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1. Funciones trascendentes.
1.1Función logaritmo natural.
Definición de la función logaritmo natural.
La función logaritmo natural se define como
x1
ln x   dt , x  0 .
1 t
El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto todos los
reales positivos.
Gráfica de la función logarítmica.
Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural.
La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades:
1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞).
2. La función es continua, creciente e inyectiva.
3. La gráfica es cóncava hacia abajo.
Teorema 2. Propiedades de los logaritmos.
Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las
siguientes propiedades.
1. ln1=0
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1
2. ln (ab)= ln a + ln b
3. ln an=n ln a
4. ln (a/b)= ln a – ln b.
El número e.
Definición de e. La letra e denota el número real positivo tal que
ln e  
e
1
dt
1
t
La derivada de la función logaritmo natural.
Teorema 3. Derivada de la función logaritmo natural.
Sea u una función derivable en x
1.
d
1
(ln x)  , x  0
dx
x
2.
d
1 du u '
(ln u ) 
 ,u  0
dx
u dx u
Demostración de la expresión 1.
Sea F(x)= ln x= 
x
1
dt
t
Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo:
F '( x)  f ( x) 
d ln x
d

dx
dx

x
1
dt
1

t
x
Q.E.D.
Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas.
a) f ( x)  ln x2  x
Aplicando propiedades logarítmicas, reescribimos antes de derivar:
f ( x)  12 ln( x 2  x)
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 2
Derivando la nueva expresión, tenemos que:
dy
1  2x 1 
  2

dx
2 x  x
b.
f ( x)  ln
x( x 2  1)2
2 x3  1
Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos y luego
derivamos:
f ( x)  ln x  2ln( x 2  1)  12 ln( x3  1)
Derivando la nueva expresión:
f '( x) 
2
1
4x
3x 2
 2x  1  6x  1
 2 2    3    2
 3
x
 x  1  2  2x 1  x x  1 2x 1
1.2 Derivación logarítmica.
Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos
como ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas.
Ejemplo.
Hallar la derivada de
y
x 2 3x  2
, x  1 ~(1)
( x  1) 2
Aplicando logaritmo en ambos lados:
x 2 3x  2
ln y  ln
( x  1) 2
~(2)
Aplicando las propiedades logarítmicas en (2):
ln y  2ln x  12 ln(3x  2)  2ln( x 1) ~(3)
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 3
Derivando la expresión (3):
1 dy 2 1  3 
2
  

y dx x 2  3x  2  x  1
Despejando a
dy
:
dx
dy
3
2 
2
 y 

 ~(4)
dx
 x 6x  4 x 1 
Sustituyendo a y por su valor en (4):
dy x 2 3x  2  2
3
2 


 

2
dx
( x  1)  x 6 x  4 x  1 
Teorema 4. Derivadas con valores absolutos.
Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces
d
u'
ln u 
dx
u
Demostración:
Si u>0, entonces u  u , y el resultado se obtiene aplicando el teorema
3. Si u<0, entonces u  u , y se tiene
d
d
u ' u '
ln u  ln(u ) 

Q.E.D
dx
dx
u u
Ejemplo: Hallar la derivada de
y  ln
cos x
cos x  1
Aplicando propiedades logarítmicas:
y  ln
cos x
 ln cos x  ln cos x  1
cos x  1
Según el teorema 4, tomamos u  cos x y z  cos x  1 y escribimos:
y  ln u  ln u , derivando la nueva expresión:
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 4
dy u ' z '

 , entonces
dx
u
z
dy  senx
senx


dx
cos x cos x  1
Simplificando tenemos:
dy
senx
  tan x 
dx
cos x  1
1. 3 La función logaritmo natural y la integración.
Teorema 5. Regla logarítmica para integración.
Sea u una función derivable de x.
1.

dx
x
 ln x  c
2.

