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Localización de Anderson
P. W. Anderson, Local moments and localized states, Nobel Lecture, 8 December, 1977.
Vamos a considerar un sistema compuesto por una red homogénea de
29
Si y una serie de impurezas 31 P como se muestra en la figura 1. En el
fósforo se cuenta con un electrón adicional cuyo momento de espín puede
interactuar con los espines de la red dentro de una zona conocida por región
de localización. Resulta interesante estudiar la localización del electrón en
función de la concentración de impurezas en la muestra.
31P
20Å
28Si
29Si
Figure 1: Esquema del sistema de spines nucleares más impurezas.
En el caso en que la concentración de impurezas es alta, se tiene que los
electrones pueden moverse libremente alrededor de la red pues las regiones
de localización comienzan a solaparse. Un estudio en Resonancia Electrónica
Paramagética desarrollado por G. Feher muestra los espectros correspondientes a diferentes valores en la concentración de fósforo.
Se observa en la figura 2 una transición en las señales que hoy en día
llamamosr Transición de Mott-Anderson donde las señales atribuidas a
cada orientación del espín electrónico desaparecen y dan lugar a una única
1
mI = -1/2
mI = 1/2
7x1015 P/cm3
EPR signal
7x1016 P/cm3
B
B
4x1017 P/cm3
B
3x1018 P/cm3
B
Figure 2: Señales de Resonancia Paramagética Electrónica en distintas concentraciones de fósforo.
señal central atribuida a un angostamiento por intercambio. A estas concentraciones, el electrón puede moverse por regiones más grandes y no detecta
los campos magnéticos por separado. El ancho en las señales corresponde
a los distintos estados de espín de los silicios que interactúan con el estado
electrónico.
Portis propuso estimar el tiempo de vida medio asociado al electrón según
la Regla de Oro de Fermi:
1
2 1
≃
J
τ
2π i,j W
Aquí W es un parámetro asociado al desorden en el sistema y J es la interac2
ción entre el espín electrónico y los espines nucleares. Según esta expresión,
los valores correspondientes a este tiempo son del orden de 10−7s. Sin embargo, el valor experimental atribuido a esta cantidad oscila entre los 10 s
y 100 s. Para atacar este problema Anderson propuso plantear un Hamiltoniano más sencillo. El sistema que se desea describir corresponde a una red
de espines que se encuentran en las posiciones Ri . La interacción entre los
espines se da entre primeros vecinos.
-V
-V
Figure 3: Red de“orbitales” o espines con acoplamiento entre primeros vecinos.
El Hamiltoniano asociado viene dado por:
H=
Ei |i i| +
[Vi,j |i j| + h.c.]
i
i,j
Supongamos que las energías de sitio Ei pueden tener valores arbitrarios
entre un rango [−W/2, W/2], donde W nuevamente es el desorden que aquí
se atribuye a la topología de la red. Cuando W = 0 vale el teorema de Bloch
y los estados pueden escribirse de la forma:
1 ik·Ri
|k = √
e
|i
N i
Aquí, se tiene que el Hamiltoniano no perturbado corresponde al acoplamiento
(interacciones) entre orbitales o sitios ( o espines) vecinos con lo que un autoestado tiene una naturaleza colectiva, es decir extendida. Sin embargo,
3
veremos a continuación que esta consideración no siempre es apropiada para
sistemas desordenados donde no existe la simetría de traslación.
La relación de dispersión generalizada que se obtiene para la red homogénea es1 :
ε0k =
Vij cos [k · (Ri −Rj )]
i,j
La función de Green retardada correspondiente al sistema homogéneo más
las impurezas viene dada según:
GR
k,k (ε) =
1
ε − ε0k − Σk (ε)
donde la corrección perturbativa es:
Vk,k′ G0k′ Vk′ ,k′′ G0k′′ Vk ′′ ,k + . . .
Vk,k ′ G0k ′ Vk′ ,k +
Σk (ε) =
k ′ =k
k ′ =k
k′′ =k
El diagrama que atribuimos a la acción perturbativa de las impurezas
puede verse a continuación en la figura 4.
k
k
k
+
=
k
k
+
k’
k
k’
k’’
+ …
k
k
Figure 4: Diagrama de Feynman para la función de Green retardada en
términos del número de onda k.
