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El ploblema de n-cuerpos
Pedro Figueroa Romero *
Mecánica I
Universidad Autónoma Metropolitana
Prof. Lidia Jiménez Lara
25 de Junio de 2012
Resumen
El problema de n-cuerpos se puede enunciar como encontrar soluciones exactas
a la ecuación de movimiento de n partículas puntuales en interacción. En el presente
trabajo se muestra un análisis para la interacción gravitatoria newtoniana entre n cuerpos. El propio Isaac Newton planteó el problema, y resolvió satisfactoriamente el caso
n = 2, deduciendo además, analíticamente, las leyes empíricas establecidas por Johannes Kepler poco menos de un siglo antes. Se muestra un desarrollo a partir de
la mecánica de Newton para la solución del problema de dos cuerpos en interacción
gravitatoria newtoniana haciendo énfasis en la solución de trayectorias elípticas hasta
resolver el problema de Kepler. Se deducen así implícitamente las leyes de Kepler, que
se enuncian y comparan respecto a los resultados obtenidos a partir de la mecánica de
Newton. Se parte entonces a describir el problema para el caso n ≥ 3, partiendo de
la obtención de las constantes de movimiento. Para el caso n = 3, se comienza por
la solución de Lagrange para el caso en que los tres cuerpos están dispuestos sobre
un triángulo equilátero, luego se trata el problema de tres cuerpos restringido, para
el cual una masa se considera despreciable respecto a las otras dos, de donde surgen
la constante de Jacobi, las regiones de Hill, superficies de velocidad nula, puntos de
Lagrange y órbitas periódicas y se concluye considerando el problema general de tres
cuerpos. Finalmente para el problema de n cuerpos en general, se describen algunos
resultados recientes para soluciones periódicas en el espacio.
* [email protected]
1.
El problema de n = 2 cuerpos
El problema de dos cuerpos, por supuesto, fue discutido y resuelto completamente
por Isaac Newton. El problema tiene la peculiaridad de poder ser reducido a un problema de fuerza central, i.e. a un problema de un solo cuerpo. Sean α, β dos cuerpos
puntuales de masas mα , mβ respectivamente, tales que Fαβ se lee como la fuerza sobre
α debida a β. Entonces, de la segunda ley de Newton, se proponen las ecuaciones
Fαβ = mα r̈α
Fβα = mβ r̈β
Con r el vector de posición de la partícula correspondiente. Ahora bien, por la tercera
ley de Newton
Fαβ + Fβα = 0
mα r̈α + mβ r̈β = 0
y se tiene por definición para el centro de masa, de ambas masas
R≡
∑i mi ri
∑i mi
de donde se concluye que para el centro de masa se conserva el momento lineal,
R̈ = 0
Ahora bien, el paso importante para reducir el problema de dos cuerpos a uno de uno
solo está en notar que podemos describir la diferencia de posición de α, β en todo
momento. Sea r simplemente dicha diferencia, i.e.
r = rα − rβ
entonces
r̈ = r̈α − r̈β
mα + mβ
=
F
mα mβ βα
es decir, puede escribirse simplemente que
F = µr̈
donde µ es la masa reducida. Ahora entonces es suficiente resolver esta sola ecuación,
es decir, resolver *
M
r̈ = G 2 r̂
r
*
Se adopta la notación mβ = M, por simplicidad. La solución original puede encontrarse en [1]
además concluimos que la solución para cada partícula es
rα = R +
mβ
r,
mα + mβ
rβ = R −
mα
r
mα + mβ
Sin entrar en detalle, demostramos que el momento cinético se conserva notando
que para la ley de gravitación universal,
L̇ = r × µr̈ + ṙ × µṙ
GMµ
= r × 2 r̂ = 0
r
En adelante se empleará el momento angular como momento angular por unidad de
masa [5], K = r × ṙ, por simplicidad. Así entonces, se tiene
K=c
para alguna constante c. Esto es relevante, ya que significa que el movimiento se
mantiene sobre un plano.
En general trabajaremos con coordenadas polares, de donde tenemos que el área
encerrada por cualquier curva r = r(ϕ) es
A(t) =
1
2
Z ϕ(t)
r2 dϕ =
ϕ(t0 )
1
2
Z t
r2 ϕ̇ dt
t0
Ahora bien, para el momento angular de cualquier r en coordenadas polares se tiene
K = r2 ϕ̇ cos2 ϕ + r2 ϕ̇ sin2 ϕ k̂ = r2 ϕ̇ k̂
de donde se sigue que
r2 ϕ̇ = c
Se propone entonces la siguiente ecuación de movimiento [3]:
µr̈ = −
∂V
,
∂r
V =U +
µc2
2r2
donde V el potencial efectivo y c la llamada constante de área (obtenida de la conservación del momento angular), entonces para la integral de energía
1
E = µṙ2 +V
2
Empleando la definición para la constante de área, r2 θ̇ = c, se tiene
dr
dr dt
r2
=
=
dθ dt dθ
c
y así entonces
s
2(E −V )
µ
c
Z
θ=
r2
q
2(E−V )
µ
dr
que es la solución general para el problema de dos cuerpos.