du
u
 ln u  c
Ejemplo. Uso de la regla logarítmica para integración.
 x x1dx   u1du
1
2
2
u  x 2  1  du  2 xdx
Despejando a du, tenemos que:
du
 xdx , aplicando la regla logarítmica para la integración:
2
1
2
 u1du 
1
2
ln u  c  12 ln x 2  1  c
Utilizando las propiedades de los logaritmos:
 x x1dx   u1du 
2
1
2
1
2
ln x 2  1  c  ln
x2  1  c
Ejemplo: Dividir antes de integrar.
x3 - 3x 2  5 x - 3
- x3  3x 2
x2
entonces, x 2 
5
x 3
5
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 5
Ahora iniciamos el proceso de integración:
5 
 2
2
dx
x


dx   x dx  5 x3 

x 3
x3
3
 ln( x  3)  c
Ejemplo: Cambio de variable con la regla logarítmica.

x ( x  2)
dx
( x 1)3
Haciendo u=x-1, entonces du=dx y x=u+1.

x ( x 2)
dx
( x 1)3

 ln u 

(u 1)(u 1)
du
u3
u 2
2


( u 2 1)
du
u3
 c  ln u 

 ( u1 
1
2u 2
1
u3
3
)du   du
u   u du
c
Estrategia para la integración.
1. Memorizar una lista de fórmulas básicas de integración.
2. Buscar una fórmula de integración que se parezca total o
parcialmente al integrando, y por prueba y error elegir una u que
se ajuste el integrando a la fórmula.
3. Si no se puede hallar una sustitución u adecuada, intentar
transformar el integrando. Mediante identidades trigonométricas,
multiplicación y división por la misma cantidad, o suma y resta
de una misma cantidad. Se requiere ingenio.
4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva
integrales, es conveniente usarlo.
Integrales de funciones trigonométricas.
Integrales de las seis funciones trigonométricas básicas
 senudu   cos u  C
 tan udu   ln cos u  C
 cos udu  s enu  C
 cot udu  ln s enu  C
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 6
 sec udu  ln sec u  tan u  C
 csc udu   ln csc u  cot u  C
Ejemplo: Usando una identidad trigonométrica
Hallar
∫tanxdx
Utilizando la identidad de la tanx, tenemos que:
senx
x dx
 tan xdx  cos
Tomenos u=cosx y luego derivemos la expresión:
u’=-senx, sustituyendo tenemos:
 udu    duu   ln u  C
Sustituyendo a u por su equivalente tenemos que:
 tan xdx   ln u  C   ln cos x  C
Ejemplo: Hallar

(tan 2 x  1)dx
Recordando que tan x  1  sec x , para escribir el integral original
2
2
en función de su identidad equivalente:

