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SEMINARIO FINANZAS - RIESGO
UNIDAD 2 - MEDICION DEL RIESGO
SEMANA 3.
GUIA DE TALLER: ANALISIS ESTADISTICO DE UN ACTIVO RIESGOSO Rentabilidad y Riesgo.
PROPOSITOS: Este taller tiene como propósitos:
1- Aplicar los conceptos básicos de Estadística para el análisis del
comportamiento de la rentabilidad de una acción.
2- Verificar la importancia de la distribución normal en el estudio de los
factores financieros.
RECURSOS: Conexión a Internet. Conceptos estadísticos y probabilísticos
básicos. Archivo datos_accion_exito_1N.xls
ACTIVIDADES: Individual o en grupos Uds. deben realizar, en el orden
presentado, las actividades descritas a continuación.
EVIDENCIA DE PRODUCTO: Cada grupo deberá preparar uno (o más, según
crea conveniente) archivo(s) en formato Excel con los resultados obtenidos.
PRESENTACION: Para entender los modelos que miden el
riesgo, es necesario conocer algunos aspectos de matemáticas
y estadística. En esta guía se practicará la
manera de medir tanto el rendimiento como el
riesgo de la inversión en un activo riesgoso.
Especial atención merece la curva de distribución
normal, la cual es el "corazón" en los supuestos
de los modelos para medir el riesgo.
Existe consenso en el mundo académico en el
sentido de que los precios de las acciones en los
mercados organizados se comportan de acuerdo con
una
caminata
aleatoria, es decir, que el precio de una acción al día de hoy es independiente de
los precios observados en días anteriores y que, por tanto, los mercados no tienen
memoria y no son predecibles. Ésta es la base para considerar que el supuesto de
normalidad en los rendimientos de los precios de los instrumentos financieros es
un supuesto razonable, aunque la curva normal en el mundo real, no siempre es
perfecta.
Considere el archivo datos_accion_exito_1N.xls que contiene información sobre
el precio y el volumen de una acción transada en bolsa y del índice IGBC de la
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Guía Taller “Análisis Estadístico de un activo riesgoso”
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Bolsa
de
valores
de
Colombia.
sol_datos_accion_exito_1N.xls
Guárdelo
con
el
nombre
En la teoría financiera existen dos variables básicas que es preciso entender y
calcular apropiadamente para tomar decisiones de inversión: el rendimiento y el
riesgo.
En la medida en que una inversión es más riesgosa, debe exigírsele un mayor
rendimiento.
ACTIVIDAD 1. Medición del rendimiento de una acción1: Este rendimiento del
activo puede ser medido usando una de dos técnicas:
a) Como variación porcentual: calculando la variación porcentual del precio en el
periodo de tiempo en cuyo caso la rentabilidad se considera “discreta” o periódica.
Pr ecio final  Pr ecio inicial
 Pr ecio
Ri 

Pr ecio inicial
Pr ecio inicial
b) Como cambio del precio en escala logaritmo natural: Otra manera de medir
el rendimiento del activo es calculando su rentabilidad “continua” mediante el
cálculo de la variación del precio en escala logaritmo natural
 Precio Final
Ri  Ln 
 Precio Inicial



La medición de la rentabilidad del activo se logra mediante dos técnicas básicas las cuales –
desde la econometría – tienen el propósito de generar una nueva serie de tiempo que cumpla la
condición de ser serie “estacionaria”.
1
Para que una serie sea estacionaria debe garantizarse que los momentos de su distribución de
probabilidad (media y varianza, al menos) no cambien en el tiempo. La estacionariedad de la
serie de tiempo es la que permite el uso del modelo estadístico y probabilístico pues garantiza que
los valores de los momentos se mantengan constantes.
La serie original de los precios de la acción es una serie NO estacionaria y por tanto al utilizar las
técnicas estadísticas y a pesar que se logran resultados para sus momentos estadísticos no existe
garantía que tales momentos se mantengan constantes en el transcurso del tiempo.
Otro detalle importante en la medición de la rentabilidad de un activo es la preferencia que se tiene
en el campo financiero por la rentabilidad continua frente a la rentabilidad discreta. Por favor lea el
documento: SFR_paradoja_de_las_variaciones_porcentuales.
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Inserte una nueva hoja en el libro y llámela ANALISIS. Traslade a la hoja
ANALISIS ( a partir de C5) las fechas desde la hoja DATOS_EXITO_IGBC y en la
columna SIGUIENTE (D) calcule la rentabilidad continua de la acción, para
todas las fechas - use formato de porcentaje con 5 decimales. Tenga cuidado:
para la primera fecha en que no es posible calcular este valor.
