Download Pruebas y Soluciones - Departamento de Matemática

“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
DE CIENCIAS BÁSICAS”
Facultad de Ingeniería
Universidad de San Carlos de Guatemala
2007
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Junta Directiva
Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos…………………………………………DECANO
Inga. Glenda Patricia García Soria……………………………….VOCAL PRIMERO
Inga. Alba Maritza Guerrero Spinola……………………………VOCAL SEGUNDO
Ing. Miguel Ángel Dávila…………………………………………VOCAL TERCERO
Br. Kenneth Issur Estrada Ruiz…………………………………….VOCAL CUARTO
Br. Elisa Yazmina Vides Leiva…………………………………….VOCAL QUINTO
Inga. Marcia Ivonne Véliz Vargas………………………………………SECRETARIA
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 2
ÍNDICE
Presentación…………………………………………………………………………………....03
A. Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas…………… …………… 04
 Antecedentes de actividades realizadas en la Facultad de Ingeniería USAC………...04
 Niveles de competencia…………………………………………………….................04
 Pruebas…………………...…………………………………………..…….................05
 Inscripción…………………………………………………………………………….05
 Premios ……………………………………………………………………………….05
 Financiamiento y patrocinio……………..…………………………………................06
 Comisión organizadora…………………………………………..…………................06
B. Contenidos de las pruebas………………………………………………………………08
 Área de Matemática………………………………………………………..…………08
 Área de Física… …………………………………………..……………..…………..09
 Área de Química….…………………………………………….…………………….10
C. Pruebas y soluciones…………….………………..….………………………………….11
 Matemática……………………………………………………………………………12
 Física…………………………………………………………………………………..41
 Química……………………………………………………………………………….59
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 3
PRESENTACIÓN
La Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas es un evento académico programado para
realizarse anualmente con la participación de estudiantes de las diferentes universidades del país,
que competirían - en su primera edición- en las áreas de Matemática, Física y Química.
En este contexto la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala, a
través de la administración del Ingeniero Civil Murphy Olympo Paiz Recinos, se constituye en la
ponente y organizadora de esta I Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas.
Este evento contribuye a la misión del Plan Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación 20052014 en el que se contempla como un punto fundamental “Apoyar la formación de recursos
humanos de alto nivel académico y técnico”, así como incrementar el desarrollo de la Ciencias
Básicas.
Se busca generar incentivos para que los estudiantes universitarios en general, y los de carreras
de orientación científica-tecnológica en particular, se interesen en ampliar y profundizar sus
conocimientos de Ciencias Básicas. Así mismo descubrir valores guatemaltecos, que con su
educación y ejemplo estimulen a la juventud de Guatemala.
El presente documento incluye información general de esta actividad académica, así como las
pruebas y las respectivas soluciones.
“ Id y Enseñad a Todos”
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 4
A. Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
 Antecedentes de actividades realizadas en la Facultad de Ingeniería de la USAC
En el año 2004 la Licenciatura en Matemática Aplicada organizó un certamen denominado Juego
Matemático en el que participaron 60 estudiantes de las distintas carreras que se imparten en la
Facultad de Ingeniería. El evento se organizó en tres niveles de participación que incluían un
problema por nivel que debía ser resuelto usando calculadoras graficadoras Texas Instruments.
Posteriormente, en el 2006, la Dirección de la Escuela de Ciencias de la Facultad de Ingeniería de
la Universidad de San Carlos de Guatemala, con la colaboración de los Departamentos de
Matemática y Física y el respaldo del Decano, organizaron un certamen de Matemática y Física
con el objetivo de promover el interés de los estudiantes de ingeniería por profundizar y mejorar
el aprendizaje de la Matemática y Física, además de tener el fin de localizar a estudiantes con alta
capacidad y conocimientos de estas ciencias. En este evento la participación de los estudiantes se
organizó en dos niveles y fueron premiados los ganadores de los tres primeros lugares. Los
premios fueron: calculadoras, libros de texto, medallas y diplomas.
Para el año 2007 se decidió en ampliar la convocatoria a todos los estudiantes de la USAC y de
otras universidades del país, incluyendo la Química entre las áreas de la competencia,
denominando al evento I Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. Se tiene considerado
en el futuro incluir a Biología entre las áreas a evaluar.
 Niveles de competencia
La competencia se realizó en dos niveles en cada área, definidos de la siguiente manera:
Nivel 1: En él participaron únicamente los estudiantes que ingresaron a cualquier
universidad nacional en los años 2006 ó 2007 y estén cursando primero ó segundo
año de la carrera.
Nivel 2: En él participaron los estudiantes universitarios que no hayan cerrado pensum
en una carrera con el grado de licenciatura.
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 5
 Pruebas
Las pruebas fueron escritas y se realizaron simultáneamente en las instalaciones de la Facultad de
Ingeniería, el 29 de septiembre del 2007, a partir de las 9:00 horas. Cada estudiante participo
únicamente en un área (Matemática, Física o Química), en uno de los dos niveles indicados.
Cada prueba incluyó temas a desarrollar con una duración estimada de 2.5 horas, en esta
primera versión de la olimpiada las pruebas incluyeron problemas de un nivel accesible a sectores
amplios de la población estudiantil universitaria y otros que requieren de conocimientos y
habilidades más desarrolladas.
Para efectos de calificación es tan importante el razonamiento y procedimientos utilizados para
resolver los problemas planteados como la forma en que se escriban y estructuren las soluciones
propuestas por los participantes.
 Inscripción
El estudiante que participó pudo inscribirse a través de la página de la Facultad de Ingeniería –
USAC- ( http://www.ingeniería-usac.edu.gt ) o personalmente en el lugar que su respectiva
universidad estableció.
Únicamente se pudo participar en un área (Matemática, Física y Química), en uno de los dos
niveles indicados.
 Premios
A todos los estudiantes que participaron en la olimpiada se les otorga un diploma de
participación. En cada uno de los niveles descritos para cada área se otorgarán tres medallas
correspondientes a primero, segundo y tercer lugar.
Como incentivo para el mejoramiento en las participaciones de los estudiantes de cada
universidad, se otorga un reconocimiento a las Facultades de cada universidad cuyos estudiantes
muestren un mejor desempeño por equipos, medido a través del promedio obtenido por los
estudiantes participantes de cada una.
Para cada nivel ( I y II ) de cada materia ( Matemática, Física y Química ) los premios fueron:
Primer Lugar
1 Calculadora Voyage
(TEXAS INSTRUMENTS)
1 Lote de 5 libros
Medalla mas Diploma
Segundo Lugar
1 Lote de 3 libros
Q. 800.00 (en efectivo)
Medalla mas Diploma
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Tercer Lugar
1 Lote de 2 libros
Q. 500.00 (en efectivo)
Medalla mas Diploma
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 Financiamiento y patrocinio
 Asignación de Q15,000.00 (Quince mil quetzales) de la línea del fondo de apoyo a la
ciencia y tecnología – FACYT -, según contrato FACYT N.022-2007.
 Asignación de Q8,540.00 (Ocho mil quinientos cuarenta quetzales) del presupuesto de la
Facultad de Ingeniería, Universidad de San Carlos de Guatemala, según acuerdo de Junta
Directiva, punto cuarto del Acta 17-2007.
 Donación de dos calculadoras por la empresa DISTRICAL.
 Donación de un lote de 64 libros por Editorial THOMSON.
 Donación de un lote de 10 libros por Editorial PEARSON
 Donación de un modelo atómico por PROQUIMICA
 Comisión Organizadora
Personas que participaron y contribuyeron en la organización e implementación de la I Olimpiada
Interuniversitaria de Ciencias Básicas.
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Ing. Murphy Olimpo Paiz Recinos, Decano
Ing. Alberto Boy Piedrasanta, Director de la Escuela de Ciencias
Departamento de Matemática
Ing. Arturo Samayoa, Coordinador
Licda. Mayra Castillo
Ing. Silvia Hurtarte
Ing. Helen Ramírez
Ing. Vera Marroquín
Ing. Carlos Garrido
Ing. Oscar Martínez
Ing. Renato Ponciano
Departamento Física
Lic. Amahan Sánchez, Coordinador
Ing. Edgar Álvarez Coti
Ing. Otto Hurtarte
Ing. Luís De León
Área de Química General
Ing. Francisco Rosales, Coordinador
Inga. Casta Zeceña
Ing. Alberto Arango
Ing. Edgar Gamaliel De León
Ing. Byron Aguilar
Administrativo
Inga Mayra Corado
Ing. Pedro Pablo Hernández
Inga. Infieri Yoselin Mackenzie
Facultad de Ciencias Químicas y Farmacia
Dr. Oscar Cobar, Decano
Lic. Mario Manuel Rodas Morán
Universidad Rafael Landivar
Ing. Álvaro Zapeda, Decano
Licda. Zaida Urrutia
Lic. Gomer Castillo
Inga. Hilda Palma
Universidad del Valle de Guatemala
Dr. Adrián Gil, Decano
Ing. Carlos Paredes, Decano
Lic. Alan Reyes
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B. Contenidos de las pruebas
 Área de Matemática
Nivel I
Escuela de Ciencias
Departamento de Matemática
Contenidos
Ecuaciones y Desigualdades
Funciones y graficas
Geometría
Funciones Polinomiales y Racionales
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Funciones Trigonométricas
Trigonometría Analítica
Geometría Analítica
Limites y Derivadas
Reglas de Derivación
Aplicaciones de la Derivada
Nivel II
Escuela de Ciencias
Departamento de Matemática
Contenidos
Integrales
Técnicas de Integración
Aplicaciones de la Integral
Ecuaciones Paramétricas, Coordenadas Polares y Ecuaciones de
las Cónicas en Polares
Sucesiones y Series Infinitas
Vectores y Geometría Analítica en el Espacio
Funciones Vectoriales y Derivadas Parciales
Integrales Múltiples
Cálculo Vectorial
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Modelos Matemáticos y Métodos Numéricos
Ecuaciones Lineales de Orden Superior
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 Área de Física
Nivel I
Mecánica
Escuela de Ciencias
Departamento de Física
Contenidos
Física y mediciones
Vectores
Movimiento en una dimensión
Movimiento en dos dimensiones
Las leyes del movimiento
Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes
de Newton.
Energía y transferencia de energía
Energía Potencial
Cantidad de movimiento lineal y colisiones
Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.
Cantidad de movimiento angular
Equilibrio
Elasticidad
Gravitación Universal
Mecánica de fluidos
Mecánica de fluidos Dinámica
Movimiento oscilatorio
Energía del oscilador armónico simple
Nivel II
Electricidad y
Magnetismo
Escuela de Ciencias
Departamento de Física
Contenidos
Ley de coulumb
Campo eléctrico
Ley de Gauss
Potencial eléctrico
Capacitores y dieléctricos
Corriente y Resistencia
Circuitos Eléctricos
Fuera Magnética
Ley de Ampere
Ley de Faraday y la ley de inducción
Inductancia
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 Área Química
Nivel I
Escuela de Ciencias
Escuela de Química
Contenidos
Ciencia Química y Medición
Teoría Atómica: el núcleo
Teoría Atómica: el electrón
Nivel II
Escuela de Ciencias
Escuela de Química
Contenidos
Estequiometría de las Reacciones
Soluciones
Cinética Química
Equilibrio Químico
Electroquímica
Termodinámica
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C. Pruebas y soluciones
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” .
EXAMEN DE MATEMÁTICA
Nivel I
Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el cuadernillo de
trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro del cuadernillo de trabajo. El
tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1 (20 puntos)
Resuelva las siguientes ecuaciones:
54 6

x
x
a)
2 x  2  18 x 
b)
3 log 2 3 x  4 log 4 x  2  log 1 x  3  3
2
Problema 2 (15 puntos)
Luis y Ana viven en los extremos opuestos de una calle. A las 12:00 p.m. sale Luis hacia la casa
de Ana ha devolverle unos libros caminando a una velocidad de 5 pies/s, simultáneamente sale
Ana hacia la casa de Luis a devolverle unos cuadernos caminando a una velocidad de 3 pies/s. En
el punto de intersección Luis advierte que ha olvidado un libro y decide regresar y entra 30
segundos antes que Ana. Determine la distancia que hay entre la casa de Luis y la casa de Ana.
Problema 3 (15 puntos)
Determine las constantes a y b de modo que
lim
x 0
a bx 1

x
6
Problema 4 (10 puntos)
¿Cuál es el último dígito de 3459?
Continúa al reverso...
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8
Problema 5 (15 puntos)
Una polea ubicada a una altura de 8 pies sostiene a un carrito sobre un plano inclinado que forma
un ángulo de 30 con la horizontal (Vea la figura). Si se suelta cuerda a razón de 0.3 pies/s, halle
el ritmo de cambio vertical y horizontal del carrito, cuando este se encuentra a 3 pies del suelo.
3
30
4
Problema 6 (20 puntos)
Un rectángulo se inscribe en un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm, respectivamente, con
uno de sus lados sobre la hipotenusa y dos de sus vértices sobre los catetos del triángulo (Vea la
figura). Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse.
3
Problema 7 (5 puntos)
Se dan las gráficas de dos funciones. Determine si es posible que alguna sea la derivada de la
otra.
y
f
x
g
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SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE MATEMÁTICA
Nivel I
Por
Ing. Arturo Samayoa D.
Ing. Carlos Garrido L.
Coordinador Departamento de Matemática
Universidad de San Carlos de Guatemala
Jefe de Área Matemática Básica
Universidad de San Carlos de Guatemala
Problema 1 (20 puntos)
a)
Comenzamos reescribiendo la ecuación, esto es:
2x  2 
6 6