(tan 2 x  1)dx   sec2 xdx  sec xdx
Aplicando la tercera fórmula de integrales de las seis funciones
trigonométricas básicas:
 sec xdx  ln sec x  tan x  c
Ejemplo:
cox
1 dx
 senx
Hagamos u=senx +1, luego derivemos y después se sustituye al
numerador y al denominador por su equivalente, una vez realizados
estos pasos integramos la nueva expresión:
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 7
u  senx  1  du  cos x
 duu  ln u  c  ln senx  1  c
1. 4 Funciones inversas.
Definición de función inversa: Una función g es la función inversa de la
función si f(g(x))=x para todo x en el dominio de g, y g(f(x))=x para
todo x en el dominio de f.
La función g se denota por f-1(se lee como “inversa de f”).
Algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas.
1. Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa
de g.
2. El dominio de f-1 es el rango de f y el rango de f -1 es el dominio
de f.
3. Una función puede no tener función inversa, pero si la tiene es
única.
Teorema 6. Propiedad de reflexión de las funciones inversas.
La gráfica de f contiene el punto (a,b) si sólo si la gráfica f-1 de
contiene el punto (b,a).
Demos: Si (a,b) está en la gráfica de f, entonces es f(a)=b y se puede
escribir f-1(b)=f-1(f(a))=a.
Así que (b,a) está en la gráfica de f-1, entonces f(b)=a y se puede
escribir f(a)=f(f-1(b))=b.
Existencia de una función inversa.
Teorema 7. Existencia de la función inversa.
1. Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva.
2. Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces
ésta es inyectiva por lo tanto tiene inversa.
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 8
Demos: f es inyectiva si para x 1 y x2 en su dominio
f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2
f ( x1 )  f ( x2 )
La contrapositiva de esta implicación es lógicamente equivalente y se
estable que
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Si escogemos x1 y x2 a en el dominio de f. Si
x1  x2 , entonces es
estrictamente monótona, se deduce que
f ( x1 )  f ( x2 ) o f ( x1 )  f ( x2 )
En cualquier caso,
f ( x1 )  f ( x2 ) .
Por tanto, f es inyectiva en el
intervalo.
Gráfica de la función inversa.
Procedimiento para encontrar la función inversa de una función.
1. Determinar mediante el teorema 7 si la función dada y=f(x)
admite inversa.
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2. Despejar a x como función de y: x=g(y)= f-1 (y).
3. Intercambiar x y y la ecuación resultante es y= f-1 (x).
4. Definir como dominio de f-1 el recorrido de f.
5. Verificar que f(f-1(x))=x y f-1(f(x))=x.
Ejemplo. Calcular la inversa de.
y  x 2  1, x  0
1. Aplicando el teorema 7 verificamos si la función admite inversa:
Sean x1  x2  0
f ( x1 )  (0) 2  1  1 y f ( x2 )  (0) 2  1  1  f ( x1 )  f ( x2 )
x1  0, x2  1 evaluemos a f , f ( x1 )  1 y f ( x2 )  2
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
La función es inyectiva y es monótona creciente.
2. Despejar a x en término de y: y  x 2  1
y  x2  1
y 1  x2
x
y 1
3.
Intercambie a x y y: y 
4.
El dominio de f-1 es el codominio de f y codominio de la función
x 1 .
inversa es el dominio de f.
1
5. La inversa de la función f ( x)  x 2  1 es la función f ( x) 
x 1
Para comprobarlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas
producen la función identidad:
f ( f 1 ( x))  ( x  1) 2  1  x  1  1  x
f 1 ( f ( x)) 
x2  1 1 
x2  x
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 10
Derivada de la función inversa.
Teorema 8. Continuidad y derivabilidad de las funciones
inversas.
Sea f una función cuyo dominio es un intervalo I. Si f tiene una función
inversa, entonces las siguientes proposiciones son verdaderas.
1. Si f es continua en su dominio, entonces f-1 es continua en su
dominio.
2. Si f es creciente en su dominio, entonces f-1 es creciente en su
dominio.
3. Si f es decreciente en su dominio, f-1 es decreciente en su
dominio.
4. Si f es derivable en c y f’(c)≠0, entonces f -1 es derivable en f(c).
Teorema 9. Derivada de una función inversa.
Sea f una función derivable en un intervalo I. Si f tiene una función
inversa g, entonces g es derivable para todo x tal que f’(g(x))≠0.
Además,
g '( x) 
1
, f '( g ( x))  0.
f '( g ( x))
Demostración:
x  f ( g ( x)) ~ (1)
Derivando (1):
dg ( x)
~ (2)
dx
Despejando de (2), tenemos :
1  f '( g ( x)
dg ( x)
1
 ( f 1 ) ' 
dx
f '( g ( x))
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 11
Ejemplo: Calcular la derivada de una función inversa.
x  y 3  7 y 2  2, (4,1)
dx
 3 y 2  14 y, evaluando en ( 4,1) :
dy
dx
 3(1) 2  14(1)  11
dy
dy
1
como