Considere la columna que contiene los rendimientos diarios y llame rentadiaria al
rango de celdas ($D$7:$D$3217) que almacena dichos valores.
Para el siguiente análisis (Actividad 2) considere SOLAMENTE la rentabilidad
diaria (en el rango rentadiaria)
ACTIVIDAD 2. Distribución de frecuencia de la rentabilidad: Una distribución
de frecuencias muestra la manera como los rendimientos del activo se han
comportado en el pasado. Cuando esta distribución se grafica (histograma de
frecuencias) asume una forma en particular.
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Los pasos principales para construir una distribución de frecuencias son los
siguientes, recordando que se trata de una variable aleatoria continua:
a) Determinar las observaciones de mínimo y máximo valor en la serie de
tiempo y su rango de valores.
b) Elegir un número de intervalos de igual magnitud que cubra desde el
mínimo hasta el máximo valor. Éstos son los rangos o clases.
c) Contar el número de observaciones que pertenecen a cada rango o
intervalo. Esta es la frecuencia absoluta por clase o intervalo.
d) Determinar la frecuencia relativa –por intervalo - mediante como la relación
entre la frecuencia absoluta y el número de observaciones. Recuerde que la
frecuencia relativa es una medida de probabilidad; en este caso mide la
probabilidad de que la rentabilidad diaria se encuentre en el intervalo.
Para desarrollar estos pasos y construir la distribución de frecuencia de la variable
en estudio (rentabilidad diaria de la acción), proceda de la siguiente manera:
A partir de la celda G7 (de la hoja análisis) construya la siguiente tabla:
Calcule el tamaño de la muestra usando la función =contara() de Excel sobre el
rango de datos (rentadiaria)
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Determine las observaciones de mínimo ( xmin ) y máximo ( xmax ) valor en la serie de
tiempo (rentadiaria) utilizando las funciones =MAX() y =MIN() y su rango de
valores ( R):
R  xmax  xmin
Calcule el número de intervalos (m), de igual amplitud, que cubran desde el
mínimo hasta el máximo valor. Éstos son los rangos, intervalos o clases.
En este caso utilice el criterio de Stugar para determinar el número adecuado de
intervalos. Recuerde que
m  1  3.3 * log 10 ( n )
Tenga en cuenta que el número de intervalos debe ser un valor entero y que
ningún segmento del rango deberá quedar fuera de los intervalos; en
consecuencia haga redondeo “al siguiente” entero.
Con n igual al número de datos se obtiene que se deben considerar 13 intervalos.
Use en H11 la función = REDONDEAR.MAS(1+3,3*LOG10(H7);0)
Calcule la amplitud de cada intervalo ® estableciendo la relación entre el rango ®
y el número de intervalos (m), es decir: C=R/m
Sabiendo el número de intervalos (H11) a usar y la amplitud de cada uno (H12),
defina los extremos de cada intervalo, recordando que se debe empezar en el
mínimo ( xmin ) y terminar en el máximo ( x max ). Para ello, a partir de la celda J7
escriba los números de 1 a 15 que nos permitirán definir 14 intervalos 2. En la
columna K y a partir de K7 establezca los extremos de los intervalos empezando
por el menor.
2
Detalle que estamos tomando un intervalo más de los calculados
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Llame INTERVALOS al rango (K7:K21) que contiene los extremos de los intervalos3
Ahora hay que contar el número de observaciones que pertenecen a cada intervalo. Esta
es la frecuencia por clase o la frecuencia de intervalo.
Para este conteo utilice la función matricial =FRECUENCIA(), sobre las matrices
RENTADIARIA e INTERVALOS y recordando que las funciones matriciales se ingresan
con CTRL + SHFT + ENTER
3
Tenga presente que estos valores son puntos y no intervalos. El intervalo 1 se encuentra entre
los puntos 1 y 2 De otra parte para uso de la función FRECUENCIA que haremos posteriormente,
requerimos un intervalo más de los calculados, por eso se toman 15 puntos (para tener 14
intervalos)
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Calcule ahora la frecuencia relativa que por ser “una medida de probabilidad” nos
permite conocer “la distribución de probabilidad de los rendimientos diarios de la
acción en estudio”
Detengámonos acá para algunas interpretaciones de esta frecuencia relativa pero
en términos de probabilidad:
-Qué significa el 0.0311% de la celda M7?
- Es la probabilidad de obtener una rentabilidad diaria menor o igual al valor
mínimo del -44.48210%
-Qué significa el 92.8994% de la celda M15?
