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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
Curso: FISICA II CB 302U
2010I
Profesor: JOAQUIN SALCEDO [email protected]
Tema: Ley de Gauss
Halla el CE de una esfera hueca con carga Q radio a.
ad
r
a
asen
d
P

dE
a
Las componentes en el eje Y se anulan
El CE resultante de la esfera hueca se encontrara sobre el eje X.
El área de trabajo
ad
El diferencial de carga
2 .a.sen
dq   2 a 2 sen d
a
r
asen


x
De las relaciones observadas en el grafico tendremos:
dq
k 2 a 2 sen d
 dEx  k 2 cos  
cos 
r
r2
Las variables son:
Escogemos r
r ,  ,
Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky , Benson, Ohanian-Markert, Maximo-Alvarenga
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Tema: Ley de Gauss
Del gráfico
r 2  a 2  x 2  2ax cos   rdr  ax sen d
a2  r 2  x2
a  r  x  2rx cos   cos  
2rx
2
2
2
rdr a 2  r 2  x 2
 dEx  c
ax r 2
2rx
Ex 
Ley de gauss
Introducción.
Al calcular el CE de una esfera hueca conductora vemos que el cálculo es complicado.
¿Existe un método que nos facilitará el cálculo cuando tengamos simetría?
¡Así de fácil!
Flujo eléctrico.
Relaciona el CE y que atraviesa una superficie.
Para una superficie perpendicular a E es el producto de la magnitud E y el área A
  EA
Las unidades son Nm2 / C
Como el CE es proporcional al # de líneas por unidad de área el  es proporcional
al # de líneas que atraviesan el área
Ejercicio.
Imagina que tus dedos de la mano derecha son las líneas de CE y tu mano izquierda
el área. Analiza y responde ¿cuando el flujo es máximo? ¿Cuando es mínimo?
¿Cómo lo puedes expresar con símbolos?
Si el área varía con la posición. El flujo es
d  EdA
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Tema: Ley de Gauss
Al área se le adjudica un vector con un vector unitario normal a su superficie
A  An
En consecuencia tenemos que hay dos entidades vectoriales que producen un a
cantidad escalar.
El flujo es:
Máximo si el área es perpendicular a las líneas de CE.
Nulo si es paralelo
Varía conforme el área cambia.
Luego una definición que involucre todas estas consideraciones es:
d  E. d A
Si

es el ángulo entre la normal al plano y las líneas de CE
d  EdA cos 
El flujo total es la suma infinitesimal en toda el área involucrada
   E.d A
Un caso muy importante es cuando la superficie es cerrada, el flujo neto es

 E.d A
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Tema: Ley de Gauss
Un cubo de lado a=2 m tiene un vértice en (1m, 0, 0) y sus lados son paralelos a los
ejes coordenados.
El cubo está en una región donde el CE siempre tiene la dirección +x y su magnitud
varia sólo en función de x, y tiene valores de 5N/C en x=1 y 15N/C en x=3
¿Cuál es el flujo que atraviesa el cubo?
 
 E.d A   E

dA
 1  2  3  4  5  6
 1  0  0  0  0  6
 5i.( 4i )  15i.(4i )  40 Nm 2 /C
El flujo en la cara 1 es negativo esta entrando y el flujo en la cara 6 es positivo esta
saliendo.
Tarea:
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Tema: Ley de Gauss
Enunciado de la ley de Gauss
* Halle el flujo de una carga puntual alrededor de una esfera con la carga en el
centro.
En todos los puntos de la superficie de la esfera
El vector normal de la superficie es paralelo a E
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Tema: Ley de Gauss
La magnitud del CE es la misma en todo punto de la superficie esférica ¿cierto o
falso?
d   E. d A   EdA E  dA  n 
Donde hemos sustituido
k
kq
q
2
(4

r
)

4

kq

r2
0
por su valor k 
1
4 0
Resumiendo:

E.d A 
qn
0
o

E dA 
qn
0
El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta
dentro de la superficie entre la permitividad eléctrica del espacio libre.
Es una herramienta muy potente para calcular E en casos de simetría
Receta.
Observe si existe simetría
Busque una superficie en donde todo todos los puntos tengan la misma magnitud
de CE o el vector normal sea perpendicular al CE (superficie G)


