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7 — MAGNETOSTATICA
MAGNETOSTATICA
270
7.1
Introducción
Los fenómenos magnéticos datan de la historia antigua. Las primeras observaciones, en China y
Grecia, constatan que un óxido de hierro llamado magnetita (Fe3 O4 ) es un imán natural capaz de
atraer otras sustancias magnéticas, como pequeños trozos de hierro, los que su vez adquieren
propiedades magnéticas una vez en contacto con la magnetita. Una de las primeras aplicaciones
del magnetismo ocurrió en la navegación, gracias a las brújulas, las cuales poseen una aguja de
hierro imantado que se orienta en el sentido del campo magnético terrestre. Hoy en día, se han
identificado diferentes materiales magnéticos formados por diversos compuestos minerales, y
su dominio de aplicación es vasto, se utilizan en medicina, telecomunicaciones, discos duros,
motores, etc.
En 1820, el físico danés Hans Christian Oersted descubrió que las corrientes eléctricas son
fuentes de campos magnéticos. Por ejemplo, la aguja de una brújula se desvía en la presencia
de una corriente, confirmando la relación estrecha entre electricidad y magnetismo. Posteriormente, los franceses Biot, Savart y Ampère establecieron matemáticamente las leyes de la
magnetostática, esto es, de los fenómenos magnéticos independientes del tiempo.
7.2
Ley de interacción magnética
Cuando dos cargas eléctricas se encuentran en movimiento relativo, aparece una interacción
entre ellas adicional a la fuerza de Coulomb, llamada interacción magnética. Consideremos dos
partículas con cargas q y q0 que se encuentran, a un instante determinado, en las posiciones ~x, y
~x0 , respectivamente, y cuyas velocidades en dicho instante son ~v y ~v0 .
La fuerza magnética que actúa sobre la partícula de carga q bajo la influencia de la partícula q0
está dada por:
qq0
~Fq = µ0
~v × ~v0 × (~x −~x0 )
0
3
4π |~x −~x |
(7.1)
7.2 Ley de interacción magnética
271
donde µ0 es la permeabilidad magnética del vacío, cuyo valor en unidades S.I es µ0 = 4π ×
10−7 m kg C−2 .
7.2.1
Notas
• A diferencia de la fuerza electrostática, la fuerza magnética no es una fuerza central. Es
decir, ~Fq no es paralela a la dirección unitaria que une ambas cargas, r̂ = (~x −~x0 )/ |~x −~x0 |.
En efecto, la fuerza es perpendicular a r̂ y a la velocidad ~v de la carga q. En consecuencia,
la fuerza magnética no hace trabajo sobre q.
• Comparemos la magnitud de la fuerza magnética y eléctrica entre las 2 cargas puntuales.
Se tiene
| ~Fmagnética |
| ~Feléctrica |
=
µ0 qq0
v||~v0 |
4π |~x−~x0 |2 |~
qq0
1
4πε0 |~x−~x0 |2
vv0
c2
donde la constante c, que tiene unidad de velocidad, está dada por:
= ε0 µ0 vv0 =
1
c= √
= 3 × 108 m/s
ε0 µ0
(7.2)
Vemos que c no es otra cosa que la velocidad de la luz en el vacío!. La fuerza magnética
es entonces considerablemente menor que la fuerza eléctrica cuando las velocidades de
ambas partículas son mucho menores que la velocidad de la luz (vv0 /c2 << 1).
Ejemplo 7.1 — Corrección a la ley de Coulomb. Suponga que tiene dos cargas q separadas
por una distancia d, moviéndose ambas paralelamente al eje x̂ con velocidad v constante en un
sistema de referencia S0 . Encuentre el valor de v para que la atracción magnética compense
a la repulsión eléctrica. Es razonable este resultado?. Es la fuerza total sobre cada partícula
independiente del sistema de referencia?.
Solución
La fuerza eléctrica sobre la carga de la derecha está dada por:
~Fe = −
q2 ˆ
j
4πε0 d 2
donde jˆ es la direccíon perpendicular a x que va desde la carga de la derecha hacia la carga
izquierda. La fuerza magnética será, de acuerdo a (7.1):
2
~Fm = q µ0 vî × (vî × [− jˆ])
4πd 2
MAGNETOSTATICA
272
2
~Fm = q µ0 v2 jˆ
4πd 2
Para que estas fuerzas se anulen
~Fe + ~Fm = ~0
1
= µ0 v2
ε0
La velocidad de ambas cargas debe ser entonces igual a la velocidad de la luz
v= √
1
=c
µ0 ε0
Claramente este curioso resultado no es razonable, ya que para tratar problemas con velocidades
cercanas a c se debe recurrir a la teoría de la relatividad de Einstein. El problema viene del hecho
de que en el sistema de referencia S en el cual ambas cargas están en reposo, un observador sólo
verá una repulsión electrostática entre las dos cargas, sin fenómenos magnéticos de por medio.
Puesto que ningún sistema de referencia es preferible a otro, vemos que una relación profunda
debe existir entre electricidad y magnetismo.