- Es la probabilidad de obtener una rentabilidad diaria en el respectivo intervalo; es
decir entre -2.75712% y 3.20359% y más precisamente es la probabilidad de
obtener una rentabilidad diaria mayor que -2.75712% y menor o igual a 3.20359%
Nombre FRECUENCIAS al rango de las frecuencias relativas (M7:M21)
Ahora construya un gráfico (tipo XY Dispersión, con línea suavizada) con los datos
de las columnas INTERVALOS Y FRECUENCIAS, que debe ser similar a la
siguiente gráfica y recordando que la Frecuencia Relativa es una medida de la
Probabilidad:
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Qué tan “parecida” es esta curva a la curva de la distribución normal?, está
centrada? Es más plana?, es menos plana?, es más puntuda?, es menos puntuda
que la Normal?
Recordemos sobre la Rentabilidad esperada y el Riesgo: El promedio de la
variable (rentabilidad) es también conocido como esperanza matemática o valor
esperado; de modo que al tratarse de la rentabilidad diaria diríamos que el
promedio es el valor esperado de dicha rentabilidad. Es decir el inversionista,
estadísticamente, espera como rentabilidad el promedio de la rentabilidad diaria.
La medida de la rentabilidad esperada se
obtiene usando el promedio: momento 1 de su
distribución!
Pero, como la rentabilidad es una variable aleatoria entonces su valores cambian
constantemente sin manera de predecirlos. Los cambios de la variable
(rentabilidad), es decir su dispersión con respecto al valor esperado, se mide
mediante la VARIANZA y su resultado se llama financieramente la volatilidad de la
rentabilidad.
La medida de la VARIANZA no es fácil de interpretar por tratarse de una unidad de
segundo orden y por ello es más usual trabajar con la desviación estándar que es
la raíz cuadrada de la varianza.
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En conclusión la volatilidad (o dispersión) de la rentabilidad en torno a su valor
esperado (promedio) es el riesgo que asume el inversionista y su valor es medido
por la desviación estándar.
Una medida del riesgo de la rentabilidad es la
dispersión en torno a su valor esperado y se mide
usando la desviación estándar, momento 2 de su
distribución!
Entonces: Para responder vamos a calcular los “momentos” de la distribución de
probabilidad de la rentabilidad diaria de la acción de almacenes éxito.
Regrese a la tabla de la columna G: calcule e interprete los parámetros4: Valor
esperado, Mediana, Moda, desviación estándar (riesgo) y varianza.
La rentabilidad esperada y el riesgo asociado son los parámetros de interés en
nuestro estudio del activo riesgosos:
4
Use las funciones Excel apropiadas recordando que estamos trabajando sobre una muestra y no
sobre una población. En las más recientes versiones de Ms-Excel ya aparecen muy bien
discriminadas las funciones para cada caso: Desviación estándar sobre muestra: DESVEST.M() y
varianza sobre muestra: VAR.S()
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La rentabilidad media diaria es el valor esperado (promedio, momento 1) de la
rentabilidad de la acción y en este caso corresponde a un 0.06%; es decir que en
términos de utilidad por cada 100 pesos que se inviertan en la acción se tiene una
utilidad esperada de 6 centavos!!!
El riesgo (de mercado) asociado a esta rentabilidad esperada nos lo mide la
desviación estándar y corresponde al 2,28%. Es decir que la rentabilidad de la
acción “fluctúa” entre el valor esperado menos una desviación estándar
(-2,22227%) y el valor esperado más una desviación estándar (2,35017%).
Este riesgo del 2.28% interpretado en términos de utilidad nos indica que por
cada 100 pesos que se inviertan en la acción se tiene un riesgo de 2,28 pesos!!
Asombroso! el inversionista espera una rentabilidad
del 0.06% y el riesgo que asume es del 2.28%...así
son los activos riesgosos. Por eso es necesario
estudiar su comportamiento acudiendo a los modelos
estadístico, probabilísticos y econométricos.
ACTIVIDAD 3: Calculo de los coeficientes
rentabilidad Diaria5
de sesgo y kurtosis para la
Una curva de distribución normal tiene dos características: el sesgo y la kurtosis, a
los cuales se les conoce también como el tercer y cuarto momentos,
5
A continuación se muestran las fórmulas para calcular tanto el sesgo como la kurtosis:
n
n
 ( xi   
Sesgo 



( n  1)(n  2) i 1   
3
n
n ( n  1)
3( n  1) 2
 ( xi   ) 
Kurtosis 



( n  1)( n  2)( n  3) i 1  
 ( n  2)( n  3)
4
donde
 es la desviación estándar de la muestra.