Tomando hasta el primer orden en la corrección en la correción
k
k’
=
k
1
La sumatoria se realiza entre primeros vecinos
4
Σ
se tiene entonces que el tiempo de vida media asociado viene dado según:
lim+ Im Σk (εk ) = π |Vk,k′ |2 δ(εk′ − εk )dk ′ = ,
2τ
δ→0
N(ε)dε
constituyendo la Regla de Oro deFermi. En este sentido, volvemos al
resultado inicial de Portis. La propuesta de Anderson es comenzar por el
otro lado. Es decir que tomamos como Hamiltoniano no perturbado al que
proviene de las impurezas. En este sentido, la función de Green a orden cero
viene dada según:
1
,
G0i,i (ε) =
ε − Ei + iδ
tomando como pertubación a la interacción entre los espines llegamos a
la función de Green:
Gi,i (ε) =
1
,
ε − Ei + iδ − Σi,i (ε)
donde debe tenerse en cuenta que estamos en la base de sitios de la red.
La corrección en este caso toma la forma:
Vi,j G0j Vj,k G0k V kk,i + . . .
Σi,i (ε) =
Vi,j G0j Vj,i +
j
j,k
i
i
k
+
=
i
+
+ …
j
i
j
i
i
Figure 5: Diagrama de Feynman en la base de sitios para la corrección perturbativa.
Esta serie no necesariamente converge:
• Diverge si hay estados extendidos
5
• Converge si hay estados localizados
Tomando ahora el primer término:
1
Vj,i ,
Vi,j
ε − Ej + iδ
j
tenemos para el tiempo de vida media:
δ
2
= lim+ Im Σ(ε) = lim+
|V i, j|
δ→0
δ→0
2τ
(ε − Ej )2 + δ 2
j
ens.
Sin embargo, no es lo mismo tomar el límite en la regularización antes o
despues de realizar el promedio sobre ensamble. Lo que primero realiza Portis
es calcular el promadio y luego tomar el límite. Según Anderson, el promedio
no nos resulta útil pues el comportamiento se aleja de los comportamientos
de cada ensamble. Esto nos lleva a estudiar una función de distribución para
la variable:
Σ
|Vi,j |2
X = Im
=
δ
(ε − Ej )2 + δ 2
j
Si adoptamos un continuo en el hopping tal que:
VR = V0 e−R/R0
tomando la condición V > δ entonces
R < R0 ln
δ
V0
La probabilidad de que se cumpla esta condición es
2
4πR30 δ
δ
P (V > δ, |ε − Ej | < δ) = N
ln
3 W
V0
lim+ P (|ε − Ej | < δ) = 0
δ→0
Si ahora calculamos para la distribución se obtiene:
lim+ P (X)dX =
δ→0
e−δ/X
dX
X 3/2
por lo tanto podemos pensar que Im Σ ∼ δ lo que nos dice que no se tiene
un ancho espectral natural.
6
1.1
Visión como transición en el espectro
La corrección en el i-ésimo sitio de la red como consecuencia del término de
hopping (interacción espín-espín en el problema original) viene dada según:
Σi,i (ε) =
Vi,j G0j Vj,i + . . .
j
Como en la cadena lineal unidimensional, se tiene una serie geométrica y el
criterio de convergencia en la serie se toma:
independientes
VT
L
ln T L
V G0 . . . V G0
= V G0 L
0
≃ L ln V G ,
si z es el número de coordinación de la red hay z L caminos de longitud L,
entonces la suma debe escribirse como:
L
j=1
z L TjL ≃ z L V L exp L ln G0 En esta expresión se están despreciando las posibles correlaciones e interferencias entre caminos. La convergencia viene determinada entonces por:
zV exp ln G0 < 1
En el modelo de Anderson estimamos como valor medio a:
W/2
0 1
ln G (ε) = −
ln(ε − E)dE
W −W/2
En particular, para ε = 0 tenemos por condición de convergencia:
2zV e
<1
W
Para condiciones adecuadas se puede obtener una banda de estados extendidos y a sus extremos una serie de estados localizados.
En dimensión d = 1 y d = 2 los estados son siempre localizados
para todo W = 0. Sin embargo, ya para d ≥ 2 puede existir un borde
de movilidad pero todos los estados se vuelven localizados si W ≥ Wc .
7
Im Gii
lim Im Gii
δ0
N
8
N finito
Extendidos
ε
ε
Figure 6: Espectros en red con impurezas (desorden) para un número finito
de sitios y para infinitos sitios.
Im Gii
Extendidos
Ec1
Ec2
ε
Bordes de movilidad
Figure 7: Espectro con banda de estados extendidos y estados localizados.
