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ESTRUCTURAS DE BANDAS DE CRISTALES FOTÓNICOS EN 2D CON SUPERFICIES
RUGOSAS QUE CONTIENEN METAMATERIAL DISPERSIVO
a
a
a
Luis Eduardo Puente Díaz , Héctor Pérez Aguilar , Alberto Mendoza Suárez
Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas “Mat. Luis Manuel Rivera Gutiérrez”, UMSNH, Morelia,
Mich., [email protected], [email protected], [email protected]
a
RESUMEN:
Los cristales fotónicos (CFs), actualmente son un tema de investigación novedoso debido a que
presentan un alto potencial para muchas aplicaciones, tales como el desarrollo de los circuitos
fotónicos integrados. Los CFs están compuestos de estructuras dieléctricas periódicas que afectan
a la propagación de las ondas electromagnéticas (EM) del mismo modo que el potencial periódico
en un semiconductor afecta el movimiento de los electrones, definiendo análogamente bandas
fotónicas permitidas y prohibidas. En este trabajo presentamos un método integral que permite
calcular estructuras de bandas en cristales fotónicos bidimensionales con superficies rugosas que
contienen metamaterial dispersivo en una celda unitaria, basado en la solución numérica de la
ecuación de Helmholtz mediante el uso de ecuaciones integrales. La influencia de la rugosidad en
la superficie es muy notoria en la estructura de bandas, lo cual indica cambios considerables en las
propiedades de transmisión en un cristal fotónico real. Esta idea de modelar superficies rugosas es
relevante, ya que a pesar de la existencia de una tecnología bien desarrollada para la fabricación
de superficies se tienen cristales fotónicos con defectos.
1. INTRODUCCIÓN
En el campo de las telecomunicaciones, los conductores de cobre han sido substituidos por fibras
ópticas para la transmisión de señales. Sin embargo, la velocidad de envío de la señal vía Internet
es lenta se debe en gran parte a que al ingresar la señal óptica en los dispositivos de proceso
electrónicos, ésta debe convertirse en señal eléctrica. Por esta razón se busca una nueva
alternativa de desarrollo en la tecnología de telecomunicaciones que sea puramente fotónica. Aquí
es donde el estudio de circuitos fotónicos y particularmente de Cristales Fotónicos (CFs) se hace
necesario. Los CFs son sistemas que aveces involucran simetrías complicadas y propiedades
físicas muy novedosas, como las correspondientes a los metamateriales. Estos materiales
artificiales, conocidos también como materiales izquierdos (LHMs), an atraido un gran interes de
investigación entre los investigadores de diferentes campos. Este entusiasmo se puede atribuir
principalmente a sus características electromagnéticas únicas, debido al hecho de que los vectores
de la luz (E,H,k) forman una triada con la mano izquierda para una onda que se propaga a través
de estos medios [1]. Aunque los experimentos fundamentales con metamateriales se han
desarrollado para la región de microondas del espectro electromagnético, existen resultados
recientes que indican que los LHMs están ahora disponibles en las regiones visible e infrarroja [2].
Puesto que estos materiales tienen un índice de refracción negativo dentro de un rango dado del
espectro electromagnético, algunos de los fenómenos ópticos bien conocidos presentan
variaciones que los hacen potencialmente útiles para nuevas aplicaciones tecnológicas, como por
ejemplo la refracción negativa, la invisibilidad y la transmisión de información [3,4]. Como
consecuencia, la comunidad científica ha comenzado a estudiar una variedad de sistemas ópticos
que incluyen LHMs como componentes principales.
El estudio de la propagación de la luz en CFs se basa en métodos numéricos, algunos de los
cuales se aplicaron primero en física del estado sólido para el estudio de estructuras de bandas
electrónicas. El más citado puede ser el método de ondas planas [5] que permite calcular las
estructuras de bandas fotónicas que implican materiales sin dispersión y absorción. Otra de las
desventajas de este método es cuando los bordes afilados están presentes en las inclusiones de la
1
celda unitaria y la expansión de la función dieléctrica, en términos de una serie de Fourier