Nótese que podemos escribir,
K = r × ṙ = rr̂ × rr̂˙ + ṙr̂
= r2 r̂ × r̂˙
y también
d
(ṙ × K) = r̈ × K
dt
GM
= − 2 r̂ × r2 r̂ × r̂˙
r h
i
˙ − r̂˙
= −GM (r̂ · r̂)r̂
pero
r̂ · r̂˙ =
1d
(r̂ · r̂) = 0
2 dt
entonces podemos decir que
ṙ × K = GMr̂ + d
para alguna constante d. Ahora bien, véase que
(ṙ × K) · r = kṙ × (r × ṙ)k krk cos δ
= kṙk kr × ṙk krk cos δ
= kṙk2 krk2 cos δ sin λ
= kṙk2 krk2 sin2 λ
= kr × ṙk2 = kKk2 = c2
**
y de este modo también
(GMr̂ + d) · r = GMr + d · r
= r (GM + d cos θ)
**
Nótese en el segundo paso que el ángulo entre r × ṙ y ṙ es π/2, por tanto el seno será igual a 1. También
nótese que cos δ = sin λ = 1, ya que el vector x = ṙ × K está sobre el plano generado por r, ṙ y es ortogonal
a ṙ; el ángulo δ es precisamente aquél entre x y r, pero r y ṙ también son ortogonales, por lo que δ es 0. Se
mantiene la notación para hacer más evidentes los pasos realizados.
y por tanto
r=
=
Sean υ =
c2
GM ,
ε=
d
GM ,
c2
GM + d cos θ
1+
c2
GM
d
GM cos θ
entonces se tiene
r=
υ
1 + ε cos θ
que es la ecuación de una sección cónica con uno de sus focos en el origen. υ es el
llamado latus rectum y ε la eccentricidad.
Ahora entonces se tiene una solución para el movimiento de fuerza central r = r(θ)
Ahora bien, en general este resultado puede considerarse, si no el más relevante,
el principal para el problema de dos cuerpos, ya que éste es quizá la respuesta a la
pregunta más básica que puede hacerse sobre este movimiento. Sin embargo para fines
diversos, como es costumbre, suele ser de mayor importancia la solución respecto
al tiempo, ya que el mismo parámetro θ depende de él (la función θ(t) es llamada
anomalía verdadera).
*** .
Para encontrar dicha solución, consideremos el movimiento en coordenadas rectangulares cuyo centro es el foco de la cónica. En este trabajo discutiremos solamente
las soluciones que generan elipses. Se tiene la ecuación de órbita
(x + aε)2 y2
+ 2 =1
a2
b
para los semiejes mayor y menor (apoápside y periápside)
a=
υ
,
1 − ε2
υ
b= √
1 − ε2
Al inscribir la elipse en una circunferencia de radio a, como se muestra en el gráfico,
se tiene
x = a(cos u − ε)
p
y = a 1 − ε2 sin u
***
(1)
(2)
En este trabajo discutimos únicamente el caso de atracción gravitacional y se presenta un razonamiento
distinto. Referimos al lector a las referencias [2], [3] y [5].
Figura 1: Construcción geométrica de Kepler para hallar θ = θ(t)
así entonces
r = a(1 − ε cos u)
pero también habíamos obtenido antes
r=
a(1 − ε2 )
1 + ε cos θ
es decir
rε cos θ = a(1 − ε2 ) − r
Así entonces, se sigue que
rε(1 + cos θ) = a(1 − ε2 ) − r(1 − ε)
= [a(1 + ε) − r](1 − ε)
= aε[1 + cos u](1 − ε)
es decir
r(1 + cos θ) = a[1 + cos u](1 − ε)
y también
rε(cos θ − 1) = a(1 − ε2 ) − r(1 + ε)
= [a(1 − ε) − r](1 + ε)
= aε[cos u − 1](1 + ε)
es decir
r(1 − cos θ) = a[1 − cos u](1 + ε)
De donde se puede sugerir la relación
1 − cos θ 1 + ε 1 − cos u
=
·
1 + cos θ 1 − ε 1 + cos u
es decir
θ
tan =
2
r
1+ε
u
tan
1−ε
2
para relacionar θ y u, de modo que pueda determinarse θ(t) una vez determinado u(t).
Del principio de este trabajo sabemos que para el momento angular, r2 ϕ̇ = c.
Así entonces,
tenemos en este caso para el momento angular, donde x = a(cos u − ε),
√
y = a 1 − ε2 sin u,
p
K = a2 1 − ε2 u̇(1 − ε cos u) k̂
por lo que, de la integral de área, obtenemos
u − ε sin u = n(t − t0 )
√
donde ζ := n(t − t0 ) es llamada anomalía media, con n := 2π/τ = c/(a2 1 − ε2 ) el
movimiento medio [6] para el periodo τ, y así se tiene la ecuación
ζ = u − ε sin u
que es llamada ecuación de Kepler. Usualmente se llega a que debe resolverse esta
ecuación para conocer completamente la solución en función del tiempo del caso elíptico. Se tienen dos formas convenientes para hacer cálculos de representar la función
u(ε, ζ) (véase [3]): Expandir la diferencia u − ζ para valores fijos de ε en la serie de
Fourier en ζ con coeficientes dependientes de ε o representar u(ε, ζ) como serie de
potencias de ε con coeficientes dependientes de ζ.
