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Teoría Electromagnética, R.S. Murphy. Capítulo 2, ejercicio 9, página 68.
Encuentra la posición donde chocan los electrones en la pantalla de un
cinescopio, si el voltaje aplicado a las placas de de‡exión está dado por V (t) =
V0 sin (!t), donde V0 es una constante y ! es la frecuencia angular. (Consulte
el ejemplo 18).
Solución:
Partimos de la segunda ley de Newton,
d2~r
m 2 = F~
dt
que para la región en la que existe el campo eléctrico se escribe como
d2~r
e (t)
m 2 = (0; 0; eE (t)) = 0; 0;
dt
a
donde el potencial eléctrico está dado por
(t) = 0 sin (!t)
y las condiciones iniciales son
~r (0) = ~0; ~v0 = vy b
j
La solución de la ecuación diferencial es
e 0
~r (t) =
t + ; vy t + ;
sin (!t) + t +
ma! 2
Aplicando la condición inicial
~r (t = 0) = ~0
obtenemos que
( ; ; ) = ~0
Así que la solución es
e 0
~r (t) =
t; vy t;
sin (!t) + t
ma! 2
Apliquemos ahora la condición de que al tiempo cero la velocidad sea vy b
j:
La velocidad es
d~r
e 0
=
; vy ;
cos (!t) +
dt
ma!
y la condición inicial es
d~r
(t = 0) = (0; vy ; 0)
dt
ó sea
d~r
e 0
(t = 0) =
; vy ;
+
= (0; vy ; 0)
dt
ma!
y por tanto
e 0
= 0;
=
ma!
El movimiento en la zona donde hay campo está regido por la ecuación
e 0
e 0
~r (t) = 0; vy t;
sin (!t)
t
ma! 2
ma!
y la velocidad es
d~r
e 0
e 0
= 0; vy ;
cos (!t)
dt
ma!
ma!
Para calcular la posición y la velocidad a la salida de la zona del campo
eléctrico, simplemente calculamos el tiempo que tarda en pasar elelectrón por
1
la zona de campo eléctrico. Como la velocidad horizontal, la velocidad en Y , es
constante e igual a vy tenemos
S
t1 =
vy
y la posición vertical será entonces
!S
S
e 0
e 0 S
sin
=
z1 = z t =
vy
ma! 2
vy
ma! vy
Desde luego que las coordenadas X e Y son 0 y S respectivamente.
La componente Z de la velocidad con que sale de la zona de campo es
S
e 0
!S
e 0
v1 = vz t =
=
cos
vy
ma!
vy
ma!
siendo vx = 0 y vy = vy
El tiempo que tarda ahora en ir hasta la pantalla está dado por
d
t2 =
vy
ya que la velocidad en Y permanece constante en todo el vuelo por el tubo.
En esta zona el electrón se mueve libremente, así que la ecuación de movimiento
es
z (t) = z1 + v1 t
estando dados z1 y v1 más arriba.
Así que la posición vertical, en Z, será
d
!S
!S
e 0
e 0 S
e 0
e 0
d
z t=
sin
cos
= z1 +v1
=
+
vy
vy
ma! 2
vy
ma! vy
ma!
vy
ma!
e 0
!
!
=
vy sin S
+ d! cos S
! (S + d)
am! 2 vy
vy
vy
o …nalmente
e 0
!
!
h=
vy sin S
+ d! cos S
! (S + d)
am! 2 vy
vy
vy
2
d
=
vy