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Toma de decisiones
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En el volumen tercero de El mundo de las matemáticas (J.R. Newman - 1956), R.A. Fisher
presenta un artículo llamado Las matemáticas de una catadora de té, en el que plantea la siguiente
cuestión:
Una señora arma que al probar una taza de te con leche puede distinguir qué fue lo primero
que se echó en la taza: el te o la leche
Reexiones
Una situación como esta nos obliga a acordar varias cuestiones, evidentemente como
la armación de la señora
2 no es un teorema de la Geometría no es categorizable en verdadero o
falso mediante los métodos de la lógica deductiva. ¾Entonces cómo probar la validez o no de la
armación de la señora?
Parece razonable diseñar un experimento, preparando tazas de te de diferentes maneras (unas
poniendo la leche primero y otras poniendo primero el te)
y presentárselas a la señora para que las cate. Supongamos
que preparamos 8 tazas de te, cuatro de una forma y cuatro de otra, se las presentamos a la señora y ésta acierta
7. ¾Pretendemos probar que la señora es infalible o que
tiene una capacidad superior a la mayoría de nosotros para
distinguir las tazas?
Si lo que queremos es lo primero, ya está.
Basta que se
equivoque en una taza para asegurar que no es infalible.
Pero realmente lo interesante sería encontrar un método
que nos permita decidir sobre lo segundo.
Volviendo al caso planteado, si acierta 7 de 8, ¾aceptamos que tiene esa capacidad T o el
resultado pudo se por azar? ¾y si acierta 1 de 8? ¾ esto signica que no tiene la capacidad T de
distinguir las tazas o pudo ser por azar?
Sea cual sea el acuerdo al que lleguemos, el experimento no sera concluyente, ya que una persona
sin la capacidad T puede acertar y una persona con la capacidad T puede fallar.
Ensayemos un primer experimento: preparamos una taza de te de una de las dos formas posibles
y se la entregamos a la señora para que nos diga qué fue lo primero que vertimos en la taza, la leche
o el te. Estamos en presencia de un experimento de Bernoulli, en el que si llamamos éxito al hecho
de que la señora responda correctamente, el parámetro de la distribución será
de éxito. A priori no tenemos idea del valor de
p,
la probabilidad
p (0 ≤ p ≤ 1).
Nuestra tendencia natural, desde un punto de vista cientíco, sería dudar de la armación de
la señora, por tanto parecería razonable pensar que la señora no tiene la capacidad T - esta será
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nuestra hipótesis nula ,
1
H0
- y que entonces lo que hace es adivinar como haría cualquiera de
Ronald Aylmer Fisher, (n.
Londres, 17 de febrero de 1890 m. Adelaida, 29 de julio de 1962) cientíco, matemático, estadístico, biólogo evolutivo y genetista inglés. Fisher realizó muchos avances en la
estadística, siendo una de sus más importantes contribuciones, la inferencia estadística creada por él en
1920. (Wikipedia)
2 para referirnos a la capacidad que dice tener le señora, lo haremos como capacidad T.
3 recordar que la hipótesis nula es la que el investigados cree que hasta el momento es lo aceptado,
evidencia experimental en contrario sea grande.
1
salvo que la
nosotros, por lo que suponemos que la probabilidad de decidir si una taza de te es de uno de los
dos tipos posibles, es
arma que
p > 0, 5
p = 0, 5
(la probabilidad de acertar por azar). Por el contrario, la señora
, ya que solo puede declarar tener la capacidad T si acierta un número mayor
de veces que una persona cualquiera tratando de adivinar.
Queda clara entonces una partición de los posibles valores de
p,
de acuerdo a los diferentes
intereses:

p ≤ 0, 5
"nuestra
p > 0, 5
"hipótesis de
hipótesis"
la señora"
Como habíamos dicho anteriormente, la primera será la hipótesis nula y la segunda será la
hipótesis alternativa, es decir:
H0 : p ≤ 0, 5
(la
Ha : p > 0, 5
señora no
(la
señora
tiene la
capacidad
T)
tiene la
capacidad T)
y a partir de ello podemos plantear el siguiente cuadro en el que indican las posibles acciones:
Situación real (desconocida)
H0
H0
Decisión
Rechazar
tomada
No rechazar
H0
es cierta
Error (Tipo I)
H0
Decisión correcta
es falsa
Decisión correcta
Error (Tipo II)
En nuestro caso el error del tipo I consiste en aceptar que la señora tiene la capacidad T
cuando en realidad no la tiene y el error de tipo II en aceptar que no tiene la capacidad T cuando
en realidad si la tiene.
Parece razonable pensar que la decisión que tomemos dependerá del resultado de nuestro experimento, más precisamente si luego de darle a probar una taza de te la señora acierta aceptaríamos
que tiene la capacidad T y diríamos que no la tiene si falla.