Sígase el siguiente razonamiento para encontrar la primer forma **** .
Sea f (u) = u − ε sin u = ζ, entonces véase que en 0 < ε < 1,
∃ g : u = g(ζ) ⇐⇒ ζ = f (u)
y así también
f (u + 2π) = ζ + 2π ⇐⇒ g(ζ + 2π) = u + 2π
f (−u) = − f (u) ⇐⇒ g(−ζ) = −g(ζ)
Sea p(u) = ε sin u = u − ζ, entonces definimos q(ζ) ≡ (p ◦ g) (ζ) = g(ζ) − ζ, que
puede comprobarse fácilmente que cumple,
q (ζ + 2π) = q (ζ)
q(−ζ) = −q(ζ)
q(0) = 0,
****
q(π) = 0
Véase [4]. De igual modo en [3] se ofrece otra demostración.
Así entonces, puede expandirse q en serie de Fourier, que por ser impar y de periodo
2π,
∞
q(ζ) =
∑ bn sin nζ
n=1
donde
2 π
q(ζ) sin nζ dζ
bn =
π 0
π Z π
2
dq
=
−q(ζ) cos nζ +
cos nζ dζ
πn
dζ
0
0
Z
la evaluación en el sumando de la izquierda es igual a cero, mientras que a partir de la
definición,
dq du
=
−1
dζ dζ
entonces
Z π
Z π
2
bn =
cos nζ du −
cos nζ dζ
πn 0
0
Z
2 π
cos nζ du
=
πn 0
Z
2 π
cos [n f (u)] du
=
πn 0
Z
2 π
=
cos (nu − nε sin u) du
πn 0
y así entonces concluimos que
∞
Jn (nε)
sin nζ
n
n=1
u = ζ+2 ∑
donde
1
Jn (z) =
2π
Z 2π
0
(−1)k (z/2)n+2k
, n = 0, 1, . . .
k!(n + k)!
k=0
∞
cos(nx − z sin x) dx =
∑
es la función de Bessel de primera especie y orden n.
Hasta aquí está totalmente resuelto el problema de dos cuerpos, incluyendo la dependencia del tiempo del mismo (problema de Kepler). Aunque deban hacerse cálculos grandes y en general los resultados sean aproximaciones, la solución que se
muestra funciona bastante bien para excentricidades pequeñas, como en el caso de la
mayoría de planetas. Aunque no se discute la convergencia de la serie de Fourier, en [3]
puede encontrarse mayor información acerca de ésta, que simplemente nos limitamos
a citar converge para ε ≤ 0.6627434. . .
2.
Las leyes de Kepler y la mecánica de Newton
En el año 1601 moriría el astrónomo Tycho Brahe cuyo gran trabajo continuaría
Johannes Kepler, aunque a diferencia de Brahe, éste tendría el propósito de perfeccionar la teoría heliocéntrica de Copérnico. Al intentarlo, Kepler descubriría tres principios, que aunque hoy sepamos que sólo son aproximados, resultan básicos en el
entendimiento del movimiento planetario y que asimismo resultarían revolucionarios
en la época.
Las tres leyes de Kepler pueden enunciarse
1. Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.
2. El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol, barre áreas iguales de
la elipse en tiempos iguales.
3. Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de
los semiejes mayores de la elipse.
Newton dedujo los mismos principios a partir de su teoría de gravitación universal
aproximadamente 100 años después. Con el trabajo realizado, partir de la mecánica de
Newton podemos escribir,
Primera Ley
r=
υ
1 + ε cos θ
Segunda Ley
1
A(t) = ct =⇒ Ȧ(t) = C
2
Tercera Ley
c
2
Z τ
0
4π2 3
c
a
dt = τ = πab =⇒ τ2 =
2
GM
para las que hemos empleado la notación usada en el trabajo presente. La primera ley
fue escrita explícitamente y las dos siguientes se siguen simplemente de la integral de
área y del hecho de que el momento cinético se conserva.
El problema de n ≥ 3 cuerpos
3.
El problema de n-cuerpos surge como consecuencia de la generalización inmediata más natural del problema de dos cuerpos, es decir del problema de tres cuerpos. El
problema de tres cuerpos es bastante viejo, pero no por eso deja de ser bastante complicado. Newton lo abordó y se dice fue el único problema que le causó un gran dolor
de cabeza [5]. Muchos intentos se hicieron por resolver el problema de tres cuerpos,
incluso por grandes como Euler, Lagrange o Jacobi, que de cualquier modo lograron
obtener algunas soluciones particulares en lo que llegó a llamarse teoría del problema
de tres cuerpos restringida, en la que un cuerpo se considera con masa despreciable
en comparación con los otros dos.
En el problema general de tres cuerpos, las tres masas son distintas de cero y
las condiciones iniciales pueden ser cualesquiera. En el año 1885 se anunciaría una
competición matemática en honor del cumpleaños del rey de Suecia, en la que uno
de los problemas incluía el problema de tres cuerpos * . Cuatro años más tarde Henri
Poincaré ganaría el premio argumentando estabilidad en las órbitas del problema de
tres cuerpos restringido, sin embargo notaría después un error en su trabajo que, al
corregirlo, conduciría precisamente a la teoría del caos determinista. Es posible, de
cualquier modo, resolver cualquier problema de tres cuerpos para dadas condiciones
iniciales empleando un ordenador.