, tenemos que:
dx dx
dy
dy
1
 2
, evaluando la derivada de la inversa en (4,1)
dx 3 y  14 y
dy
1

dx
11
Ejemplo: Encontrar (f-1)’(a) para la función f y el número real a dado.
f ( x)  x 3  2 x  1, a  2
Como f (b)  a y f -1 (a )  f -1 ( f (b)), entonces :
a  f (b) y f -1 (a)  b, tenemos que :
( f -1 ) '(a) 
1
f '(b)
f (b)  x 3  2 x -1  2, de ahí :
x3  2 x -1- 2  0, x3  2 x - 3  0
Ahora calculamos los ceros del polinomio :
( x -1)( x 2  x  3)  0
x  1, entonces b  1
f '( x)  3 x 2  2, f '(1)  3(1) 2  2  5
( f 1 ) '(2) 
1
1

f '(1) 5
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 12
1.5 La función exponencial natural.
Definición. La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx
se llama función exponencial natural y se denota por
f 1 ( x)  e x .
Esto es, y  e x si y sólo si x  ln y.
La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial
natural se puede resumir como sigue:
ln(e x )  x
y
eln x  x
Gráfica de la función exponencial.
Teorema 10. Operaciones con funciones exponenciales.
Sean a y b dos números reales arbitrarios.
1. e a eb  e ( a  b )
ea
2.
 e ( a b )
b
e
Propiedades de la función exponencial natural.
1. El dominio de f ( x)  e x es (-∞,∞), y su rango es (0,∞).
2. La función f ( x)  e x es continua, creciente e inyectiva en todo su
dominio.
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 13
3. La gráfica de
f ( x)  e x es cóncava hacia arriba en todo su
dominio.
e
4. xlim

x
 o y lim e x  
x 
Derivadas de las funciones exponenciales.
Teorema 11. Derivada de la función exponencial natural.
Si u es una función derivable de x.
d (e x )
1.
 ex
dx
d u
du
2.
(e )  e u
dx
dx
Demostración de la expresión (2):
y  eu ~ (1)
Aplicando logaritmo en (1):
ln y  ln eu ~ (2)
Aplicando las propiedades de los logaritmos:
ln y  u ln e  u ~ (3)
Derivando ~ (3)
y ' du

~4
y
dx
Despejando a y en (4) :
dy
du
 y
~ (5)
dx
dx
Sustituyendo a y en (5):
dy
du
 eu
; Q.E.D
dx
dx
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 14
Ejemplo: Hallar la derivada de la función exponencial dada.
y  e2 x senx
dy
 e2 x cos x  2e2 x senx  e 2 x (cos x  2senx)
dx
Otro ejemplo:
y  ln(e senx  tan e( x cos x ) )
2
dy 2 xe senx cos x 2  (1  senx)e( x cos x ) sec2 (e( x cos x ) )

2
dx
e senx  tan e( x cos x )
2
Integrales de funciones exponenciales.
Teorema
12.
Reglas
de
integración
para
exponenciales.
Si u es una función derivable de x.
1.  e x dx e x  c
2.  eu du eu  c
Ejemplo: Hallar la integral de
e
sen x
cos  xdx ~ (1)
Haciendo u  sen x ~ (2)
Derivando u :
du   cos  xdx ~ (3)
Despejando de (3) :
du