1.2
Localización en sistemas unidimensionales
Vamos a considerar un sistema periódico unidimesional como se muestra en
la figura 8.
La relación de dispersión en este caso es similar a la red ordenada. Sin
embargo puede notarse que en k = π/2a aparece una discontinuidad o salto
energético denominado gap. Si introducimos en el espectro más y más gaps
nos podemos preguntar si sólo quedan estados permitidos o prohibidos.
Para estudiar este problema, comecemos con la ecuación de Schrödinger
unidimensional dada según:
Hu = εu,
8
2a
E0
E1
E0
E1
E0
E1
Figure 8: Red unidimensional periódica. Aquí, la celda unidad consta de dos
sitios con energías E0 y E1 , el parámetro de red ahora es 2a.
donde el vector de estado u
viene dado por las amplitudes uj de cada
sitio. Una forma de expresar a estas amplitudes de sitio en forma recurrente
se hace mediante la matriz de promoción Pj (simpléctica) tal que:
ε−Ej
uj+1
uj
−1
V
=
uj
uj−1
1
0
Pj
Las condiciones iniciales vienen dadas por las formas independientes:
u0
1
=
u1
0
u1
0
=
u0
1
Para un número L de iteraciones tenemos entonces:
uj
uj+1+L
= Pj+L . . . Pj
uj−1
uj+L
Podemos pensar que debido al desorden en la red estas matrices son
estadísticamente independientes y de variables aleatorias.
En el caso de dos sitios ordenado, resulta sencillo encontrar los autovalores
λ tales que:
ε − E0
λ+1=0
V
2
ε − E0
ε − E0
λ=
±
−1
2V
2V
λ2 −
9
Relación de dispersión
ε(k)
Gap
-π/a
-π/2a
π/2a
π/a
k
Figure 9: Relación de dispersión para red unidimiensional periódica.
Multiplicando entonces una y otra vez en cada iteración encontramos la
solución de la forma:
±ika
e
|ε − E0 | > 2V
eiπ−κa |ε − E0| ≤ 2V
Veamos ahora para un sistema desordenado donde las matrices Pj son
independientes, aquí se tiene que para el límite de sistema infinito:
ln PL . . . P1 X =γ>0
lim
L→∞
L
donde γ es el exponente de Liapunov que vimos anteriormente. Para el
dímero que vimos se tiene que este exponente es justamente κ.
Ahora, si se tiene un número n de bandas entonces lo que se observa es
una curva como se muestra en la figura 11.
Está función, en el caso en que se tome el límite L → ∞, pasa a ser
una función superiormente semicontinua. Debe tenerse en cuenta que
también podemos aplicar este modelo en forma matricial para la resolución
10
ε
Figure 10: Exponente de Liapunov para un sistema periódico de dos sitios.
de sistemas de mayor dimensión (d1+ ) ( por ejemplo se cada sitio es reemplazado por un cluster). En este caso se aplica un Teorema de Oseledec
que generaliza el teorema de Fürstenberg para esta situación.
1.3
Exponente de Lyapunov en un sistema binario
P. Dean, The Vibrational Properties of Disordered Systems: Numerical Studies, Rev. Mod. Phys. 44,127-168 (1972).
Se desea calcular el exponente de Lyapunov para un sistema binario unidimensional. Las condiciones iniciales vienen dadas según:
u0
0
=
1
u1
Recordemos entonces que a partir de estas amplitudes podemos calcular,
mediante la matriz de promoción, las amplitudes de los restantes sitios del
sistema. El cambio de signo en la amplitud desde un sitio a otro determina un
nodo en la función de onda. El número de nodos en esta función tiene que ver
directamente con el número de onda k. Si partimos del estado fundamental
nos encontramos con una amplitud que no cambia de signo y a medida que
incrementamos el número de onda k en δk = 2π/N a aparecen los nodos.
Por lo tanto, el número de nodos (o cambios de signo) es igual al número de
11
8
límite en L
γ(ε)
ε
Figure 11: Exponente de Lyapunov para sistema desordenado.
estados. En este sentido tenemos:
Número de nodos = N (ε) =
ε
N (ε)dε
−∞
ε
ε
N (ε)
N(ε)=dN (ε)/dε
Figure 12: Número de cambios de signo en la amplitud de probabilidad del
sistema unidimensional.
