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RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS (ESTADÍSTICA)
Instrucciones: Esté examen está compuesto de 8 preguntas. TODAS sus respuestas finales deberán estar en
TINTA y ENCERRADAS en un recuadro (anexando al examen el desarrollo que le conduce a la misma). De
no hacerlo así no serán consideradas como válidas. El valor de cada pregunta aparece al final de la misma.
1. Dos equipos A y B juegan una serie de partidos hasta que un equipo gane cuatro de ellos. Suponemos que
los partidos se juegan de manera independiente y que la probabilidad de que A gane cualquier juego es p.
¿Cuál es la probabilidad de que la serie dure exactamente cinco partidos? (2 ptos.)
2. Una empresa que ofrece servicios de mantenimiento a diversos hoteles ha recopilado la información
siguiente con respecto a los mecanismos de falla en los sistemas de aire acondicionado:
evidencia de
falla eléctrica
Sí
No
evidencia de escape de
gas
Sí
No
55
17
32
3
Las unidades sin evidencia de escape de gas o de avería eléctrica mostraron otros tipos de fallas. Encuentre la
probabilidad de qué (3 ptos.):
a) la falla implique un escape de gas;
b) exista avería eléctrica dado que había un escape de gas;
c) exista escape de gas dado que hay evidencia de avería eléctrica
3. Para muchas empresas sus clientes son utilizados para evaluar los diseños de una buena parte de sus nuevos
productos. De acuerdo a los registros de una de estas empresas, 95% de los productos exitosos recibieron
buenas calificaciones; 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas calificaciones; y 10% de
sus productos pobres recibieron buenas calificaciones. Además, 40% de sus productos han sido exitosos; 35%
han sido moderadamente exitosos, y 25% han sido productos pobres (3 ptos.).
a) ¿Cuál es la probabilidad que un producto logre una buena calificación?
b) Si un nuevo diseño logra una buena calificación, ¿cuál es la probabilidad que será un producto
exitoso?
c) Si un producto no logra una buena calificación, ¿cuál es la probabilidad que será producto exitoso?
4. La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria X esta dada por
0
F (x) =
x<0
0.2 x 0 ≤ x < 5
1 5≤ x
Determine lo siguiente (4 ptos.):
a) p(x < 2.8)
b) p(x > 1.5)
c) p(x < - 2)
d)p(x > 6)
5. El tiempo que lleva una célula dividirse (llamada mitosis) se distribuye normalmente con tiempo promedio
de una hora y una desviación estándar de 5 minutos (3 ptos.).
a) ¿Cuál es la probabilidad que una célula se divida en menos de 45 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le tome más de 65 minutos a una célula dividirse?
c) ¿Cuál es el tiempo que le tomaría a aproximadamente 99 de todas las células la mitosis completa?
6. Considere una muestra aleatoria de una población que es i.i.d. con media µ y varianza σ2. Se cuenta con los
estimadores siguientes de µ (2 ptos.):
θˆ1 =
X 1 + X 2 + ... + X 7
7
θˆ2 =
2X1 − X 6 + X 4
2
a) ¿Cuál estimador es insesgado? Justifique su respuesta.
b) ¿Cuál estimador es el mejor? Justifique su respuesta.
7. Una marca particular de botanas de dieta fue analizada para determinar el nivel de ácido graso polisaturado
(en porcentajes). Una muestra de seis paquetes dio lugar a los datos siguientes: (2 ptos.)
16.8, 17.2, 17.4, 16.9, 16.5, 17.1
a) ¿Existe evidencia para apoyar el supuesto de que el nivel de ácido graso polisaturado está distribuido
normalmente? Justifique su respuesta.
b) Encuentre un intervalo de confianza al 99% para la media, µ. Proporcione una interpretación práctica
de este intervalo.
8. El error cuadrático medio (MSE) de un estimador, digamos θˆ , es el valor esperado de la diferencia al
cuadrado entre θˆ y θ , es decir: E( θˆ - θ ) 2 = MSE [definición 8.4, WMS (2010,393)]. Es posible demostrar
que el MSE puede reescribirse como
2
MSE(θˆ) = V (θˆ) + [B (θˆ)]
donde B(θˆ) representa el sesgo del estimador θˆ . La expresión anterior indica que si θˆ es un estimador
insesgado de θ , su MSE es igual a la varianza de θˆ . En ocasiones, el MSE es el criterio utilizado para
comparar a dos o más estimadores y conocer así la eficacia relativa de los mismos (siguiendo la idea de la
varianza de los estimadores), esto es, por ejemplo
Eficiencia relativa =
MSE (θ 1 )
MSE (θ 2 )
Considerando lo anterior, suponga que θˆ1 , θˆ2 y θˆ3 son estimadores de θ . Además se sabe que
E (θˆ1 ) = E (θˆ2 ) = θ y E (θˆ3 ) ≠ θ . También se conoce que Var( θˆ1 ) = 12 , Var( θˆ2 ) = 10 y E( θˆ3 - θ ) 2 = 6 .
Compara a los tres estimadores tomando al MSE. ¿Cuál es su preferido? Justifique su respuesta (2 puntos).