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CAPACIDAD Y CONDENSADORES
1.4 (enero 2008)
En esta unidad se estudiarán las propiedades de los condensadores, dispositivos eléctricos que
almacenan carga y que se encuentran frecuentemente en los circuitos, así como el parámetro
característico de ellos que es la capacidad, la cual determina la carga que almacena todo conductor. Este
estudio se realizará abordando los siguientes aspectos:
• Se comenzará por la capacidad que tiene todo conductor para almacenar carga eléctrica, para
extender después dicho concepto al condensador y la dependencia de la misma con la geometría
y el medio. Se aplicarán los resultados obtenidos en la unidad Campo electrostático para obtener
la capacidad de los condensadores plano y esférico.
• La influencia del dieléctrico sobre la capacidad se analizará con mayor detenimiento para
aquellos formados por moléculas apolares y polares.
• En la práctica, los condensadores tienen geometrías diferentes y contienen distintos dieléctricos
dependiendo fundamentalmente del valor de la capacidad que se requiere, por lo que se
expondrán las características básicas de algunos tipos de condensadores, así como los símbolos
usados en los esquemas de los circuitos eléctricos.
• Los procesos de carga y descarga de un condensador, que no son instantáneos, se estudiarán en
circuitos sencillos. Allí deduciremos expresiones que nos informarán de la evolución de la carga,
tensión e intensidad en función del tiempo en dichos procesos. También distinguiremos entre
período transitorio y régimen estacionario.
• Se deducirán las expresiones de la energía potencial eléctrica que contiene un condensador
cargado y generalizaremos, a través de un ejemplo, hasta llegar al concepto de energía del campo
eléctrico, es decir, a la interpretación de que la energía reside en el propio campo.
• Por necesidades técnicas a veces es necesario realizar asociaciones de condensadores, por lo que
se analizarán las más sencillas, en paralelo y en serie, deduciendo la capacidad del condensador
equivalente a dichas asociaciones. Las asociaciones mixtas se tratarán en un ejemplo.
• Se analizarán, con ejemplos, los movimientos de cargas, y a veces neutralizaciones, así como
las consecuencias, en la conexión y desconexión entre condensadores.
• También, con un ejemplo, se resolverá un circuito de continua en régimen estacionario que
contiene algún condensador.
• Por último, al final de la unidad, encontraremos una amplia propuesta de cuestiones y problemas
con sus resultados.
1. CAPACIDAD DE UN CONDUCTOR AISLADO
r
q
En la unidad Campo electrostático se ha llegado a
E
conclusiones relevantes sobre la distribución de carga neta,
V
intensidad del campo y potencial en los conductores en
qneta int.=0
r
equilibrio electrostático. Aquí interesa recordar que la carga
E int = 0
neta q de un conductor cargado en equilibrio electrostático se
Vint = Vsuperficie = cte.
distribuye en la superficie del mismo y que todo el conductor
se encuentra al mismo potencial relativo V –referido a
potencial nulo en el infinito– (Fig.1).
Fig.1
Resulta que la relación entre la carga q y el potencial V del
conductor en equilibrio electrostático es una constante
(positiva) para dicho conductor, C, llamada capacidad del conductor, que depende únicamente de la
geometría (tamaño, forma, etc.) del conductor y del medio en el que está inmerso:
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Capacidad y conden... – 1
q
= C = f (medio, geometria )
V
[1]
siendo la capacidad una medida de la propiedad que tiene el conductor para almacenar carga eléctrica
(a mayor valor de C del conductor, mayor capacidad para almacenar carga eléctrica en la superficie del
mismo para un V dado).
Por tanto, la capacidad no depende ni de la carga ni de la tensión. Por el contrario, la carga
almacenada en la superficie es directamente proporcional a la tensión de la misma (así, al duplicar la
carga también se duplica el potencial).
Así, si un conductor en equilibrio electrostático tiene una carga q1 con un potencial V1, le
q1
. Si el potencial cambia a V2, dicho conductor adquirirá una carga
V1
q1 q 2
=
= L= C.
q2, tal que su capacidad se mantiene constante:
V1 V2
corresponderá una capacidad C =
En el siguiente ejemplo se comprueba la afirmación anterior para la capacidad de una esfera
conductora.
Ejemplo 1
Obtener la expresión de la capacidad de una esfera conductora.
Si la carga distribuida uniformemente en la superficie de la esfera conductora en equilibrio
electrostático es q y el radio de la misma es R0, el potencial relativo al infinito en su superficie será
V = K
q
(Ejemplo 8 de la unidad Campo electrostático).
R0
Substituyendo V en la expresión [1] y simplificando se obtiene la capacidad de la esfera:
C=
q
=
V
R0
q
=
= 4πε R0
q
K
K
R0
que es directamente proporcional al radio y a la permitividad del medio. Para una tensión dada, a mayor
radio de la esfera, mayor capacidad para almacenar carga en su superficie.
Obsérvese que en la expresión de la capacidad no aparecen ni la carga ni la tensión, pues no depende
de ellas, tal como se afirmó en párrafos anteriores.
En el SI, la unidad de la capacidad es de culombio por voltio (
C
, véase la expresión [1]) que se
V
denomina faradio (su símbolo es F), en honor al gran físico experimental inglés Michael Faraday
(1791–1867). A un conductor con una carga de 1 C y tensión 1 V le corresponderá una capacidad de
1 F. Puesto que el faradio es una unidad enorme (véase el ejemplo siguiente), se utilizan submúltiplos
como el microfaradio (1 :F = 10–6 F), el nanofaradio (1 nF = 10–9 F) o el picofaradio (1 pF = 10–12 F).
Ejemplo 2
Calcular el valor de la capacidad de una esfera conductora de radio igual al de la Tierra, con RT =
6,38A106 m.
Suponiendo que el medio es el vacío, la permitividad relativa del vacío es (expresión [9] de Campo
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Capacidad y conden... – 2
electrostático)
ε0 =
1
siendo K0 = 9A109 NAm2/C2. Substituyendo ε 0 y RT en la expresión de la
K0 4π
capacidad obtenida en el Ejemplo 1, resulta:
C = 7,1A10–4 F
capacidad muy baja para una esfera ¡tan grande!.
2. CONDENSADORES. CAPACIDAD
El concepto de conductor aislado, aunque sencillo conceptualmente, no tiene correspondencia con
la realidad. El motivo está en el principio de conservación de la carga eléctrica: para situar una carga
+q en un conductor inicialmente descargado, necesariamente habrá que situar una carga –q en otro lugar
del universo (de no ser así estaríamos creando o destruyendo carga).
Aunque el caso del conductor aislado correspondería a situar la carga –q en el infinito, parece más
real pensar en otro lugar físicamente con sentido, como por ejemplo otro conductor.
2.1. Condensadores y geometrías
Por la razón mencionada anteriormente se introduce el concepto de condensador como dos
conductores (armaduras o placas) de forma arbitraria que pueden almacenar cargas iguales y de signo
opuesto y que están en influencia mutua, o dicho de una forma más práctica, es un dispositivo que
consta de dos superficies conductoras separadas por un aislante (el dieléctrico). Su finalidad
fundamental es almacenar energía eléctrica.
V+
VEn la Fig.2a tenemos un esquema
+q
-q
(se representa la sección transversal) del
2
condensador plano (condensador de 1
placas plano–paralelas) formado por
dos láminas (armaduras o placas)
metálicas planas y paralelas de
superficie S y separadas una distancia d,
muy pequeña comparada con las
d
dimensiones de las láminas. Entre las
láminas hay un dieléctrico (material no
econductor: aire, papel, mica, etc.) por lo
que no existe contacto eléctrico entre
ε
ellas. Este condensador, inicialmente
a
b
con las armaduras neutras, se carga, por
ejemplo, uniendo dichas armaduras
Fig.2
metálicas a una fuente de corriente
continua (pila, batería, etc.). Podemos considerar que la fuente g actúa como una especie de dispositivo
de “bombeo” de electrones: retira electrones de la armadura 1 y los lleva a la 2, adquiriendo la armadura
1 una carga +q (con un potencial en la superficie V+) y la armadura 2, simultáneamente, una carga –q
(con un potencial en la superficie V–, siendo V+ > V–). La energía de la fuente se invierte en realizar
trabajo eléctrico sobre los electrones, provocando una separación de cargas. Este proceso de transvase
de carga, rápido al principio, se detiene cuando la fuente no es capaz de realizar más trabajo, es decir,
cuando V1–V2 llegue a ser igual a la diferencia de potencial en los extremos de la fuente. Obsérvese que
el condensador, al final –una vez cargado–, sigue siendo neutro eléctricamente.
Recordemos que la carga neta se distribuye en la superficie de un conductor cargado, sin embargo,
en el condensador, al existir dos conductores con cargas opuestas, éstas se atraen y se distribuirán
mayoritariamente en las superficies de cada armadura internas al condensador. En realidad quedan
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Capacidad y conden... – 3
algunas cargas en las superficies exteriores de las armaduras. Así, en la Fig.2b se dibuja una
aproximación a ese hecho, representándose además unas cuantas líneas de campo (campo que es
consecuencia de la separación de cargas o, lo que es lo mismo, diferencia de potencial), respecto al cual
se observa que no es perfectamente uniforme entre armaduras, que hay distorsión del mismo en los
bordes y que hay algunas líneas de campo en el exterior del condensador.
Todos los aspectos mencionados anteriormente (relativos a la distribución de la carga y a las
características del campo) para el condensador plano se pueden reducir o eliminar si las armaduras son
muy grandes en comparación con la distancia entre ellas. Si las armaduras se suponen infinitas
obtendremos el condensador plano ideal, que será el que analicemos en el apartado 2.4, con las
siguientes características (que demostraremos en el mencionado apartado) en lo que se refiere a la
distribución de carga y propiedades del campo:
• La carga estará distribuida uniformemente en las superficies internas, no existiendo carga en las
externas.
• El campo eléctrico será uniforme en el interior, nulo en el exterior y sin distorsión en los bordes.
Otras geometrías sencillas de condensadores son la cilíndrica (Fig.3)
y la esférica. En ambos casos hay dos armaduras metálicas, una interna
y otra externa. Entre ambas se encuentra el dieléctrico.
dieléctrico
armadura
interior
El primer antecedente de los condensadores es la botella de Leyden,
llamada así porque se construyó en la universidad de Leyden (Holanda)
en 1745. Consistía en una botella de vidrio (material que actúa de
aislante) recubiertas sus caras exterior e interior por una fina capa de
metal. Conectando la cara exterior a tierra y la interior a un cuerpo
electrizado ésta adquiere una carga, por ejemplo de +q, con lo que la cara
exterior adquirirá por inducción una carga –q.
armadura
exterior
Fig.3
2.2. Funciones del condensador
Los condensadores, al igual que las resistencias, son componentes o dispositivos de dos terminales
normalmente utilizados en los circuitos eléctricos y electrónicos. La función básica que realiza es la de
almacenar (temporalmente) carga eléctrica en las armaduras, tal como se ha visto en el apartado
anterior, servir de almacén (temporal) de energía potencial electrostática, como se analizará en un
apartado posterior.
Cuando funcionan en circuitos de corriente alterna, los condensadores provocan un desfase entre
la intensidad de corriente y el potencial y ofrecen un tipo de resistencia al paso de la corriente alterna
llamada reactancia capacitiva que depende de la capacidad del condensador y de la frecuencia, etc.,
aspectos que se analizarán en una unidad posterior.
Su utilidad es muy variada: eliminar la chispa que se produce cuando se abre
repentinamente un circuito que posee autoinducción, sintonizar emisoras en un +q
-q
aparato receptor de radio, mejorar señales rectificadas que sirven de entrada a
pequeños aparatos que funcionan con corriente continua, aumentar el
rendimiento en la transmisión de energía en corriente alterna, almacenar energía
en las unidades electrónicas de destello tales como los flashes de las cámaras
r
fotográficas, dispositivos de filtrado de señales, etc.
E
int
2.3. Capacidad de un condensador
En el apartado anterior se ha visto que en un condensador cargado existe una
r
separación de cargas que origina un campo electrostático E int entre los
electrodos (en la Fig.4 se representa la sección transversal de un condensador V+
plano ideal cargado y unas cuantas líneas de campo entre armaduras; por ser
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VFig.4
Capacidad y conden... – 4
infinita la extensión de las armaduras, la densidad superficial de carga será constante y el campo
r
eléctrico entre armaduras uniforme). El campo interno, E int , que se dirige de la armadura positiva a
la negativa (lo que implica que V+ > V–) depende de varios factores: de la geometría del sistema (tamaño
y forma de las armaduras y separación entre ellas), dependencia complicada en general, a excepción de
algunos casos con elevada simetría, tal como el del condensador plano, que se analizará más adelante;
del medio y, finalmente, de la cantidad de carga |q| en los electrodos con una dependencia lineal (a
mayor carga, mayor densidad de líneas de campo), es decir, Eint % |q|.