Por fortuna estos cálculos se realizan con funciones de Excel de modo que nos podemos evitar
estos tediosos cálculos
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respectivamente y que permiten relacionar y estimar la “cercanía”
distribución con la distribución normal.
de la
El sesgo es un indicador que mide la simetría de la curva. En el caso de una curva
normal perfecta, el sesgo será igual a cero. Si éste es distinto de cero, entonces la
curva es sesgada (asimétrica) hacia la izquierda o hacia la derecha, según el
signo del sesgo (de la asimetría)
La kurtosis es el indicador que mide el nivel de levantamiento de la curva respecto
a la horizontal. Esta situación se presenta cuando existen pocas observaciones
muy alejadas de la media. Al fenómeno de alta kurtosis se le conoce como; fat
tails. La kurtosis de una distribución normal perfecta es igual a 3.
Usando
las
funciones
=COEFICIENTE.ASIMETRIA
(rentadiaria)
=CURTOSIS(rentadiaria) en Excel calcule e interprete estos dos coeficientes.
y
De acuerdo a los resultados obtenidos explique la gráfica obtenida en la actividad
anterior ?. Explique.
ACTIVIDAD 4: Cálculo de probabilidad de ocurrencia de un valor de
rentabilidad diaria
Recuerda cuál es el valor esperado de la rentabilidad diaria? Y cuál es el valor de
la desviación estándar?
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Ahora, si parametrizamos la variable “rentabilidad diaria”, cuál es la probabilidad
de que la acción en estudio registre un rendimiento diario ( x ) del 0.5% o menos?
Z 
(x  )

Z 
(0.005  0.0006395 )
 0.190731 ...
0.0228625
Y usando la función =DISTR.NORM.ESTAND(0.190731) se obtiene que la
probabilidad acumulada es 0,576 (57.6%), es decir: la probabilidad de obtener un
rendimiento diario máximo del 0.5% en la acción de Almacenes Éxito es del
57.6%. Como consecuencia de lo anterior la probabilidad de obtener un
rendimiento diario de al menos el medio por ciento (0.5%) es del 42.4%
ACTIVIDAD PRACTICA: Calcule la probabilidad de que la acción registre un
rendimiento diario de máximo -2% diario. (18.3%)
Construya una sección en la hoja que facilite el cálculo de la probabilidad de
obtener una rentabilidad diaria máxima. Use como guía la siguiente figura6.
ACTIVIDAD 5: Nivel de confianza: En la realidad los administradores del riesgo
prefieren determinar un nivel de confianza 7 y a partir de éste definir el rendimiento
asociado a esa probabilidad.
Usualmente el nivel de confianza se ubica entre el 95 y el 99%.
Para una probabilidad (nivel de confianza) del 99%, cuál es el valor de Z?
6
En la celda verde se colocan los valores máximos de rentabilidad a calcular.
El nivel de confianza es el valor de probabilidad de ocurrencia del evento específico al cual
corresponde un valor de la variable parametrizada Z
7
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Usando la función Excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(99%) se obtiene que Z =
2,326347, que puede ser también negativo
Y recordando que
(x  )
, entonces cuál es el valor de la rentabilidad

asociada a dicho nivel de confianza (99%)?
Z 
Despejando se obtiene que: x    Z *  y por tanto, considerando un Z
positivo (2,326347), con   0.0006395 y   0 .0228625 , x= 0,053825, lo que indica
que con una probabilidad del 99% se puede aspirar máximo a una rentabilidad
diaria del 5.36% y por tanto la probabilidad de obtener una rentabilidad mayor al
5.36% es del 1%.
ACTIVIDAD PRACTICA: Calcule la rentabilidad diaria máxima para un nivel de
confianza del 98%. (4.75%) y para un nivel de confianza del 50%? (0.06395%, la
rentabilidad esperada!!!!!). Cómo justifica este hecho?
Construya una sección en la hoja que facilite el cálculo de la probabilidad de
obtener una rentabilidad diaria máxima. Use como guía la siguiente figura:
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ACTIVIDAD 6: Práctica. En un libro nuevo: repita las actividades 1, 2, 3, 4, y 5
para los precios de otra acción descargando los datos de la acción desde:
http://www.superfinanciera.gov.co.
Ahora puede avanzar a la guía sobre otras técnicas para la
volatilidad
medición de la
Bibliografía:
DE LARA HARO, Alfonso. Medición
3ª.Edición.México: Limusa, 2005
y control
de
riesgos
financieros.
MEDINA SERRANO, Antonio. 50 Modelos Financieros con Excel. México: Anaya,
1994.
TALLER: ANALISIS ESTADISTICO DE UN ACTIVO RIESGOSO by Mg. Miguel Angel Rojas is licensed
under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
License.
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