3.1.
Constantes de movimiento
Sean n masas puntuales con vectores de posición ri y masas mi , entonces para la
i-ésima masa se tiene la fuerza
n
Fi = −G
∑
mi m j
j=1, j6=i
ri − r j
,
|ri − r j |3
i = 1, 2, . . . , n
es decir, por la segunda ley de Newton
n
r̈i = −G
∑
mj
j=1, j6=1
ri j
ri3j
donde
ri j = ri − r j ,
ri j = |ri − r j |
La solución del problema entonces requerirá de 6n integrales, ya que cada ecuación
de movimiento involucra 2 constantes por 3 componentes y se tienen n ecuaciones
diferenciales.
Véase que
n
n
n
∑ mi r̈i = −G ∑ ∑
i=1
*
i=1 j=1, j6=1
mi m j
ri j
=0
ri3j
Interesante sería si actualmente los líderes mundiales celebraran así sus cumpleaños
entonces
n
∑ mi ri = at + b
i=1
para a, b constantes. Así entonces, de la definición de centro de masa, concluimos que
el centro de masa conserva el momento lineal
R̈ = 0
Para el momento angular por unidad de masa se tiene
n
K = ∑ ri × ṙi
i=1
entonces, derivando
n
n
K̇ = ∑ ri × r̈i + ∑ ṙi × ṙi
i=1
i=1
n
n
= −G ∑
n
∑
mj
i=1 j=1, j6=i
n
= G∑
mj
∑
i=1 j=1, j6=i
ri × ri j
ri3j
ri × r j
=0
ri3j
por tanto K = c, que define el llamado plano invariable de Laplace.
Finalmente, veáse que para la energía potencial V ,
n
n
∑ mi r̈i · ṙi = − ∑ ∇iV · ṙi
i=1
i=1
n = −∑
i=1
∂V
∂V
∂V
+ ẏ
+ żi
ẋi
∂xi
∂yi
∂zi
dV
=−
dt
así, integrando respecto al tiempo
1 n
1 n
mi ṙi · ṙi = ∑ mi ri2
∑
2 i=1
2 i=1
= T = −V + E
donde T es energía cinética y la constante de integración E es precisamente la energía
mecánica, i.e.
E = T +V
ahora sólo se necesita determinar 6n − 10 constantes de movimiento.
3.2.
El teorema de virial
El virial de un sistema se define como [5]
n
Λ ≡ ∑ mi ri · ṙi
i=1
cuya derivada respecto al tiempo
n
n
Λ̇ = ∑ (mi ṙi · ṙi + mi r̈i · ṙi ) = 2T + ∑ Fi · ri
i=1
i=1
para el valor medio temporal en 0 ≤ t ≤ τ, denotado con h i se tiene
*
+
Z
n
1 τ
hΛ̇i =
Λ̇ dt = 2hT i + ∑ Fi · ri
τ 0
i=1
Si el sistema está acotado el virial no puede crecer indefinidamente y la integral anterior es finita, así cuando el intervalo crece, hΛ̇i se va a cero, i.e.
*
+
n
2hT i +
∑ Fi · ri
=0
i=1
que es la forma general del teorema de virial. Si las Fi se deben únicamente a interacción gravitacional, se tiene
n
n
n
∑ Fi · ri = −G ∑
i=1
∑
mi m j
i=1 j=1, j6=i
1
=− G
2
"
n
n
∑ ∑
i=1 j=1, j6=i
n
n
ri j
· ri
ri3j
ri j
r ji
mi m j 3 · ri + m j mi 3 · r j
ri j
r ji
!#
ri j
1
= − G ∑ ∑ mi m j 3 · ri j
2 i=1 j=1, j6=i
ri j
n
mi m j
1 n
= − G∑ ∑
2 i=1 j=1, j6=i ri j
que es precisamente la energía potencial del sistema, ya que para la k-ésima partícula
n
n
1 n
1
1
∇kV = − G ∑ ∑ mi m j ∇k
= −G ∑ mi m j ∇k
2 i=1 j=1, j6=i
ri j
r
kj
j=1, j6=k
donde
∇k
1
rk j
−1/2
= ∇k (xk − x j )2 + (yk − y j )2 + (zk − z j )2
=−
rk j
(xk − x j )
(yk − y j ) ˆ (zk − z j )
ı̂ −
j−
k̂ = − 3
3
3
3
rk j
rk j
rk j
rk j
por lo que se concluye que
1
hT i = − hV i
2
3.3.
El triángulo equilátero de Lagrange
Se considera el caso en el que la configuración geométrica del problema de tres
cuerpos no cambia aunque esta pueda rotar o cambiar de escala, i.e. las partículas
están dispuestas sobre los vértices de un triángulo equilátero y así, son colineales.
Lagrange mostró que existen soluciones para tres partículas de masa arbitraria si la
fuerza resultante sobre cada masa pasa sobre el centro de masa del sistema, la fuerza
resultante es proporcional a la distancia de cada masa al centro de masa y las velocidades son, en magnitud, proporcionales a las respectivas distancias al centro de masa
y forman ángulos iguales con los vectores de posición desde el centro de masa.