Puesto que son posibles los dos resultados del experimento, para cualquier valor de
p,
lo que si
podemos analizar es la probabilidad de que cada uno ocurra.
Notación:
indicaremos con
P (rechazar H0
P (no
rechazar
α
siendo cierta), con
H0
la probabilidad de cometer el error de tipo I, es decir
α =
β
β =
la probabilidad de cometer el error de tipo II, es decir
siendo falsa) y con
δ(p)
la probabilidad de rechazar
H0
cuando el verdadero
p
en la hipótesis nula,
4
valor del parámetro es p .
De todo lo anterior se tiene entonces que para todos los valores de
δ(p) = α
y para todos los valores de
p
en la hipótesis alternativa,
δ(p) = 1 − β .
Continuemos con nuestro experimento, nuestro estadístico de prueba será la variable aleatoria
de Bernoulli
X
que solo puede tomar dos valores, entonces diremos que
señora acierta y que toma el valor
4 comúnmente
0
si falla, es decir:
llamada la potencia de la prueba
2
X
toma el valor
1
si la

P (X = 0)
P (X = 1)
entonces parece razonable rechazar
H0
si
X=1
= 0, 5
y
= 0, 5
y no rechazarla si
X = 0,
manera la región de rechazo, que en este caso está formada por el punto
queda denida de esta
X = 1.
Evidentemente el experimento utilizado no nos da ninguna tranquilidad en cuanto a la decisión
tomada, parecería razonable cambiar el experimento por otro en el que la señora deba demostrar
su habilidad en varios ensayos.
Propongamos un segundo experimento: preparamos 10 tazas de te, de la siguiente manera,
lanzamos una moneda y si sale cara ponemos primero el te y luego la leche, en cambio si sale
número ponemos primero la leche y luego el te, a continuación mezclamos las tazas y se las damos
a la señora para que las cate. Entonces los resultados podrían ser: cero aciertos y 10 fallos, 1
aciertos y 9 un fallos, c) 2 aciertos y 8 fallos, y asi hasta 10 aciertos y cero fallos.
Tenemos entonces un experimento donde la variable aleatoria
de la señora en 10 ensayos es binomial de parámetros 10 y
p
X
que indica el número de aciertos
, siendo
p
la probabilidad de acertar.
X ∼ B(10, p)
Claro que no conocemos
p,
pero de acuerdo con lo expresado en el primer experimento, solo
rechazaríamos la hipótesis nula si la señora acierta un número superior de veces (¾cuánto más?)
que las que acertaría una persona normal tratando de adivinar. A partir de lo anterior podemos
tabular algunas probabilidades de
X
de la distribución binomial para algunos valores de
p.
De igual manera que en nuestro primer experimento, supondremos que nuestras hipótesis son:
H0 : p ≤ 0, 5
3
y
Ha : p > 0, 5
Se trata ahora de denir una regla de decisión, es decir denir una región de rechazo para la
hipótesis nula, lo que dependerá de cuan grande deba ser el número de aciertos de la señora al
probar las 10 tazas de te.
Es claro que sea cual sea la prueba utilizada, tendrá la forma rechazo
x
valor de
H0
si
X ≥ x
donde el
dependerá del nivel de signicancia que deseemos.
A modo de ejemplo, planteemos dos pruebas para el juego de hipótesis indicado arriba.
Veamos la potencia de cada una de las pruebas:
δA (p) = P (X ≥ 6,
cuando
el
valor
del
parámetro es
p)
δB (p) = P (X ≥ 9,
cuando
el
valor
del
parámetro
p)
y
es
A partir de la tabla de la binomial acumulada, podemos representar para algunos de
p,
los
correspondientes valores de la función de poder, seleccionando las columnas correspondientes a
x=6
x = 9.
y
Deducimos de la tabla anterior que para ambas pruebas el nivel de signicancia se da para
p = 0, 5
y valen respectivamente:
δA (0, 5) = 0, 3769
errores del Tipo I para cada prueba son
Supongamos ahora que
p = 0, 8
y
αA = 0, 3769
δB (0, 5) = 0, 0107
y
que a la vez indica que los
αB = 0, 0107.
es decir que la señora tiene una capacidad de un
60%
a la capacidad que tendríamos simplemente acertando. En este caso la potencias son
0, 9672
y
δB (0, 8) = 0, 3758.
Entonces tenemos que:
De lo anterior concluímos que la prueba
(mayor error de Tipo I) pero la prueba
A
A
βA = 0, 0328
y
superior
δA (0, 8) =
βB = 0, 6242.
tiene mayor nivel de signicancia que la prueba
tiene menor error de Tipo II que la prueba
¾cómo decidimos qué prueba es la más adecuada?
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B.
B
Entonces