SG  S / E  cte  nˆ  E
* Halle el CE de un plano infinito con carga uniforme con Gauss
Existe simetría.
La superficie gausiana es un cilindro pequeño perpendicular al plano.
En la superficie lateral existe perpendicularidad
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Tema: Ley de Gauss
 E. d S   E. d S  
sl
2 E S 
S
0
E. d S 
base
E

E. d S 
tapa

EdS 
base
 ( E ).(dS )  2E  dS 
tapa
b

2 0
Esta es una relación muy útil. Ya la conocemos y lo veremos a menudo
¿Cuándo un plano finito puede ser visto como finito?
Tarea.
Halle el CE para dos planos paralelos infinitos con densidades de carga
opuesta
Simetría esférica
Entre las distribuciones de carga con simetría esférica están puntos, esferas,
cascarones esféricos, y capas concéntricas de esos objetos
* Halle el CE de una esfera hueca conductora
.
La superficie G es un esfera concéntrica de radio r
Para el exterior
 E. d S  
 4 R 2
 R2
EdS  E  dS  E (4 r ) 
 EE 
0
 0r 2
2
Exprese la relación en función de su carga Q.
E (4 r 2 ) 
Q
0
E 
Q
4 0 r 2
 E k
Q
r2
!Conclusión!
Para puntos fuera de la espere el CE es como si la carga estuviera concentrada en el
origen.
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Tema: Ley de Gauss
Para el interior
 E. d S 
2
EdS

E
dS

E
(4

r
)  0  EI  0


* Halle el CE de una esfera sólida no conductora de carga uniforme
La superficie G es un esfera concéntrica de radio r
Para el exterior
2
 E. d S   EdS  E  dS  E (4 r ) 
Q
Q
 E E  k 2 rˆ
0
r
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Para el interior
Calculamos la carga encerrada.
Q q
Q
4
Q

q
(  r3 )  3 r3
4
V Vi
R
 R3 3
3
1 Q 3
Q
2
E
.
d
S

EdS

E
dS

E
(4

r
)

r

E
r rˆ
i k
3



0 R
R3
Tarea.
Exprese
El campo exterior en función de la carga ¿alguna conclusión?
El campo interior en función de la densidad
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Tema: Ley de Gauss
Simetría cilíndrica
Entre las distribuciones de carga con simetría cilíndrica están las líneas infinitamente
largas, las barras (cilindros macizos), los tubos (cascarones cilíndricos), etc. Y las
capas concéntricas de esos objetos
*Halle el CE de un hilo infinito con carga uniforme
Existe simetría.
La superficie G es un cilindro de radio r y longitud L paralelo al hilo
Es necesario que consideremos las partes de la superficie: dos tapas y la superficie
lateral. En las tapas existe perpendicularidad.
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 E. d S   E. d S   E. d S   E. d S  0   EdS 0 
b
E  dS E (2 rl ) 
s
s
t
s
l
 1
E
rˆ
0
2 0 r
Conclusiones:
1) Gauss permite un calcula rápido y fácil en distribuciones de carga con
simetría.
2) Se puede aplicar en algunos casos (despreciando efectos de borde o como
aproximación) a situaciones finitas
3) Gauss pertenece a las 4 leyes básicas del electromagnetismo.
4)…
¿Podría utilizar Gauss para calcular el CE de un dipolo, un disco cargado? ¿Por
qué?
Conductores en equilibrio electrostático
1. El CE es cero en el interior del conductor
2. Si el conductor aislado transporta carga esta reside en su superficie.
3. El CE afuera del conductor cargado es perpendicular a su superficie y E   /  0
4. La densidad  es mayor donde el radio de curvatura R es menor   cte / R
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Si existe equilibrio, el CE debe ser nulo, de no ser así habría movimiento de
cargas…
Antes de aplicar el CE externo los electrones libres se distribuyen por todo el
conductor.
Al aplicar el E los electrones libre se mueven hacia la izquierda y se produce una
acumularon de carga negativa en la superficie de la izquierda.
Lo anterior da como resultado un plano de carga positiva a la derecha.
Estas cargas producen un CE interno que anula el CE externo dentro del conductor.
Esto sucede casi instantáneamente.
¿Cómo expresar esta discontinuidad?
** Con Gauss: La superficie G puede estar tan cerca de la superficie y como
Ei  0 luego el flujo neto es cero entonces no hay carga dentro del conductor luego
cualquier carga neta esta en la superficie.
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*** El CE en la superficie debe ser perpendicular en caso contrario existiría una
componente tangencia al cual originaria el movimiento de cargas
qn
 E.d A  
0
 E  dA E A 
s
 A