truncada, presenta problemas de convergencia aumentando los requisitos de memoria. Además de
un alto contraste entre las propiedades de los materiales que componen, también el método
produce cierta inestabilidad en las soluciones. Bajo este contexto, el método integral que estamos
considerando en este trabajo [6], presenta algunas ventajas en comparación con el método de
ondas planas y otros métodos, ya que tiene la capacidad de estudiar diferentes aspectos de estos
sistemas que tienen geometrías complicadas y propiedades físicas muy novedosas, como las
correspondientes a los metamateriales. Como veremos, el formalismo propuesto ha sido
considerado como una alternativa a los métodos existentes en el sentido de que da buenos
resultados a diferencia de otros donde suelen fallar.
Este trabajo está desarrollado de la siguiente manera. En la sección 2 se presenta el sistema a
estudiar y un método numérico riguroso para resolver el problema planteado. En la sección 3 se
muestran resultados numéricos preliminares del cálculo de estructuras de bandas en cristales
fotónicos bidimensionales con superficies rugosas que contienen metamaterial dispersivo en la
inclusión cilíndrica de una celda unitaria cuadrada. Finalmente, en la sección 4 se dan las
conclusiones de este trabajo.
2. TEORÍA
El interés de este trabajo es poder obtener las estructuras de bandas de un cristal fotónico en 2D
(CF2D) con superficies rugosas que contienen metamaterial dispersivo (LHM) y dieléctrico
(LR2DPC) en una celda unitaria mediante la aplicación de un método numérico basado en la
segunda identidad de Green para resolver la ecuación de Helmholtz. La celda unitaria está
compuesta de dos materiales, vacío ( 𝜀1 ) y LHM ( 𝜀2 (𝜔)) como se muestra en la Fig.1.
Figura 1. Diagrama de un cristal fotónico bidimensional infinito. La celda unitaria cuadrada de
longitud D está compuesta de dos materiales diferentes con constantes dieléctricas 𝜀1 y 𝜀2 (𝜔).
Las propiedades ópticas están dadas por la función dieléctrica [7,8]
𝜔𝑝2
𝜀𝑝 𝜔 = 1 − 2
𝜔
y la permeabilidad magnética
2
(1)
𝜇𝑝 𝜔 = 1 −
𝐹 𝜔2
.
𝜔 2 − 𝜔02
(2)
Estas funciones son mostradas en Fig. 2 con los parámetros 𝜔𝑝 = 10𝑐/𝐷, 𝜔0 = 4𝑐/𝐷 y 𝐹 = 0.56
[7,8]. La región donde este LHM presenta un índice de refracción negativo está dentro del rango de
frecuencia 𝜔0 < 𝜔 < 𝜔𝐿𝑀 con 𝜔𝐿𝑀 = 𝜔0 / 1 − 𝐹 . En la Fig. 2 y en las siguientes usaremos las
unidades reducidas de frecuencia dada por 𝜔𝑟 = 𝜔𝐷/2𝜋𝑐 y el vector de onda de Block 𝑘𝑟 = 𝑘𝐷/2𝜋,
donde c representa la velocidad de la luz y D es una constante de normalización que elegimos para
ser la dimensión del lado de una celda unitaria cuadrada. En unidades reducidas el plasma y las
frecuencias de resonancia son 𝜔𝑝 = 1.592 y 𝜔0 = 0.637, respectivamente.
La técnica numérica que se describe brevemente se le conoce como el Método de la Ecuación
Integral que ha sido desarrollado por Mendoza y sus colaboradores [6,8].
Figura 2. Función dieléctrica r y permeabilidad magnética r de un material dispersivo (LHM)
como una función de la frecuencia reducida.
2.1 Método de la Ecuación Integral
 i t
Como sabemos, si asumimos una dependencia armónica del tiempo e
para los campos
electromagnéticos, la ecuación de onda es transformada en la ecuación de Helmholtz:
∇2 𝚿𝑗 𝐫 + 𝑘𝑗2 𝚿𝒋 𝐫 = 0
(3)
En la Ec. (3), 𝚿𝒋 (𝐫) representa el campo eléctrico 𝐸𝑧 en el caso de la polarización TE, y el campo
magnético 𝐻𝑧 en el caso de la polarización TM, ambas en el j -ésimo medio (Fig. 1). Se considera
que el campo electromagnético 𝚿𝒋 (𝐫) satisface las condiciones de frontera para cada polarización y
las condiciones de periodicidad debido a la presencia del CF2D por medio del teorema de Bloch.
La magnitud del vector de onda está dado por:
𝑘𝑗 = 𝑛𝑗 ω
3
𝜔
𝑐
(4)
donde el índice de refracción 𝑛𝑗 𝜔 = ± 𝜇𝑗 𝜔 𝜀𝑗 (𝜔) que involucra las propiedades de los
materiales esta dado en términos de la permeabilidad magnética 𝜇𝑗 (𝜔) y la permitividad eléctrica
𝜀𝑗 𝜔 , ambas funciones dependiendo de la frecuencia ω. La velocidad de la luz está indicada por c.
El signo que aparece en la ecuación del índice de refracción debe ser tomado como negativo
cuando se considere un LHM y positivo cuando el medio sea un material dieléctrico.
 2G j r, r   k 2j G j
 
