z )] es analítica. Considérese la
determinación del logaritmo correspondiente al ángulo α = 32 π
f ( x) = log[sh(z )]
3π
7π ⎫
⎧
< arg w <
D = ⎨w ∈ C / w > 0,
⎬
2
2 ⎭
⎩x
−x
e z − e− z e x − e− x
e +e
w = shz =
=
cos y + i
seny
2
2
2
w = 0 ⇔ e z = e − z ⇔ e 2 z = 1 ⇔ z = nπi, n ∈ Z
e x − e− x
Re(w) =
cos y = 0 ⇔
2
Im(w)
x=0
π
cos y = 0 ⇔ y = (2n − 1) ; n ∈ Z
2
Re(w)
3
determinación α = π
2
Examen
JUNIO 04/05: P-1
96
48
e x + e− x
seny < 0 ⇔ seny < 0 ⇔ (2n − 1)π < y < 2nπ ; n ∈ Z
2
x = 0, seny < 0 ⇒ ( 2 n − 1)π < y < 2nπ ; n ∈ Z
x=0
π
y = (4n −1) ; n ∈ Z
2
x ∈ R, cos y = 0, seny< 0 ⇒
x∈R
Im(w) =
f es analítica en C, excepto en el conjunto de puntos z = x + yi tales que :
{z = n π i}∪ {x = 0 , ( 2 n − 1)π
2πi
π⎫
⎧
< y < 2 n π }∪ ⎨ y = ( 4 n − 1) ⎬; n ∈ Z
2⎭
⎩
πi
0
− πi
97
b) Determinar la región del plano en la que la función
⎡ ⎛ π ⎞⎤
f ( z ) = Log ⎢cos⎜ ⎟⎥
⎣ ⎝ z ⎠⎦
es analítica.
Respuesta.
⎡ ⎛ π ⎞⎤
Log ⎢cos⎜ ⎟⎥ = Log ( w1 )
⎣ ⎝ z ⎠⎦
Determinación principal no analítica en: w1 = 0; Re(w1) < 0; Im(w1) = 0
1) π/z no analítica en z = 0.
98
49
( z ) = 0 ⇔ πz = π2 + kπ ,
2) w1 = cos π
z=
k = 0,±1,±2...
2
, k = 0,±1,±2...
1 + 2k
⎧u = kπ k = 0,±1... (a)
Im(w1 ) = 0 = − sin u sinh v ⇔ ⎨
⎩v = 0 (b)
w1 = u + iv
Re( w1 ) = 0 = cos u cosh v < 0 ⇔ cos u < 0
>0
99
(a ) u = kπ ⎫
⎬ ⇔ u = (2n + 1)π , n = 0,±1,±2...
cosu < 0⎭
⎧v = 0
(b) v = 0 ⎫
⎪
π
⎬ ⇔ ⎨ ⎤π
⎡
cosu < 0⎭
⎪u ∈ ⎥ 2 + 2kπ ,3 2 + 2kπ ⎢, k = 0,±1,±2...
⎣
⎩ ⎦
w1 =
π
z
=
πx
x +y
2
2
−i
πy
x +y
2
2
z = ( x + iy )
,
2
⎛
x
1 ⎞
1
⎟⎟ + y2 =
(a) ⇒ 2 2 = 2n +1⇒ ⎜⎜ x −
x +y
4(2n +1)2
⎝ 2(2n +1) ⎠
n=0,±1,±2...100
50
⎧y = 0
⎫ ⎧y = 0
⎪ ⎪
⎪
(b ) ⇒ ⎨ 1
2 ⎡
⎤1 + 4k 3 + 4k ⎡⎬ ⇒ ⎨
⎤ 2
∈
,
x
,
∈
⎪ x ⎥ 2
⎥ 3 + 4k 1 + 4k ⎢
2 ⎢⎣ ⎪⎭ ⎪⎩
⎦
⎦
⎣
⎩
k=0,±1,±2...
101
Obtener los puntos del plano complejo donde la función
1
es analítica.
f ( z) =
1 − z 2 Considerar la determinación principal.