E
0
0
*** Una esfera conductora sólida de radio a tiene una carga positiva neta 2Q. Un
cascaron esférico conductor de radio interior b y radio exterior c es concéntrica y
tiene carga neta –Q. Halle el CE y la distribución de cargas sobre el cascaron
cuando el sistema esta en equilibrio.
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qn
,q 0E 0
0 n
q
2Q
2Q
a  r  b  E. d A  n , qn  2Q  E  dA E (4 r 2 ) 
Ek 2
0
0
r
s
ra
 E. d A 
Lo mas difícil es en el interior del cascaron
Para una superficie G en esta región El CE es nulo. Luego la carga neta encerrada
es nula
En la parte interior r=b se induce una carga -2Q, para anular a la carga de la esfera
interior
En la parte exterior de r = b se induce una cara +Q en la superficie para cancelar la
carga –Q
brc
rc
qn
 E.d A  
qn
 E.d A  
0
, qn  2Q  2Q  Q  Q  0  E  0
0
, qn  2Q  Q  E  dA E (4 r 2 ) 
s
Q
0
Ek
Q
r2
*** Un cubo con lados de longitud L = 0.3 m está colocado con un vértice en el origen,
como se ilustra en la figura. El CE, está dado por
E  5 x i  3 z k
a) Halle el flujo eléctrico en cada una de las seis caras del cubo
b) Halle la carga eléctrica total en el interior del cubo
n2  k  2  8.1x102
n5  j  5  1.35 x101
  2  5  5.4 x10
2
Nm 2
C
q   0  4.78 x1013 C
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Ejercicios.
4
1. Un CE vertical de 2 x10 N / C existe sobre la tierra un día que amenaza una
tormenta. Un auto (Sea un rectángulo de 6x3m) viaja a o largo del camino inclinado
10 hacia abajo
Halle el flujo a través de la base inferior del auto
  EA cos   2 x104 (6) cos10  kNm 2 / C
2. Una espira de 40cm de diámetro gira en un CE hasta que se encuentra en la
posición de flujo eléctrico máximo 5.2 x105 Nm2 / C . Halle la magnitud del CE
A   r 2  3.14(0.2)2  0.126m2
  EA cos   5.2 x105 Nm2 / C  E (0.126) cos 0  E  414MN / C
3, Hallar el flujo en el hemisferio y en la tapa
c   E.dS  El S h  k
Q 1
Q
2
(
4

R
)

R2 2
2 0
El flujo en la superficie cerrada es nula luego en la tapa es
t  
Q
2 0
4, Hallar el CE dentro de la cavidad
Una esfera de radio 2a no conductora densidad p. (Suponga que el material no
afecta el campo eléctrico.) Se separa una esfera de radio a. Muestre que el CE en
la cavidad es uniforme y está dado por Ex = O y E y   a / 3 0 . (Sug: superposición
del CE debido a la esfera original, más el CE de la esfera de radio a y densidad

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1 4 r 3
r

4 r E 
  E 
rˆ 
r
0 3
3 0
3 0
2
1 4 r 3
r

4 r E 
(  )  E   
rˆ1  
r1
0 3
3 0
3 0
2
1
r  r1  a  r1  r  a


E  
(r  a )  E  E   E  
a
3 0
3 0
Ex  0, E y 

a
3 0
Una esfera tiene una densidad de carga variable

a
donde a es constante
r
Halle el CE
r
a
(4 r 2 dr )  4 ardr  qn  4 a  rdr  2 ar 2
0
r
2 ar 2
a
4 r 2 Ei 
 Ei 
0
2 0
dq   dV 
4 r Ee 
2
2 a 3
0
a3 1
 Ee 
2 0 r 2
Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R a una distancia
b del plano del disco. Muestre que si un cuarto del flujo eléctrico de la carga
pasa por el disco, entonces R 
3b
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
Q
,
4 0
Ek
q
q

k
,
r12
b2  r 2
d  EdScos  k

dS  2 rdr ,
cos 
b
r1
q
b
bq rdr
2 rdr 2

2
2 1/ 2
b r
(b  r )
2 0 (b 2  r 2 )3/ 2
2
Q
4 0
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