∫
r
r
r
Puesto que dV = − E ⋅ dR y E es conservativo (por tratarse de una situación estática), la
diferencia de potencial entre láminas )V = V+ – V– no dependerá de la trayectoria de integración (de
cualquier camino que una un punto de la superficie de la armadura 1 con un punto de la superficie de
r
la armadura 2). Por ello, )V depende únicamente de E int , es decir, )V depende de la geometría del
condensador, del medio y es directamente proporcional a la carga |q|.
Se deduce entonces que la relación entre la carga almacenada en una de las armaduras y la diferencia
de potencial entre ellas dependerá únicamente de la geometría del condensador y del dieléctrico. Dicha
relación, análoga a [1], es la capacidad de un condensador, C:
una de las
q de
armaduras
∆V
entre las
armaduras
= C = f (medio, geometria )
[2]
que es una medida de la propiedad que tiene un sistema de conductores (limitado a dos conductores en
esta unidad) de almacenar carga eléctrica. A mayor valor de C de un condensador, más cantidad de
carga puede almacenar en sus armaduras para una diferencia de potencial dada entre las mismas.
Es evidente que la unidad de la capacidad del condensador es la misma que la de un conductor
aislado.
Aunque la carga neta almacenada en un condensador es nula, por convención, se llama carga del
condensador al valor absoluto de la carga sobre una de las armaduras.
2.4. Capacidad del condensador plano
Para algunos condensadores con suficiente simetría, como el plano (o el esférico, que será analizado
en el apartado 2.5), se puede obtener la expresión analítica de la capacidad y comprobar como ésta
depende únicamente de la geometría y del medio. Se considerará el condensador plano ideal, aunque
el resultado que obtengamos será aplicable, con bastante aproximación, a los reales.
El procedimiento para obtener C será el siguiente: calcular )V entre las láminas a partir de la
r
intensidad de campo entre ellas, para lo cual es necesario conocer E int , que a su vez es la superposición
de los campos procedentes de la lámina positiva y de la lámina negativa (ya calculados individualmente
en el apartado de la unidad Campo electrostático). Una vez calculado )V (que estará en función de la
carga, de la geometría y del medio), se substituye en [2] para obtener C.
Supongamos un condensador plano ideal ya cargado, formado por dos láminas conductoras planas
e infinitas, una con carga +q y la otra con carga –q, distribuidas uniformemente por su superficie con
una densidad superficial de carga constante F, con una separación entre láminas d y vacío entre ellas
(Fig.5a, en la que se representa la sección transversal).
En la Fig.5b están representados los campos que originan por separado ambas láminas. La positiva
origina un campo eléctrico uniforme (representado mediante líneas de campo continuas) a su izquierda
y a su derecha, dirigido hacia fuera de la lámina, con módulo (expresión [59] de la unidad Campo
electrostático, aunque haciendo notar que allí se calculó para una lámina dieléctrica plana, cargada e
infinita, mientras que aquí nos referimos a una lámina conductora, también cargada, plana e infinita.
Sin embargo, puesto que la distribución de carga es la misma, el análisis y el resultado que se hizo en
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dicha unidad son válidos en el caso que estamos tratando):
+σ
q
=
2ε 0 2ε 0 S
q
siendo σ =
.
S
E+ =
+q
[3]
-q
+q
-q
+q
r
Er +
E−
-q
E int = E + + E −
d
V+
V-
V+
a
V-
V+
b
Fig.5
Vc
x
La lámina negativa origina un campo eléctrico también uniforme (representado mediante líneas de
campo discontinuas en la Fig.5b) a su izquierda y a su derecha, dirigido hacia la lámina, con módulo
igual al originado por la lámina positiva:
E− =
−σ
q
=
2ε 0
2ε 0 S
[4]
Puesto que ambos módulos son iguales, pero los sentidos son opuestos fuera del condensador, el
campo eléctrico externo es nulo, mientras que entre las láminas está dirigido de la positiva hacia la
negativa con módulo (Fig.5c):
E int = E + + E − =
q
ε0S
[5]
de ahí que el término “condensador” sea apropiado, en el sentido de que “condensa” el campo
electrostático entre sus armaduras.
Obsérvese que todas las líneas del campo electrostático que salen de la armadura con carga +q van
a parar a la otra armadura con carga –q. Esto es así porque el número de líneas de campo es
directamente proporcional a la cantidad de carga y hemos impuesto que las armaduras tengan la misma
(con signos diferentes). Se dice que los conductores (armaduras) que forman el condensador
experimentan una influencia electrostática total, que se cumple en todos los condensadores cualquiera
que sea su geometría (al menos en los ideales).
Una vez obtenida la intensidad del campo electrostático en el interior del condensador, pasamos a
calcular la diferencia de potencial entre láminas, )V = V+ – V– siendo V+ > V–, para lo cual se integra
la expresión [88] de la unidad Campo electrostático,
r r
dV = − E ⋅ dR , siendo en este caso
r
r
r
r
E = E int ⋅ i y dR = dx ⋅ i (véase la Fig.5c). Dicha integral, a lo largo de la dirección x es:
∫
V−
V+
x= d
dV = E int ∫ dx
x=0
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[6]
Capacidad y conden... – 6
V− − V+ = − E int ⋅ d
∆ V = V+ − V− = E int ⋅ d
[7]
[8]
y teniendo en cuenta la expresión de Eint dada en [5]
∆V =
qd
ε0S
[9]
Substituyendo esta )V en la expresión [2], C =
q
, obtenemos finalmente la capacidad del
∆V
condensador plano ideal con vacío entre las armaduras:
C0 condensador
=
plano con vacio
entre las armaduras
ε0S
d
[10]
Ejemplo 3
Un condensador de armaduras plano paralelas está formada por dos conductores cuadrados de lado
10 cm separados 2 mm. Calcular la carga que adquiere el condensador cuando se conecta a una batería
de 12 V, no existiendo dieléctrico entre las armaduras.
Primero calcularemos la capacidad del condensador substituyendo los valores de la superficie de
una de las armaduras, la separación y el valor de la permitividad en el vacío en la expresión [10]:
C0 =
ε 0S
S
=
d
4π K0 d
y operando en el SI:
C0 =
(10 ⋅ 10 − 2 ) 2
= 44,2 pF
4π 9 ⋅ 10 9 (2 ⋅ 10 − 3 )
Por la expresión [2], una vez conocida la capacidad y la tensión a la que está sometido el
condensador, calculamos la carga almacenada en cada armadura (una vez cargado totalmente el
condensador, aspecto que se analizará más adelante):
q = C0A)V = 530,4 pC
Nótese que ahora podríamos desconectar la batería del condensador (con medios aislantes), pero éste
continuaría cargado con 530,4 pC con una diferencia de potencial entre armaduras de 12 V.
2.5. Capacidad del condensador esférico
Un condensador esférico consta de dos cortezas conductoras esféricas concéntricas separadas por
vacío o un dieléctrico. Supongamos que la interior, de radio RA, al someterlas a una diferencia de
potencial se carga con +q, por lo que la exterior, de radio RB queda cargada con –q. Para calcular la
capacidad de este condensador, sin dieléctrico entre las armaduras, utilizaremos el mismo
procedimiento que para el plano: calcular la intensidad del campo eléctrico entre las armaduras (entre
las dos cortezas), obtener a continuación la diferencia de potencial entre ellas y finalmente substituir
en la expresión [2], C =
q
, para obtener la capacidad.
∆V
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Capacidad y conden... – 7
r r
E − E+
-q Vr
E
RB
+q V+
RA
RA
a
b
RB
Fig.6
Por tener cada armadura simetría esférica, las cargas se distribuyen uniformemente en cada una
(Fig.6a en la que se representa una sección), y debido a la atracción entre ellas, la carga positiva de la
r
armadura interna se sitúa en la superficie externa de ésta, produciendo un campo E + . Por la misma
razón, la carga negativa de la armadura externa se sitúa en la superficie interna, produciendo el campo
r
E− . Teniendo en cuenta que las distribuciones esféricas de carga en cortezas no contribuyen al campo
r
en el interior de la misma (véase el apartado 10.2 de Campo electrostático), el campo total E entre
r
armaduras es el producido únicamente por la armadura interna E + (Fig.6b) cuyo valor fue calculado
r
q r
también en el apartado 10.2 de dicha unidad: E = K 2 R0 , válido para R comprendido entre RA y
R
RB (respecto a la intensidad de campo, la distribución de carga actúa como si estuviera concentrada en
el centro de la esfera).
Una vez calculado el campo se pasa a la obtención de la diferencia de potencial entre armaduras para
lo cual se substituye el campo calculado en
r
r
R0 ⋅ dR = dR ):
r r
dV = − E ⋅ dR y se integra (recuérdese que
r
r
RB dR
R0 ⋅ dR
d
V
=
−
Kq
=
−
Kq
∫V+
∫ R2
∫RA R2
R
 1
1 
 1 B
V− − V+ = − Kq  −  = Kq
−

 RB RA 
 R  RA
V−
r
RB
r
RA
[11]
[12]
de donde
 1
1 
V+ − V− = Kq
−

 RA RB 
[13]
Obsérvese que podríamos obviar el desarrollo anterior, pues la diferencia de potencial es
sencillamente la diferencia de los potenciales de superficies de conductores esféricos.
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Substituyendo [13] en C =
C=
q
:
∆V
RA RB
K ( RB − RA )
[14]
Introduciendo la distancia entre armaduras, d = RB − RA , expresando K en función de la
permitividad del vacío y teniendo en cuenta que S A = 4π RA y S B = 4π RB , la expresión [14] se
convierte en (con subíndice cero para indicar que el dieléctrico es el vacío):
2
C0 condensador = ε 0
esferico en el
vacio
SA SB
d
2
[15]
escrita en función del medio y de la geometría.
2.6. Resumen de los parámetros que influyen en la capacidad de un condensador
De las expresiones de las capacidades del condensador plano y del esférico se pueden extraer varias
consideraciones, que son generalizables a condensadores de cualquier geometría (aunque dichas
generalizaciones, evidentes por otra parte, no se comprobarán en esta unidad). Así, la capacidad de
cualquier condensador:
• Depende del medio entre las armaduras (aspecto que ampliaremos más adelante).
• Depende de la geometría:
• Aumenta con la superficie de las armaduras (en el caso del plano, la capacidad es
directamente proporcional a la superficie de las armaduras; en el caso del esférico, de la
media geométrica de las armaduras).
• Disminuye al aumentar la distancia de separación entre armaduras (en el caso del plano
y el esférico, la capacidad es inversamente proporcional a la distancia entre armaduras).
Cuando entre las armaduras se introduce un dieléctrico de permitividad relativa ε r (o constante
dieléctrica, término menos apropiado porque la permitividad de un dieléctrico puede depender de la
temperatura y de la frecuencia), la capacidad del condensador con dieléctrico respecto al mismo sin
dieléctrico pasa a ser (como se justificará más adelante en esta unidad):
Ccon dielectrico = ε r Csin dielectrico
[16]
y puesto que en general ε r > 1 (para campos eléctricos estacionarios o cuasiestacionarios), la
capacidad del condensador con dieléctrico, cuando éste llena por completo el espacio entre las
armaduras, será ε r veces mayor que la capacidad del mismo condensador sin dieléctrico, afirmación
que es general para cualquier condensador, independientemente de su geometría.
También de las expresiones [10] o [15] se deduce una nueva unidad en el SI para la permitividad:
F/m.
Ejemplo 4
Continuando con el condensador plano del Ejemplo 3, en las mismas condiciones expuestas allí:
a. Con el condensador conectado a la batería, se inserta un dieléctrico de permitividad relativa 2 entre
las armaduras. Determinar los nuevos valores de la carga, capacidad y tensión en el condensador.
¿Cambiará la intensidad del campo eléctrico entre las armaduras?
b. Lo mismo que en el apartado a) pero con el condensador desconectado de la batería.
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a. Al insertar el dieléctrico, la nueva capacidad del condensador, teniendo en cuenta la expresión [16],
será
C = grAC0 = 88,4 pF
Por otra parte, al permanecer conectado a la batería, el condensador está sometido a la misma
tensión de 12 V, por lo que la nueva carga que adquiere al restablecerse el equilibrio es, por la expresión
[2]:
q = CA)V = 88,4 pFA12 V = 1060,8 pC
justo el doble que en el Ejemplo 3.
Respecto a la intensidad del campo eléctrico, ésta tampoco cambia porque no ha cambiado ni la
tensión ni la distancia entre armaduras (expresión [6]). Desde otro punto de vista, la de la intensidad
del campo dada por la expresión [5]: aumenta la carga (el numerador) pero también aumenta la
permitividad (el denominador) al substituir g0 por g.
b. Volvemos al final del Ejemplo 3 en el que el condensador sin dieléctrico adquirió la carga de 530,4
pC al conectarlo a la batería de 12 V. A continuación desconectamos la batería con medios aislantes
de forma que la carga en las armaduras no varía.
Insertamos el dieléctrico y la nueva capacidad, ya calculada en el apartado a), es de 88,4 pF.