9 2 x   
x x

2x  2  3 2x 
2x 
Factorizando un 9 dentro del radical
6 6

x x
6
6
 3 2x   2  0
x
x
Luego hacemos la sustitución u 
2x 
Extrayendo a 9 del radical
Restando
6
a ambos lados de la ecuación
x
6
, y resolvemos la ecuación u 2  3u  2  0 , esto es:
x
u 2  3u  2  0
u  1u  2  0
u 1 y u  2
Ecuación original
Factorizando
Regla del producto cero
A continuación hallamos los valores para x, esto es:
1
2x 
6
x
Haciendo 1  u
2


1   2 x  6 
x

6
1  2x 
x
6

x 1  x  2 x  
x

2
x  2x  6
2x 2  x  6  0
2x  3x  2  0
3
x y x2
2
2
Elevando al cuadrado ambos lados
Ecuación resultante
Multiplicando por x a ambos lados
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Ecuación resultante
Restando x a ambos lados
Factorizando
Regla del producto cero
. 15
De manera análoga
2
2x 
6
x
Haciendo 2  u
2


2   2 x  6 
x

6
4  2x 
x
6

x 4  x  2 x  
x

2
4x  2x  6
2x 2  4x  6  0
2x  1x  3  0
x  1 y x  3
2
Elevando al cuadrado ambos lados
Ecuación resultante
Multiplicando por x a ambos lados
Ecuación resultante
Restando x a ambos lados
Factorizando
Regla del producto cero
Se deja al lector probar que los valores x  
3
, x  2 , x  1 y x  3 satisfacen la ecuación.
2
b)
log 2
 x   log 
3
3
4

x  2  log 1 x  3  3
4
Usando las leyes de los logaritmos
2
1
2
log 2 x  log 2 x  2  log 2 x  3  3
2
21 / 2
log 2 x  log 2 x  2
 log 2 x  3  3
log 2 x  log 2 x  2  logx  3  3
 x x  2  
log 2 
3
 x3 
x x  2 
8
x3
x  3 xx  2   8x  3
 x3 
2
x  2 x  8x  24
2
x  2 x  24  8x  24  24
x 2  2 x  24  8x
x 2  2 x  24  8x  8x  8x
x 2  10 x  24  0
x  6x  4  0
x6 y x4
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Escribiendo los logaritmos en base 2
Usando las leyes de los logaritmos
Simplificando
Reescribiendo como un solo logaritmo
Tomando exponente 2 a ambos lados
Multiplicando por x  3 a ambos lados
Simplificando
Sumando 24 ambos lados
Ecuación resultante
Restando 8 x a ambos lados
Ecuación resultante
Factorizando
Regla del producto cero
. 16
Problema 2 (15 puntos)
Para resolver este problema utilizaremos los pasos para resolver problemas de ecuaciones dados
con palabras.
1.
Identifique una cantidad desconocida y denótela con una variable:
x = distancia que había recorrido Luis al momento de encontrarse con Ana.
2.
Escriba las demás cantidades desconocidas en términos de la variable
seleccionada:
x
= tiempo transcurrido desde que Luis salió de su casa y se encontró con Ana.
5
(Recuerde que el tiempo es igual a la distancia partido la velocidad)
 x
3   = distancia que había recorrido Ana desde que salió de su casa hasta que se encontró con
 5
Luis.
x
(Recuerde que la distancia es velocidad por tiempo, el tiempo transcurrido es
segundos)
5
3.
Relacione las cantidades, un dibujo quizá ayudará.
3x/5
x
Casa de Ana
Casa de Luis
8x/5
2 x = distancia total recorrida por Luis
x
3x 8 x
= distancia total recorrida por Ana

5
5
2x
= tiempo total empleado por Luis (Recuerde que el tiempo es igual a la distancia partido la
5
velocidad)
8x
5  8 x = tiempo total empleada por Ana
3 15
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. 17
4.
Identifique la condición y plantee la ecuación:
El tiempo de Luis es igual al tiempo de ana menos 30 segundos (Ella entró 30 segundos después),
esto es:
2x 8
 x  30
5 15
5.
Resuelva la ecuación y pruebe la solución:
2x 8
 x  30
5 15
2x 8
8
8
 x  x  x  30
5 15
15
15
2
 x  30
15
 15  2 
 15 
     x     30
 2  15 
 2
x  225
Ecuación original
Restando
8
x a ambos lados
15
Ecuación resultante
15
a ambos lados
2
Solución
Multiplicando por 
Por lo tanto la distancia que hay entre la casa de Luis y la casa de Ana es de
3
225  225  360 pies.
5
Problema 3 (15 puntos)
Advierta que para que haya la posibilidad de que el límite exista es necesario que
0
a  b  x  0 , cuando x  0 , lo cual provocaría una forma indeterminada del tipo . Luego
0
2
la única posibilidad de a  b  x  0 cuando x  0 es que b  a .
A continuación manipulamos algebraicamente el límite, esto es:
a bx
x
 a  b  x  a  b  x 


 lim 
 a  b  x 
x 0
x



2
a  b  x 
 lim
x 0
x a bx
Límite original
lim
x 0

 lim
x 0

a2  a2  x


Simplificando

Sustituyendo b  a 2

xa a x
2
Multiplicando por el conjugado
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. 18
 lim
x 0

x

Simplificando
x a  a2  x
1
 lim
x 0
a  a2  x
1

a  a2  0
1

2a
1 1

2a 6
2a  1   2a  1 
 2a 
6
a
1
3
31  3 a 
3
a3
Simplificando
Evaluando el límite
Valor del límite
Igualando
Multiplicando por 2a a ambos lados
Ecuación resultante
Multiplicando por 3 a ambos lados
Solución
Por lo tanto b  3  9 .
2
Problema 4 (10 puntos)
Comenzamos observando las primeras diez potencias de 3, esto es:
30
1
31
3
32
9
33
27
34
81
35
243
36
729
37
2187
38
6561
39
19683
Observe que cada cuatro potencias se repite el último dígito. Por lo tanto cada potencia múltiplo
de 4 tiene como último dígito el 1. Pero el número 459 no es múltiplo de 4. Recuerde que un
número es múltiplo de 4 cuando sus últimos dos dígitos son cero o múltiplos de 4. De allí que el
número más pequeño que 459 múltiplo de 4 sea 456.
El comportamiento para el último dígito para las potencias mayores a 456 es el siguiente:
3456
1
3457
3
3458
9
3459
7
Usando un programa de computadora es fácil verificar que
3459 =
996909917130598194491288426359384373451581180562170262182935024385227514557774
530021322021291413232275306949119748233954970573663604023829504491047217550860
935720992184795139779324486163563006547299780574813665516707067
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 19
Problema 5 (15 puntos)
Para comenzar consideramos al carrito como una partícula sobre el plano inclinado. A
continuación introducimos algo de notación, esto es:
x = distancia horizontal que separa al carrito de la pared
y = distancia vertical que separa al carrito del suelo
z = longitud de la cuerda
8-y
La siguiente figura ilustra esta situación.
z
x
y
30
3
De la figura es posible establecer que 8  y   x 2  z 2 ( 1 ) y que tan 30 
y
( 2 ) .
x
2
Despejando y de ( 2 ) e introduciendo en ( 1 ), se obtiene: 8  x tan 30  x 2  z 2 . A
continuación derivamos ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo, esto es:
2
8  x tan 302  x 2  z 2
28  x tan 30 tan 30x  2 xx  2 zz 
 16 tan 30  2x tan

30  2 x x  2 zz 
2 zz 
x 
 16 tan 30  2 x tan 2 30  2 x
2 zz 
x 
2
 1 
 1 
 16
  2 x
  2 x
 3
 3
2 zz 
x 
16 2

 x  2x
3 3
2 zz 
x 
16 8

 x
3 3

2

Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
Ecuación original
Derivando ambos lados
Factorizando x  del lado izquierdo
Despejando x 
Simplificando
Simplificando
Simplificando
. 20
2 zz 
16  3  8

 x

3  3  3
2 zz 
x 
16 3 8

 x
3
3
2 zz 
x 
 16 3  8 x
3
6 zz 
x 
 16 3  8 x
6 zz 
x 
2  8 3  4x
3zz 
x 
 8 3  4x
x 

Racionalizando
Simplificando
Sumando las fracciones del denominador
Simplificando

Factorizando un 2 en el denominador
Simplificando
Sin embargo, advierta que el ritmo de cambio horizontal x  necesita que se conozca previamente
la distancia vertical y y la distancia horizontal x. Nuevamente del dibujo es posible establecer
que:
sin 30 
y
3
, de donde y  3 sin 30 
3
2
De manera análoga
cos 30 
x
3
, de donde x  3 cos 30 
3  2.6
3
2
Luego, para hallar la longitud de la cuerda en ese instante, nuevamente hacemos uso de la
ecuación ( 1 ), esto es:
8  y 2  x 2  z 2
8  3sin 302  3 cos 30  z 2
8  3sin 302  3 cos 302  z 2
Ecuación original
Sustituyendo
Simplificando
2
2
1 
3

  z2
 8  3     3 
2 
2 

Simplificando
2
2
 13   3 3 
 z2
  

2  2 
169 27

 z2
4
4
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
Simplificando
Simplificando
. 21
196
 z2
4
49  z 2
49  z 2
z7
Simplificando
Simplificando
Sacando raíz a ambos lados
Solución
Sustituyendo en la expresión para x  obtenemos:
x 
3zz 
 8 3  4x
3
37  
 10 
x 
 3

 8 3  4 3

2


63
10
x 
8 3  6 3
63
x   10
2 3
63
x  
20 3

63  3 

x    


 20 3  3 
63 3
60
21
x  
3
20
x  1.82 p/s
x  
Expresión original
Sustituyendo
Simplificando
Simplificando
Simplificando
Racionalizando
Simplificando
Simplificando
Valor aproximado de x 
Advierta que el ritmo de cambio horizontal es negativo porque x es una magnitud que tiende a
disminuir.
Para hallar el ritmo de cambio horizontal derivamos ambos lados de la ecuación ( 2 ), con
respecto al tiempo esto es:
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 22
y
x
y  x tan 30
y   tan 30x
tan 30 
Ecuación original
Despejando y
Derivando ambos lados
 1  21 
y   
 
3
 3  20 
21
y  
20
y   1.05 p/s
Sustituyendo
Hallando el valor de x 
Simplificando
Observe que el ritmo de cambio vertical es también negativo, puesto que y es una magnitud que tiende a
disminuir.
Problema 6 (15 puntos)
Comenzamos hallando la hipotenusa del triángulo, esto es:
introducimos algo de notación:
32  4 2  25  5 . A continuación
x = ancho del rectángulo inscrito
h = alto del rectángulo inscrito
En la siguiente figura se ilustra este hecho:
A
4-t
a
5
G
4
B
a
t
x
F
b
E
h
b
s
D
C
3-s
3
De la figura es posible establecer que s 2  t 2  x 2 ( 1 ).
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 23
Luego advierta que ACE  AGB, puesto que los dos tienen un ángulo recto y un ángulo a. Por
lo tanto se cumple que
4t h

5
3
4t  h
5
  5 
 5  3
5
4t  h
3
5
4t 4  h4
3
5
t  h4
3
5

 1 t   1 h  4 
3

5
t  4 h
3
Ecuación original
Multiplicando por 5 a ambos lados
Simplificando
Restando 4 a ambos lados
Simplificando
Multiplicando por -1 a ambos lados
Despejando t
Advierta también que ACE  DEF, puesto que los dos tienen un ángulo recto y un ángulo b.
Por lo tanto se cumple que
3 s h

5
4
3 s  h
5
  5 
 5  4
5
3 s  h
4
5
3 s 3  h 3
4
5
s  h3
4
5

 1 s   1 h  3 
4

5
s  3 h
4
Ecuación original
Multiplicando por 5 a ambos lados
Simplificando
Restando 3 a ambos lados
Simplificando
Multiplicando por -1 a ambos lados
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
Despejando s
. 24
Sustituyendo las expresiones para s y t en la ecuación ( 1 ), obtenemos:
s2  t 2  x2
2
Ecuación original
2
5  
5 