r, r   4 r  r ,

H 01   la función de Hankel de primera clase y de
Ahora introducimos una función de Green
 
 
1
donde G j r, r  iH 0 k j r  r


G j r, r  , la cual es una solución de la ecuación
 siendo


orden cero. Aplicando la segunda identidad del teorema integral de Green a las funciones
 
(5)
Ezj r  y
G j r, r  para cada región correspondiente al j -ésimo medio, obtenemos
 
   



E zj r  G j r, r
4   r  r  E zj r  dA   G j r, r 

E zj r   ds,
(6)


n j
n j

Sj
Cj 

donde la superficie S j está limitada por el correspondiente contorno cerrado C j y  / n j es la

  
 
derivada a lo largo de la normal al contorno
C j . Las funciones fuente Ezj r  y E zj r  / n j que
representan los valores del campo eléctrico y su derivada normal evaluadas sobre el contorno
Cj
pueden ser obtenidas a partir de la Ec. (6). Para esto, se hace una aproximación del punto de
observación sobre los contornos que delimitan cada una de las regiones llegando a un sistema de
ecuaciones integrales acopladas (ver Ref. [6]). El sistema de ecuaciones integrales obtenido puede
ser resuelto numéricamente por medio de una discretización sobre cada uno de los contornos, que
bajo las condiciones de frontera sobre los perfiles y por la condición de periodicidad dada por la
simetría de translación del CF2D, se llega a un sistema de ecuaciones algebraico. Como el sistema
de ecuaciones determinado por la matriz M es homogéneo, se tiene que su determinante es cero.
Así, cuando la función real está definida como
Dk ,    ln det M  ,
(7)