En esta nueva situación, con q = 530,4 pC y C = 88,4 pF, la diferencia de potencial entre las
armaduras del condensador pasa a ser, por la expresión [2]:
∆V =
q 530,4 pC
=
=6V
C
88,4 pF
3. EFECTOS DEL DIELÉCTRICO EN LOS CONDENSADORES
La mayor parte de los condensadores tienen entre sus armaduras un dieléctrico (material no
conductor) como papel, plástico, vidrio, mica, material cerámico, etc. con una triple finalidad:
a. La primera es de tipo estructural: Puesto que las armaduras tienen cargas opuestas, existirá entre
ellas una fuerza eléctrica atractiva, e intensa por estar separadas una distancia muy pequeña
(recuérdese que las armaduras deben estar muy próximas para obtener una capacidad grande). La
introducción del dieléctrico resuelve el problema mecánico de mantenerlas separadas sin que hagan
contacto eléctrico.
b. La segunda se basa en el campo de ruptura o rigidez dieléctrica (o tensión nominal, en términos de
diferencias de potencial). De la definición de la capacidad de un condensador, C =
q
,
∆V
podríamos pensar que podemos aumentar indefinidamente la carga de un condensador dado
simplemente aumentando la diferencia de potencial entre sus armaduras. Esto no es posible porque
llega un momento en el que, para una cierta tensión o intensidad de campo suficientemente
elevados, los electrones saltan de la armadura negativa a la positiva por el interior del condensador,
es decir, se produce una descarga eléctrica en su interior, destruyendo el condensador al convertirse
éste en conductor. La mayoría de los dieléctricos tienen un campo de ruptura mayor que el aire por
lo que podrán soportar mayores tensiones con dieléctrico que sin él. En los condensadores, junto
con la capacidad y otros valores, se indica la tensión máxima que pueden soportar en uso continuo.
c. La tercera está basada en que la capacidad de un condensador de una geometría dada es en general
mayor con dieléctrico entre sus armaduras que sin él, razón muy importante, no sólo económica sino
también de aprovechamiento del espacio, etc. Este aspecto se analiza en el siguiente apartado con
mayor profundidad.
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Capacidad y conden... – 10
3.1. Influencia del dieléctrico sobre la capacidad
Se analizará esta influencia a partir de un modelo microscópico del dieléctrico. A pesar de que éstos
no contienen cargas libres en estado de neutralidad eléctrica, por ser un material no conductor, modelo
se puede considerar que una parte de los dieléctricos están formados por moléculas, moléculas no
polares en unos, moléculas polares en otros.
En las moléculas no polares como H2, N2, O2, CO2, etc. (y en los átomos), la carga electrónica,
negativa, está distribuida uniformemente alrededor de sus núcleos, positivos, de manera que los
“centros de carga” de las distribuciones de carga negativa y positiva coinciden globalmente. Se dice de
estas moléculas que no tienen momento dipolar eléctrico permanente.
Por el contrario, en las moléculas polares como NH3, H2O, HCl, etc., los “centros de carga” de las
distribuciones de carga negativa y positiva están separados, y se comportan, bajo algunos aspectos,
como si fuesen un dipolo eléctrico, es decir, dos cargas iguales y opuestas separadas cierta distancia.
Estas moléculas tienen momento dipolar eléctrico permanente.
En el siguiente paso de nuestro razonamiento, introduciremos el dieléctrico (formado por moléculas
no polares en el primer caso y por moléculas polares en el segundo) entre las armaduras de un
condensador previamente cargado y desconectado de la batería, con el fin de analizar cómo afecta el
campo eléctrico interno del condensador a las moléculas del dieléctrico. Resulta que el comportamiento
es diferente dependiendo de la polaridad de sus moléculas, por lo que se analizarán por separado ambos
mecanismos.
3.1.1. Dieléctrico sin momento dipolar eléctrico permanente (moléculas no polares) en
presencia de un campo eléctrico externo
+q
-q
+q
-q
r
r
−σ
−σ
+σ
+σ
E0
E0
− σi
a
b
Fig.7
r
Ei
+ σi
c
En la Fig.7a está representado el dieléctrico (en ausencia de campo eléctrico externo) como
rectángulo gris, en donde se han dibujado unas cuantas moléculas no polares y neutras
eléctricamente.
En la Fig.7b se tiene un condensador cargado, no existiendo inicialmente dieléctrico entre sus
r
armaduras. En su interior hay un campo eléctrico E 0 producido por las cargas libres de las
armaduras con densidades superficiales de carga libre + σ y − σ . Al introducir el dieléctrico, este
campo ejerce fuerza eléctrica sobre las distribuciones de carga de las moléculas: la distribución
positiva de carga de una molécula tiende a desplazarse en el sentido del campo y la negativa en el
contrario. Se produce así, una vez alcanzado el equilibrio, una ligera separación en los “centros de
carga” de las distribuciones de carga, distorsionando la forma original de la molécula. Esta
separación de carga en la molécula, inducida por un campo eléctrico, produce en cada molécula un
momento dipolar eléctrico inducido y se dice que la molécula se ha polarizado.
El efecto macroscópico se aprecia en la Fig.7c en donde se ha substituido el detalle microscópico
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Capacidad y conden... – 11
por un volumen de dieléctrico (rectángulo gris) con densidades superficiales de carga inducida en
las dos superficies del dieléctrico más próximas a las armaduras: + σ i en la superficie del
dieléctrico más próxima a la armadura negativa, y − σ i en la superficie del dieléctrico más próxima
a la armadura positiva, que proceden de las dos capas extremadamente delgadas indicadas
esquemáticamente por líneas de trazos en la Fig.7b y son cargas ligadas (no son móviles), pues
pertenecen a moléculas situadas en la superficie, o próximas a ella. Dentro del resto del dieléctrico,
la carga neta por unidad de volumen sigue siendo nula.
Las densidades superficiales de cargas inducidas en las dos superficies del dieléctrico producen
r
(son las fuentes de) un campo eléctrico inducido E i que se dirige de
r
al campo externo E 0 .
− σ i a + σ i y que se opone
3.1.2. Dieléctrico con momento dipolar eléctrico permanente (moléculas polares) en presencia
de un campo eléctrico externo
En ausencia de campo eléctrico externo, estos momentos dipolares permanentes estarán, en
general, orientados al azar (Fig.8a) debido a la agitación térmica, de manera que el promedio del
momento dipolar total del dieléctrico será nulo.
+q
-q
+q
-q
r
r
−
σ
−
σ
+σ
+
σ
E0
E0
− σi
a
b
Fig.8
r
Ei
+ σi
c
Al introducir este dieléctrico entre las armaduras de un condensador cargado, con un campo
r
eléctrico interno E 0 en ausencia de dieléctrico, cada molécula polar (cada dipolo) experimenta un
r
par de fuerzas por acción de E 0 que tienden a rotar la molécula en la dirección del campo hasta
que, una vez alcanzado el equilibrio, se obtiene una alineación parcial de las moléculas con el
r
campo externo, cuyo grado dependerá de la intensidad del campo externo E 0 , de la temperatura
y de la naturaleza de dichas moléculas (Fig.8b).
El resultado es que este dieléctrico formado por dipolos eléctricos permanentes también se ha
polarizado en presencia de un campo eléctrico externo y el efecto macroscópico es el mismo que
el del apartado anterior (aunque por mecanismos diferentes): podemos substituir la estructura
r
microscópica por densidades superficiales de carga ligada originando un campo eléctrico E i que
r
se opone al campo eléctrico externo E 0 (Fig.8c).
Tanto en un apartado como en el otro se ha llegado al mismo resultado macroscópico, aún siendo
diferentes los mecanismos por los que se polariza el dieléctrico: en cualquier caso se produce un campo
r
r
eléctrico E i opuesto al campo eléctrico externo E 0 .
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Capacidad y conden... – 12
Para los dieléctricos isotrópicos homogéneos y lineales y campos externos poco intensos, la relación
r
r
lineal entre el campo inducido E i y el campo externo E0 está dada por:
r
r
Ei = − χ e ⋅ E 0
[17]
siendo Pe la susceptibilidad eléctrica, y en función de la permitividad dieléctrica relativa:
r
ε −1 r
Ei = − r
E0
εr
[18]
teniendo el campo inducido sentido contrario al campo externo, tal como indica el signo negativo
delante del coeficiente. Dichos dieléctricos se dice que son isotrópicos porque las propiedades eléctricas
r
r
en ellos son independientes de la dirección del campo eléctrico, por lo que E i es paralelo a E 0 ;
homogéneos porque las propiedades eléctricas son independientes de la posición, es decir, ε r es
uniforme y lineales porque la intensidad del campo eléctrico inducido es directamente proporcional a
la del campo eléctrico externo. La expresión [18] permite interpretar la permitividad dieléctrica relativa
como el grado de polarización del dieléctrico cuando se encuentra en un campo eléctrico externo: bajo
la acción de dicho campo externo de módulo E0, cuanto mayor es ε r , mayor es el módulo Ei (téngase
en cuenta que el cociente
εr − 1
crece al aumentar ε r cuando ε r > 1 ).
εr
El promedio espacial del campo eléctrico total entre las armaduras del
r
condensador con dieléctrico (el campo macroscópico) E es (Fig.9):
r r
r
E = E 0 + Ei
[19]
r
observándose que el campo eléctrico resultante E es menor que el campo
r
eléctrico inicial (sin dieléctrico) E 0 . (Téngase en cuenta que la expresión
anterior, en función de los módulos, es E = E 0 − E i ).
r
E
En definitiva, la intensidad del campo eléctrico total entre las armaduras
disminuye al introducir el dieléctrico, pues al substituir [18] en [19]
Fig.9
r
r E0
E=
εr
[20]
disminuyendo, en consecuencia, la diferencia de potencial entre ellas (en concordancia con los
resultados experimentales en condensadores con el tipo de dieléctricos que se están analizando).
Para calcular la nueva capacidad del condensador (por ejemplo, del plano) con dieléctrico no hay
más que repetir el razonamiento del apartado 2.4 en el que se calcula la capacidad de dicho
condensador, obteniéndose el resultado
Ccondensador
plano con dielectrico
=
ε rε 0S
d
[21]
que al comparar con la expresión [10] de la capacidad del condensador plano con vacío se deduce la
relación [16]: Ccon dielectrico = ε r Csin dielectrico , válida, como ya se dijo, para condensadores de cualquier
geometría.
Recuérdese que en todo este razonamiento se ha supuesto que antes de introducir el dieléctrico en
el condensador, éste estaba cargado y desconectado de la batería, por lo que la carga libre del mismo
se mantiene constante. En caso contrario, es decir, si el condensador permaneciera conectado a la
batería, la diferencia de potencial entre las armaduras permanecería constante y aumentaría la carga
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Capacidad y conden... – 13
libre del condensador al introducir el dieléctrico, produciéndose el mismo efecto de aumentar la
capacidad.
En este apartado se analizó, entre otros aspectos, la influencia de un campo eléctrico externo en un
dieléctrico. Sin embargo, tanto en la unidad Campo electrostático como en ésta, no se analizó dicha
influencia sobre un conductor, por lo que compararemos los comportamientos de un dieléctrico y un
conductor en presencia de un campo eléctrico externo. En ambos casos, dieléctrico y conductor alteran
dicho campo. El análisis (en condiciones electrostáticas) será somero y fundamentalmente gráfico: en
un campo eléctrico externo uniforme (Fig.10a), se introduce un dieléctrico esférico en dicho campo
(Fig.10b) o un conductor esférico (Fig.10c), ambos neutros eléctricamente.
a
b
Fig.10
c
Tanto en el caso del dieléctrico como en el conductor, debido a la redistribución de cargas (ligadas
en el dieléctrico, móviles en el conductor) originada por el campo externo, modificarán en sus
proximidades dicho campo eléctrico.
Las diferencias se dan en el interior de ambas substancias. En el dieléctrico, tal como se explicó en
este apartado, se produce un campo eléctrico inducido de sentido contrario al campo externo, de
módulo menor que el del campo externo, de manera que existe un campo eléctrico total en el interior
del dieléctrico de menor intensidad que el campo externo (menor densidad de líneas de campo eléctrico
en el interior del dieléctrico que en el exterior).
Por el contrario, en el caso del conductor, el campo externo desplaza las cargas móviles del mismo
(por ejemplo, los electrones de conducción en los conductores metálicos) hasta que se alcanza una
situación estacionaria. Estas cargas móviles redistribuidas originan un campo eléctrico en el interior del
conductor de sentido contrario al campo externo, de módulo igual al del campo externo. En
consecuencia, el campo eléctrico total en el interior del conductor es nulo (no hay líneas de campo
eléctrico en el interior en situación estacionaria) y, por tanto, el volumen y la superficie del mismo es
equipotencial.
4. ALGUNOS TIPOS DE CONDENSADORES Y SÍMBOLOS
Los condensadores se pueden clasificar en función de características tales como el dieléctrico, rango
de capacidades, forma, etc.
En la Fig.11a se representa un condensador de papel, formado por dos láminas de aluminio
(armaduras) separadas por finas capas de papel (dieléctrico).
El dieléctrico también puede ser de material cerámico, como en la Fig.11b, muy utilizado en
telecomunicaciones.