  cos  xdx ~ (4) :
Sustituyendo (2) y (4) en (1) :
1

u
 e du 
1

eu  c 
sen x
 e cos  xdx 
1

1

e sen x  c
e sen x  c
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 15
funciones
1.6 Las funciones exponencial y logarítmica en base a.
Definición de una función exponencial base a:
Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real,
entonces la función exponencial de base a se denota
por ax y se
define como y=e(lna)x.
Si a=1, entonces y=1x=1 es una función constante.
Algunas propiedades:
1. a 0  1
2. a x a y  a ( x  y )
ax
3. y  a ( x  y )
a
4. (a x ) y  a xy
Definición de la función logarítmica de base a:
Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real
positivo, entonces la función logarítmica de base a se denota log a x y
se define como
log a x 
1
ln x
ln a
Propiedades de la función logarítmica de base a:
1. log a 1  0
2. loga xy  log a x  log a y
3. log a x n  nlog a x
4. log a
x
 log a x  log a y
y
Nota: De las definiciones de funciones exponenciales y logarítmicas
base a, se sigue que
f ( x)  a x y g ( x)  log a x son funciones inversas una
de otra.
Propiedades como funciones inversas.
1. y  a x si y solo si x  log a y
2. a log a  x, para x  0
x
3. log a a x  x, para todo x
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 16
Derivación e integración.
Teorema 13. Derivadas para otras bases distintas de e.
Sea a un número real positivo (a≠1) y u una función derivable de x.
d x
(a )  a x ln a
dx
d
1
3.
(log a x) 
dx
(ln a) x
1.
d u
du
( a )  a u ln a
dx
dx
d
1 du
4.
(log a u) 
dx
(ln a)u dx
2.
Demostración de la expresión (2):
y  a u por definición a u  e(ln a )u
y  e(ln a )u ~ (1)
Derivando la expresión:
u
dy
d
du
du
= e(ln a )u
(ln a)u  e(ln a )u (ln a )
 e (ln a ) (ln a )
~ (2)
dx
dx
dx
dx
Como la función exponencial es inversa de la logarítmica tenemos:
dy
du
 a u (ln a) ; Q.E.D
dx
dx
Demostración de la expresión (4):
Sea y  log a u ~ (1)
Haciendo cambio de base tenemos :
ln u
~ (2)
ln a
Derivando a (2) :
y
dy
1 du

; Q.E.D
dx (ln a)u dx
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 17
Ejemplos: Derivadas de una funciones de base distinta de e.
1. y  3tan x (ln 3)
Derivando :
dy
 3tan x sec 2 x(ln 3)(ln 3)  3tan x sec 2 x(ln 3) 2
dx
2. y  x ln x
Aplicando log aritmo en ambos lados :
ln y  ln x ln x  (ln x)(ln x)  (ln x) 2
Derivando la nueva exp resión :
1 dy
1
 2(ln x)  
y dx
x
dy
Despejando a
:
dx
dy 2
 (ln x) x ln x
dx x
3. y=log5 sec( x 2  2 x)
dy sec( x 2  2 x) tan( x 2  2 x)(2 x  2) 2( x  1) tan( x 2  2 x)


dx
(ln 5)sec( x 2  2 x)
(ln 5)
En ocasiones, un integrando contiene una función exponencial en una
base distinta de e. En tal caso, hay dos opciones: (1) pasar a base e
usando la fórmula
a x  e(ln a ) x
y entonces integrar o (2) integrar
directamente, usando siguiente fórmula de integración
 1  x
x
a
dx


a c

 ln a 
Ejemplo: Integración de una función exponencial en base distinta de e.
x
 ( x)2 dx ~ (1)
2
Hacemos u  x 2 ~ (2)
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 18
Deriferenciando a u :
du  2 xdx, despejando :
du
 xdx ~ (3)
2
Sustituyendo (2) y (3) en (1) :
2
u du
2

1 u
1 1  u
2 du  
 2  C ; sustituyendo a u por su valor :

2
2  ln 2 
1 u
1 1  u
1  1  x2
2
du

2

C




2 C
2
2  ln 2 
2  ln 2 
1. 7 Funciones trigonométricas inversas.
Ninguna de las seis funciones trigonométricas tienen inversas. Esto se
debe a que son funciones periódicas y por tanto ninguna es inyectiva.
Para que tengan funciones inversas es necesario redefinir el dominio
de cada una de ellas.
Definición de las funciones trigonométricas inversas
Función
Do min io
y  arcsenx si y sólo si seny  x
-1  x  1
y  arccos x si y sólo si cos y  x
-1  x  1
y  arctan x si y sólo si tan y  x
-  x  
y  arc cot x si y sólo si cot y  x
-  x  
Rango
-

 y

2
2
0 y 
-

 y

2
2
0 y 
y  arc sec x si y sólo si sec y  x
x 1
0  y , y 
y  arc csc x si y sólo si csc y  x
x 1
-