Se tienen las ecuaciones de movimiento
3
r̈i = G
mj
∑
j=1, j6=i
ri j
,
ri3j
i = 1, 2, 3
trasladando el origen al centro de masa R = 0,
3
∑ mi ri = 0
i=1
esto es
m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 = 0
(m1 + m2 + m3 )r1 + m2 (r2 − r1 ) + m3 (r3 − r1 ) = 0
Mr1 = m2 r12 + m3 r13
(1)
donde M = m1 + m2 + m3 , y cuyo cuadrado
2
2
M 2 r12 = m22 r12
+ m23 r13
+ 2m2 m3 r12 · r13
(2)
donde los vectores posición forman ángulos de π/3 y sea r := r12 = r23 = r31 , por
tanto
M 2 r12 = (m22 + m23 + m2 m3 )r2
y se tiene la ecuación de movimiento original
r̈1 = −
G
(m2 r12 + m3 r13 )
r3
es decir, de (1), se tiene
r̈1 + GM
r1
=0
r3
y también, de (2), se tiene
r̈1 + G
(m22 + m23 + m2 m3 )3/2
r1
r1 = r̈1 + GM1 3 = 0
M 2 r13
r1
donde se ha definido
M1 ≡
(m22 + m23 + m2 m3 )3/2
M2
y así, se ha obtenido la ecuación de movimiento para el problema de dos cuerpos;
la partícula m1 se mueve alrededor del centro de masa como si fuese de masa unitaria y se pusiera una masa M1 en su lugar. El resultado análogo se obtiene para cada
partícula. Este tipo de solución es llamada estacionaria. El caso en que el tamaño
crece indefinidamente pero mantiene la misma proporción sería resuelto más tarde por
Leonhard Euler. Referimos al lector a las referencias citadas; en [3] y [6] se trata este
último caso, entre otros.
Aunque el triángulo equilátero de Lagrange parece un caso de interés puramente
académico, que no puede tener aplicación alguna en la naturaleza, de hecho sucede en
el sistema solar. Si se toma de referencia dos puntos A1 y A2 de masas m1 , m2 respectivamente como puntos de referencia, los puntos Li en los que un tercer cuerpo puede
ser posicionado se llaman puntos de Lagrange. Un ejemplo de puntos de Lagrange son
los asteroides llamados Troyanos que forman un triángulo equilátero de Lagrange con
el Sol y Júpiter.
3.4.
El problema de n = 3 cuerpos restringido circular
El problema de tres cuerpos restringido circular es el caso en el que una de las
masas involucradas es despreciable respecto a las otras dos, que se mueven sobre órbitas circulares en torno a su centro de masa. El problema está resuelto para las dos
masas grandes llamadas primarias y entonces el problema de tres cuerpos restringido
consiste en encontrar la trayectoria de la masa despreciable.
3.4.1.
Ecuaciones de movimiento y la constante de Jacobi
Pensemos en el movimiento del Sol, un planeta y un asteroide; en especial para
referirnos al cuerpo de masa despreciable como asteroide. Escojamos las unidades de
modo que las propiedades del sistema dependan en un único parámetro. Sea la unidad
de masa tal que la suma de masas primarias sea la unidad, y así tengan masas 1 − µ y
µ respectivamente donde µ < 1/2, sea la unidad de distancia la separación (constante)
entre ambos y sea la unidad de tiempo tal que la constante gravitacional G sea también
unidad. Ahora bien, por la tercera ley de Kepler,
4π2 3
a = G(m1 + m2 )
τ2
n2 a3 = G(m1 + m2 )
donde n es el movimiento medio, y así es evidente n = 1.