Ambos condensadores son de capacidad fija y su símbolo en los circuitos eléctricos es el indicado
en la parte inferior (la líneas verticales representan las armaduras y las horizontales los cables de
conexión). Dicho símbolo, aunque recuerda el esquema del condensador plano, se utiliza para
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Capacidad y conden... – 14
representar un condensador de cualquier geometría.
200 nF
50 V
200 nF
50 V
eje
3n2K600
200 nF
50 V
a
c
d
b
e
Fig.11
En las Fig.11c y Fig.11d están representados condensadores electrolíticos (radial y axial,
respectivamente), denominados así porque el dieléctrico está formado por un fina capa de óxido de un
metal (aluminio o tantalio, este último de mejor calidad y más caro) que es reforzada por electrólisis
de la disolución de electrólito cuando se conecta a una ddp. Esta técnica permite obtener elevadas
capacidades, con una buena relación capacidad/tamaño. Se caracterizan, además, por tener polaridad,
es decir, cada terminal se debe conectar a su correspondiente polaridad (la patita negativa –cátodo– es
más corta que la positiva –ánodo–). En caso de conectarlos incorrectamente se elimina la capa de óxido
(además, generalmente la polarización inversa origina gases por electrólisis y puede provocar una
explosión) y el condensador se volverá conductor, en lugar de almacenar carga, algo que no hay que
tener en cuenta en los condensadores anteriores. Los símbolos empleados en los circuitos eléctricos para
los condensadores electrolíticos están dibujados en la parte inferior de las Fig.11c y Fig.11d.
Por último, se representa un condensador de capacidad variable (Fig.11e), con aire como dieléctrico,
siendo su símbolo el representado en la parte inferior. Al girar el eje se desplazan unas láminas
metálicas que forman una armadura respecto a otras fijas que forman la otra armadura, variando así el
número de líneas de campo eléctrico interceptadas entre ambas armaduras, y por tanto, la capacidad.
Estos condensadores se encuentran frecuentemente en los aparatos de radio en los circuitos
sintonizadores de emisoras.
Los condensadores reales tienen asociadas, además de capacidad, una resistencia y una inductancia
(término que se analizará en una unidad posterior) debidas a los terminales y a la estructura del
componente. Estos dos últimos aspectos no se tendrán en cuenta en el análisis que se desarrolla en esta
unidad.
5. PROCESOS DE CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Para estudiar los procesos de carga y descarga de un condensador
partiremos del circuito que se representa en la Fig.12, compuesto por una
fuente ideal de tensión V continua y constante, una resistencia R y un
condensador C, todo ello conectado en serie. Además se tiene un
interruptor que puede tomar las posiciones 0, 1 o 2.
V
0
1
2
C
R
Fig.12
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Capacidad y conden... – 15
5.1. Proceso de carga de un condensador
Supongamos que inicialmente el condensador se encuentra
i(t)
C VC(t) completamente descargado (q(t=0) = 0). Al situar el interruptor en
la posición 1 (se obtiene la Fig.13), la fuente desplaza electrones
V
desde la armadura positiva del condensador C hasta su armadura
R VR(t) negativa (las armaduras no tienen signo inicialmente por no tener
carga en dicho instante; a medida que se carga el condensador, sus
armaduras van adquiriendo el signo indicado en el esquema) a
Fig.13
través de los hilos conductores (supuestos ideales) y de la
resistencia R. Ello origina una intensidad de corriente en el sentido
indicado en la figura (recordemos que la intensidad de corriente tiene sentido contrario al del
movimiento de los electrones). Durante el proceso, la carga almacenada en las armaduras de C varía
con el tiempo, q(t), y por tanto la tensión VC(t) entre las armaduras de C también variará con el tiempo
(por ser la relación entre q(t) y VC(t) una constante,
q (t )
= C , al suponer que dicho proceso es lo
VC (t )
suficientemente lento como para que el condensador esté en equilibrio en todo instante). Puesto que
existe intensidad (variable) i(t) en el circuito, la tensión entre los bornes de R (también variable) es
VR(t).
En un instante cualquiera t, la tensión subministrada por la fuente es igual a la tensión en ese
instante entre las armaduras de C más la tensión (también en ese instante) entre los bornes de R (en
otros términos: la suma de las caídas instantáneas de tensión en C y en R es igual a la caída instantánea
de tensión total, V; recuérdese la aditividad de potenciales eléctricos descrita en el apartado 14.1 de la
unidad Campo electrostático), por lo que escribiremos:
V = VC(t) + VR(t)
[22]
q (t )
y VR(t) = RAi(t) (ésta última es la ley de Ohm para resistencias) en [15]
C
Al substituir VC (t ) =
se obtiene:
q (t )
+ R ⋅ i (t )
C
dq (t )
Como i (t ) =
se llega a la ecuación diferencial:
dt
q (t )
dq (t )
V =
+R
C
dt
V =
[23]
[24]
Para resolverla separaremos variables (el término “separar variables” significa que los términos que
contienen una variable se sitúen en un miembro de la ecuación y los términos que contienen la otra
variable en el otro miembro. En este caso las variables son q y t, mientras que V, C y R son constantes):
dq (t )
dt
=
VC − q (t ) RC
[25]
e integraremos entre t = 0 y t, límites a los que les corresponden valores de la carga de 0 y q(t):
∫
q(t )
0
dq (t )
1 t
=
dt
VC − q (t ) RC ∫0
[26]
cuya solución es
]
− ln(VC − q (t ))
q(t )
0
t
t 
=
RC  0
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[27]
Capacidad y conden... – 16
VC − q (t )
t
=
VC
RC
t
VC − q (t )
−
= e RC
VC
− ln
[28]
[29]
de donde finalmente despejamos q(t):
t


−
RC
q (t ) = VC 1 − e 


[30]
que nos permite obtener la carga almacenada en las armaduras del condensador en función del tiempo
y los parámetros del circuito (V, C y R).
régimen
Transcurrido un tiempo lo suficientemente
q(t)
período transitorio
estacionario
t
−
Q
RC
→ 0 , la carga del
largo, t → ∞ , e
condensador se aproxima a su valor máximo Q =
VAC, por lo que podemos escribir la siguiente
0,63Q
expresión (equivalente a la [30]):
t


−
q (t ) = Q 1 − e RC 


[31]
El producto RC que aparece en la expresión
[31] (y anteriores) se denomina constante de
tiempo del circuito, τ (obsérvese que el
exponente siempre es adimensional):
τ = RC
[32]
con lo que [31] también puede escribirse
1τ
2τ
3τ 4τ
Fig.14
t

− 
τ
q (t ) = Q 1 − e 


5τ
6τ
7τ t
[33]
La representación gráfica de la carga del condensador q(t) en función del tiempo t, dada por la
expresión [33], está en la Fig.14. Se observa que la carga crece rápidamente al comienzo. Luego
aumenta con más lentitud y, por último, se aproxima asintóticamente a su valor final, siendo necesario
un tiempo teóricamente infinito para que el condensador quede totalmente cargado.
La carga del condensador al cabo de un tiempo igual a la constante de tiempo, t = τ , vale,
substituyendo t por τ en la expresión [33]:

q (τ ) = Q 1 −

1
 ≈ 0,63 ⋅ Q
e
[34]
es decir, al cabo de una constante de tiempo, la carga almacenada en el condensador en el proceso de
carga a partir de una carga inicial nula es aproximadamente el 63% de la carga máxima que puede
almacenar el condensador tras el proceso.
Al cabo de cinco constantes de tiempo, t = 5τ , el condensador adquiere casi la totalidad de la carga
máxima (Fig.14), por lo que a efectos prácticos se puede considerar cargado.
En el intervalo comprendido entre t = 0 y t ≈ 5τ , la carga del condensador varía con el tiempo
(también varía la tensión entre sus armaduras, y la intensidad de corriente como veremos después, etc)
por lo que este período de tiempo se denomina período transitorio, o simplemente transitorio. A partir
de, aproximadamente 5τ , las variables eléctricas del circuito permanecen constantes en el tiempo, por
lo que el circuito entra en régimen estacionario. (Se define el período transitorio con más rigor de la
siguiente forma: como el tiempo que transcurre entre dos situaciones estacionarias, durante el cual las
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Capacidad y conden... – 17
variables eléctricas varían con el tiempo de forma no periódica).
Cuanto menor sea la constante de tiempo (lo que se favorece con valores bajos de R y/o C, véase
la expresión [32]) más corto será el período transitorio y más pronto se cargará totalmente el
condensador.
Por último, para obtener la intensidad en cualquier instante durante el proceso de carga basta con
derivar la expresión [30]:
i(t)
q − RCt
V − RCt
i( t ) =
e
= e
[35]
i
RC
R
0
La intensidad de corriente máxima i0 se produce
en el instante inicial (t = 0) y vale i 0 =
V
, que es la
R
intensidad correspondiente al circuito con sólo R (en
el instante t = 0 la diferencia de potencial en el
condensador es nula por estar descargado, con lo que
la caída de tensión en R coincide con la que
proporciona el generador), por lo que se puede
escribir:
i( t ) = i0 e
−
1τ
2τ
3τ 4τ
Fig.15
5τ
6τ
7τ t
t
τ
[36]
Esta función se representa en la Fig.15, donde se observa que la intensidad disminuye
exponencialmente durante el proceso de carga. En régimen estacionario es nula, pues una vez finalizado
el proceso de carga del condensador no existe movimiento de electrones por el circuito. El condensador,
una vez cargado, actúa como un dispositivo que, además de almacenar carga eléctrica, ofrece una
resistencia infinita al paso de corriente en este circuito, con fuente de tensión continua y constante.
Obsérvese también que al ser nula la intensidad en régimen estacionario, no existe caída de tensión
en R y la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador coincide con la del generador.
Ejemplo 5
Supongamos que en el circuito de la Fig.13, V = 10 V, R = 1 MS y C = 10 :F. Calcular:
a. La constante de tiempo del circuito.
b. El intervalo de tiempo al cabo del cual se puede considerar al condensador prácticamente cargado.
c. La carga y la tensión en el condensador y la intensidad al cabo de dicho tiempo.
d. La tensión en el condensador y la carga que almacena cuando está completamente cargado.
a. La constante de tiempo vale
τ = RC = (10 6 Ω ) ⋅ (10 ⋅ 10 − 6 F) = 10 s .
b. Al cabo de un intervalo de tiempo
t C = 5τ = 50 s
5τ podemos considerar que el condensador está cargado:
c. En el instante t = 50 s, la carga almacenada en el condensador se obtiene a partir de la expresión
[30]:
q (t = 50 s) = (10 V) ⋅ (10 ⋅ 10
−6
50

− 
10
F) 1 − e  = 99,3 µ C


La tensión en el condensador en dicho instante se obtiene teniendo en cuenta que en todo instante
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Capacidad y conden... – 18
se cumple que
q (t )
= C , de donde
VC (t )
q (t = 50 s) 99,3 ⋅ 10 − 6 C
VC (t = 50 s) =
=
= 9,93 V
C
10 ⋅ 10 − 6 F
d. Cuando el condensador está completamente cargado, V = VC, ya que VR = 0 por no existir intensidad
de corriente en el régimen estacionario, por lo que
VC = V = 10 V
y la carga máxima vale
q = VCAC = (10 V)A(10A10–6 F) = 100 :C
La tensión calculada en el apartado anterior supuesta la del condensador totalmente cargado contiene
un 0,7% de error relativo respecto al valor correcto, de este apartado.
5.2. Proceso de descarga de un condensador
Una vez cargado completamente el condensador como se indica en el
i(t)
C
apartado anterior, situaremos el interruptor del circuito de la Fig.12 en la
posición 2 (obteniendo la Fig.16) iniciándose el proceso de descarga del
condensador. Pondremos el cronómetro a cero, por lo que q(t=0) = q, es
decir, en la situación inicial de descarga, la carga del condensador es igual a
R
la carga máxima, que es la situación estacionaria del caso anterior. El
condensador comenzará a descargarse porque los electrones de la armadura
Fig.16
negativa se desplazarán por la resistencia y el hilo conductor hasta la
armadura positiva del condensador, neutralizando la carga positiva de la
misma. Se origina así una intensidad de corriente indicada en la Fig.16 (con sentido contrario al
movimiento de los electrones. Observar, además, que la intensidad en el proceso de descarga tiene
sentido contrario al de carga).
Como en el apartado anterior, obtendremos las funciones q(t) e i(t) a partir de la aditividad de las
tensiones instantáneas, en este caso más fácil por no existir fuente de alimentación:
VC(t) + VR(t) = 0
[37]
Relacionando estas tensiones instantáneas con la carga instantánea, la expresión [37] se convierte
en:
q (t )
dq (t )
+R
=0
C
dt
[38]
que agrupando variables e integrando (teniendo en cuenta las condiciones iniciales del principio de este
apartado) se obtiene
q (t ) = Q ⋅ e
−
t
RC
= Q⋅ e
−
t
τ
[39]
representada en la Fig.17a.