sus puntos mínimos locales darán la relación de dispersión    k que determina la estructura
de bandas. Para más detalle del método integral para sistemas periódicos se puede consultar las
Refs. [6,8].
3. RESULTADOS
Como un ejemplo de aplicación consideramos el sistema propuesto de una celda unitaria de un
CF2D que tiene un metamaterial con inclusión cilíndrica con una fracción de llenado 𝑓 = 0.189,
constante dieléctrica 𝜀1 = 1 y constante de permeabilidad magnética μ1 = 1 para el vacío y para el
metamaterial los valores dados de las ecuaciones (1) y (2) con los parámetros 𝜔𝑝 = 1.592,
𝜔0 = 0.637 y 𝐹 = 0.0189. Este sistema ya fue previamente analizado por Mendoza-Suárez y
colaboradores [8,9]. En las Figs. 3(a) y 4(a) se muestra una celda unitaria cuadrada de un CF2D
que tiene un metamaterial con inclusión cilíndrica con un contorno suave y en la Figs. 3(b) y 4(b) se
presenta la estructura de bandas en términos de la frecuencia reducida 𝜔𝑟 = 𝜔𝐷 (2𝜋𝑐) y el vector
4
de Bloch reducido 𝑘𝑟 = 𝑘𝐷 (2𝜋) en la primera zona de brillouin en el espacio k. En este caso el
parámetro de red fue considerado como 𝐷 = 1.
A pesar de la existencia de una tecnología bien desarrollada se tienen defectos en la fabricación de
superficies para los cristales fotónicos. Por esta razón, estamos interesados en estudiar la
influencia de la rugosidad en las paredes de un CF2D real. Como en este trabajo sólo se está
presentando el análisis de un CF2D infinito queda como trabajo futuro el caso de un cristal
truncado, lo cual permitirá ver los cambios considerables en las propiedades de transmisión. Para
estudiar los efectos de la rugosidad, consideramos un perfil de superficie aleatorio sobre la
inclusión cilíndrica de la celda unitaria. Este perfil está definido por una realización de un proceso
aleatorio de correlación Gaussiana que obedece una función de densidad de probabilidad
exponencial negativa. En las Figs. 3(c) y 4(c) se muestra el perfil que tiene una rugosidad aleatoria
con una longitud de correlación 𝑎 = 0.0526 y una desviación estándar de las alturas 𝛿 = 0.0126
para distintos puntos de muestreo. Tomando en cuenta los mismos parámetros que en el caso de
un perfil suave, se presenta en la Figs. 3(d) y 4(d) las estructuras de bandas correspondientes.
Para este ejemplo se consideró una rugosidad notable para que se apreciaran los cambios en la
estructura de las bandas.
(b)
(a)
(d)
(c)
Figura 3. Celda unitaria cuadrada de un CF2D que está compuesta de dos materiales, vacío y
metamaterial en la inclusión cilíndrica con un contorno (a) sólido y (c) rugoso. Estructura de bandas
bajo polarización TM para un CF2D con barras de sección cuadrada para un contorno (b) sólido y
(d) rugoso. El recuadro de la izquierda muestra la primera zona de brillouin en el espacio k.
5
En la Figs. 3(d) y 4(d) se tienen cambios considerables en la bandas debido al efecto de la
rugosidad en la superficie de la inclusión de la celda.
(b)
(a)
(d)
(c)
Figura 4. Celda unitaria cuadrada de un CF2D que está compuesta de dos materiales, vacío y
metamaterial en la inclusión cilíndrica con un contorno (a) sólido y (c) rugoso. Estructura de bandas
bajo polarización TE para un CF2D con barras de sección cuadrada para un contorno (b) sólido y
(d) rugoso. El recuadro de la izquierda muestra la primera zona de brillouin en el espacio k.
4. CONCLUSIONES
Hemos aplicado un método numérico para calcular la estructura de bandas de un cristal fotónico
bidimensional con superficies rugosas que contiene un metamaterial dispersivo en una inclusión
cilíndrica. Este método de la Ecuación Integral tiene una gran ventaja en comparación de los
demás métodos; la cual es sólo tener en cuenta un número finito de puntos de muestreo a lo largo
de los contornos de la celda unitaria, permitiendo una menor cantidad de recursos
computacionales. Además, el método integral permite estudiar diferentes aspectos de estos
6
sistemas que tienen geometrías complicadas; en particular, la rugosidad en la superficie de los
cristales fotónicos. Los efectos de la rugosidad aleatoria sobre la pared de la inclusión cilíndrica
que contiene un metamaterial dispersivo modifica considerablemente la estructura de bandas, lo
cual es importante tomar en cuenta en la fabricación de los cristales fotónicos.
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