Si hay desorden en el sistema podemos describir a la amplitud como antes,
es decir:
uL ∝ eγL ,
12
en el sistema ordenado teníamos
√
2mε
, ε≥0
k =
2m |ε|
κ =
, ε<0
Por lo tanto, podemos calcular al exponente como la siguiente integral
principal:
k(ε′ )dε′
1
κ(ε) = P
π
ε − ε′
Como el número de estados es el número de onda entonces podemos relacionar:
∞
1
k(ε) =
N(ε)dε
N (ε) =
π
−∞
∞
κ(ε) =
ln |ε − ε′ | N(ε′ )dε′
−∞
Esta expresión para el exponente de Lyapunov es válida para cualquier
relación de dispersión, incluso en el régimen localizado.
1.4
Matriz de Promoción
Consideremos las amplitudes en los sitios L + 1 y L de un sistema unidimensional:
BL
DL
uL+1
u1
=
−AL −CL
uL
u0
PL ...P2 P1
Determinamos como condición inicial:
A0 = 0, B0 = 1
C0 = −1, D0 = 0
Así las relaciones de recurrencia vienen dadas según:
AL
BL
CL
DL
=
=
=
=
−BL−1 (VL,L−1 )−1
AL−1VL−1,L + BL−1 (VL,L−1)−1 (ε − EL )
−DL−1 (VL,L−1)−1
CL−1 VL−1,L + DL−1 (VL,L−1 )−1(ε − EL )
13
En la fracción continua teníamos:
V2
Σ+
0 (ε) =
ε − E1 −
V2
ε − E2 −
V2
...
−
V2
ε − EN + Σ+
N (ε)
Entonces:
DL + CL ΣL
BL − AL ΣL
Nos preguntamos entonces como cambia la corrección si cambiamos el último
sitio, es decir:
∂Σ+
AL DL − CL BL
1
0 =
= 2
2
∂ΣL ΣL =0
BL
BL
Σ+
0 (ε) = −
Una expresion equivalente para el caso d=1+ y por el Teorema de Fürstemberg
(o de Osedelec en d=1+ ) tenemos:
1
∼ e−γL
BL2
donde la igualdad tiene sentido de “igual salvo un conjunto de medida nula”
o bien “con probabilidad 1”. Es decir que si tenemos desorden en la red y
realizamos una modificación en un sitio lejano respecto del primero entonces
no se va a notar este cambio. Aquí la teoría de perturbaciones nos da una
serie convergente.
1.5
Localización de Autofunciones
H. M. Pastawski, C. M. Slutzky, and J. F. Weisz, Localization as a breakdown
of extended states, Phys. Rev. B 32, 3642—3653 (1985).
Consideremos un sistema unidimensional de período L tal como se muestra en la figura 13.
Podemos imaginar que en un período se tiene un estado localizado en
el sitio Lα. Sin embargo, este subsistema no se encuentra aislado ya que
interactúa con los otras celdas idénticas. Lo que se obtiene entonces es una
superred. La interacción entre los sitios de localización de subsistemas vecinos
viene dada según:
Vα′ ,α = α′ 1| V |αL = u∗α′ 1uαL V
14
-V
-V
1
2
L
3
-V
1
2
3
L
Figure 13: Sistema unidimensional periódico.
Si se enciende esta interacción entonces se forma una banda por cada
estado del subsistema:
εα(k) ≃ Eα0 + 2Vα,α cos kL
1
εα (k) − Eα0
k =
arccos
L
2Vα,α
Extendiendo al plano complejo se tiene:
0
1
−1 Eα − εα (k)
κ = cosh
L
2Vα,α
En la figura 15 se muestra la continuación analítica para el número de
onda como consecuencia del acople entre los subsistemas vecinos.
Para valores grandes en el argumento, el coseno hiperbólico se comporta
como una exponencial, de modo que la función inversa se comporta como un
logaritmo natural, así:
1 ε − Eα0
κ ≃ ln
L
2Vα,α
Para la amplitud en los sitios extremos del subsistema se tiene:
u1 = e−Lc /ξα
uL = e−(L−Lc )/ξα
donde ξ α es la longitud de localización del autoestado α-ésimo cuyo centro
de localización está en el sitio Lc . Tenemos entonces:
κ≃
1
1
ln eL/ξ α =
L
ξα
es decir, el exponente de Lyapunov es la inversa de la longitud de localización.
15
ε
4Vαα
0
Eα
k
-π /L
π /L
Figure 14: Bandas de energía en una super-red con celda desordenada.