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Capacidad y conden... – 19
i(t)
0
q(t)
0
t
t
a
b
Fig.17
La intensidad de corriente de descarga se obtiene derivando la expresión anterior:
i (t ) = − i0 ⋅ e
−
t
RC
= − i0 ⋅ e
−
t
τ
[40]
función representada en la Fig.17b. Existe intensidad de corriente mientras el condensador se descarga,
haciéndose nula cuando el condensador queda totalmente descargado.
6. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA ALMACENADA EN CONDENSADORES
CARGADOS
En el proceso de carga de un condensador se transfieren electrones de la armadura positiva a la
negativa a través de la fuente o batería. Esto es equivalente a la transferencia de carga positiva +q desde
la armadura negativa del condensador (potencial bajo) a la armadura positiva del mismo (potencial alto)
a través de la fuente, para lo cual se requiere realizar trabajo sobre dicha carga +q, energía que es
subministrada por la fuente y almacenada en el condensador (que es nuestro sistema de interés) en
forma de energía potencial eléctrica (de tipo potencial por la capacidad de realizar trabajo sobre las
cargas cuando el condensador se descarga).
Supongamos que en un instante dado, en el proceso de carga de
un condensador inicialmente descargado, el condensador contiene
+q(t)
∆VC(t)
+dq
una carga +q(t) en la armadura positiva y –q(t) en la armadura
-q(t)
negativa (circuito de la Fig.18), con una diferencia de potencial entre
armaduras )V(t). La fuente sigue cargando el condensador
Fig.18
extrayendo electrones de la armadura positiva y almacenándola en
la negativa, o lo que es equivalente, extrayendo carga positiva de la
armadura negativa y almacenándola en la positiva; supongamos que extrae una cantidad +dq, tan
pequeña que no modifica la tensión del condensador. Entonces, el trabajo eléctrico elemental dW
realizado por la fuente al incrementar la carga del condensador en una cantidad +dq vale (a partir de la
expresión [83] de la unidad Campo electrostático cuando varía la carga):
dW = )V(t)Adq
[41]
pero como este trabajo se invierte en incrementar la energía electrostática del condensador en dUeC,
tendremos
dUeC = dW = )V(t)Adq
[42]
Integraremos la expresión anterior para calcular la energía electrostática total adquirida por el
condensador durante todo el proceso de carga desde una carga inicial nula (consideramos que
inicialmente el condensador se encuentra descargado) hasta una carga final q:
UeC =
∫
q
0
∆ V (t ) ⋅ dq
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[43]
Capacidad y conden... – 20
integral que no podemos resolver directamente ya que )V(t) y q(t) no son independientes ()V(t) no se
puede sacar fuera de la integral por no ser constante durante el proceso de carga), pero sabemos que
)V(t) y q(t) en el condensador están relacionados por
q (t )
= C en cualquier instante, de donde
∆ V (t )
q (t )
que substituiremos en la expresión [43]:
C
q q ( t ) ⋅ dq
1 q
1 q2
UeC = ∫
= ∫ q (t ) ⋅ dq =
0
C
C 0
2 C
∆ V (t ) =
[44]
por lo que la energía electrostática total almacenada en un condensador cargado está dada por:
1 q2
UeC =
2 C
Teniendo en cuenta otra vez más que
[45]
q
= C , se obtienen otras dos expresiones para la energía
∆V
electrostática:
UeC =
1
q ⋅ ∆V
2
[46]
UeC =
1
2
C ⋅ (∆ V )
2
[47]
y
siendo las tres expresiones ([45], [46] y [47]) totalmente equivalentes.
Comparando la expresión de la energía potencial eléctrica almacenada en un condensador cargado
1 q2
UeC =
(expresión [45]) con la expresión de la energía potencial elástica de un resorte estirado
2 C
1
2
Ur = k ⋅ ( ∆ x ) se observa que el condensador es el equivalente eléctrico al resorte en un sistema
2
mecánico, siendo la carga q análoga a la elongación )x y 1/C análoga a k (tanto C como k son
parámetros estructurales), por lo que 1/C es una medida de la “dureza” de un condensador.
Ejemplo 6
¿Cómo se ve afectada la energía almacenada en un condensador al duplicar la diferencia de
potencial entre sus armaduras?
Puesto que no se modifica ni la geometría ni el dieléctrico del condensador, su capacidad
permanecerá constante. Por ello podemos utilizar de forma directa la expresión [47] por contener una
sola variable ()V) que además sabemos cómo varía. Nótese que también se podría realizar el análisis
a partir de las expresiones [45] o [46] para lo cual sería necesario tener en cuenta la expresión [2].
Siendo el estado 1 el inicial, al que le corresponde una tensión )V1 y una energía Ue1, y el estado
final el 2, al que le corresponde )V2 y Ue2, teniendo en cuenta que )V2 = 2A)V1 y que C permanece
constante, la relación entre energías vale (a partir de dicha expresión [47]):
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Capacidad y conden... – 21
1
2
C
V
⋅
∆
(
)
2
(2 ⋅ ∆ V1 ) 2
Ue2 2
=
=
=4
2
1
2
Ue1
(∆ V1 )
C ⋅ ( ∆ V1 )
2
es decir, la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador aumentó en cuatro veces al
duplicar la diferencia de potencial entre armaduras.
Ejemplo 7
Un condensador plano paralelo de 40 :F y separación entre armaduras de 1,5 mm se carga a 6 V.
a. Calcular la energía potencial eléctrica almacenada en el condensador.
b. Dicho condensador se desconecta de la batería (sin que se descarguen las armaduras) y se separan
sus armaduras hasta una nueva distancia de 3 mm. Determinar ahora la energía potencial
almacenada.
a. Por la expresión [47], la energía potencial eléctrica inicial (estado 1) almacenada en el condensador
es
1
2
1
C1 ( ∆ V1 ) = 40 ⋅ 10 − 6 ⋅ 6 2 = 7,2 ⋅ 10 − 4 J
2
2
−4
y la carga de cada armadura (en valor absoluto): q = C1 ∆ V1 = 2,4 ⋅ 10 C .
Ue1 =
b. En el nuevo estado (2), al aumentar la distancia de separación entre armaduras aumenta la tensión
y disminuye la capacidad (la carga permanece constante). También aumentará la energía almacenada,
pues para separar las armaduras tendremos que aplicar una fuerza externa sobre al menos una de ellas
(recuérdese que las armaduras cargadas se atraen por tener cargas de signos opuestos) y por tanto el
trabajo externo que realizamos sobre el sistema se invierte en incrementar su energía potencial.
Puesto que ni la carga ni la geometría del sistema varían, la intensidad del campo eléctrico entre las
armaduras tampoco variará, por lo que podemos escribir (de acuerdo con la expresión [8]):
∆ V1 = E ⋅ d1
∆ V2 = E ⋅ d 2
de donde
∆ V2 =
3 mm
d2
6 V = 12 V
∆ V1 =
d1
1,5 mm
y la nueva energía, por la expresión [46] vale
Ue2 =
1
1
q ⋅ ∆ V2 = 2,4 ⋅ 10 − 4 ⋅ 12 = 1,44 ⋅ 10 − 3 J
2
2
siendo el incremento en la energía potencial almacenada de
∆ Ue = Ue2 − Ue1 = 1,44 ⋅ 10 − 3 − 7,2 ⋅ 10 − 4 = 7,2 ⋅ 10 − 4 J
es decir, se duplicó la energía almacenada.
Calculemos el incremento en la energía potencial almacenada a través de un procedimiento
alternativo que requiere primero el cálculo del campo eléctrico entre armaduras, después la fuerza
eléctrica que ejerce una armadura sobre la otra y finalmente el incremento en la energía calculando el
trabajo que realiza dicha fuerza eléctrica.
El campo eléctrico entre las armaduras es (a partir de los datos del estado 1, por ejemplo):
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Capacidad y conden... – 22
E=
∆ V1
6V
V
=
= 4 ⋅ 10 3
−3
d1
m
1,5 ⋅ 10 m
El campo eléctrico originado por una de las armaduras es la mitad del campo anterior (véase lo
relacionado con las expresiones [4] y [5]):
E una armadura =
E
V
= 2 ⋅ 103
2
m
y la fuerza eléctrica atractiva que ejerce dicha armadura sobre la otra es igual al producto de la carga
total q de la segunda armadura por la intensidad de campo producida por la primera (q ya fue calculada
en el primer apartado):
Feentre armaduras = q ⋅ E una armadura = 2,4 ⋅ 10− 4 ⋅ 2 ⋅ 103 = 0,48 N
y el incremento en la energía es igual al trabajo, es decir, al producto de la fuerza eléctrica por el
incremento en la distancia de separación entre armaduras:
∆ Ue = We = Fe ⋅ ∆ d = 0,48 N ⋅ (3 − 1,5)10 − 3 m = 7,2 ⋅ 10 − 4 J
siendo, evidentemente, el mismo resultado que el obtenido anteriormente, pero a través de la fuerza
eléctrica entre armaduras.
Para finalizar este apartado calculemos la energía potencial eléctrica almacenada en un condensador
plano ideal cargado con vacío entre sus armaduras. Para este condensador, )V = EAd (expresión [8]) y
ε 0S
. Substituyendo ambas expresiones en la de la energía dada por [47] se obtiene
d
1
UeC plano = ε 0 SdE 2
[48]
2
y teniendo en cuenta que SAd es el volumen υ comprendido entre las armaduras, la densidad de energía
eléctrica por unidad de volumen, ρ Ue , es:
C=
ρ Ue =
Ue 1
= ε0E 2
2
υ
[49]
que aún cuando fue obtenida para un condensador plano, la expresión [49] es general (que no
demostraremos) y válida no sólo para cualquier otro condensador sino también para toda región del
espacio en la que exista un campo eléctrico (tanto electrostático como variable en el tiempo) en el vacío
y nos indica que la energía eléctrica en una unidad de volumen es directamente proporcional al
cuadrado de la intensidad del campo eléctrico en dicho volumen.
En la unidad Campo electrostático se expresaba la energía potencial eléctrica en función de las
fuentes (las cargas), lo que encaja con la visión de la interacción como una acción a distancia entre
cargas eléctricas de la ley de Coulomb. Ahora tenemos otra forma alternativa de obtener la energía
eléctrica como función del campo eléctrico por lo que podemos interpretar que la energía reside en el
propio campo y manejar el concepto de energía del campo eléctrico. Este punto de vista es fructífero
y útil, por ejemplo en el estudio de las ondas electromagnéticas.
7. ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES
Los circuitos eléctricos contienen a menudo varios condensadores y frecuentemente unidos entre
sí, uniones o asociaciones que pueden ser de varias formas, siendo las más simples la asociación en
paralelo y la asociación en serie de condensadores.
Estas asociaciones de condensadores en los circuitos tienen como finalidad conseguir un efecto
análogo al que produciría un condensador de características definidas del que no se dispone, o bien por
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Capacidad y conden... – 23
exigencias propias del circuito.
En ciertas asociaciones (entre ellas en paralelo y en serie) se puede calcular la capacidad
equivalente, es decir, reemplazar la asociación por un único condensador equivalente que es aquel
condensador que produce los mismos efectos (almacenar la misma carga, estar sometido a la misma
diferencia de potencial y almacenar la misma energía eléctrica que los condensadores de la asociación)
en el circuito que la asociación a la que reemplaza. En este apartado veremos los métodos para calcular
la capacidad equivalente de asociaciones en paralelo y en serie por separado para, finalmente, la de una
asociación mixta a través de un ejemplo.
7.1. Asociación en paralelo
C1
En la Fig.19a tenemos un ejemplo de asociación en
paralelo de tres condensadores con capacidades C1, C2
q1
y C3 (en general no tienen porque ser del mismo valor
y en la figura se ha supuesto que C2 = 2AC1 y C3 =
C2
3AC1), estando la asociación conectada a una fuente de a
a C b
b
continua. Suponiendo ideales los conductores del
q2
q
circuito, las armaduras izquierdas (con signo positivo
por estar conectadas al borne positivo de la fuente) de
C3
los tres condensadores están al mismo potencial. Las
∆V
armaduras derechas (con signo negativo) también están
q3
al mismo potencial. Obsérvese que en la asociación en
paralelo de condensadores los bornes del mismo signo
∆V
están conectados entre sí. En consecuencia, la
diferencia de potencial )V de los tres condensadores es
la misma e igual a la de la fuente, por lo que se verifica
[50]
∆ V = ∆ V1 = ∆ V2 = ∆ V3
a
b
Durante todo el proceso de carga de los
Fig.19
condensadores de la asociación, la fuente desplaza
carga eléctrica para cargar con q1 el condensador C1, con q2 el condensador C2, etc. de tal forma que la
carga total q desplazada por la fuente al final del proceso de carga vale
[51]
q = q1 + q 2 + q 3
siendo los valores de dichas cargas qi los siguientes (téngase en cuenta que )V1 = )V, )V2 = )V, etc):
[52]
q1 = C1 ∆ V1 = C1 ∆ V
q 2 = C2 ∆ V2 = C2 ∆ V
q 3 = C3 ∆ V3 = C3 ∆ V
[53]
[54]
adquiriendo más carga el condensador de la asociación que tenga mayor capacidad, pues todos están
sometidos a la misma tensión.