Sean (ξ1 , η1 , ζ1 ), (ξ2 , η2 , ζ2 ) las coordenadas de las masas 1 − µ y µ respectivamente, asociadas a los ejes fijos ξ, η, ζ con el centro de masa de ambas masas en el
origen y sean (ξ, η, ζ) las coordenadas del asteroide. Así, se tienen las ecuaciones de
movimiento,
ξ2 − ξ
ξ1 − ξ
ξ¨ = (1 − µ) 3 + µ 3
r1
r2
η1 − η
η2 − η
η̈ = (1 − µ) 3 + µ 3
r1
r2
ζ
−
ζ
ζ
−
ζ
1
2
ζ¨ = (1 − µ) 3 + µ 3
r1
r2
donde
r12 = (ξ1 − ξ)2 + (η1 − η)2 + (ζ1 − ζ)2
r22 = (ξ2 − ξ)2 + (η2 − η)2 + (ζ2 − ζ)2
sean x, y, z ejes con el mismo origen y con z que coincide con ζ, pero rotados en sentido
contrario a las manecillas del reloj un ángulo t y de modo que las masas primarias
tengan coordenadas (−x1 , 0, 0), (x2 , 0, 0) respectivamente tal que x2 − x1 = 1, por lo
que se satisface también x1 = −µ, x2 = 1 − µ. Así entonces ahora tenemos
r12 = (x1 − x)2 + y2 + z2
r22 = (x2 − x)2 + y2 + z2
para las coordenadas (x, y, z) del asteroide y se tiene la transformación de rotación en
el plano
 
  
x
cost − sint 0
ξ
η =  sint cost 0 y
z
0
0
1
ζ
así entonces por diferenciación respecto al tiempo,
ξ˙ = ẋ cost − ẏ sint − x sint − y cost
η̇ = ẋ sint + ẏ cost + x cost − y sint
ζ˙ = ż
y de manera similar
ξ¨ = ẍ cost − ÿ sint − ẋ sint − ẏ cost − ẋ sint − ẏ cost − x cost + y sint
˙ − ẏ sint + ẋ cost − ẏ sint − x sint − y cost
η̈ = ẍ sint + ÿ cost + cost
ζ¨ = z̈
es decir
¨ 


ξ
cost − sint 0
ẍ − 2ẏ − x
η̈ =  sint cost 0 ÿ + 2ẋ − y
0
0
1
z̈
ζ¨
así entonces,
ξ1 − ξ
ξ2 − ξ
+µ 3
3
r1
r2
η2 − η
η1 − η
(ẍ − 2ẏ − x) sint + (ÿ + 2ẋ − y) cost = (1 − µ) 3 + µ 3
r1
r2
ζ1 − ζ
ζ2 − ζ
z̈ = (1 − µ) 3 + µ 3
r1
r2
(ẍ − 2ẏ − x) cost − (ÿ + 2ẋ − y) sint = (1 − µ)
es decir
x1 − x
x2 − x
1−µ µ
(ẍ − 2ẏ − x) cost − (ÿ + 2ẋ − y) sint = (1 − µ) 3 + µ 3
cost +
+ 3 y sint
r1
r2
r3
r2
1
1−µ µ
x1 − x
x2 − x
(ẍ − 2ẏ − x) sint + (ÿ + 2ẋ − y) cost = (1 − µ) 3 + µ 3
sint −
+ 3 y cost
r1
r2
r13
r2
1−µ µ
+ 3 z
z̈ = −
r13
r2
de donde se sigue que
x1 − x
x2 − x
ẍ − 2ẏ − x = (1 − µ) 3 + µ 3
r1
r
2
1−µ µ
+ 3 y
ÿ + 2ẋ − y = −
r13
r2
1−µ µ
z̈ = −
+
z
r13
r23
sea Ω, que puede considerarse un potencial efectivo, definido como
1
1−µ µ
Ω ≡ (x2 + y2 ) +
+
2
r1
r2
entonces finalmente se tienen las ecuaciones de movimiento
∂Ω
∂x
∂Ω
ÿ + 2ẋ =
∂y
∂Ω
z̈ =
∂z
ẍ − 2ẏ =
donde los términos −2ẏ, 2ẋ son los llamados términos de Coriolis [5]. Además es fácil
ver, de las ecuaciones de movimiento, que
∂Ω
∂Ω
∂Ω
ẋ +
ẏ +
ż = ẋẍ + ẏÿ + żz̈ = dΩ
∂x
∂y
∂z
entonces, integrando
1
Ω = (ẋ2 + ẏ2 + ż2 ) +C
2
y sea v2 := ẋ2 + ẏ2 + ż2 el cuadrado de la rapidez del asteroide, entonces
C = 2Ω − v2
que es la llamada constante de Jacobi.
3.4.2.
Superficies de velocidad nula
A partir de la constante de Jacobi, sabemos que
v2 = 2Ω −C ≥ 0
es decir
C ≤ 2Ω
Ω únicamente es función de posición, por lo que esta desigualdad define cierta región
en el espacio en donde se puede encontrar el asteroide. Estas regiones son llamadas
regiones de Hill y el caso 2U = C define la frontera de la región de Hill, i.e. siempre
que v = 0. Se puede ver que mientras más grande sea C, más reducida será la región.
Cuando C es muy grande, hay tres regiones en las que puede estar el asteroide, ya
sea orbitando alguno de los dos primarios (el planeta o el Sol) o bien en una órbita
muy alejada de ambos; cualquiera que fuere el caso, el asteroide no podrá cambiar de
región.
Cuando C se hace más pequeña, una conexión entre las regiones internas, i.e. referentes a los primarios se abre, comenzando por un punto L1 llamado punto de Lagrange,
y así el asteroide puede pasar de una órbita a otra, pero no podrá escapar del sistema y
se dice que se tiene una órbita estable en el sentido de Hill.
3.4.3.
Puntos de Lagrange
De las ecuaciones de movimiento, es evidente que si ẋ = ẏ = 0, i.e. para las curvas
de la frontera de regiones de Hill, se tienen soluciones triviales si las derivadas parciales del potencial se anulan. Los puntos de Lagrange precisamente satisfacen que,
**
∂Ω ∂Ω
=
=0
∂x
∂y
lo que significa que tales puntos son extremos, ya sea máximos, mínimos o puntos
hiperbólicos. Esto a su vez implica la solución trivial que se menciona, ẍ = ÿ = z̈ = 0,
lo que quiere decir que sobre los puntos de Lagrange no hay fuerza neta actuando
sobre el asteroide.
**
En general para las regiones de Hill se toman curvas de nivel para valores de z constante, por lo que no
es relevante para el análisis considerar la derivada parcial. Aquí se ilustra el caso z = 0.