2
3  h   4  h  x
4  
3 

40
25
30
25
16  h  h 2  9  h  h 2  x 2
3
9
4
16
125
625 2
25 
h
h  x2
6
144
Sustituyendo
Desarrollando los binomios
Simplificando
2
25 

2
5  h  x
12 

Factorizando
2
25 

2
5  h  x
12


25
x  5 h
12
Por qué x  5 
Extrayendo raíz cuadrado a ambos lados
Despejando x
25
25 

h y no x   5  h  , porque si h  0 , es lógico pensar que x  5 y no a
12
12 

– 5.
A  xh
De allí que el área del rectángulo sea:
Pero de acuerdo al último resultado el área del rectángulo puede inscribirse sólo en términos de h,
esto es:
25 

Ah    5  h h
12 

A continuación hallamos el domino físico de esta función:
5
25
h0
12
25
h5  05
12
25
 h  5
12
 12  25   12 
    h      5
 25  12   25 
12
h
5
Desigualdad original
5
Restando 5 a ambos lados
Simplificando
Multiplicando por 
12
a ambos lados
25
Simplificando e invirtiendo el signo
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 25
Sin embargo h, es una magnitud física que existe, por lo tanto el dominio de la función es:

 12 
D  h I h   0, 
 5 

Pero a fin de emplear el criterio de comparación en el procedimiento de optimización en intervalo
 12 
cerrado, tomaremos como dominio de la función el intervalo 0,  sin mayores repercusiones
 5
(No se afecta el valor ni la posición del máximo absoluto).
A continuación la optimización de A:
25 

Ah    5  h h
12 

25
Ah   5h  h 2
12
25
Ah   5  h
6
25
5 h  0
6
25
5 h5  05
6
25
 h  5
6
 6  25 
 6
    h     5
 25  6 
 25 
6
h   1.2
5
A continuación valuamos h 
Función original
Simplificando
Derivando la función
Igualando la derivada a 0
Restando 5 a ambos lados
Simplificando
Multiplicando por 
6
a ambos lados
25
Despejando h
6
y los extremos del dominio a fin de establecer los máximos o
5
mínimos de la función, esto es:
25 

A0   5  00  0
12 

25  12   12 
 12  
A    5       0
12  5   5 
5 
25  6   6 
6 
A    5       3
12  5   5 
5 
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
Valuando en 0
Valuando en
12
5
Valuando en
6
5
. 26
Por lo tanto el área alcanza su valor máximo cuando la altura del rectángulo es de
6
cm. El
5
25  6  5
    2.5 . Por lo tanto las dimensiones del rectángulo de
12  5  2
6
5
mayor área que puede inscribirse son de
de alto 
de ancho, ambos en centímetros.
5
2
ancho del rectángulo es x  5 
Problema 7 (10 puntos)
Comenzamos dividiendo el eje x en diferentes intervalos, como se muestra en la siguiente figura.
y
e
f
d
a
x
g
b
c
A partir de la figura, es posible establecer lo siguiente en cada intervalo.
Intervalo a: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Por otro lado g es creciente y f está arriba
del eje x.
Intervalo b: f es decreciente, pero g está arriba del eje x. Por otro lado g es creciente y f está arriba
del eje x.
Intervalo c: f es decreciente, pero g está arriba del eje x. Además g es decreciente y f está abajo
del eje x.
Intervalo d: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Por otro lado, g es decreciente y f está
debajo del eje x.
Intervalo e: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Además, g es creciente y f está arriba del
eje x.
Por lo tanto g es la función y f es su derivada. ¿Es posible concluir esto sólo con el hecho de que
una función alcanza sus valores máximos o mínimos donde la derivada es cero?
No, Observe que estas dos funciones son muy particulares. Cada una de ellas, alcanza sus
valores máximos o mínimos donde la otra es cero.
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 27
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” .
EXAMEN DE MATEMATICA
Nivel II
Instrucciones: A continuación aparecen varios problemas, resuélvalos correctamente dejando
clara constancia de los procedimientos que le permitieron resolverlos. El tiempo máximo para
responder la prueba es de 2 horas.
Problema 1 (20 puntos)
Suponga que en la cascada que se muestra la figura A contiene inicialmente 100 galones de
etanol puro y que el tanque B contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque A fluye
agua pura a razón de 10 gal/min y las otras dos tasas de flujo son también 10 gal/min. (a)
Determine las cantidades x(t) & y(t) de etanol que hay en los dos tanques en el instante t  0 .
(b) Determine la máxima cantidad de etanol que llega a tener el tanque B.
Problema 2 (20 puntos)

Compruebe el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo
F  yiˆ  xzˆj  x 2 kˆ que
es la frontera del triángulo cortado del plano x  y  z  1 por el primer octante, en sentido
antihorario, vista desde arriba.
Problema 3 (10 puntos)
Encuentre los puntos del elipsoide
x 2  2 y 2  3z 2  1 donde el plano tangente es paralelo al
plano 3x  y  3z  1 .
Continúa al reverso...
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 28
Problema 4 (30 puntos)
Evalúe: (10 puntos cada uno)
a)
b)
d
 sen   tan 

dx
x 3 x (1  3 x ) 2
c) Sin utilizar el teorema fundamental del cálculo y analizando la simetría del integrando
1

1
x2  1  x 1
dx
2
x 1  x 1
Problema 5 (10 puntos)
La superficie de la cortina de una presa está inclinada y forma un ángulo de 45º con la horizontal,
tiene forma rectangular de 4 metros de largo y una altura inclinada 3 metros medida sobre la
pared inclinada. Calcule la fuerza hidrostática sobre la cortina cuando el embalse está lleno.
Problema 6 (10 puntos)
Una esfera de radio 5 pies y un cono de altura 6 pies y radio 3 se encuentran colocados sobre un
plano horizontal. Determine a qué altura se deben cortar ambas figuras con un plano horizontal
para que el volumen en la parte inferior de ambas sean iguales y cuál es ese volumen.
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 29
SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE MATEMÁTICA
Nivel II
Por:
Ing. Arturo Samayoa Dardón
Coordinador Depto. Matemática
Universidad de San Carlos de Guatemala
Inga. Vera Gladis Marroquín
Jefe de Área Matemática Intermedia
Universidad de San Carlos de Guatemala
Ing. Oscar A.Martínez Lobos
Profesor Departamento de Matemática
Universidad de San Carlos de Guatemala
Problema 1 (20 puntos)
Suponga que en la cascada que se muestra la figura A contiene inicialmente 100 galones de
etanol puro y que el tanque B contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque A fluye
agua pura a razón de 10 gal/min y las otras dos tasas de flujo son también 10 gal/min. (a)
Determine las cantidades x(t) & y(t) de etanol que hay en los dos tanques en el instante t≥0. (b)
Determine la máxima cantidad de etanol que llega a tener el tanque B.
Solución:
Analizando por separado las cantidades de etanol en cada uno de los tanques:
Tanque A
dx
x
 0  10
dt
100

1
 t
10
x  ke
x  100e


1
t
10
xt   100e
dx
1
 0  dt
x
10

Como cuando t  0 ; x  100
ln x  
1
t c
10
0
 100  ke

xe

1
t c
10
 k  100
entonces la cantidad de etanol en cualquier instante
en el tanque A es:
1
 t
10
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 30
Tanque B
1
t 

100e 10 10


dy 
  10 y

dt
100
100

1
t
10
1
1
t
1
e dy  e 10 ydt  10dt
10
Como cuando t  0 ;
y0

1
t
dy
y
 10e 10 
dt
10


ye
0  0  c1
1
t
10
t
dy 1
 y  10e 10
dt 10

 10t  c1
 c1  0

y
10t
1
e 10
Por lo tanto la cantidad de etanol es: y t  
t
10t
1
e 10
t
Máximos
1
dy

dt
1
t
1 10t
e
10
 101t 
e 




2
10e 10  10t

dy 10  t
 1
t
dt
e 10
Valor critico:
10  t  0

t  10
dy
por lo tanto
es positiva para t  0 y negativa para t  0
dt
así que la cantidad máxima de etanol en el tanque B es cuando t  10 y es y10
10 *10
100
entonces: y10 

y10 
e
e
Por consiguiente la cantidad máxima de etanol en el tanque B es
100
galones (aproximadamente
e
36.788 galones).
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 31
Problema 2 (20 puntos)

Compruebe el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo F  yiˆ  xzˆj  x 2 kˆ que es
la frontera del triángulo cortado del plano x  y  z  1 por el primer octante, en sentido
antihorario, vista desde arriba.
Solución:
z
Curva 3
x  t ; dx  dt
y  0 ; dy  0
Curva 2
x  0 ; dx  0
(0,0,1)
y  1  t ; dy  dt
C2
C3
z  t ; dz  dt
z  1  t ; dz  dt
y
(0,1,0)
C1
Curva 1
x  1  t ; dx  dt
(1,0,0)
x
y  0  t ; dy  dy
z  0 ; dz  0
 
 
F
.
d
r



F
 dS


c
S
Por integral de línea
Curva 1

1
0
ti  1  t 0 j  1  t  
2
t2
k   dti  dtj  0k     tdt  
0
2
1
1

0
1
2
Curva 2
 1  t i  0tj  0 k  0i  dtj  dtk   0
1
2
0
Curva 3

1
0
1

t3
1
0i  t 1  t  j  t k  dti  0 j  dtk     t dt  

0
30
3
Entonces
2
 
1
1
1
2
5
 F.dr   2  0  3   6
c
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 32
i


 F 
x
y
i

dy
xz
k

  xiˆ  2 x ˆj  z  1kˆ
z
x2


iˆ  ˆj  kˆ
3
 
1
 3x  z  1
  F  
3
 
  dydx
1 1 x
1 dydx


F
 dS     F       3x  1  x  y   1
S
0 0
3 1
 kˆ
R
3
  3x  1  x  y   1dydx     4 x  y  dydx
1 1 x
1 1 x
0 0
0 0

1
1
1
2
   4 x1  x   1  x   dx    1  3x  7 x 2  dx   5
0
0
2
2 
6


2
Como 
5
5
  se cumple el Teorema de Stokes
6
6
Problema 3 (10 puntos)
2
2
2
Encuentre los puntos del elipsoide x  2 y  3z  1 donde el plano tangente es paralelo al
plano 3x  y  3z  1 . (10 puntos)
Solución:
La superficie sobre la cual se encuentran los puntos es: x 2  2 y 2  3z 2  1
Estos puntos son tangentes al plano: 3x  y  3z  1
Por lo que el vector normal de la superficie x 2  2 y 2  3z 2  1 , la cual se le designará como
F ( x, y, z ) , es igual o algún número múltiplo o submúltiplo del vector gradiente del plano
3x  y  3z  1 al cual se le denominará G( x, y, z )
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 33
Utilizando los vectores normales a ambas superficies F ( x, y, z)  kG( x, y, z) , donde k está
representando la multiplicidad de uno sobre el otro. De esta ecuación se pueden establecer las
siguientes ecuaciones:
Fx ( x, y, z)  kGx ( x, y, z)
2 x  k (3)
x
3k
2
Fy ( x, y, z )  kG y ( x, y, z )
4 y  k (1)
y
k
4
Fz ( x, y, z)  kGz ( x, y, z)
6 z  k (3)
z
k
2
Estando las variables x,y,z en función de k se sustituyen en x 2  2 y 2  3z 2  1 = F ( x, y, z ) pues los
2
2
2
3 
 k
k
puntos a encontrar pertenecen a esta superficie:  k   2    3   1
2 
 4
2
Resolviendo para k:
9 2 k2 3 2
k 
 k 1
4
8 4
k
2 2
5
Por lo tanto los puntos del elipsoide x 2  2 y 2  3z 2  1 donde el plano tangente es paralelo al
plano 3x  y  3z  1 son:
3 2
2 2  3 2 2
2

 & 

,

,
,
,

 5
 

10
5
5
10
5

 

Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 34
Problema 4 (30 puntos)
Evalúe: (10 puntos cada tema)
a)
b)
d
 sen   tan 

dx
x 3 x (1  3 x ) 2
c) Sin utilizar el teorema fundamental del cálculo y analizando la simetría del integrando
1

1
x2  1  x 1
dx
x2  1  x  1
Conocimientos previos:
Identidades trigonométricas
cos 2
Solución.
Sea: w  tan