2
y
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 19

2

2
,y0
Las gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas.
Gráfica de la función coseno y su inversa.
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 20
f
-1
(x)=arc tag x
Y=arcsecx
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 21
Y=arccscx
Y=arccotx
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 22
Propiedades de las funciones trigonométricas
Si -1  x  1 y - 
 y   , entonces
2
2
sen(arcsenx)  x y arcsen( seny)  y.
Si - 
 y   , entonces
2
2
tan(arctan x)  x y arctan(tan y )  y.
Si x  1 y 0  y  
o   y   , entonces
2
2
sec(arc sec x)  x y arc sec(sec y )  y
Pr opiedades aná log as son válidas para las otras funciones trigométricas inversas
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Teorema
14.
Derivadas
de
las
funciones
trigonométricas
inversas.
Si u es una función derivable de x.
d
u'
(arcsenu ) 
dx
1 u2
d
u'
(arc tan u 
dx
1 u2
d
u'
(arc sec u ) 
dx
u u2 1
d
u '
(arccos u) 
dx
1 u2
d
u'
( arc cot u )  
dx
1 u2
d
u '
( arcc sc u) 
dx
u u2 1
Demostración:
Sea y  arcsenu entonces u  seny ~ 1
Derivando (1)
du
dy
 cos y
~ (2)
dx
dx
dy
Despejando a
de (2) :
dx
dy
1 du
u'


~ (3)
dx cos y dx cos y
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 23
Aplicando las propiedades de las identidades trigométricas :
sen 2 y  cos 2 y  1  cos y  1  sen 2 y ~ (4)
Sustituyendo (1) en (4) :
cos y  1  u 2 ~ (5)
Sustituyendo (5) en (3) :
dy
u'

; Q.E.D
2
dx
1 u
Las demás se dejan como ejercicios a los estudiantes.
Ejemplos: Hallar las derivadas de
1. y  2arcsen( x  1)
dy
2
2
2
2




dx
1  ( x  1) 2
1  ( x 2  2 x  1)
1  x2  2 x 1
 x2  2x
2. h(t )  sen(arccos t )
dh
d
t
 cos(arccos t ) (arccos t ) 
dt
dt
1 t2
3. y  arc tan x
dy
1

dx 2 x ( x 2  1)
3. y  x 2 arc sec x
dy
1
 ( x2 )
 2 xarc sec x 
dx
x x2 1
x
x2 1
 2 xarc sec x
1. 7 Funciones hiperbólicas.
El nombre de funciones hiperbólicas proviene de la comparación entre
el área de una región semicircular, con el área de una región bajo una
hipérbola.
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Definición de las funciones hiperbólicas.
e x  e x
2
x
e  e x
cosh x 
2
senhx
tanh x 
cosh x
1
; x0
senhx
1
sec hx 
cosh x
1
coth x 
, x0
tanh x
senhx 
csc hx 
Identidades hiperbólicas
cosh 2 x  senh 2 x  1
senh( x  y)  senhx cosh y  cosh xsenhy
tanh 2 x  sec h 2 x  1
senh( x - y)  senhx cosh y - cosh xsenhy
coth 2 x  csc h 2 x  1
cosh( x  y)  cosh x cosh y  senhxsenhy
cosh( x - y)  cosh x cosh y - senhxsenhy
1  cosh 2 x
2
senh2 x  2 senhx cosh x
1  cosh 2 x
2
cosh 2 x  cosh 2 x  senh 2 x
senh 2 x 
cosh 2 x 
Derivación e integración de funciones hiperbólicas.
Teorema
16
Derivadas
e
integrales
de
las
hiperbólicas.
Sea u una función derivable de x.
d
( senhu )  (cosh u )u '
dx
 cosh udu  senhu  C
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 25
funciones
d
(cosh u )  ( senhu )u '
dx
d
(tanh u )  (sec h 2u )u '
dx
d
(coth u )  (csc 2 u )u '
dx
d
(sec hu )  (sec hu tanh u )u '
dx
d
(csc hu )  (csc hu coth u )u '
dx
 senhudu  cosh u  C
 sec h udu  tanh u  C
2
 csc h udu   coth u  C
2
 sec hu tanh udu   sec hu  C
 csc hu coth udu   csc hu  C
Demostración:
eu  e  u
Sea y  senhu 
~ (1)
2
Derivando la exp resión (1) :
dy d
d  eu  e  u
 ( senhu )  
dx dx
dx  2
eu  e  u
cosh u 
~ (3)
2
Sustituyendo (3) en (2) :
  eu  e u  du
~ (2)