Por otra parte, en la Fig.19b tenemos el condensador equivalente con capacidad C que reemplaza
a la asociación en paralelo de los tres condensadores. Este condensador equivalente, para producir los
mismos efectos que la asociación, tendrá que almacenar la carga total q de los tres condensadores dada
por la expresión [51] (la fuente deberá desplazar la misma carga que antes de substituir la asociación
por el condensador equivalente) y estar sometido a la misma diferencia de potencial de la asociación,
)V, siendo el valor de q:
[55]
q = C ⋅ ∆V
Para calcular la capacidad C del condensador equivalente se substituyen las expresiones de las
cargas (de la [52] a la [55]) en [51] obteniendo
[56]
C ⋅ ∆ V = C1 ∆ V + C2 ∆ V + C3 ∆ V
que al eliminar el factor común )V queda
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Capacidad y conden... – 24
C = C1 + C2 + C3
[57]
expresión que podemos generalizar muy fácilmente para una asociación en paralelo de n condensadores:
i=n
C = C1 + C2 + L+ Cn =
∑C
i =1
[58]
i
La capacidad equivalente de una asociación de condensadores en paralelo es igual a la suma de las
capacidades de los condensadores asociados, observándose que al añadir más condensadores a la
asociación se incrementa la capacidad de la misma, siendo la capacidad del condensador equivalente
superior a la del condensador de mayor capacidad de la asociación.
Interesa pues una asociación en paralelo cuando se desee una capacidad equivalente mayor que
cualquiera de las asociadas, consiguiéndose de esta forma acumular grandes cantidades de carga con
diferencias de potencial pequeñas.
7.2. Asociación en serie
En la Fig.20a tenemos un ejemplo de asociación en serie de dos condensadores con capacidades C1
y C2, estando conectada la asociación a una fuente de continua que somete a la asociación a una
diferencia de potencial )V. En el proceso de carga, la fuente desplaza electrones de la armadura
izquierda de C1 a la armadura derecha de C2 a través de la fuente, en una cantidad equivalente en carga
positiva que podemos denominar q, adquiriendo las armaduras los signos que se indican en dicha figura
a
C1
C2
a
b
C1
C2
q
q
∆V1
∆V2
b
a
C
b
q
∆V
∆V
a
b
Fig.20
c
y con la misma cantidad de carga.
Los electrones del metal de la armadura izquierda de C2 son repelidos desplazándose hacia la
izquierda, quedando la armadura derecha de C1 cargado con –q y la armadura izquierda de C2 con +q,
tal como se indica en la Fig.20b. En consecuencia, las armaduras interiores se cargan por inducción.
En definitiva, la carga adquirida por cada condensador es la misma en todos ellos:
[59]
q = q1 = q 2
quedando claro que la fuente sólo desplaza una cantidad de carga q. Puesto que la carga en cada
condensador es la misma y en general la capacidad será diferente, entonces cada condensador de la
asociación estará sometido a una diferencia de potencial )Vi cuyos valores vendrán dados por:
q1
q
=
C1 C1
q
q
∆ V2 = 2 =
C2 C2
∆ V1 =
[60]
[61]
siendo la caída de tensión total igual a la suma de las caídas de tensiones:
∆ V = ∆ V1 + ∆ V2
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[62]
Capacidad y conden... – 25
Además, tal como se observa en la Fig.20b, en una asociación en serie las armaduras de distintos
signos están unidas entre sí.
En la Fig.20c tenemos el condensador equivalente de capacidad C que substituye a la asociación.
Este condensador equivalente, para que produzca los mismos efectos en el circuito que los que produce
la asociación, tendrá que almacenar una carga q (la misma que desplazó la fuente para cargar los dos
condensadores de la asociación) y estar sometido a la tensión total )V, por lo que para dicho
condensador equivalente se cumple:
∆V =
q
C
[63]
con un valor de la capacidad que obtendremos al substituir las expresiones [60], [61] y [63] en [62]:
q
q
q
=
+
C C1 C2
[64]
de donde eliminamos el factor común q:
1
1
1
=
+
C C1 C2
[65]
que generalizando para una asociación en serie de n condensadores se obtiene:
1
1
1
1
=
+
+ L+
=
C C1 C2
Cn
i=n
1
i =1
i
∑C
[66]
La inversa de la capacidad equivalente de una asociación en serie de condensadores es igual a la
suma de las inversas de las capacidades de los condensadores asociados. Obsérvese que la adición de
un condensador en serie incrementa 1/C, lo que significa que la capacidad equivalente de la asociación
en serie disminuye a medida que se añaden condensadores a dicha asociación, siendo la capacidad del
condensador equivalente inferior a la del condensador de la asociación de menor capacidad.
Se deduce que interesa montar una asociación en serie cuando se desee obtener una capacidad
equivalente menor que cualquiera de las capacidades asociadas, con la ventaja de que cada condensador
de la asociación está sometido a una parte de la tensión total, reduciéndose así el riesgo de perforación
del dieléctrico.
La explicación que se ha dado para la carga por inducción de las armaduras interiores de los
condensadores en una asociación en serie puede que sea, quizás, incompleta. Pero, además, se supuso
sin ninguna explicación que los condensadores de dicha asociación podían tener distintas capacidades
y, a pesar de ello, almacenan la misma carga.
Intentaremos explicar porque sucede así. Supongamos dos superficies conductoras, S1 y S2, bastante
separadas, una de área mayor que la otra (Fig.21a, en donde se representan las secciones transversales
de dichas superficies. Se advierte que la representación de las líneas de campo en estas figuras es sólo
aproximada) que se cargan mediante una batería que se desconecta una vez finalizada la carga: S1
adquiere una carga +q y S2 una carga –q (recuérdese que la carga eléctrica se conserva), estando la carga
más “apretada” en la superficie de menor área.
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Capacidad y conden... – 26
C1
S1
S1
-q
-q
a
C2
s2
S2
S2
+q
s1
S1
+q
b
Fig.21
+q
+q -q
S2
-q
c
En un segundo paso (Fig.21b) se introduce un trozo de metal descargado de forma cualquiera
(esférica en la figura) en el campo eléctrico entre las superficies cargadas, induciéndose en dicho metal
carga negativa sobre su superficie de la izquierda y carga positiva en la misma cantidad sobre su
superficie de la derecha como consecuencia del campo eléctrico en el que se introdujo el metal (véase
lo comentado respecto a la Fig.10c). La cantidad de carga inducida en el metal es inferior a la carga de
las superficies cargadas por la fuente porque el metal no “intercepta” todas las líneas de campo.
En el último paso, ese trozo de metal que tiene cargas inducidas lo deformamos y estiramos (sin que
se descargue) hasta que adquiera la forma de la Fig.21c: se transforma en dos superficies, s1 y s2, una
s1, próxima a S1 y del mismo tamaño y forma que ésta, que va a formar la armadura negativa del
condensador C1 y otra superficie pequeña s2, próxima a S2 del mismo tamaño y forma que ésta y lejos
de s1, que forma la armadura positiva del condensador C2, y un hilo conductor largo (formado al estirar
el metal) que une las superficies s1 y s2. La armadura negativa s1 que proviene del trozo de metal
intercepta ahora todas las líneas del campo eléctrico originadas por S1, por ello en s1 se induce una carga
–q, con el mismo valor pero de signo contrario a la carga de S1. Lo mismo sucede con s2 pero
cargándose con +q.
Tenemos así una explicación más clara de porqué todos los condensadores de una asociación en
serie almacenan la misma carga, incluso en el caso de que dichos condensadores tengan distinta
capacidad.
7.3. Asociaciones mixtas de condensadores
En un circuito con asociación mixta de condensadores encontraremos que unos están asociados en
paralelo y otros en serie. Mediante un ejemplo se verá cómo por reducciones consecutivas se obtiene
la capacidad equivalente de una asociación mixta.
Ejemplo 8
En la Fig.22 se representa una asociación de condensadores
siendo C1 = 6 :F, C2 = C3 = 2 :F, C4 = 1 :F y C5 = 3 :F. a
Calcular:
a. La capacidad del condensador equivalente.
b. La carga almacenada en C4 cuando se aplica una diferencia
de potencial de 25 V a los terminales a–b.
b
C1
C2
C4
C3
C5
Fig.22
a. En este ejemplo se muestra una combinación de
asociaciones de condensadores siendo el objetivo obtener el
condensador equivalente que reemplace a la asociación entre los terminales a y b. El procedimiento a
emplear consistirá en identificar una asociación parcial conocida (en paralelo o en serie), calcular su
capacidad equivalente y reducir el circuito, repitiendo estos pasos hasta que la asociación inicial quede
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Capacidad y conden... – 27
reducida a un único condensador final que será el equivalente que buscamos.
C2
A primera vista parece que C1 y C5 están asociados en
C3
paralelo, o que C1 y C2 están asociados en serie, o que C3 y C4
C1
C5
están en paralelo, etc. Es falso. Para comprobarlo dibujemos
a
b
de otra forma el mismo circuito, Fig.23 (si es difícil identificar
C4
asociaciones en el circuito inicial, conviene dibujarlo de otra
forma, asegurándose de que no se cambia la funcionalidad del
Fig.23
mismo). Conviene comprobar que el tramo de circuito
dibujado en la Fig.23 es el mismo que el de la Fig.22.
En la Fig. 23 ya identificamos una asociación en serie entre C2 y C3. Pues bien, procedemos a
calcular su capacidad equivalente CI (Fig.24a):
CI
C2
C3
CI
C1
C1
C5
a
b
C4
C5
a
b
C4
a
b
Fig.24
1
1
1
1 1
+
= + =1
I =
C2 C3 2 2
C
de donde CI = 1 :F. Substituimos dicha asociación por CI y dibujamos el nuevo circuito, Fig.24b, en
la que se identifica una nueva asociación: CI y C4 están en paralelo por lo que procedemos a calcular
la capacidad equivalente CII (Fig.25a):
CII
CI
C1
C5
a
C4
C1
CII
a
b
a
C5
b
b
Fig.25
C II = C I + C4 = 1 + 1 = 2
de donde CII = 2 :F y dibujamos otra vez el nuevo circuito reducido, Fig.25b, en el que se observa que
C1, CII y C5 están asociados en serie. Calculamos la capacidad equivalente de estos tres condensadores
(Fig.26a) que por ser ya el condensador final será también el condensador equivalente que buscamos,
con capacidad que llamaremos Ce:
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Capacidad y conden... – 28
Ce
C1
CII
a
C5
a
b
a
Ce
b
b
Fig.26
1
1
1
1
1 1 1
=
+ II +
= + + =1
Ce C1 C
C5 6 2 3
por lo que la capacidad del condensador equivalente que buscamos es
C e = 1 :F
y la asociación una vez reducida totalmente se muestra en la Fig.26b.
b. Para calcular la carga almacenada en C4 procederemos a la inversa: partir del condensador
equivalente final, Fig.26b. En ella, al aplicar una diferencia de potencial de 25 V al condensador
equivalente Ce, éste adquiere una carga qe = CeA)V = 1 :FA25 V = 25 :C. Esta carga también es la que
almacena cada uno de los condensadores C1, CII y C5 (Fig.26a) por estar asociados en serie. De estos
tres condensadores nos interesa CII porque a él contribuye C4 (Fig.25a), por lo que qCII = 25 :C y la
diferencia de potencial a la que está sometido este condensador vale (fácil de calcular porque
conocemos su capacidad y la carga que almacena) ∆ VC II =
q C II
C II
=
25 µ C
= 12,5 V . Esta
2 µF
diferencia de potencial es a la que están sometidos los condensadores CI y C4, 12,5 V cada uno, por estar
asociados en paralelo. Así ya podemos calcular la carga que almacena C4, pues conocemos su capacidad
y la diferencia de potencial a la que está sometido:
qC4 = C4A)V4 = 1 :FA12,5 V = 12,5 :C.
8. CONEXIÓN Y DESCONEXIÓN ENTRE CONDENSADORES
En el apartado anterior se han analizados situaciones en las que los condensadores se asociaban de
distintas formas, pero en todas ellas las conexiones permanecían fijas. Por el contrario, en este apartado
cargaremos condensadores, los desconectaremos, volveremos a conectar, unas veces con las armaduras
del mismo signo entre sí y otras conectando armaduras de signos contrarios. Los cambios en las cargas
almacenadas, en las tensiones y en la energía eléctrica almacenada se comprenderán mejor a través de
los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 9
Mediante una batería de 5 V se carga un condensador C1 de 4 :F. También, separadamente,
mediante una batería de 30 V se carga un segundo condensador C2 de 1 :F . A continuación se
desconectan (sin que se descarguen los condensadores) las baterías y se conectan los condensadores en
paralelo. Calcular:
a. La carga y tensión de cada condensador en la conexión en paralelo.
b. La energía almacenada antes y después de conectar en paralelo.
a. El condensador C1, al estar conectado a la batería y una vez finalizado el proceso de carga, adquiere
una carga que denominaremos q1i (carga del condensador C1 en el estado inicial, una vez cargado): q1i
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Capacidad y conden... – 29
= C1A)V1i = 4 :FA5 V = 20 :C. Los mismo le ocurre a C2 que adquiere una carga q2i = C2A)V2i = 1 :FA30
V = 30 :C.