2
x 1  cos x

2
2
x
2  cos x
x
1  tan 2
2
1  tan 2
diferenciando de ambos lados queda:
x
x
sin x  2 sin cos
2
2
cos  
x
2
1  tan 2
dw 
2dw


 d
2dw  1  tan 2 d  2dw  1  w2 d 
2
1  w2

Por las identidades anteriores se tiene que:

sin x 
2 tan
x
2
1

sec 2 d
2
2

1  w2
1  w2
sin  
2w
1  w2
Llevando la integral a funciones seno y coseno
d
 sen   tan 

cos  d
 sin  cos   sin 
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 35
Haciendo las sustituciones correspondientes:
 1  w 2  2dw


2 
2
1

w
cos  d

 1 w

 sin  cos   sin    2w  1  w 2   2w 



2 
2 
2 
 1  w  1  w   1  w 

=
=
=



2 1  w 2 dw
 2w 1  w 2  2w 1  w 2



1  w dw
 w1  w


2
2
 1  w2

1  w dw
2
2w
=
1 dw 1

wdw
2 w 2
=
1
1
ln w  w 2  c
2
4
Sustituyendo por la variable original queda:
cos  d
 sin  cos   sin 

b)

x
3
3

1
 1

ln tan  tan 2  c
2
2 4
2
dx
x (1  3 x ) 2
dx
x

x 1 x

2
=
=

dx
1  2 x 13  x 2 3 


dx
 56 
1
2
x 1  2 x 3  x 3 


x
1 1
2 3
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 36
u6  x
Haciendo
y diferenciando ambos lados

6u 5du
dx

x
3

x 1 x
queda:
dx

=
2

u 
6
6u 5du
5
6
 
1  2 u 6


6u 5 du
=  5
u 1  2u 2  u 4

6du
2
 u4
=
 1  2u
=
 u
6du
2
1
3
 
 u6
2
3






1
2
Haciendo sustitución trigonométrica a partir de:
Sea tan  u
u2  1
u
Diferenciando ambos lados queda:

sec 2 d  du
1
por lo tanto:
 u
6du
2

1
2
=
=
=
=
=
=
=
=
sec  u 2  1
sec2   u 2  1
6 sec2  d
 sec4 
6d
 sec 
6 cos  d
2
2
 1  cos 2 
6 
d
2


3 d  3 cos 2 d
3
3  sin 2  c
2
3
3  2 sin  cos   c
2
3  3 sin  cos   c
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 37
Regresando a la variable u:
 u
6du
2

1
 u  1 

c
3 tan 1 u  3
 2

2
 u  1  u  1 
=
2
Si se regresa a la variable original queda:
dx

x
3

x 1 x

3 tan 1 6 x  3 3
=
2
6
x
c
x 1
c) Sin utilizar el teorema fundamental del cálculo y analizando la simetría del integrando

1
1
x2  1  x 1
dx
2
x 1  x 1
Si se analiza
Donde:
f x  
f x  
x2 1  x 1
x2 1  x 1
x2  1  x  1
x2  1  x  1
*
x2  1  x  1
x2  1  x  1
 f x  
x
x2 1 1
esta es una
función impar
0.6
Se observa con claridad que la gráfica es
simétrica respecto al origen por ser impar,
por lo que el resultado de la integral es
“cero”
0.4
0.2
-2

1
1
x2  1  x 1
dx  0
2
x 1  x 1
-1
1
2
-0.2
-0.4
-0.6
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 38
Problema 5 (10 puntos)
La superficie de la cortina de una presa está inclinada y forma un ángulo de 60º con la horizontal,
tiene forma rectangular de 4 metros de largo y una altura inclinada 3 metros medida sobre la
pared inclinada. Calcule la fuerza hidrostática sobre la cortina cuando el embalse está lleno.
Solución
h
H
3sen45o=
(x,y)
y
45º
45º
3cos45o=
Sea
tan  
y
x

La fuerza total es Ft 
3 2
2
3 2
2
x  3y
Fv 2  Fh 2
Analizando la fuerza vertical total en la cortina:
dFv
h
dFh
Peso específico es g    10,000
H
(x,y)
y
45º
H  3 sin 45 o

dA  4dx,
h
sin 45o 
H
F  g  hdA
a
Resolviendo la integral queda
H
3
por lo tanto
3 2
2
3 2
 y,
2
b
Si
dFv  g hdA donde:
Sea
a0 &
b
3 2
2
3 2



 2  x 4dx


que Fv  90000 newtons

Fv  10,000
3 2
2
0
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 39
Analizando la fuerza horizontal total en la cortina:
dFh  g d dA donde:
Sea:
h
dFh
H
cos 45 o 
(x,y)
y
45º
B
3
por lo tanto
B  3 cos 45 o
dA  4dy, d 
3 2
 y, a  0 &
2
Si F  g  d dA
b
a
FT 
Por lo tanto:

B
3 2
2
3 2
2
b
Fh  10,000
900002  900002

3 2
2
0
3 2



Fh  90000 newtons
 2  y 4dy


entonces: FT  90,000 2 newtons
Otra forma con los ejes sobre la cortina ( ver figura):
Area
A
3

4dx y profundidad
x
4dx  10000 2 x 2
0
450
x
h
2
x
h
Entonces
F  10000
3
0
2
3
0
 90000 2 newtons
y
h
x
dx
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 40
Problema 6 (10 puntos)
Una esfera de radio 5 pies y un cono de altura 6 pies y radio 3 se encuentran colocados sobre un
plano horizontal. Determine a qué altura se deben cortar ambas figuras con un plano horizontal
para que el volumen en la parte inferior de ambas sean iguales y cuál es ese volumen.
Solución:
2
h
   25   y  52  dy =
0



6 y
 
 dy
0
 2 
3

2
h

=
12
 15  hh 2

h 108  18h  h 2

Igualando ambos resultado

12


h 108  18h  h 2 

3
 15  hh 2
Resolviendo la ecuación queda: h  0,
Se toma el valor de h 

h



3
3
13  109 , h  13  109
5
5


3
13  109 por estar dentro del intervalo físico del problema, así que el
5
volumen es:
3
Volumen de la esfera bajo el plano de corte =   5
13
109
0
= 
Volumen del cono bajo el plano de corte
= 
= 

2

2 


25

y

5

 dy



18
 251  17 109  pies cúbicos
25

3
13 109
5
0

 6  y  2

 dy
 2 

18
 251  17 109  pies cúbicos
25
Por lo tanto, la altura a la que deben ser cortadas ambas figuras debe ser
3
h  13  109 pies.
5


Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 41
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” .
EXAMEN DE FÍSICA
Nivel I
Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el cuadernillo de
trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro del cuadernillo de trabajo.
Problema 1 (25 puntos)
En una demostración conocida como carro balístico, una pelota se proyecta verticalmente hacia
arriba desde un carro que se mueve con velocidad constante a lo largo de la dirección horizontal.
La pelota cae en el contenedor del carro porque ambos tienen el mismo componente horizontal de
velocidad. Ahora considere un carro balístico sobre un plano inclinado que forma un ángulo
con la horizontal, como se ve en la figura. El carro (incluyendo sus ruedas) tiene una masa
y
el momento de inercia de cada una de las dos ruedas es
.
a. Con el uso de la conservación de la energía (suponiendo que no haya fricción entre el
carro y sus ejes) y suponiendo movimiento de rotación puro (sin deslizamiento),
demuestre que la aceleración del carro a lo largo del plano inclinado es
b. Nótese que el componente de la aceleración de la pelota soltada por el carro es
.
Entonces, el componente de de la aceleración del carro es menor que la de la pelota por
el factor
. Utilice este dato y ecuaciones de cinemática para demostrar que
la pelota rebasa al carro en una cantidad
, donde
es la rapidez inicial de la pelota impartida a ella por el resorte del carro.
c. Demuestre que la distancia
y
que la pelota recorre medida a lo largo del plano inclinado
es
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 42
Problema 2 (25 puntos)
Dos resortes, ambos con longitud no estirada de 0.200 m pero diferentes constantes de fuerza
, están unidos a extremos opuestos de un bloque de masa
en una superficie plana sin
fricción. Ahora los extremos exteriores de los resortes se unen a dos agujas
que están a
0.100 m de las posiciones originales de los extremos de los resortes (vea la figura). Sea
(a) Calcule la longitud de cada resorte cuando
el bloque está en su nueva posición de equilibrio después de fijarse los resortes en las agujas. (b)
Calcule el período de vibración del bloque si se desplaza un poco de su nueva posición de
equilibrio y se suelta.
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 43
Problema 3 (25 puntos)
Un extremo de un poste de altura que pesa 400 N descansa en una superficie horizontal áspera
El extremo superior se sujeta con una cuerda fijada a la superficie que hace un
ángulo de
con el poste (vea la figura). Se ejerce una fuerza horizontal sobre el poste
como se muestra. A) Si se aplica en el punto medio del poste, ¿qué valor máximo puede tener
sin hacer que el poste resbale? b) ¿Y si el punto de aplicación está a
de la longitud del poste
desde la base? c) Demuestre que si el punto de aplicación de la fuerza está a suficiente altura, no
puede hacerse que el poste resbale, por más grande que sea la fuerza. Calcule esta altura crítica.
Problema 4 (25 puntos)
Un cubo sólido de lado
y masa
se desliza sobre una superficie sin fricción con velocidad
uniforme , como se muestra en la figura a. Golpea un pequeño obstáculo que está en el extremo
de la mesa, lo cual hace que el cubo se incline como se ve en la figura b. Encuentre el valor
mínimo de tal que el cubo caiga de la mesa. Nótese que el momento de inercia del cubo
alrededor de un eje a lo largo de una de sus aristas es
. (Sugerencia: El cubo
experimenta una colisión inelástica en la arista)
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 44
SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA
Nivel I
Por:
Lic. Gomer Castillo
Departamento de Física
Universidad Rafael Landivar
Ing. Edgar Alvarez Cotti
Ing. Otto Hurtarte
Departamento de Física
Coordinador de Física Básica
Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala
Problema 1
a) Para el carro considere un movimiento que inicia desde el reposo, a través de una
distancia sobre el plano inclinado. Por conservación de energía:
Luego, por cinemática, puesto que la aceleración es constante:
c) Puesto que la pelota es lanzada desde un carro en reposo, esta se moverá con una
aceleración
a lo largo del plano inclinado, y con una aceleración
perpendicular al plano inclinado. Bajo esta configuración
y por cinemática:
La distancia , a lo largo del plano inclinado, que la pelota recorre en el tiempo anterior será:
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 45
b) Así la pelota rebasa al carro por una distancia igual a:
donde
Por tanto,
Problema 2
a) Puesto que la fuerza neta del resorte en su nueva posición de equilibrio debe ser cero:
Entonces, las longitudes en la nueva posición de equilibrio son; para el resorte 1, 0.250 m y para
el resorte 2, 0.350 m.
b) A partir de la nueva posición de equilibrio si se desplaza el bloque un poco hacia la
derecha, entonces la fuerza neta sobre el bloque será:
De los resultados de la primera parte, la expresión dentro de los corchetes es cero, así, la fuerza
neta sobre el bloque es
y la constante equivalente del resorte es
,
por tanto:
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 46
Problema 3
a) Sea el punto donde la cuerda está fijada al suelo y B el punto donde la cuerda está fijada
al poste,
el ángulo entre la cuerda y el poste,
sobre el poste y
la fuerza normal que el suelo ejerce
la fuerza de fricción que el suelo ejerce sobre el poste, entonces
Sustituyendo (2) en (1)
Ahora, de (2) se tiene que
y aplicando el hecho de que
se tiene entonces que
b) De las relaciones del inciso anterior
Sustituyendo (2) en (1)
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 47
Aplicando de nuevo las condiciones del inciso anterior:
c) De las condiciones del primer inciso, y asumiendo que
se aplica a una altura
del suelo
Sustituyendo (2) en (1)
Aplicando de nuevo las condiciones del primer inciso:
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 48
Para la expresión anterior, conforme
,
crece desmesuradamente
con lo que queda demostrado que después de cierta altura desde el suelo al aplicar una fuerza
de cualquier magnitud el poste no resbalará. La altura crítica se obtiene al igualar la expresión
anterior a cero:
Problema 4
Durante la colisión inelástica se conserva la cantidad de movimiento angular, con lo que
Para que la caja caiga, debe cumplirse la condición de que el centro de masa de la caja alcance su
máxima altura a medida que la caja esta rotando, es decir,
Ahora, usando
conservación de energía,
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 49
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” .
EXAMEN DE FÍSICA
Nivel II
Instrucciones: El examen se presenta en la modalidad de selección múltiple, de las cuatro
posibilidades escoja la que más se aproxime a su respuesta después de calcular. Si ninguna es
semejante a su resultado, marque la opción ninguna es correcta (NEC). El o los examinadores
no están en el salón para resolver dudas, solamente para velar la pureza de la prueba.
Primera Serie (50 puntos)
1) La figura muestra dos cargas puntuales separadas a una distancia de 20 cm. En que región el
campo eléctrico producido por ambas cargas puede tener una resultante igual a cero
a) Region I
b) Region II
c) Region III
d) Region I y III
e) NEC
I
II
+ 15µC
25 cm
III
- 9µC
2) Las cargas eléctricas A y B se atraen entre sí. Las cargas eléctricas B y C también se atraen
una a la otra. Si se mantienen juntas A y C, que pasará entre ellas
a) Se atraerán b) Se repelerán c) Una no afectará a la otra d) Falta Información e) NEC
3) Una línea de carga infinita (Hint: considérela como una varilla) produce un campo de 8.0 x
103 N/C a una distancia de 5.62 m. el valor de la densidad lineal  en C/m esta dado por
a) 5.5 x 10 -6
b) 2.5 x 10 -6
c) 4.5 x 10 -6
d) 1.5 x 10 -6 e) NEC
4) La figura muestra un sólido, limitado por un círculo de radio r= 25 cm y por una
superficie paraboloide. Si el sólido está sumergido en un campo eléctrico
uniforme y constante de magnitud E= 4.5 x 106 N/C, la magnitud del flujo a través E
de la superficie paraboloide, en unidades SI, tiene un valor de:
a) Cero
b) 3.26 x 105
c) 6.75 x 105
d) 8.84 x 105 e) NEC
5) Considere dos superficies esféricas concéntricas, S1 con radio a y S2 con radio 2a, ambas
centradas en el origen. Hay una carga +q en el origen y ninguna otra. Compare el flujo 1 que
atraviesa S1 con el flujo 2 que atraviesa S2
a) 1 = 42
b) 1 = 22
c) 1 = 2
d) 21 = 2
e) 41 = 2
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 50
6) Se tienen dos cargas sobre la base de un triangulo equilátero de 3 cm de lado. La
carga Q1=  3x1012 C y la carga Q2 = 3 x 1012 C. En el vértice de arriba se
coloca una carga Q3 = 1.5 C. La magnitud del Campo Eléctrico resultante (en
N/C) y su dirección en el lugar donde estaría ubicada Q3 es:
a) 15
b) 30
c) 15
d) 30
e) NEC
7) La magnitud y dirección de la Fuerza Eléctrica ( en N) resultante sobre la carga
Q3 es de
a) 22.5
b) 45.0
c) 22.5
d) 45.0
e) NEC
Q3
Q1
+Q2
8) Refiriéndonos al problema anterior, en la configuración mostrada, cuál es el potencial eléctrico
(en V) en el lugar donde está situada la carga Q3
a) 3.50 x 108
b) 1.35 x 10–06
c) 2.70 x 10–12
d) Cero
e) NEC
9) Una esfera conductora inicialmente neutra tiene un radio de 50 cm. ¿Cuántos electrones hay
que quitarle para producir un potencial de 9kV en su superficie?
a) 1.19 x 1012
b) 1.87 x 1012
c) 2.42 x 1012
d) 3.13 x 1012 e) NEC
10) A cierta distancia de una carga puntual, la magnitud del Campo Eléctrico es 800 N/C y el
potencial eléctrico es de 3.00 kV, cuál es la distancia a la carga expresada en m?
a) 6.0
b) 0.006
c) 0.004
d) 3.75
e) NEC
11) Para el problema anterior, cuál es la carga expresada en C?
a) 1.25
b) 0.00125
c) 2.0
d) 0.002
e) NEC
12) Un capacitor de placas paralelas está bajo una diferencia de potencial Vo. Si la diferencia de
potencial se duplica, en que factor cambia la energía almacenada Uf/Uo
a) ½
b) 1
c) 2
d) 4
e) NEC
13) Un capacitor de placas paralelas está conectado a una batería que tiene un voltaje constante
entre sus terminales. Si entonces se separan las placas del capacitor:
a) disminuyen tanto el campo eléctrico como la carga en las placas
b) el campo eléctrico permanece constante, pero la carga en las placas no
c) el campo eléctrico permanece constante, pero la carga en las placas disminuye
d) el campo eléctrico aumenta, pero la carga en las placas disminuye
e) Ninguna es correcta
14) Un conductor circular transporta una corriente de 2A. ¿Cuántos electrones pasan a través de
cierta área transversal en 7 minutos?
a) 1.20x1021
b) 3.17x1021
c) 5.25x1021
d) 7.10x1021
e) NEC
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 51
15) En su casa de habitación (con un voltaje de 120 V) se encuentran funcionando 6 bombillas de
100W cada una, una lavadora que consume 2500 W, una plancha que consume 1200 W y un
calentador que consume 900 J/s. Cuanta carga por unidad de tiempo (C/s) pasa por la caja de
flipones en esas condiciones.
a) 5.62
b) 19.27
c) 29.83
d) 43.33
e) NEC
16) Refiriéndonos a la pregunta anterior, cuál es el costo (en US $ /kWh) en un mes de 31 días,
para mantener encendidas durante las 24 horas del día, las 6 bombillas de 100 W cada una, si el
costo de la energía eléctrica es de US $ 0.15/ kWh.
a) 0.67
b) 67
c) 670
d) 6700
e) NEC
17) El potencial eléctrico en V en el espacio entre las placas de cierto tubo al vacío está dado por
V= 1600 X2 + 90, en donde V está en voltios y X es la distancia a partir de una de las placas en
metros. El campo eléctrico en V/m en x = 2.5 cm está dado por:
a) 80 i
b) 63 i
c) – 80 i
d) – 63 i
e) NEC
18) Cuando se aplica 115 V entre los extremos de un alambre conductor recto de 9.66 m de
longitud, la densidad de corriente es de 1.42 A/cm2. El campo eléctrico (en N/C) tiene un valor
de
a) 1064
b) 10.64
c) 11.90
d) 1190.28
e) NEC
19) Cuando dos resistores idénticos se conectan en paralelo con una batería, la potencia total
disipada por ellos es de 40W. Si posteriormente se conectan esos mismos resistores en serie con
la misma batería, la potencia total disipada en W será
a) 10
b) 20
c) 40
d) 80
e) 160
20) El plano de una bobina rectangular de 5 cm x 8 cm, es perpendicular a un campo magnético
B. Si la bobina tiene 75 vueltas y una resistencia total de 8 . La rapidez con la que tiene que
cambiar B con respecto del tiempo, para que haya una corriente inducida de 0.1 A, expresada en
Teslas/s, tiene un valor de
a) 0.80
b) 1.33
c) 1.60
d) 2.67
e) NEC
Segunda Serie (50 puntos)
Problema 1
Una varilla de masa m y de resistencia eléctrica R, puede deslizarse sin fricción sobre unos rieles
metálicos y que en su parte final se encuentran unidos por una pieza de metal del mismo material
formando un ángulo θ con respecto a la horizontal, dicha varilla es tirada por una cuerda que pasa
por una polea ideal sin fricción y que en su otro extremo tiene atada un masa M > m. En toda la
región existe un campo magnético vertical y hacia arriba B. Si inicialmente el sistema se
encuentra en reposo. Calcule:
a) Como esta dada la velocidad de la varilla como función del tiempo.
b) Cuál es el máximo valor de la velocidad vm de la varilla (Suponga que los riele son
suficientemente largo y que se alcanza dicha velocidad)
c) De manera práctica ¿Cuál es el valor aproximado del tiempo para el cual se alcanza dicho
valor de la velocidad vm?
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 52
d) Como esta dado el desplazamiento de la varilla y ¿cual será su valor para el tiempo en el
inciso c)?
Problema 2
Una esfera de radio R y con densidad de carga uniforme ρv, se le obtura un agujero esférico de
radio R/4, cuyo centro se encuentre a una distancia R/2 del centro de la esfera. Calcule:
a) El campo y el potencial eléctrico en el punto B(2R, R)
b) El campo eléctrico en A un punto interior de la esfera hueca. Describa las características
de dicho campo.
c) Cuanto trabajo hace el campo cuando una partícula de carga q se transporta de B(2R,R) a
C(2R,-R) a través de la curva 2R(x – 3/2R) = y2
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 53
SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA
Nivel II
Por:
Lic. Gomer Castillo
Departamento de Física
Universidad Rafael Landivar
Ing. Edgar Alvarez Cotti
Ing. Otto Hurtarte
Departamento de Física
Coordinador de Física Básica
Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala
Primera Serie
1. La única región en donde el campo eléctrico puede ser cero es la Región III, debido a que
en dicha región el campo de la carga de + 15μC el cual es repulsivo, decrece
suficientemente para poder ser anulado por el campo de la carga de - 9 μC es atractivo y
de menor intensidad. c)
2. A y B se atraen, por lo que son de signo contrario.
B y C se atraen, por lo que son de signo contrario.
Conclusión A y C son de igual signo, por lo que se deberán repeler. b)
3. De la ley de Gauss


 o  E  dS  qencerrada
 o E (2rL)  L

E
2 o r
b)
  E (2 o r )  2.5  10 6 C/m


4.  E   E  dS EA  E (r 2 ))  8.84  105 Nm2 /C
d)
5. Las superficies S1 y S2 encierran la misma carga, por lo que  S1   s 2
6.
ER  E cos( / 3)  E cos( / 3) 

ER  (30 N / C ) xˆ
Q
(2 cos( / 3)
4 0 r 2
c)
1


7. F  Q3 ER  (1.5  106 C )(30 N / C ) xˆ  (45  106 N ) xˆ
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
b)
d)
. 54
V 
8.
1 Q
1 Q

 0V
4 0 r
4 0 r
V 
1 Q
4 0 r
9.
d)
Q  (4 0 r )V  500  10  9 C
d)
Q
N e   3.125  1012 electrones
e
E
10.
1
Q
4 0 r 2
.V 
1 Q
4 0 r
d)
V
 r  3.75 m
E
Q  (4 0r )V  1.25  106 C
11.
U0 
12.
1
CV02
2
Uf 
a)
1
1
C (2V0 ) 2  CV02 (4)
2
2
d)
Uf
4
U0
13. De las ecuaciones, abajo, se observa que si aumenta d, tanto Q como E disminuirán.
Q  CV  (
0 A
d
)V
Q  I  t  840
14.
Ne 
y
E
V
d
a)
C
Q
 5.25  1021 electrones
e
c)
Pt  6  100  2500  1200  900 W  5200 W
15.
I
Pt
 43.33 A
V
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
d)
. 55
16.
E  (600W)(24h )(31d)  446.4 kW - h
C  Cu E  $66.96
E  V  
17.
V
i
x
b)
c)
V
E  80 i
m
J  1.42 A/cm 2
18.
E
V
 11.90 V/m
L
19.
PT  40 W,
P
2
V
R
c)
PR  20 W
 V  20 R
2
 20 R 
  5W
PR  I R  

 2R 
PT  5W  5W  10W
a)
2
20.
dB IR

 2.66 T/s
dt NA
d)
Segunda Serie
Problema 1
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 56
D.C.L. masa M
D.C.L. masa m
Resolviendo la parte electromagnética:
d B
d
 
  ( BLx cos( ))
dt
dt
  BLv cos( )
BLv cos( )
R
R
B 2 L2 v cos( )
FB  ILB 
R
I


Ley de Faraday
Fem Inducida
Corriente Inducida
Fuerza de Interacció n
Resolviendo la parte mecánica:
Del D.C.L de m
F
x
 ma
T  FB cos   mg sin   ma
Del D.C.L de M
F
y
 Ma
Mg  T  Ma
Resolviendo para a
 B 2 L2 cos 2  
v  m  M a
Mg  mg sin   
R


Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 57
dv
, la ecuación anterior se transforma en
dt
dv  B 2 L2 cos 2    Mg  mg sin  
v 

0
dt  m  M R  
mM

la ecuación anterior se puede representar como una ecuación diferencial separable haciendo
 B 2 L2 cos 2  
 Mg  mg sin  
 y B  
A  
 , así


m

M
R
m

M




Dado que a 
dv
B

  A v   , cuya solución es
dt
A

B
v  1  e  At
A

v
b)
vm


B
1  e  At
A


M  m sin  gR
 lim v 
B 2 L2 cos 2 
t 
c)   A 1 representa un constante de tiempo
Tm  5 A 1 
5R
B 2 L2 cos 2 

dx
 v m 1  e t / 
dt
d)



x  x0  vm t  vm 1  e t / 
dx  vm 1  e t /  dt


Problema 2
 0  E  ds  qe ,
Entonces, E 
E
v
en el interior, y
3 0
1 QT
, donde QT es la carga total de la esfera.
4 0 R 2
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. 58
a) Carga de esfera grande: Q
Carga eliminada del agujero: q
4
Q  R 3 v
3
3
4 R
Q
q     v 
3 4
64
Por el principio de superposición
E  EQ  E q
E