(1 − z )
2
1
2
=e
1
Log (1− z 2 )
2
f ( z ) es analítica en todos los puntos w = 1 − z 2 tales que
w > 0 y -π < Arg ( w) < π
(
)
w = 1 − z 2 = 1 − x 2 − y 2 − i (2 xy )
(
)
Re( w) < 0 ⇒ 1 − x 2 − y 2 < 0 ⇒ x 2 − y 2 > 1
x=0
Im( w) = 0 ⇒ 2 xy = 0 ⇒
y=0
x = 0 ⇒ − y 2 > 1 → imposible
y = 0 ⇒ x 2 > 1 ⇒ x > 1 ó x < −1
102
51
Zonas de no analiticidad – plano z
Zonas de no analiticidad – plano w
Im(z)
Im(w)
-1
Re(w)
Re(w)<0
Im(w)=0
1
Re(z)
(Re(z)<-1) y (Re(z)>1)
Im(z)=0
103
Sol.: u(x,y) = 1/2 Log [x2 + (y-3)2]
v(x,y) = Arg (z-3i) + 4π
f(z) = Log |z - 3i| + 4πi
104
52
105
106
53
Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas
Determinemos la inversa del seno a partir de sin w = z
z=
e −e
2i
iw
− iw
;
1 −iw
=e
p
p ≡eiw ;
p 2 − 2izp − 1 = 0;
(
(
arccos z = −iLn z + i 1 − z 2
arctan z =
z=
1
p
2i
p = eiw = iz + 1 − z 2
arcsin z = w = −i ln iz + 1 − z 2
Demostrar:
p−
i ⎛i+ z⎞
Ln⎜
⎟
2 ⎝i−z⎠
)
)
Todas ellas son
multiformes ...
107
108
54
109
110
55
111
El valor principal de la
arcotangente será:
112
56
113
(
z = Ln (z +
)
− 1)
sinh −1 z = Ln z + z 2 + 1
cosh −1
tanh −1 z =
z2
1 ⎛1+ z ⎞
Ln⎜
⎟
2 ⎝1− z ⎠
d
1
d
1
d
1
sinh −1 z =
; cosh −1 z = − 2
; tanh −1 z =
2
dz
1− z2
1 + z dz
z − 1 dz
d
1
d
1
d
1
sin −1 z =
; cos −1 z = −
; tan −1 z =
2
2
dz
1+ z2
1 − z dz
1 − z dz
114
57
arctg ( z ) =
Demostrar la expresión
1
⎛ 1 + iz ⎞
log ⎜
⎟
2i
⎝ 1 − iz ⎠
y calcular todos los valores posibles de arctg
z = tg ( w ) =
sen ( w )
e iw − e − iw
⇒ e iw − e − iw = iz e iw + e − iw ⇒
=
cos( w ) i e iw + e − iw
(
1 + iz
⎛ 1 + iz
⇒ 2 iw = log ⎜
1 − iz
⎝ 1 − iz
1
⎛ 1 + iz ⎞
log ⎜
⇒ w = arctg ( z ) =
⎟
2i
⎝ 1 − iz ⎠
( 3 ) = 21i log ⎛⎜⎜ 11 +− ii
⎝
(
)
⇒ e 2 iw =
arctg
( 3).
)
⎞
⎟⇒
⎠
⎛ − 2 + i2 3 ⎞
3⎞ 1
⎟=
⎟=
log ⎜⎜
⎟
⎟
4
3 ⎠ 2i
⎝
⎠
⎛ 1 i 3⎞ 1 ⎛
1
⎛ 2π
⎟=
log ⎜⎜ − +
⎟ 2 i ⎜⎜ ln 1 + i ⎜⎝ 3 + 2 k π
2
2
2i
⎝
⎝
⎠
(k ∈ Ζ)
=
⎞⎞ π
⎟ ⎟⎟ = + k π
⎠⎠ 3
Examen
JUNIO 02/03: P-1115
P1. Junio 2007
1. Obtener la forma binómica de
π
arcsin(i )
3
Respuesta.
[
arcsin z = − i log iz ± 1 − z 2
]
⎡ π
π2
⎛ π ⎞
arcsin ⎜ i ⎟ = − i log ⎢ − ± 1 +
9
⎝ 3⎠
⎢⎣ 3
⎤
⎥
⎥⎦
116
58
a) Solución con signo negativo de la raíz cuadrada:
⎡ ⎛π
π2
⎛ π⎞
⎜
arcsin⎜ i ⎟ = −i ⎢ln + 1 +
9
⎝ 3⎠
⎢⎣ ⎜⎝ 3
⎤
⎞
⎟ + i (π + 2kπ )⎥
⎟
⎥⎦
⎠
k = 0,±1,±2...
⎡
⎛π
π2
⎛ π⎞
⎜
arcsin⎜ i ⎟ = (π + 2kπ ) + i ⎢− ln + 1 +
⎜3
9
⎝ 3⎠
⎢⎣
⎝
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
k = 0,±1,±2...
117
b) Solución con signo positivo de la raíz cuadrada:
2
⎡ ⎛
⎤
π
π ⎞⎟
⎛ π⎞
⎜
−
+ i (0 + 2kπ )⎥
arcsin⎜ i ⎟ = −i ⎢ln 1 +
9
3 ⎟⎠
⎝ 3⎠
⎢⎣ ⎜⎝
⎥⎦
k = 0,±1,±2...