  2  dx
d
du
( senhu )  cosh u
dx
dx
Ejemplos: Derivación de funciones hiperbólicas.
1. y  ln senh(2 x3  tan x)
 cos h(2 x3  tan x) 
2
2
3
2
2
y'  
 (6 x  sec x)  coth(2 x  tan x)(6 x  sec x)
3
 senh(2 x  tan x) 
y  sec h 2 (3x)
2. y '  2sec h(3x) tanh(3x)(3)  6sec h(3x) tanh(3x)
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Funciones hiperbólicas inversas
Teorema 17. Funciones hiperbólicas inversas.
Función
Do min io
senh 1 x  ln( x 
x 2  1)
(-,  )
cosh 1 x  ln( x  x 2  1)
1 1 x
tanh 1 x  ln
2 1 x
1 1 x
coth 1 x  ln
2 x 1
1  1  x2
x
1
1  x2
1
c sc h x  ln  
x
x

[1, )
(-1,1)
(-,-1)  (1, )
sec h 1 x  ln
(0,1]




(-,0)  (0, )
Demostración:
y  senh 1 x ~ (1)
Despejando x de (1) :
x  senhy y cosh y  x
Sumando senhy y cosh y :
e y - e- y e y  e- y
senhy  cosh y 

 e y ~ (2)
2
2
Aplicando log aritmo en (2) :
ln senhy  cosh y  ln e y  y ~ (3)
cosh 2 y  senh 2 y  1, entonces cosh y  senh 2 y  1 ~ (4)
como senhy  x sustituyendo en (4) :
cosh y  x 2  1 ~ (6), de ahí tenemos :
ln x  x 2  1  y  senh 1 x
Por tan to senh 1 x  ln x  x 2  1
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 27
Demostración:
y  tanh 1 x ~ (1), entonces x  tanh y 
senhy
cosh y
e y  e y
~ (2)
e y  e y
x(e y  e  y )  e y  e  y , xe y  xe  y  e y  e  y
x
xe  y  e  y  e y  xe y
e  y ( x  1)  e y (1  x) ~ (3)
Dividiendo (3) entre e  y (1  x ) :
1 x ey
  y  e 2 y ~ (4)
1 x e
Aplicando log aritmo en (4) :
1 x
ln
 ln e 2 y  2 y ~ (5)
1 x
Despejando a y de (5) :
1 1 x
y  ln
~ (6)
2 1 x
Sustituyendo (6) en (1) :
1 1 x
tanh 1 x  ln
; Q.E.D
2 1 x
Nota: Las demás demostraciones
se dejan como ejercicio a los
estudiantes. Deben enviarlas por e-mail o presentarlas en el cuaderno.
Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se dejan como tarea
para a los estudiantes, también.
Teorema 18. Derivación e integración de funciones hiperbólicas
inversas.
Sea u una función derivable de x
d
u'
[ senh 1u ] 
dx
u2 1
d
u'
[cosh 1u] 
dx
u2 1
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 28
d
u'
[tan h 1u ] 
dx
1 u2
d
u '
[sec h 1u ] 
dx
u 1 u2

du
u  a2
2

du
a u 2

du
u u 2  a2
2
d
u'
[ co t h 1u] 
dx
1 u2
d
u '
[ c sc h 1u] 
dx
u 1 u2
 ln(a  u 2  a 2 )  c

1
au
ln
c
2a a  u
1 a  u2  a2
  ln
c
a
u
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 29