Q
4 0 
1
 3



R
a

R
a
y
2 Ra x  Ra y 
1  Q  2 x


 
3/ 2 
3/ 2


4

64


9
4R 2  R 2


0

 R 2  R2  
 
  4


3

 ax  ay 
1 Q  2
1
1  Q  2


E
ax  3/ 2 ay  

2  3/ 2
2 
3/ 2


4 0 R  5
4

5

0  64 R   13 
  

  4 

1 Q
E
0.1748a x  0.0867a y
4 0 R 2

V
1
Q
4 0 5R
b) En el interior de la esfera

2 1/ 2

E
1


Q
4 0 13R 2
v
r,
3 0
ET  E  E H 
64

1/ 2
4
EH 

Q
0.438546
4 0 R
1
v
r
3 0
v
r  r  v
3 0
3 0
R 
 2 a x 
ET es un campo uniforme en el interior del agujero.
c) Por la simetría VA  VB , V  0 , entonces
W  qV  0
El trabajo neto es cero.
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 59
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” .
EXAMEN DE QUÍMICA
Nivel I
Instrucciones generales: El presente examen, consta de dos series. Dispone dos horas para
resolver su examen. Puede utilizar: tabla periódica, calculadora con las cuatro operaciones
básicas. No puede utilizar: ningún aparato electrónico (celular, ipod, mp3).
Primera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos)
Instrucciones: A continuación se le presentan 20 preguntas de selección múltiple, subraye el
inciso considere correcto.
EVALUACION DE TODO EL CONTENIDO PROGRAMATICO.
1.
Es la medida de la inercia que adquiere un cuerpo en base al movimiento.
a. Fuerza
b. Masa
c. Energía
d. Presión
e. Ninguna
2.
En cual de los siguientes descriptores se sucede una reacción química:
a. Calentamiento a ebullición de la leche
b. Contracción volumétrica por enfriamiento del mercurio.
c. Oxidación del hierro en condiciones ambientales
d. Licuefacción del cobre
e. Ninguna
3.
Cuál es el número máximo de electrones en una reempe d?.
a. Diez
b. Seis
c. Dos
d. Tres
e. Ninguna
4.
Los metales de transición tienen su electrón diferencial en:
a. Reempe s
b. Reempe p
c. Reempe d
d. Reempe f.
e. Ninguna
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 60
5.
Los elementos se agrupan en columnas según:
a. Su número atómico
b. La posición del electrón diferencial en la reempe
c. El nivel cuántico principal del electrón diferencial
d. Su número de masa.
e. Ninguno
6.
Cual elemento posee 6 electrones en su último nivel electrónico:
a. Boro
b. Carbono
c. Nitrógeno
d. Oxigeno
e. Ninguno
7.
Cual elemento comparte 3 electrones para
equivalente a gas noble:
a. Boro
b. Carbono
c. Nitrógeno
d. Oxigeno
e. Ninguno
8.
Si dos elementos tienen cuatro electrones en el último nivel de su configuración es
porque:
a. Pertenecen al mismo periodo
b. Tienen cuatro niveles de energía
c. Pertenecen al mismo grupo periódico.
d. Poseen igual masa atómica.
e. Ninguno.
9.
El hidrogeno, el deuterio y el tritio se diferencian entre sí por el número de:
a. Protones
b. Neutrones
c. Electrones
d. Electrones y neutrones
e. Ninguno
10.
Cuando los electrones compartidos en una unión química pertenecen a uno solo de los
átomos, se denomina al enlace:
a. Covalente
b. Covalente coordinado.
c. Iónico
d. Covalente polar
e. Ninguno
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
alcanzar configuración electrónica
. 61
11.
En base a la electronegatividad de Pauli el enlace covalente menos polar entre dos
elementos se da en:
a. C – N
b. C – O
c. C – F
d. C – Ne
e. Ninguno
12.
El número de oxidación del cloro molecular es:
a. Menos uno
b. Uno
c. Cero
d. Tres
e. Ninguno
13.
El nombre que recibe el trióxido de manganeso en el sistema clásico:
a. Oxido mangánico
b. Anhídrido mangánico
c. Anhídrido manganoso
d. Oxido manganoso
e. Oxido permangánico
14.
Para la reacción C4H10(g) + O2(g) → CO2(g) + H2O(g)
estequiométricos, respectivos en los enteros mas sencillos son:
a. 1, 13/2, 4, 5
b. 1, 13, 4, 5
c. 2, 13, 4, 5
d. 2, 13, 8, 10
e. Ninguno
15.
Según el tipo de reacción
a. Análisis
b. Síntesis
c. Sustitución
d. Desplazamiento
e. Metátesis
16.
Señale cual afirmación es falsa respecto al concepto de gas ideal:
a. Sus partículas son iguales en tamaño, forma y masa.
b. Las fuerzas de interacción entre sus partículas son despreciables
c. La energía promedio de sus moléculas solo depende de la temperatura.
d. Existen a presiones bajas y temperaturas altas.
e. No es licuable bajo ningunas condiciones.
los coeficientes
HCl(g) + NH3(g) → NH4Cl(s) esta es una:
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 62
17.
En base a la teoría cinética de los gases ideales. Cuál de las siguientes proposiciones
es falsa.
a. Los choques entre las moléculas de un gas son elásticos.
b. Cada molécula posee una energía cinética igual al promedio de las energías de
todas.
c. El movimiento de las moléculas es caótico, pero en línea recta.
d. Las fuerzas intermoleculares y el volumen ocupado por las moléculas son
despreciables.
e. No existe a presiones altas y temperaturas altas
18.
Una masa de 20g, sufre un incremento de 32˚Celsius. A cuántos grados de
temperatura equivale en Rankine.
a. 89.6 R
b. 57.6 R
c. 549.6 R
d. 17.78 R
e. Ninguno
19.
Una vasija tiene las siguientes medidas, 20.5216 cm de largo, 6.537 cm de ancho y
4.0 cm de alto. Cuál es el volumen de la vasija?. Exprese su resultado con el número
correcto de cifras significativas.
a. 536.59 cm3
b. 5.36 E 2 cm3
c. 5.4 E 2 cm3
d. 536.5908 cm3
e. Ninguno
20.
Considere los elementos A, B, y C, cuyas configuraciones del electrón diferencial
son: A: 5, 1, 1, ½; B: 5, 1, 0, ½; C: 4, 1, 0, ½ . Ordénelos según su
electronegatividad decreciente.
a. A, B y C
b. B, C y A
c. C, A y B
d. A, C y B
e. Ninguna
Segunda Serie (Cada respuesta correcta 12 puntos)
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas, dejando una constancia objetiva, lógica,
explícita y ordenada de su procedimiento en el cuadernillo proporcionado para el efecto,
anotando la respuesta específica en el temario.
Se calificará procedimiento y respuesta correcta.
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 63
ANALISIS DIMENSIONAL
1. La abundancia isotópica de Hidrógeno elemental es: 0.99985 de hidrogeno (H), 0.00012 de
deuterio (D) y 0.00003 de tritio (T). Existen tres clases de agua: H2O (agua), D2O (agua
pesada) y T2O (agua superpesada). Si las abundancias isotópicas de hidrogeno equivalen
completamente a las abundancias de clases de agua. ¿Cuántos kg de agua pesada se pueden
obtener de 1 tonel agua?.
RESPUESTA:
ENERGÍA ELECTROMAGNETICA
2. Albert Einstein ganó el Premio Nobel de la Física por explicar el efecto fotoeléctrico, que es
la emisión de electrones de una superficie al ser irradiada con un haz de luz. Una lámina de
oro es irradiada con un haz de luz y los e- emitidos crean una corriente eléctrica de 2
amperios. ¿Cuál es la mínima energía absorbida por la lámina en 2 segundos? ¿cuál es la
intensidad del haz de luz?
RESPUESTA:
ENLACE Y NOMENCLATURA
3. Determine el número de enlaces iónicos y covalentes para las oxisales sódicas del cloro.
RESPUESTA:
Denominación
Formula
Enlace
Iónico
covalente
ESTEQUIOMETRÍA (LEYES PONDERALES)
4.
El estaño (Sn) y el oxígeno (O) se combinan para formar dos óxidos diferentes. Uno
contiene 78.77% de Sn y el otro 88.12% de Sn. Encuentre el peso equivalente de Sn en
cada uno de los dos óxidos y demuestre que los valores concuerden con lo indicado en la
ley de las proporciones múltiples (Ley de Dalton).
RESPUESTA:
GASES IDEALES
5. Una mezcla de gases está formada por 88 g de C3H8 y 80 g de un gas desconocido. La
mezcla ocupa un recipiente rígido de 40 L y su temperatura es de 25°C. La presión total del
sistema es 2.79 bar. ¿Cuál es la masa molar del gas desconocido?
RESPUESTA:
“la imaginación es tan importante como el conocimiento”
Albert Einstein
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 64
SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA
Nivel I
Por
Dra. Casta Zeceña
Ing. Byron Aguilar
Departamento de Química General
Universidad de San Carlos de Guatemala
Departamento de Química General
Universidad de San Carlos de Guatemala
Primera Serie
1. B
2. C
3. C
4. C
5. B
6. D
7. C
8. C
9. B
10. B
11. A
12. C
13. B
14. D
15. B
16. A
17. B
18. B
19. C
20.A
Segunda Serie
1. Respuesta 0.02725 Kg. de D2O
Solución
Datos: masa H = 1.00018 uma
Masa D2O = 19.999 g/mol
Masa H2O = 17.99936 g/mol
Densidad H2O = 1 Kg/ L
1 tonel agua (54 gal agua / 1 tonel agua) (3.785 L agua / 1 gal agua) (1 Kg agua / 1 L agua)
(1 Kmol agua / 17.99936 Kg agua) (0.00012 Kmol D2O / 1 Kmol agua)
(19.999 Kg D2O / 1 Kmol D2O) = 0.02725 Kg D2O
2. Respuesta 0.0369 KJ ; 2.496 E 19 fotón Datos:
Solución
Datos: Ei Au: 890 KJ/mol
F = 96485 C/mol
2 C/s (1 mol e/ 96485 C) (890 KJ / mol) (2s) = 0.0369 KJ
2 C/s (1 mol e/96485 C) (1 mol fotón / 1 mol e) (6.022e23 fotón / 1 mol fotón) (2s)=
2.496E19 fotón
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 65
3. Respuesta
Denominación
Hipoclorito de Sodio
Clorito de Sodio
Clorato de Sodio
Perclorato de Sodio
Formula
NaClO
NaClO2
NaClO3
NaClO4
No. de enlaces
iónico
covalente
1
1
1
2
1
3
1
4
4. Respuesta: Relación es 29.68 a 59.34 en números enteros es de 1:2
Solución
Por definición del peso equivalente gramo será la cantidad de Sn que se combine con 8g de
oxigeno así para el primer óxido se encuentra que el oxigeno combinado en 100g del óxido es:
(100 – 78.77) = 21.23g
(78.77g Sn/21.23g O) = (Xg Sn/8.0g O)
X= 29.68g peso equivalente del Sn.
Para el segundo óxido
(88.12g Sn/11.88g O) = (Xg Sn/8.0g O)
X= 59.36g peso equivalente del Sn
Y la relación entre los pesos equivalentes gramos es 29.68 a 59.34 que corresponden a la relación
1:2 que es de números enteros y sencillos.
5. Respuesta M = 31.98 g/mol.
Solución
Datos: T = 25°C
V = 40 L
P = 2.79 bar
masa C3H8 = 88g
masa X = 80g
(2.79 bar) (1atm/1.01325bar) = 2.753 atm
nt = ((40L * 2.754 atm)/(0.082062 L-atm/mol K) ( 298.15 K)) = 4.502 mol
moles de C3H8 = (masa C3H8 / masa molar C3H8) = (88g) (44g/mol) = 2 moles C3H8
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 66
Según Dalton
nt = moles C3H8 + moles X
moles X = nt – moles C3H8
moles X = 4.502 mol – 2 mol = 2.502 mol X
moles X = (masa X/masa molar X)
Masa molar X = (masa/moles) = (80g/2.502mol) = 31.98g/mol
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. 67
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” .
EXAMEN DE QUÍMICA
Nivel II
Instrucciones: A continuación se le presentan varios cuestionamientos, léalos con atención,
resuélvalos y luego marque su respuesta subrayando con TINTA el inciso correspondiente en
cada problema.
Primera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos)
1.
Cierta reacción química tiene como ecuación de velocidad experimental v = k[A]2[B], si la
[A] se duplica y la [B] se reduce a la mitad, ¿qué ocurrirá con la velocidad de reacción?
a) Se duplica
b) Se cuadruplica
c) Sigue igual
d) Se triplica
e) Ninguna
2.
Después de cinco períodos de vida media para una reacción de primer orden, ¿qué fracción
de reactivo permanecerá?