La carga total inicial qi de ambos condensadores por separado y una vez desconectados de sus
respectivas baterías vale:
qi = q1i + q2i = 20 :C + 30 :C = 50 :C
Estos dos condensadores ya cargados y desconectados de las baterías se conectan en paralelo. La
conexión en paralelo implica que las armaduras del mismo signo se conectan entre. En la Fig.27a se
muestra la conexión en su instante inicial.
Rápidamente el sistema evoluciona
C1 q1f
q
C
1i
1
espontáneamente hacia una situación final (Fig.27b)
en la que la tensión en ambos condensadores es la
misma, )V1f = )V2f, por estar conectadas las
armaduras del mismo lado al mismo punto. Por
dicha razón existe un desplazamiento de parte de la
carga eléctrica entre las armaduras del mismo lado
a través del hilo de conexión durante la evolución
C2 q2i
C2 q2f
mencionada para que cada condensador almacene
finalmente la carga proporcional a su capacidad bajo
a
b
la misma tensión. En nuestro caso se desplazó parte
Fig.27
de la carga positiva de la armadura izquierda de C2
a la armadura también izquierda de C1 (en realidad
se desplazaron electrones en el sentido inverso) y parte de la carga negativa de la armadura derecha de
C2 a la armadura también derecha de C1.
Sólo nos queda buscar las ecuaciones y calcular la carga final que adquiere cada condensador y la
tensión final igual para ambos. La primera ecuación es consecuencia de la conservación de la carga
eléctrica: la carga total final qf es igual a la carga total inicial qi, por lo que qf = qi = 50 :C y siendo qf
= q1f + q2f tendremos la primera ecuación:
q1f + q2f = 50 :C
[67]
La segunda ecuación viene dada por la igualdad entre las tensiones en la situación final:
)V1f = )V2f
que al tener en cuenta la relación entre carga y tensión para cada condensador, la segunda ecuación
queda:
q1 f
C1
=
q2 f
[68]
C2
Tenemos así un sistema de dos ecuaciones, [67] y [68], siendo las incógnitas las carga finales.
Resolviendo dicho sistema, teniendo en cuenta los valores de las capacidades de cada condensador, se
obtiene
q1f = 40 :C
q2f = 10 :C
y la tensión final, igual para ambos, la calculamos para uno de los dos condensadores, por ejemplo para
el primero: ∆ V f =
q1 f
C1
=
40 µ C
= 10 V , por lo que
4 µF
)V1f = )V2f = 10 V
b. La energía potencial eléctrica almacenada en los condensadores en el estado inicial (cargados y
desconectados entre sí) y final se puede calcular utilizando por ejemplo la expresión [47] teniendo en
cuenta que la energía total en cada estado es la suma de las energías de cada condensador en dicho
estado. De esta forma y a partir de los datos del enunciado y de los resultados obtenidos:
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Capacidad y conden... – 30
1
1
2
1
2
1
2
2
C1 ( ∆ V1i ) + C2 ( ∆ V2i ) = 4 ⋅ 10 − 6 ( 5) + 1 ⋅ 10 − 6 ( 30) = 5 ⋅ 10 − 4 J
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
= C1 ∆ V1 f + C2 ∆ V2 f = 4 ⋅ 10 − 6 (10) + 1 ⋅ 10 − 6 (10) = 2,5 ⋅ 10 − 4 J
2
2
2
2
U ei =
U ef
(
)
(
)
pareciendo sorprendente que no se conserve la energía potencial eléctrica del sistema. Bien, en realidad
es lo que cabría esperar en cuanto a la disminución de la energía, pues ya en el apartado anterior de este
ejemplo se dijo que existía un desplazamiento espontáneo de carga eléctrica en el paso del estado inicial
al final, y se debe tener en cuenta que toda evolución física espontánea implica que la energía potencial
del sistema disminuye. Aún queda por aclarar el otro aspecto: si la energía se conserva ¿en dónde está
o en qué otro tipo de energía se ha transformado la que falta?. La energía que falta se convirtió en su
mayor parte en calor si la resistencia de los hilos de conexión es grande o, si es pequeña la resistencia,
se habrá radiado en su mayor parte en forma de ondas electromagnéticas. Todo es ello es análogo a un
sistema mecánico: en éste la energía potencial no se conserva, sino que se transforma en energía
cinética.
En este ejemplo los condensadores estaban sometidos a tensiones pequeñas y en consecuencia la
energía eléctrica almacenada en ellos es relativamente pequeña. Si por el contrario se someten a una
diferencia de potencial elevada, la energía que pueden llegar a almacenar puede ser muy elevada
(expresión [47]) y en consecuencia resultar peligrosos cuando se descargan a través del cuerpo si se
tocan las dos armaduras.
Ejemplo 10
Un condensador de 1 :F se carga a la tensión de 70 V, e independientemente, otro condensador de
3 :F se carga a 10 V. Una vez cargados y desconectados de sus baterías se unen sus armaduras en serie.
Calcular la carga y la tensión en cada uno de los condensadores.
En este ejemplo, los condensadores se conectarán entre sí en serie en lugar de en paralelo. Veamos
paso a paso como obtenemos la carga y la tensión final de cada condensador.
En primer lugar calculamos la carga inicial de cada condensador por separado una vez cargados
completamente: q1i = C1A)V1i = 1 :FA70 V = 70 :C y q2i = C2A)V2i = 3 :FA10 V = 30 :C.
A continuación se conectan en serie estos dos condensadores cargados, Fig.28a. Pero conectar en
serie significa conectar las armaduras de signos contrarios entre sí por lo que ocurre una neutralización
de carga eléctrica: los –30 :C (electrones en exceso) de la armadura de la izquierda de C2 se desplazan
hasta la armadura también izquierda de C1 para neutralizar a +30:C de los +70 :C de dicha armadura,
por lo que en el lado izquierdo de los condensadores queda una carga de +70 :C – 30 :C = 40 :C a
repartir entre esas dos armaduras (Fig.28b). En el lado derecho ocurre también una neutralización: –30
:C de los –70 :C de la armadura derecha de C1 neutralizan a los +30 :C de la armadura derecha de
C2, quedando entonces una carga de –70 :C + 30 :C = –40 :C para repartir entre las dos armaduras
del lado derecho (Fig.28b).
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Capacidad y conden... – 31
C1 q1i
C2 q2i
a
C1
C2
C1 q1f
C2 q2f
b
Fig.28
c
Es decir, tenemos una carga de +40 :C para distribuir entre las armaduras de la izquierda y –40 :C
para distribuir entre las armaduras de la derecha de ambos condensadores. Notemos que al final quedan
conectados en paralelo (armaduras del mismo signo conectadas entre sí) por lo que la tensión final de
ambos condensadores tendrá el mismo valor y el reparto de carga se realizará proporcionalmente a la
capacidad de cada condensador (Fig.28c, que representa el estado final). Aunque se ha descrito todo
el proceso en sucesivos pasos, téngase en cuenta que la neutralización y el reparto de cargas ocurren
muy rápidamente.
Una de las ecuaciones para obtener los valores finales es la de la carga a repartir.:
q1f + q2f = 40 :C
y la otra teniendo en cuenta que las tensiones finales son iguales )V1f = )V2f, o sea,
q1 f
C1
=
q2 f
C2
que resolver dicho par de ecuaciones teniendo en cuenta los valores de las capacidades dadas en el
enunciado se obtienen los resultados siguientes:
q1f = 10 :C
q2f = 30 :C
y
)V1f = )V2f = 10 V
Del mismo modo que en el ejemplo anterior, se puede calcular la energía potencial eléctrica total
en el estado inicial (condensadores cargados y separados) y la energía eléctrica total final, comprobando
que la energía final es menor que la inicial debido a la evolución espontánea de un estado a otro.
9. CONDENSADORES EN CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
Este apartado tiene como objetivo analizar cómo se comporta un condensador en un circuito de
corriente continua, qué carga adquiere, a qué tensión está sometido, etc., limitándose el análisis al
estado estacionario (véase el apartado 5.1) en el cual, una vez pasado el período transitorio, las variables
eléctricas del circuito permanecen constantes en el tiempo. Pero veámoslo a través de un ejemplo.
Ejemplo 11
Calcular la tensión y la carga en el condensador en el circuito de la Fig.29a, siendo g = 10 V, R1 =
40 S, R2 = 60 S, R3 = 20 S y C = 3 :F.
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Capacidad y conden... – 32
R1
R1
a
R2
ε
R3
c
C
R1
a
R2
ε
i1
R3
i2
c
C
b
b
b
a
R2
ε
i1
c
Fig.29
En la Fig.29b se representan las intensidades de cada malla, i1 e i2. Pero tengamos en cuenta que en
los instantes iniciales después de conectar la fuente al circuito, durante el período transitorio, el
condensador almacena carga a un ritmo cada vez menor por lo que i2 se va haciendo menor hasta que
se anula una vez cargado completamente el condensador. A partir de este momento comienza el
régimen estacionario que es el que nos interesa y en el que
i2 = 0
es decir, el condensador abre el circuito en régimen estacionario y no existirá corriente en la rama en
la que se encuentra.
Para determinar la carga y la tensión en el condensador es necesario calcular antes i1 para después
calcular Va–Vb. Para efectos de cálculo de i1 simplificamos el circuito no dibujando la o las ramas en
las que no existe corriente (Fig.29c). Aplicando la ley de Ohm generalizada a la única malla:
i1 =
∑ε
∑R
i
i
=
10
= 0,1 A
40 + 60
por lo que la caída de tensión Va–Vb en la rama en la que se encuentra R2 vale, aplicando la ley de Ohm
para resistencias:
Va–Vb = i1AR2 = 0,1A60 = 6 V
La caída total de tensión en la rama en la que se encuentra C, en la Fig.29b, es igual a la suma de
las caídas parciales de tensiones:
Va–Vb = (Va–Vc) + (Vc–Vb)
siendo (Va–Vc) = i2AR3 = 0 por ser nula i2 y (Vc–Vb) = )VC, la tensión en las armaduras del condensador,
por lo que dicha tensión vale
)VC = Va–Vb = 6 V
y la carga que almacena
q = CA)VC = 3 :FA 6 V = 18 :C
con signo positivo la armadura superior (la más próxima a R3) por estar a potencial más alto.
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Capacidad y conden... – 33
10. CUESTIONES Y PROBLEMAS
10.1. Conductor aislado
1. De la definición de capacidad de un conductor aislado como la relación entre la carga y la tensión
(expresión [1]), ¿puede la capacidad tomar valores negativos?
No: q y V siempre tienen el mismo signo
por lo que el cociente es siempre positivo
2. Calcular el radio de una esfera metálica en el vacío (K0 = 9A109 NAm2/C2) para que tenga una
capacidad de 1 F. Comparar dicho radio con el de la Tierra, RT = 6,38A106 m.
R = 9A109 m; unas mil cuatrocientas veces el radio terrestre!!
3. Una “gota” de mercurio que está electrizada se evapora. Supongamos que dicha “gota” es esférica.
Razonar como se ve afectada la carga, la capacidad y el potencial de la “gota” a medida que se evapora,
suponiendo que la carga permanece en el mercurio en estado líquido.
q constante, C disminuye, V aumenta
4. Un metal con forma de paralepípedo, con dimensiones 3,0A5,5A12 cm, tiene una carga total de 300
:C y un potencial en su superficie de 10,0 V. Calcular la capacidad de dicho trozo de metal. Si cambia
la forma del metal, ¿cambiará su capacidad?
30,0 :F; Sí, q permanece constante, V cambia
10.2. Condensador
5. ¿Tiene un condensador capacidad aunque esté descargado?
Sí. La capacidad sólo depende del medio y de la geometría
6. Un condensador se conecta a una batería que subministra una tensión que se puede variar. Teniendo
en cuenta que la capacidad de cualquier condensador cumple la relación C =
q
, ¿cómo se ve
∆V
afectada la capacidad de nuestro condensador si duplicamos la tensión que le subministramos?
C es cte. (depende sólo del medio y de la geometría).
Si )V se duplica, q también se duplica.
7. Un condensador plano se carga al conectarlo a la batería y luego se desconecta con medios aislantes.
La separación entre armaduras se duplica. Explicar cómo cambian la capacidad, la carga almacenada,
la diferencia de potencial y el campo eléctrico.
La capacidad se reduce a la mitad. La carga permanece constante.
La diferencia de potencial se duplica. El campo permanece constante.
8. Un condensador plano se carga al conectarlo a una batería y se mantiene conectado. La separación
entre armaduras se duplica. Explicar cómo cambian la capacidad, la diferencia de potencial, la carga
almacenada, y el campo eléctrico.
La capacidad se reduce a la mitad. La diferencia de potencial permanece constante.