⎡
⎛
π 2 π ⎞⎟⎤
⎛ π⎞
⎜
− ⎥
arcsin⎜ i ⎟ = 2kπ + i ⎢− ln 1 +
⎜
3
9
3 ⎟⎠⎥
⎝ ⎠
⎢⎣
⎝
⎦
k = 0,±1,±2...
118
59
119
Potencias
Podemos expresar potencias de números complejos en forma de
funciones exponenciales/logarítmicas cuando el exponente es real.
Por ejemplo,
ln z
2
ln z 2
2 ln z
z=e
En general, para k real:
→z =e
=e
z k = e k ln z
c
Definamos ahora z donde
c = a+bi es complejo como:
z c = e c ln z
El valor principal de zc será ecLn(z)
Observa que si z = e entonces zc = ec proporciona un único
valor: ec = ea(cos b + i sin b). Para cualquier otra base, dado
que ln(z) es multivaluado, zc lo será también. El número de
valores es infinito excepto cuando c es racional.
120
60
Es decir:
•
Si c = n = 1,2,.... entonces zn es univaluado e idéntico a la
potencia enésima habitual de z
•
Si c = n = -1,-2,.... la situación es similar.
•
Si c = 1/n = 2,3,.... entonces
zc = n√z = e(1/n)ln z (z≠0)
el exponente se determina en función de los múltiplos de
2πi/n y obtenemos distintos valores de la raíz nth
•
Si c = p/q, siendo el cociente de dos enteros positivos, zc tiene
un número finito de valores distintos.
•
Si c es irracional o complejo entonces zc es infinitamente
multivaluado.
121
Ejemplo: Calcular ii
i i = ei ln i = e
i (ln i + i arg( i ) )
=
e i (i ( 2πn +π / 2 )) = e −( 2πn +π / 2 )
(n = 0 , ± 1,
Valor principal real
)
¡Infinitos valores reales!
i i = e −π / 2
(n = 0 )
Ejercicio: Calcular la derivada de
f ( z ) = z c ; f ' ( z ) = cz c −1
122
61
123
124
62
125
126
63
127
128
64
129
Recuerda que una función es analítica en una región R si es
diferenciable en todos los puntos de R.
Los términos función holomorfa, función diferenciable, función
compleja diferenciable o función regular se usan a menudo de
forma intercambiable para referirse a función analítica. Muchos
matemáticos prefieren el término “función holomorfa”, mientras que
“función analítica” es más usado por físicos e ingenieros.
Recuerda que una función analítica en todos los puntos del plano
complejo se llama entera. Como hemos visto una función analítica
puede no serlo en uno o más puntos singulares o a lo largo de los
cortes de ramas.
Para acabar, una función univaluada que es analítica en todo punto
de su domino a excepción de un conjunto discreto de singularidades
(polos y singularidades no esenciales), se denomina función
meromorfa.
130
65
M.C. Escher
131
The Mathematical Structure of
Escher’s Print Gallery
B. de Smit and H. W. Lenstra Jr.
Notices of the AMS, vol. 50, N. 4
(April 2003)
¿Qué efecto quiere conseguir
Escher en esta litografía?
¿Por qué aparece una mancha
blanca en el centro del cuadro?
Prentententoonstelling (Galería de grabados)
132
M.C. Escher 1956
66
“Lo que yo traté de representar era solamente una superficie
que se hincha, de forma anular, sin principio ni fin.”
El espejo mágico de M. C. Escher (Bruno Ernst, ed. Taschen)
133
Mundo
“real”
Transformación
Mundo
“curvo”
134
67
Cualquier camino simple cerrado alrededor del
origen del mundo “curvo” se antitransforma
en un camino no cerrado en el mundo “real”.
Por ejemplo el camino ABCD.
Anti-transformación
Transformación
135
α log w
log w
w
exp(α log w)
w
z = h( w) = wα = exp(α log w)
136
68
Rectificación de la litografía
w
z = h( w) = wα = exp(α log w)
con α = (2πi + log 256) / 2πi
137
El efecto Droste
En Alemania la marca de
chocolate Droste es famosa
por el efecto visual de una
de sus cajas de cacao.
En ella la imagen se contiene
a sí misma en pequeña escala.
138
69
Escher and the Droste effect
http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/
Tras un zoom de 28 = 256 volvemos a la imagen original.
w
z = h( w) = wα = exp(α log w)
z
⎛1
⎞
w = h −1 ( z ) = w1/ α = exp⎜ log w ⎟
⎝α
⎠
139
140
70
Reconstrucción
141
×2
142
71
×4
143
×8
144
72
× 16
145
× 32
146
73
Una rotación en sentido horario de 157.6255960832. . . grados y
un zoom de 22.5836845286. . . . nos devuelve a la imagen original.
M.C. Escher: More Mathematics Than Meets the Eye, Sara Robinson.
SIAM News, Vol. 35, N. 8, Ocober 2002.
147
74