1.6
Electrones en una red más un campo magnético
Recordamos que los electrones libres moviendose en un campo magnético
deben dar lugar a orbitas ciclotrónicas circulares con frecuencia ω L . La
cuantificación de estas da lugar a los niveles de energía discretos denominados niveles de Landau, dados como:
1
ω L
En =
n+
2
mc
ωL =
eB
Hoftadter consideró una red bidimensional y un campo magnético B transversal a la red. La relación de dispersión en ausencia de campo es:
εk = 2V (cos kx a + cos ky a)
Para introducir el campo vamos a utilizar el gauge de Landau:
A = B x êy
16
Figure 15: Continuación analítica κ en el número de onda en función de
ε. En el plano real, las regiones en gris determinan las bandas de estados
extendidos.
De acuerdo a esto, realizamos la sustitución de Peierls:
Vx,x+a = −V
Vy,y+a = −V e−ieBax/c
El término de energía cinética viene dado por:
V ψ(x + a, y) + ψ(x − a, y) + e−ieBax/c ψ(x, y + a) +
+ eieBax/c ψ(x, y − a) = εψ(x, y)
En este Hamiltoniano no hay dependencia explícita de la coordenada
y, entonces tenemos por solución una onda plana en y . Realizando las
sustituciones:
x = ma, y = na
ε
= ǫ,
V
se tiene por solución:
ψ(ma, na) = eikynau(m)
Si denotamos por:
α=
a2 Be
,
2πc
17
Figure 16: Mariposa de Hofstadter. El eje horizontal es el campo magnético
y el vertical la energía. Nótese la estructura autosimilar.
entonces la función g(m) satisface la ecuación de Mattieu:
u(m + 1) + u(m − 1) + 2 cos(2πma − ky a)u(m) = ǫu(m)
Se quiere entonces resolver este sistema pensando en que los valores de α
son tales que las energías sean periódicas. De esta forma:
2πα(m + q) − ky a = 2παm − kya + 2πp,
donde p es entero. Por lo tanto cuando:
α=
p
∈Q
q
el espectro se compone de q bandas que pueden ser obtenidas diagonalizando una matriz q × q. De esta manera, considerando solo los valores de α
racionales Hofstadter obtuvo su famosa “mariposa” (ver figura 16), espectro
de naturaleza fractal que contiene a los niveles de Landau como límite en el
rango de baja energía.
18
1.7
Transición de Anderson en un sistema inconmensurado.
Ahora, cambiamos a una versión un poco más general de la ecuación de
Mattieu:
W
cos(Qm)u(m) = ǫu(m)
u(m + 1) + u(m − 1) +
2
donde W nuevamente es un parámetro que representa una “fluctuación” de
la energía de sitio, es decir un “desorden”. Las energías de los niveles de
Landau pueden tomar valores pseudoaleatorios en el rango [−W/2, W/2].
Esta misma ecuación también describe de una cadena de masas conectadas por resortes superpuesta a un potencial periódico sinusoide, denominado modelo de Frenkel - Kontorova.
En este caso comenzamos a describir el sistema la base de sitios y nos
preguntamos si la autofunciones o modos normales se mantienes localizadas,
es decir si autoenergías vienen corregidas por una función Σ0 que converge.
Es decir, si para algún valor g, finito:
V
< g → Σ0 real
W
Como decidimos usar la representacion de sitios (espacio real) tomamos como
Hamiltoniano sin perturbar a:
H0 =
V |n n + 1| + h.c.
n
Hint. =
W
n
2
cos(Qn) |n n|
Entonces evaluamos: Vk′ ,k = k ′ | Hint. |k, donde:
1 ikna
|k = √
e
|n
L n
y como
Hint. =
W eiQn + e−iQn
|n n|
2
2
n
por lo tanto podemos evaluar facilmente el elemento de matriz:
Vk′ ,k =
W
[δ(k − k ′ + Q) + δ(k − k ′ + Q)]
4
19
así tenemos la forma matricial:
 .
..

εok−Q W/4
0


H=
W/4 εok W/4

0
W/4 εok+Q


...






Siendo ε0k = 2V cos ka tenemos para la función de Green:
Gk,k (ε) =
Σk,k =
1
−
ε − ε0k − Σ+
k,k − Σk,k
(W/4)2
ε − ε0k+Q − . . .
Por lo tanto se tiene como condición de convergencia:
W/4
<q
2V
y si la asociamos con la anterior, se tiene entonces que el único valor posible
es gc = 2. Equivalentemente
Wc = 2V
Es decir, la situación de campo magnético en una red cuadrada descripta por
Hofstadter corresponde al régimen crítico donde las funciones de onda no son
ni extendidas ni localizadas.
20