Para localizar los puntos de Lagrange, se tiene,
∂Ω
x1 − x
x2 − x
= x + (1 − µ) 3 + µ 3 = 0
∂x
r1
r2
∂Ω
y
y
= y − (1 − µ) 3 − µ 3 = 0
∂y
r1
r2
entonces para la solución trivial y = 0
x1 − x
x + (1 − µ)
((x1
− x)2 )3/2
+µ
x2 − x
((x2 − x)2 )3/2
=0
así, para los puntos de Lagrange L1 , L2 , L3 se tienen las ecuaciones (recuérdese que
x1 < x2 )
µ
1−µ
−
= 0,
(x1 − x)2 (x2 − x)2
1−µ
µ
L2 =⇒ x −
+
= 0,
2
(x1 − x)
(x2 − x)2
µ
1−µ
+
= 0,
L3 =⇒ x +
2
(x1 − x)
(x2 − x)2
L1 =⇒ x −
x2 < x
x1 < x < x2
x < x1
así, para la solución de x atribuida al punto de Lagrange L1 , el asteroide estará a la
derecha del planeta, alejado de ambos primarios, para L2 entre el Sol y el planeta y
para L3 a la izquierda del Sol. Ahora bien para y 6= 0,
y − (1 − µ)
y
y
−µ 3 = 0
3
r1
r2
1−µ µ
− 3 =0
r13
r2
1−µ µ
(x1 − x) 1 − 3 − 3 = 0
r1
r2
1−
sumando con ∂Ω/∂x,
x1 −
µ
(x2 − x − x1 + x) = 0
r23
recordando que x1 = −µ, x2 = 1 − µ
µ−
µ
=0
r23
r2 = 1
pero también, de manera similar, a partir de 3
1−µ µ
(x − x2 ) 1 − 3 − 3 = 0
r1
r2
(3)
sumando con ∂Ω/∂x,
1−µ
=0
r13
r1 = 1
1−µ−
por lo que los puntos de Lagrange restantes están dispuestos en los vértices que forman
un triángulo equilátero, es decir
(x1 − x)2 + y2 = 1
(x2 − x)2 + y2 = 1
o bien
(x + µ)2 + y2 = 1
y2 = 1 − (x + µ)2
=⇒
(x − (1 − µ))2 + y2 = 1
(x + µ − 1)2 = (x + µ)2
entonces los puntos L4 , L5 se encuentran en las coordenadas
√
3
1
y=±
x = − µ,
2
2
3.4.4.
Órbitas satelitales
Consideremos ahora simplemente un satélite, en lugar del asteroide, en órbita
alrededor de algún planeta dentro del problema de tres cuerpos restringido. Se tienen
las ecuaciones de movimiento
x2 − x
x1 − x
ẍ − 2ẏ = x + (1 − µ) 3 + µ 3
r1
r2
1−µ µ
ÿ + 2ẋ = y −
+ 3 y
r13
r2
1−µ µ
z̈ = −
+ 3 z
r13
r2
Por simplicidad supóngase que 1 − µ ≈ 1. Además se quiere describir la órbita del
satélite respecto al planeta, por lo que se sugiere desplazar el sistema coordenado de
modo que esté centrado en el planeta, x → x + 1, entonces
x+1
x
ẍ − 2ẏ = x + 1 − 3 − µ 3
r1
r
2
1
µ
ÿ + 2ẋ = 1 − 3 + 3 y
r
r2
1
1
µ
z̈ = − 3 + 3 z
r1 r2
además, despreciando los términos no lineales [5]
r12 = (x + 1)2 + y2 + z2 ≈ 1 + 2x
r1−3 ≈ (1 + 2x)−3/2 ≈ 1 − 3x
Entonces
x
ẍ − 2ẏ = (x + 1)(3x) − µ 3
r2
µ
ÿ + 2ẋ = 3x + 3 y
r2
µ
z̈ = − 1 − 3x + 3 z
r2
es decir
ẍ − 2ẏ = 3x − µ
x
r23
y
r23
µ
z̈ = − 1 + 3 z
r2
ÿ + 2ẋ = µ
que se llaman ecuaciones de Hill. Para que la órbita sea estable, el Sol no puede causar
una aceleración mayor sobre el satélite que la que causa el planeta. Así, se tiene como
límite la aceleración ẍ = 0 cuando x = 0. Si el satélite se mueve radialmente (ẏ = 0),
se tiene
µx
3x = 3
r2
µ 1/3
(r2 )H ≡
3
que define la llamada esfera de Hill. En el caso de que el satélite se mueva en una
órbita circular alrededor del planeta en sentido positivo o negativo (directo: contrario
a las manecillas del reloj, o retrógrado: a favor de las manecillas del reloj), para ẍ = 0
en y = 0 se tiene
x
3x − µ 3 ± 2ẏ = 0
r2
ahora bien, se sabe que para la magnitud de la aceleración centrípeta del satélite
µ
θ̇2 r2 = G 2
r2
donde θ̇ es la rapidez angular, es decir
θ̇2 =
µ
r23
y también ẏ = ±θ̇x, por lo que se tiene entonces la ecuación
3x − θ̇2 x ± 2θ̇x = 0
es decir
θ̇2 ± 2θ̇ + 3 = 0
(θ̇ − 3)(θ̇ + 1) = 0, si ẏ < 0 =⇒
(θ̇ + 3)(θ̇ − 1) = 0, si ẏ > 0 =⇒
θ̇d ≡ 3
θ̇r ≡ 1
los subíndices se refieren a los sentidos directo y retrógrado. Luego entonces
(r2 )d ≡
µ 1/3
9
1/3
(r2 )r ≡ µ
Nótese ahora que
(r2 )d < (r2 )H < (r2 )r
que denotan las regiones de estabilidad para cada tipo de movimiento. Sin embargo
las órbitas que se aproximan a las esferas de estabilidad dejan de ser circulares; de
cualquier modo se puede obtener su relación con las regiones de velocidad nula con la
constante de Jacobi; se tiene
C = x 2 + y2 + 2
µ
1−µ
+ 2 2 − v2
2
r1
r2
donde la notación γ hace alusión al sistema coordenado original, entonces para x pequeña (r1 ≈ 1, 1 − µ ≈ 1),