a) 1/5
b) 1/10
c) 1/32
d) 5/2
e) Ninguna
3.
Si se observa una línea recta con pendiente negativa al graficar ln[reactivo] contra tiempo,
¿de qué orden es la reacción?
a) Orden fraccionario
b) Segundo orden
c) Orden cero
d) Primer orden
e) Ninguna
4.
Cuando los coeficientes estequiométricos de una ecuación balanceada se multiplican por
algún factor, la constante de equilibrio para la nueva ecuación es:
a) La constante antigua elevada a la potencia del factor de multiplicación
b) La constante antigua multiplicada por el factor de multiplicación
c) La constante antigua dividida por el factor de multiplicación
d) La constante antigua
e) Ninguna
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 68
5.
Cuando dos o más ecuaciones químicas se suman para producir una ecuación neta, la
constante de equilibrio para la ecuación neta es:
a) La adición de las constante de equilibrio
b) El cociente de las constantes de equilibrio
c) El producto de las constantes de equilibrio
d) La diferencia de las constantes de equilibrio
e) Ninguna
Segunda Serie (Cada respuesta correcta 3 puntos)
6.
La presión total para la mezcla de N2O4 y NO2 es 1.5 atm. Si Kp es 6.75 a 25 oC, para el
equilibrio NO2(g)
N2O4(g) , ¿cuál será la presión parcial de NO2(g) en la mezcla?
a)
b)
c)
d)
e)
1.097 atm
0.403 atm
0.194 atm
0.660 atm
Ninguna
7.
¿Cuál será el voltaje para la celda Pb / Pb+2 // Ag+ / Ag si las concentraciones de los iones
plomo y plata son 1.5 M y 0.015 M respectivamente?
a) 0.69 V
b) 0.93 V
c) 1.43 V
d) 0.82 V
e) Ninguna
8.
En una bomba calorimétrica se determina el calor desprendido por la reacción entre
aluminio sólido en polvo y oxígeno gaseoso, para formar óxido de aluminio sólido. En
experimentos anteriores se determinó que los materiales de la bomba, sin incluir el agua,
absorben 63 J por cada 1.00 oC de aumento en la temperatura. Con 0.300 g de aluminio y
exceso de oxígeno sellados en la bomba conteniendo 800 g de agua, la temperatura del
agua y de su contenido cambia de 21.00 a 23.50 oC después de completar la reacción.
¿Cuál será el calor liberado por mol de aluminio que reacciona?
a)
b)
c)
d)
e)
767.29 kJ
194.18 kJ
420.00 kJ
113.40 kJ
Ninguna
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 69
9.
Experimentalmente se ha determinado que ∆Hro para la combustión completa de octano es –
5470.68 kJ / mol. ¿Cuál será ∆Hfo para el octano?
a)
– 4791.33 kJ
b)
– 5720.63 kJ
c)
– 249.95 kJ
d)
– 285.83 kJ
e)
Ninguna
10.
Una solución acuosa de HClO4 tiene concentraciones molar y molal de 4.36 y 5.36
respectivamente. ¿Cuál será su densidad expresada en g/cc?
a) 1.251
b) 1.122
c) 1.300
d) 1.157
e) Ninguna
11.
Para un análisis determinado se requieren 225 cc de HNO3 al 30%, con densidad de 1.17
g/cc. ¿Cuántos cc de ácido concentrado, de densidad 1.42 g/cc que contiene 70% de HNO3
en peso, debe diluirse con agua para preparar los 225 cc de la solución requerida?
a) 157.50
b) 96.43
c) 67.50
d) 79.45
e) Ninguna
12.
¿Cuál será la energía de activación para una reacción que a 500 oC se completa 50% en 5
minutos, mientras que a 600 oC la misma reacción se completa 50% en 2 minutos?
a)
b)
c)
d)
e)
13.
22.85 kJ/mol
51.43 kJ/mol
74.28 kJ/mol
37.14 kJ/mol
Ninguna
Una solución de 0.07265 g de una hormona en 100 mL de solución tiene una presión
osmótica de 12.60 mmHg a 21.6 oC. ¿Cuál es la masa molecular de la hormona?
a)
b)
c)
d)
e)
77.7
521.1
943..1
1060.41
2.32x105
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 70
14.
Una solución que contiene cierta cantidad de un compuesto “X” disuelto en 75 g de ácido
acético, CH3COOH, se congela a 14.40 Celsius. Otra solución que contiene esta misma
cantidad de “X” disuelto en 75 g de ciclohexano hierve a 82.32 Celsius. El punto normal
de congelación del ácido acético es 16.60 Celsius y su Kc 3.90 oC/m. El punto normal de
ebullición del ciclohexano es 80.74 Celsius. ¿Cuál es el valor para la constante
ebulloscópica del ciclohexano?
a)
b)
c)
d)
e)
15.
2.82 oC/m
2.20 oC/m
1.59 oC/m
0.51 oC/m
Ninguna
Una solución que contiene 20 g de un soluto que no es volátil en exactamente 1 mol de un
disolvente volátil, tiene una presión de vapor de 0.500 atm a 20 Celsius. Se agrega un
segundo mol de solvente a la mezcla y la solución resultante tiene una presión de vapor de
0.550 atm a 20 Celsius. ¿Cuál es la presión de vapor del disolvente puro a 20 Celsius?
a)
0.20 atm
b) 1.05 atm
c)
0.61 atm
d) 0.44
e)
Ninguna
Tercera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos)
Señale mediante una X en el paréntesis correspondiente, la respuesta correcta para cada uno de
los siguientes ejercicios
16. La carga total que transporta una mole de electrones es:
a. ( ) 1 Culombio
b. ( ) 6,02 x 1023 Culombios
c. ( ) 1 Faraday
d. ( ) 1 Amperio
17. Cuando una batería de plomo se esta cargando,
a. ( ) el dióxido de plomo se consume,
b. ( ) el ácido sulfúrico es regenerado
c. ( ) el electrodo de plomo se recubre se sulfato
d. ( ) el electrodo del electrolito disminuye.
18. En una celda voltaica, el cátodo:
a. ( ) siempre es metal puro
b. ( ) atrae los iones positivos de la solución electrolítica.
c. ( ) puede ser un metal inerte
d. ( ) tiene carga positiva
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. 71
19. Cuando un acumulador de plomo se está descargando,
a. ( ) se regenera el dióxido de plomo
b. ( ) se consume el sulfato de plomo
c. ( ) se consume el ácido sulfúrico
d. ( ) se concentra el electrolito
20. Se desea que el equilibrio se desplace hacia la derecha (productos) para la reacción en fase
gaseosa: 2NO + 2 CO
N2 + 2 CO2 + 179. 4 kcal Las mejores condiciones son:
a. ( ) Temperatura alta y alta presión
b. ( ) Baja temperatura y alta presión
c. ( ) Temperatura alta y baja presión
d. ( ) Temperatura y presión ambientales
21. La reacción de A + B
el siempre de reacción.
a.
b.
c.
d.
P, es de primer orden a A; al duplicarse la concentración de A,
( ) Se duplica
( ) Se triplica
( ) Se reduce ala mitad
( ) Es igual
22. Para la reacción C + 2 D
E, se ha obtenido experimentalmente la ley de velocidad
v = K [C] [D]. Si las concentraciones de C y D se duplican simultáneamente, la velocidad:
a. ( ) Se duplica
b. ( ) Se reduce ala mitad
c. ( ) Se hace 4 veces mayor.
d. ( ) Es igual
23. Un catalizador.
a. ( ) afecta un sistema en equilibrio
b. ( ) hace que la reacción alcance el equilibrio mas rápido
c. ( ) aumenta la energía cinética de los reactivos
d. ( ) se puede consumir durante la reacción
24. Una solución de HCI pH = 1, la concentración de la solución debe ser:
a. ( ) 2M
b. ( ) 0.02 M
c. ( ) 0.01
d. ( ) 1 M
25. Para convertir 100 ml de HCI = 1 en otra de pH = 2, es necesario:
a.
b.
c.
d.
(
(
(
(
) evaporar 50 ml de agua
) Adicionar 100 ml de agua
) adicionar 900 ml de agua
) Adicionar 0.1 mol de ácido clorhídrico
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. 72
26. Señale la formación correcta:
a. Ganancia de electrones indica oxidación
b. Los iones negativos son atraídos por el cátodo
c. Para formar una mol de CI2 se requiere 2 Faraday
d. la cantidad corriente no depende del tiempo.
e. la resistencia de una solución se mide en amperios
27. la energía de activación de una reacción puede ser disminuida por:
a. ( ) disminución de la temperatura
b. ( ) adición de un catalizador
c. ( ) remoción de los productos a medida que se obtienen.
d. ( ) incremento de la presión
28. Para la reacción: 4NH3 (g) + 502(g)
4NO (g) + 6H20(g)
La velocidad de desaparición de NH3 es igual a la velocidad de:
a. ( ) desaparición de O2
b. ( ) formación de H2
c. ( ) Formación de NO
d. ( ) Ninguna de las anteriores
29. Un catalizador:
a. ( ) disminuye la energía de activación
b. ( ) aumenta la frecuencia de las colisiones
c. ( ) produce un efecto de orientación en las moléculas
d. ( ) incremente la energía cinética de los reaccionantes
30. En cuál de los siguientes casos, la reacción se acerca más a la completación:
a. ( ) Ke = 62,8
b. ( ) Ke = 4 x 102
c. ( ) Ke = 1,2 x 10-5
d. ( ) Ke = 0,03
Cuarta Serie (Cada respuesta correcta 6 puntos)
Instrucciones: Lea con atención los siguientes problemas, y luego resuélvalos dejando
constancia de todo su procedimiento.
1.
Un matraz contiene una mezcla de los compuestos A y B, compuestos que se
descomponen mediante cinéticas de primer orden. Las vidas medias son 50.0 minutos
para A y 18.0 para B. Si las concentraciones de A y B son iguales al inicio, ¿cuánto
tiempo transcurrirá para que la concentración de A sea cuatro veces la de B?
2.
Una tetera de 2.0 L contiene 116 g de una costra formada por residuos de CaCO3 que se
han acumulado por hervir agua. ¿Cuántas veces tendría que llenarse la tetera con agua
destilada para eliminar todo el sedimento a la temperatura de 25 oC?
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 73
3.
Se tienen los siguientes datos para la reacción entre hidrógeno y óxido nítrico a 700 oC:
2H2(g) + 2 NO(g)
2H2O(g) + N2(g)
Experimento
1
2
3
[H2]
0.010
0.0050
0.010
[NO]
0.025
0.025
0.0125
Velocidad inicial (M/s)
2.40x10 –6
1.20x10 –6
0.60x10 –6
Determinar la velocidad inicial de la reacción cuando las concentraciones de H2(g) y NO(g)
sean de 0.50 M y 0.70 M respectivamente.
4.
La presión de vapor del agua pura a 25 oC es 23.76 mmHg y la del agua de mar es 22.98
mmHg. Suponiendo que el agua de mar sólo contiene NaCl, calcule su concentración
molal.
5.
¿Cuántos gramos de cloruro de plata precipitarán al añadir suficiente nitrato de plata para
reaccionar con 1500 mL de solución de cloruro de bario 0.400 M?
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. 74
SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA
NIVEL II
Por
Ing. Alberto Arango
Ing. Edgar Gamaliel De León
Departamento de Química General
Universidad de San Carlos de Guatemala
Departamento de Química General
Universidad de San Carlos de Guatemala
Primera Serie
1.
Al sustituir en la ecuación de velocidad, v = k[A]2[B], las condiciones del problema,
resulta:
v = k[2A]2[B/2] , al simplificar conduce a: v = 2k[A]2[B], con lo cual la
velocidad se duplica.
2.
La vida media es el tiempo necesario para que la concentración de una sustancia se
reduzca a la mitad de su valor inicial. Si se inicia con una X cantidad, al cabo del primer
período de vida media, la concentración es X/2, al completarse otra vida media, la
concentración será (X/2)/2, es decir X/4, que corresponde a la mitad del valor anterior,
con esta idea, al cabo de cinco períodos la concentración será X/32, es decir 1/32 del
valor inicial.
3.
Cuando se traza la figura para logaritmo natural de la concentración de un reactivo contra
el tiempo, se obtiene aproximadamente una línea recta con pendiente negativa si la
reacción es de primer orden.