La carga y el campo se reducen a la mitad.
9. Dos condensadores planos, con superficies de armadura S1 = 2AS2 y distancias de separación entre
armaduras d2 = 3Ad1, con el mismo dieléctrico, se someten a la misma diferencia de potencial. Calcular
la relación entre cargas que almacenan los condensadores.
q 1 = 6Aq 2
10. Comprobar que no existe campo eléctrico en el exterior de un condensador esférico cargado.
11. Explicar por qué la alineación de los dipolos permanentes en presencia de un campo eléctrico
externo es sólo parcial. Explicar cómo influye la intensidad del campo eléctrico externo en el grado de
alineamiento. Explicar también cómo influye la temperatura.
12. A partir de la expresión [12] y de lo expuesto en los últimos párrafos del apartado 3.1.b, deducir el
valor de la permitividad dieléctrica relativa de un conductor.
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Capacidad y conden... – 34
infinito
13. Dos láminas metálicas, planas, paralelas e indefinidas están cargadas con densidades superficiales
de carga de 1 :C/m2 la primera y –1 :C/m2 la segunda. Las láminas están en el vacío (K0 = 9A109
NAm2/C2). Obtener:
a. El módulo de la intensidad del campo electrostático en un punto situado entre las láminas.
b. El módulo de la intensidad del campo electrostático fuera del espacio entre láminas.
c. Si las láminas están separadas 3 cm, ¿cuánto vale la diferencia de potencial entre ellas?
a) E = 9,13A105 N/C; b) E = 0; c) )V = 3393 V
14. Un condensador está formado por dos placas metálicas paralelas, separadas por una capa de aire (K0
= 9A109 NAm2/C2) de 2,00 mm de espesor, siendo el área de la superficie de cada armadura 120 cm2.
Calcular:
a. La capacidad del condensador.
b. La carga que adquiere al conectarlo a una fuente de 200 V.
c. La capacidad cuando entre sus armaduras se introduce un dieléctrico de gr = 3.
d. Con el dieléctrico introducido y conectado a la batería, ¿qué carga adquieren las armaduras?
e. Con el dieléctrico introducido y desconectado de la batería con medios aislantes, ¿qué diferencia
de potencial hay entre las armaduras?
a) 53,1 pF; b) 10,62 nC; c) 159,3 pF; d) 31,86 nC; e) 66,7 V
15. La esfera interior de un condensador esférico con aire entre armaduras (K0 = 9A109 NAm2/C2) tiene
un radio de 6,00 cm, siendo la separación entre armaduras de otros 6,00 cm. Calcular:
a. La capacidad del condensador.
b. La diferencia de potencial entre armaduras cuando la carga en cada conductor es de 1 :F.
a) 13,3 pF; b) 75,0 kV
16. Teniendo en cuenta la dispersión del campo eléctrico en el condensador plano real cargado (Fig.2b)
y la uniformidad del mismo en el ideal, ¿cómo será la capacidad de un condensador plano real respecto
a la predicha para uno ideal (expresión [10])?
Mayor
10.3. Procesos de carga y descarga de un condensador
17. Deducir la expresión [29] a partir de la [28] completando los pasos intermedios.
18. En el circuito de la Fig.13, V = 6 V, R = 2,5 MS y C = 20 :F. El circuito se pone en cortocircuito
en el instante t = 0. Obtener:
a. La carga final adquirida por el condensador.
b. La constante de tiempo del circuito.
c. La expresión de q(t).
d. La carga para t = 0, 25, 50, 100, 250 y 400 s. Trazar la gráfica q(t) – t.
e. Comparar la carga al cabo de cinco veces la constante de tiempo con la carga final.
f. La expresión de i(t).
g. La intensidad de corriente en los mismos instantes que en el apartado d). Trazar la gráfica i(t) – t.
h. ¿Qué tiempo será necesario para que el condensador adquiera su carga final si la intensidad de
corriente fuese en todo momento igual a la inicial?. Comparar este tiempo con la constante de
tiempo.
t /s


−
a) 120 :C; b) 50 s; c) q (t ) / µ C = 120 1 − e τ 


−
t /s
50
d) 0, 47.22, 75.85, 103.8, 119.2, 120 :C; f) i (t ) / µ A = 2,4 ⋅ e
g) 2.4, 1.46, 0.88, 0.32, 0.02, .0 :A; h) 50 s
19. Para el proceso de carga de un condensador (Fig.13), obtener las caídas de tensión instantáneas en
el condensador y en la resistencia, VC(t) y VR(t) (tener en cuenta la relación entre carga instantánea y
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Capacidad y conden... – 35
tensión instantánea para el condensador y la ley de Ohm para la resistencia). Representar las funciones,
interpretar las gráficas y comprobar que la suma de ambas es igual a la tensión de la fuente de continua
V.
10.4. Energía potencial eléctrica almacenada en condensadores cargados
20. Un condensador plano se carga y se desconecta de la fuente. A continuación se duplica la separación
entre sus armaduras (utilizando material aislante) ¿En cuánto se incrementa la energía eléctrica
almacenada? ¿De dónde proviene esa energía?
La energía se duplica. Proviene del trabajo externo que realizamos
para separar las armaduras (que se atraen al tener éstas signos opuestos)
21. Las armaduras de un condensador plano se mantienen conectadas a un generador que mantiene una
diferencia de potencial constante. Si reducimos a la mitad la distancia entre armaduras, ¿cómo se ve
afectada la energía almacenada?
Se duplica
22. ¿Cómo es la energía potencial electrostática de un condensador con dieléctrico y cargado respecto
al mismo condensador con la misma carga y sin dieléctrico? ¿Cuándo es mayor la fuerza eléctrica entre
las armaduras?
Energía y fuerza son mayores sin dieléctrico
23. Un condensador de armaduras plano paralelas, con aire entre ellas (gr = 1), se conecta a una batería
hasta que se carga. Una vez cargado, se desconecta y se introduce un bloque de baquelita (gr = 5)
llenando todo el espacio entre las armaduras. ¿En cuánto ha disminuido la energía almacenada en el
condensador? ¿Qué notaremos en el proceso de insertar la baquelita?
Disminuye en 5 veces. Se nota un tirón hacia adentro del condensador,
pues el dieléctrico se acelera al pasar de un estado de mayor a menor energía potencial.
24. Supongamos que una nube cargada eléctricamente tiene una extensión de medio kilómetro cuadrado
y se encuentra a 400 m de altura, produciendo un campo electrostático vertical descendente estimado
en 2,5A103 V/m que se supone uniforme. De esta forma se puede considerar a la nube y a la Tierra como
las armaduras de un condensador plano. Calcular:
a. El potencial de la nube respecto al supuesto de potencial cero en la Tierra.
b. La carga eléctrica almacenada en la nube, siendo K0 = 9A109 NAm2/C2.
c. La energía eléctrica almacenada entre la nube y la Tierra.
a) 106 V; b) 11,1 mC; c) 5,53 kJ
10.5. Asociación de condensadores
C1
C2
25. En la asociación de condensadores de la Fig.P–25, C1 = 2 :F, C2 = 4 :F
y C3 = 5 :F. Sabiendo que la carga de C1 es de 12 :C, calcular la carga y la
diferencia de potencial de C3.
)V3 = 9 V; q3 = 45 :C
C3
Fig.P–25
26. Sabiendo que la capacidad de cada condensador en el sistema de la
Fig.P–26 es de 60 pF, calcular la capacidad equivalente de dicho sistema.
80 pF
Fig.P–26
27. Cien condensadores iguales de 10 :F de capacidad cada uno se
conectan en paralelo para almacenar energía electrostática. Si el conjunto
se conecta a 10000 V, calcular:
a. La carga que adquiere cada uno de los condensadores.
b. El coste económico de la energía electrostática almacenada en el conjunto suponiendo que el precio
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Capacidad y conden... – 36
de 1 kWAh es de 23 ptas.
a) q = 0,1 C; b) 0,032 ptas.
C2
28. En el circuito de la Fig.P–28 tenemos C1 = 4 :F; C2 = 1 :F; C3 =
5 :F; C4 = 3 :F; g =10 V. Calcular:
C1
a. La capacidad equivalente entre los puntos A y B.
C3
b. La energía almacenada en el condensador de 4 :F.
A
B
a) CAB = 5,4 :F; b) U = 7,2@10–5 J
C4
29. Disponemos de suficiente número de condensadores que llevan
grabado: 2 :F, 1000 V. Asociando varios de ellos en serie formamos
una batería de capacidad 0,2 :F que se conecta a 5000 V. Determinar
el número de condensadores de que consta la asociación y la tensión
ε
que soporta cada uno de ellos. ¿Están los condensadores por debajo
Fig.P–28
del límite nominal de 1000 V?
n = 10 condensadores; )V = 500 V; Si
30. En el circuito de la Fig.P–30: C1 = 3 :F, C2 = 6 :F y C3 = 2
C2
C1
C2
:F.
C3
a. Calcular la capacidad equivalente entre los puntos A y B.
A
B
b. Si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es de 48 V,
C1
C2
¿qué carga almacena el condensador C3?
C2
a) 4 :F; b) 64 :C
Fig.P–30
31. En el circuito de la Fig.P–31 los condensadores A, B y C, de idéntica
forma y dimensiones, tienen de dieléctrico, respectivamente, el aire (gr ε
B
C
A
= 1), parafina (gr = 2,5) y mica (gr = 5). Sabiendo que el generador
suministra 12 V y que la capacidad del condensador B es de 2 pF,
Fig.P–31
calcular la tensión a la que se encuentra sometido el condensador A..
10,59 V
10.6. Conexiones entre condensadores
32. Un condensador de 100 pF se carga a 50 V, se separa de la batería y se conecta en paralelo con otro
condensador inicialmente descargado, midiendo 20 V de diferencia de potencial entre las armaduras
de ambos. Calcular la capacidad del segundo condensador.
C = 150 pF
33. Tres condensadores de 5, 10 y 20 :F se cargan a 40, 5 y 5 V, respectivamente. Los condensadores
cargados se conectan con las armaduras del mismo signo unidas. Calcular en esta situación final:
a. La carga y la tensión de cada condensador.
b. La variación en la energía total del sistema.
a) q: 50, 100 y 200 :C respectivamente; )V: 10 V en cada uno. b) )U = –2625 :J
34. Dos condensadores de 5 :F y 10 :F se cargan a 10 y 20 V respectivamente. Una vez cargados se
conectan uniendo armaduras de distintos signos entre si. Calcular en la situación final:
a. La carga y la tensión de cada condensador.
b. La variación en la energía total del sistema.
a) q1 = 50 :C, q2 = 100 :C, )V1 = )V2 = 10 V b) )U = –1500 :J
C1
35. Se carga un condensador de capacidad C1 = 2/3 :F aplicando una
diferencia de potencial de 225 V entre sus armaduras. Una vez cargado se
desconecta de la fuente de alimentación y se unen sus armaduras a los
terminales de una asociación descargada de dos condensadores en serie de
capacidades C2 = 2 :F y C3 = 4 :F como se indica en la Fig.P–35. Obtener:
C2
C3
a. La carga de C2.
Fig.P–35
b. La diferencia de potencial a la que está sometido C3.
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Capacidad y conden... – 37
c. La energía disipada en forma de calor como resultado de la redistribución de la carga eléctrica tras
efectuar la unión.
a) q2 = 100 :C; b) )V3 = 25 V; c) 11,3 mJ
36. Dos condensadores C1 = 3 :F y C2 están asociados en serie. Los extremos de esta asociación se
conectan a una fuente de continua de 800 V, adquiriendo C2 una carga de 1500 :C.
a. Calcular la capacidad de C2.
Una vez cargados, se desconectan (sin perder la carga) y se conectan entre si en paralelo.
b. Calcular la carga de cada condensador y la diferencia de potencial a la que está sometido cada uno.
a) C2 = 5 :F; b) q1 = 1125 :C; q2 = 1875 :C; )V1 = )V2 = 375 V
10.7. Condensadores en circuitos de continua
37. Calcular la tensión y la carga del condensador en el circuito de la
Fig.P–37 sabiendo que g = 12 V, R1 = 4 S, R2 = 3 S, R3 = 3 S y C = 4 :F.
)V = 3,6 V; q = 14,4 :C
ε
R1
R3
R2
C
Fig.P–37
38. Calcular la carga almacenada por C1 en el circuito de la
Fig.P–38 sabiendo que g = 6 V, R1 = 4 S, R2 = 3 S, R4 = 5
ε
S, C1 = 40 pF y C2 = 60 pF.
q = 205,7 pC
R2
C1
C2
R3
R1
Fig.P–38
39. Obtener la tensión a la que se encuentra sometido el
condensador C en el circuito de la Fig.P–39 sabiendo que g1 = 12
V, g2 = 3 V, R1 = 2 S, R2 = 4 S y R3 = 5 S. ¿Cual es la armadura
positiva del condensador?
)V = 11 V; la armadura positiva es la a
ε1
ε2
R3
R2
a
C
R1
b
Fig.P–39
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Capacidad y conden... – 38