µ
C ≈ 3 + 2 − v2
r2
Ahora bien, de nuevo, de la aceleración centrípeta, se tiene (recuérdese que G = 1)
v2
µ
=G 2
r
r
por tanto, para cada órbita, se tienen las constantes de Jacobi
µ
(r2 )H
µ
Cd ≈ 3 +
(r2 )d
µ
Cr ≈ 3 +
(r2 )r
CH ≈ 3 + 2
Estas constantes definen las curvas de velocidad nula para el satélite. Dentro de la
curva Cd , la órbita del satélite será estable y estará sólo alrededor de uno de los primarios. Para CH se tiene la curva que pasa por el punto de Lagrange L1 y así, conecta
las órbitas de ambos primarios. Finalmente la curva Cr envuelve ambos primarios y el
satélite puede escapar, estando al exterior de ésta, o bien adoptar órbitas retrógradas
alrededor de los primarios.
3.5.
Órbitas periódicas en el problema de n-cuerpos
Es imposible describir todas las soluciones del problema de tres cuerpos y obviamente aún lo es más para cualquier n > 3. Un caso que es en mayor medida de interés
matemático, es el de soluciones periódicas. De cualquier modo el alcance que puedan
tener es desconocido; en este trabajo justamente se ha hablado de un caso, que fue la
solución de Lagrange y existen soluciones de importancia para la astronomía llamadas
soluciones de Hill, similares a las del problema de tres cuerpos restringido circular
pero precisamente sin la restricción de la masa despreciable.
En 1998 Chris Moore descubriría la llamada solución de figura ocho, en la que
tres masas iguales se persiguen alrededor de una curva con forma de ocho en el plano.
Sorprendentemente diversas simulaciones probaron la estabilidad de esta solución [8].
El ocho es una solución periódica x = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)), donde para un periodo τ,
x2 (t) = x1 (t − 3τ ) y x3 = x1 (t − 2 3τ ), i.e. cada masa viaja sobre la misma curva, defasada
en un tercio de periodo respecto a la otra. Es evidente además que en el origen se
encuentra el centro de masa y un punto doble y que el ocho tiene simetría axial respecto
a los ejes horizontal y vertical.
A partir del descubrimiento del ocho, soluciones de este tipo comenzaron a descubrirse para curvas variadas con distintas simetrías y distinta cantidad de masas. Sin
embargo las soluciones siempre habían estado restringidas al plano [8]. Recientemente
(2008) Moore y Nauenberg [8] descubrirían órbitas simétricas en tres dimensiones,
partiendo de la visualización de éstas en poliedros, por lo que les llaman simetrías
cúbicas.
Figura 2: Simetrías cúbicas en el problema de n-cuerpos.
En la imagen se muestra el caso de un cuboctaedro. Moore y Nauenberg encuentran
en [8] una de estas órbitas numéricamente. El detalle sin embargo de estas soluciones
es que son dinámicamente inestables. Se exhorta al lector a una lectura más profunda sobre el tema. En [9] pueden encontrarse varias soluciones periódicas por Chris
Moore.
Referencias
[1] http://math.uga.edu/~pete/handouttwo.pdf
Clark P., University of Georgia, Kepler’s laws of planetary motion.
[2] Marion J., Mecánica Clásica de las partículas y sistemas, Ed. Reverté, 1998.
[3] Arnold V., Kozlov V. & Neishtadt A., Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Ed. Springer, 3a ed., 2006.
[4] http://ormatyc.org/conferences/2011Handouts/Hayen_1.pdf
Hayen J., Southwestern Oregon Comunity College, The Kepler problem in orbital
mechanics: Position and Speed as functions of time.
[5] Valtonen M. & Karttunen H., The three body problem, Cambridge University
Press, 2006
[6] Roy A., Orbital Motion, Ed. Adam Hilger, 3a ed., 1991.
[7] http://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf
Montgomery R. A new solution to the three body problem
[8] http://physics.ucsc.edu/~michael/monanew.pdf
Moore, C. & Nauenberg, M., New periodic orbits of the n-body problem
[9] http://tuvalu.santafe.edu/~moore/gallery.html
Galería de Chris Moore