Para las condiciones del problema, la reacción es de
primer orden.
4.
La nueva constante será el valor de la constante antigua elevada a la potencia del
factor de multiplicación.
5.
Al sumar dos o más ecuaciones químicas, el valor de la nueva constante será igual al
producto de las constantes de las ecuaciones que se han sumado.
Segunda Serie
6.
Para el equilibrio: 2NO2(g)
N2O4(g) , la presión total es la suma de las presiones
parciales de productos y reactivos, es decir:
PT = P NO2 + P N2O4 , equivalente a: 1.5 atm = P NO2 + P N2O4
despejando P N2O4 :
P N2O4 = 1.5 – P NO2
ecuación 1
La constante de equilíbrio, Kp puede expresarse como: Kp = P N2O4 / (P NO2)2
Al sustituir Kp igual a 6.75 y la ecuación 1 en ésta última expresión se obtiene:
6.75 = (1.5 – P NO2 ) / (P NO2)2
Resolviendo se determina que: P NO2 = 0.403 atm
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. 75
7.
Para la celda, la reacción balanceada está dada por:
Pb + 2 Ag+
Pb +2 + 2 Ag
El voltaje para la celda se puede calcular por la relación:
Ecelda = Eocelda – ( 0.0591 / n) log ( [Pb +2] / [ Ag +]2 )
Para esta celda de acuerdo a la reacción, el número de moles de electrones es n=2. Con
la ayuda de una tabla de potenciales normales de reducción, y los datos de concentración
del problema, al sustituir en la ecuación anterior:
Ecelda = (0.13 Volt + 0.80 Volt) – ( 0.0591 / 2) log ( [1.5 M] / [ 0.015 M]2 )
Ecelda = 0.82 V
8.
La energía total liberada cuando reacciona el aluminio está relacionada por:
E total = E absorbida por el agua + E absorbida por el calorímetro
Que también puede expresarse como:
E total = ( mCpDT ) agua + ( CDT ) calorímetro
Para los 0.300 g de aluminio, la energía liberada es:
E total =(800 g)(4.184J/g.oC)(23.5 oC – 21.0 oC) + (63 J/1.0 oC)(23.5 oC – 21.0 oC )
E total = 8,525.5 Joules
Finalmente, para 1 mol de aluminio:
Calor liberado = ( 8,525.5 J/0.300 g Al) x (27.0 g Al / 1 mol Al ) = 767,295 J / mol
Equivalentes a :
9.
767.29 kJ / mol Al
La combustión completa del octano está expresada como:
C8H18 (l)
+ 25/2 O2 (g)
8CO2 (g)
+
9H2O (l)
Al consultar en una tabla los valores de DHfo para cada sustancia en la reacción se
obtiene:
C8H18 (l)
+ 25/2 O2 (g)
8CO2 (g)
+
9H2O (l)
X
0
–393.52 kJ/mol
–285.83 kJ/mol
Para la reacción, ∆Hro está dado por:
∆Hro = [8( –393.52) + 9(–285.83] – ( x + 0 )
Resolviendo, se determina que x = – 249.95 kJ / moln
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. 76
10.
La densidad de la solución está relacionada con la M y m de la siguiente forma:
d = M ( Peso Molecular HClO4 / 1000 + 1 / m ) ,
al sustituir la información:
d = 4.36(100.45 / 1000 + 1 / 5.36 ) = 1.251 g/cc
11.
Utilizando la expresión: C1xV1 = C2xV2
Al sustituir: ( 0.70x1.42 g/cc) V1 = (0.30x1.17 g/cc)(225 cc)
V1 = 79.45 cc
12.
Para dos valores de temperatura diferentes, la relación entre constantes de velocidad y la
energía de activación está dada por:
ln ( K2 / K1 ) = ( Ea / R )( 1/T1 – 1/T2 )
La vida media de la reacción está dada por:
ecuación 1
t ½ = ln 2 / K es decir K = ln 2 / t ½
Para 500 Celsius ( 773.15 Kelvin ): K1 = ln 2 / 5 minutos
Para 600 Celsius ( 873.15 Kelvin ): K2 = ln2 / 2 minutos
Al sustituir en la ecuación 1:
ln [( ln 2 / 2 ) / ( ln 2 / 5 ) ] = ( Ea / 8.314 J/mol.K )( 1 / 773.15 – 1 / 873.15 )
resolviendo se determina que Ea = 51,427.56 J/mol
o 51.43 kJ/mol
13.
La presión osmótica está dada por: p = MRT , al sustituir la información del problema:
(12.60 / 760) atm = M(0.0821 L.atm/mol.K)(294.75 K)
M = 6.85109x10 – 4 mol / L
Masa molecular = 0.07265 g /[(6.85109x10– 4 mol / L)(0.100 L)] = 1060.41 g/mol
14.
Para X disuelto en ácido acético: Tc ácido – Tc solución = mKc
Sustituyendo: 16.60 oC – 14.40 oC = m(3.90 oC / m )
m = 0.5641 mol / kg
Para X disuelto en ciclohexano: Te solución – Te ciclohexano = mKe ciclohexano
Sustituyendo: 82.32 oC – 80.74 oC = (0.5641 mol /kg)(Ke ciclohexano)
Finalmente se encuentra: Ke ciclohexano = 2.8 oC / m
15.
Para la solución:
P vapor solución = (Y solvente )(P vapor solvente )
Y solvente = moles solvente / ( moles solvente + moles soluto )
Considerando x la masa molar del soluto, para 1 mol de disolvente y 20 g de soluto:
Y solvente = 1 mol / ( 1 mol + 20 / x )
Para 2 moles de solvente y 20 g de soluto: Y solvente = 2 mol / (2 mol + 20 / x )
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. 77
Las correspondientes presiones de vapor para la soluciones con 1 y 2 moles de solvente
son:
0.500 atm = (1 mol / ( 1 mol + 20 / x ))(P vapor solvente )
0.550 atm = (2 mol / ( 2 mol + 20 / x )) (P vapor solvente )
Resolviendo se determina: P vapor solvente = 0.61 atm
Tercera Serie
16. Respuesta “C”.
Razonamiento: 1 Faraday de corriente son 96,500 coulumbios y es la carga transportada por
6.022x 1023 electrones equivalente a 1 mol.
17.
Respuesta “B”.
Razonamiento:
el
la
recarga
se
produce
la
siguiente
reacción:
2PbSO4 + 2H2O ----- Pb + PbO2 + 2H2SO4 Donde podemos ver la formación del ácido.
18. Respuesta “D”.
Razonamiento: Porque el flujo de electrones viene de la oxidación, donde se liberan
electrones y estos viajan hacia el cátodo que queda positivo y se produce la reducción.
19. Respuesta “C”.
Razonamiento: En la descarga se produce la siguiente reacción Pb + PbO 2 + 2H2SO4
---- PbSO4 + 2H2O. Podemos observar que a medida que avanza la reacción se consume el
ácido.
20. Respuesta “B”.
Razonamiento: Al bajar la temperatura la reacción responde en sentido contrario, es decir
aumentando la temperatura y esto sucede en la formación de los productos al subir la presión
y como la P es proporcional al número de moles, vemos que hay menos moles en los
productos y el sistema actúa en sentido contrario entonces se desplaza hacia los productos.
21. Respuesta “C”.
Razonamiento: Al ver la ecuación de velocidad para una reacción de primer orden tenemos
V= K ( A ) y al duplicar la concentración de duplica la velocidad y por ende el tiempo de
reacción disminuye a la mitad.
22. Respuesta “C”.
Razonamiento: Basta observar la ecuación y vemos que al duplicarse C y al duplicarse D, la
velocidad se cuadriplica.
23. Respuesta “B”.
Razonamiento: El catalizar positivo, suministra un camino diferente a la reacción que le
permite transcurrir a través de un mecanismo distinto aumentando la velocidad de reacción.
24.
Respuesta “D”.
Razonamiento: Los pH = 1 es igual [H +] = 10-1= 0.1
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. 78
25.
Respuesta “A”.
Razonamiento: el HCl es ácido
pH = -log [ H+] = - log 0.1 = 1.
fuerte,
se
ioniza
un
100%
por
lo
tanto
26. Respuesta “C”.
Razonamiento: Podemos observar que 2Cl - ---- Cl2(g) + 2e- reacción anódica en la
electrólisis del cloruro de sodio en solución acuosa, vemos que se forma 1 mol de Cl 2
cuando en el sistema pasa 2 mol de electrones, equivalente a 2 faraday.
27. Respuesta “B”.
Razonamiento: La energía de activación es la energía mínima necesaria para que los reactivos
pasen a productos y un catalizador al aumentar la velocidad de reacción disminuya la energía
de activación.
28. Respuesta “C”.
Razonamiento: Podemos ver la estequiometria de la reacción y va que el amoniaco y el (NO)
están en proporción 1 a 1, por lo tanto, la velocidad de desaparición del NH3 es igual a la
velocidad de formación de NO
29. Respuesta “C”.
Razonamiento: Puesto que el NaOH es una base fuerte, se disocia un 100% la
[OH] = 0.1 [H+] = 10-13 = 13.
30.
Respuesta “B”.
Razonamiento: Al ser la constante de equilibrio grande, en este caso de 400, quiere decir que
cuando para la reacción, la mayoría de los reactivos están convertidos a productos.
Cuarta Serie
1.
La vida media para una reacción de primer orden está dada por la expresión:
t ½ = ln 2 / K
Para la reacción A:
K = ln2 / 50 minutos
Para la reacción B:
K = ln 2 / 18 minutos
La condición establecida es:
[A] = 4 [B]
Para una reacción de primer orden, la concentración en el tiempo está relacionada por la
expresión:
Ln ([A]o / [A] ) = K t
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 79
Para la reacción A:
ln ([A]o / [ 4 B ] ) = ( ln 2 / 50 ) t
ecuación 1
Para la reacción B:
ln ([B]o / [ B ] ) = ( ln 2 / 18 ) t
ecuación 2
Según el problema, al inicio [A]o = [ B ]o , al sustituir esta relación en la ecuación 2 :
ln ([A]o / [ B ] ) = ( ln 2 / 18 ) t
ecuación 3
Al resolver el sistema conformado por las ecuaciones 1 y 3, se determina que el tiempo
para que la concentración de A sea 4 veces la de B es: t = 56.26 minutos.
2.
De una tabla que presenta valores de Kps, se lee para CaCO3 a 25 Celsius:
Kps = 8.7x10 – 9
La descomposición del CaCO3, se expresa como:
Ca +2 + CO3 – 2
x
x
= (x)(x) = x2 equivalente a: ( 8.7x10 – 9 )1/2 = x
CaCO3
Kps
X = 9.3274x10 – 5 mol /L
La concentración de CaCO3 en los 2 L, es:
( 116 g CaCO3 / 2 L )( 1 mol CaCO3 / 100.08 g CaCO3 ) = 0.57954 mol / L
El número de veces a llenar la tetera con agua destilada es:
( 0.57954 mol / L ) / ( 9.3274x10 – 5 mol /L )
3.
=
6,214 veces
En primer lugar se determina la ley de velocidad para la reacción, para lo cual se aplica el
método de las velocidades iniciales a la información dada en el cuadro:
Relacionando información de los experimentos 1 y 2, se elimina la concentración de NO,
lo cual conduce a:
2.40x10 – 6 / 1.20x10 – 6 = (0.010 / 0.0050)x
Resolviendo, se obtiene: X = 1
Luego con los experimentos 1 y 3, se elimina la concentración de H2, con lo cual se
obtiene:
2.40x10 – 6 / 0.60x10 – 6 = (0.025 / 0.0125 )y ; al resolver : Y = 2
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. 80
Con la información del experimento 1 se obtiene el valor de la constante:
2.40x10 – 6 = K (0.010)(0.025)2 ; al resolver: K = 0.384
De donde, la ley de velocidad es: V = 0.384 (H2 )(NO)2
Al sustituir en la ecuación de velocidad, las concentraciones dadas se determina:
V = 0.384 ( 0.50 ) (0.70)2
4.
Para la solución:
= 0.094 M/s
P vapor solución = (Y solvente )(P vapor solvente )
Sustituyendo la información del problema en la ecuación se tiene:
22.98 mmHg = (Y solvente )(23.76 mmHg ) ; Y solvente = 0.9672
Pero también:
Y solvente = moles solvente / ( moles solvente + moles soluto )
Como la molalidad está basada en 1 kg de solvente, que en este caso es agua; el
equivalente de 1 kg de agua en moles es 55.56 moles de agua. Sustituyendo esta cantidad
en la ecuación anterior:
0.9672 = 55.56 mol / (55.56 mol + mol soluto ) ; resolviendo se determina:
Moles de soluto ( NaCl ) = 1.88 moles, por consiguiente: m = 1.88 molal
5.
La reacción para el proceso es:
2 AgNO3 (ac) + BaCl2 (ac)
2 AgCl (s) + Ba(NO3)2 (ac)
1.5 L x (0.400 mol BaCl2 /1 L) = 0.6 mol BaCl2
Luego, por estequiometría:
0.6 mol BaCl2 x (2 mol AgCl/1 mol BaCl2)(143.4 g AgCl/1 mol AgCl)= 172 g AgCl
“ Id y Enseñad a Todos”
Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007
. 81