Dado que la fuerza que experimenta una carga no depende del sistema de referencia, debemos
admitir que la ley de Coulomb no posee la misma forma en S y S0 . Si en el referencial S0 en el
cual las cargas se mueven con velocidad v, la fuerza eléctrica está dada por ~Fe0 , debemos tener
q2 ˆ
q2
2ˆ ~0
j
+
F
=
−
µ
v
j
0
e
4πd 2
4πε0 d 2
De forma que la fuerza total sobre la carga q es la misma en S0 (término a la izquierda) que
en S (término de la derecha). Despejando y utilizando que 1/c2 = ε0 µ0 , tenemos que la ley de
Coulomb en el sistema de referencia S0 se escribe:
~Fe0 = −
q2
(1 + v2 /c2 ) jˆ
4πε0 d 2
Vemos entonces que en todo sistema de referencia en el cual las cargas se mueven se debe agregar
una corrección a la ley de Coulomb del orden de (v/c)2 . En lo que sigue, supondremos que las
velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz, lo que justifica seguir utilizando la
ley de Coulomb habitual.
7.2.2
Principio de superposición
Si en vez de una carga q0 se tienen N partículas cargadas qi , donde la i-ésima carga, de velocidad
~vi , se encuentra en ~xi , la fuerza magnética sobre la partícula q está dada por
N
qqi
~Fq = ∑ ~Fq (i) = µ0
~v × (~vi × (~x −~xi ))
4π |~x −~xi |3
i=1
(7.3)
7.3 El campo magnético
7.3
273
El campo magnético
Los efectos magnéticos pueden ser caracterizados a través de un campo magnético ~B. Al igual
que en electrostática, la idea es expresar la fuerza que actúa sobre una carga q debida a la
influencia de otra carga q0 , suponiendo que esta última produce un campo magnético en todo
el espacio y que q interactúa con este campo. Por definición entonces, escribimos la fuerza
magnética sobre q (de velocidad ~v y posición ~x) como
~Fq = q~v × ~B(~x)
(7.4)
Al comparar con la ecuación (7.1), reconocemos el campo magnético en ~x generado por q0 .
Definición 7.3.1 — Campo magnético de una carga puntual. El campo magnético en
~x generado por una carga q0 de velocidad ~v0 situada en ~x0 está dado por:
0
0
~B(~x) = µ0 q0~v × (~x −~x )
4π
|~x −~x0 |3
(7.5)
Notar que si ~E(~x) es el campo eléctrico generado por q0 en el punto ~x, entonces podemos
escribir:
0 ~
~B(~x) = µ0 ε0~v0 × ~E(~x) = ~v × E
c2
(7.6)
Es claro a partir de la definición que el campo magnético en un punto ~x generado por una
carga en movimiento no es un campo estático, puesto que el vector ~x −~x0 (t) depende del
tiempo. Sin embargo, veremos más adelante que una corriente estacionaria si puede generar
campos magnéticos estáticos. La unidad S.I. para ~B es el tesla, con 1T = 1 N/Am. También
se utiliza el Gauss, 1 G =10−4 T. El campo magnético terrestre tiene una magnitud de 0.2
G. En comparación, un electroimán puede generar típicamente campos entre 0.1 y 1 T. Un
superconductor puede generar campos de hasta 50 T.
7.3.1
Fuerza de Laplace
Vemos entonces a partir de (7.4) que la fuerza sobre una partícula q de velocidad ~v en presencia
de un campo magnético ~B, conocida como fuerza de Laplace, es:
~Fq = q~v × ~B
(7.7)
Comentarios
• La magnitud de la fuerza magnética es proporcional al módulo de la velocidad ~v y al seno
del ángulo ϑ entre ~v y ~B, | ~F |= qvB sin ϑ
• La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad ~v. En consecuencia, es una fuerza que
no realiza trabajo. Una partícula en un campo magnético solo experimenta un cambio de
dirección de su velocidad, pero la magnitud de esta última permanecerá constante.
MAGNETOSTATICA
274
7.3.2
De dónde viene el campo magnético de un imán?
Vemos que existe una relación entre cargas en movimiento (corrientes) y campos magnéticos. Por
qué entonces un material como la magnetita o un bloque de hierro generan campos magnéticos?.
En una visión clásica de la materia, todo átomo está compuesto de un núcleo positivo y de
electrones girando en torno a él, generando entonces una corriente microscópica. Si imaginamos
que todas estas corrientes poseen la misma orientación, podrían generar un campo magnético
macroscópico. Sin embargo, este modelo clásico no es satisfactorio a escalas atómicas. El
magnetismo de un imán no proviene en general de un movimiento orbital del electrón, sino
que de un magnetismo intrínseco debido al spin, propiedad de todo electrón sin equivalente en
mecánica clásica. El magnetismo de la materia es entonces un efecto cuántico.
7.3.3
Fuerza de Lorentz
Suponiendo que una partícula de carga q se encuentra en una región del espacio en donde existen
un campo magnetico ~B y un campo eléctrico ~E, sobre ella actuará una fuerza neta igual a
~F = q ~E +~v × ~B
(7.8)
esta es llamada fuerza de Lorentz .
7.3.4
El descubrimiento del electrón (1897).
Hacia fines del siglo 19, se sabía que los gases, siendo en general muy buenos aislantes, pueden
conducir electricidad al ser sometidos a tensiones muy altas, como ocurre en los tubos de
descarga. Para estudiar estos fenómenos, en el interior de un tubo de vidrio que contiene un gas
a baja presión, se colocan dos electrodos conductores. Al aplicar una diferencia de potencial
suficientemente elevada como para ionizar el gas, una corriete circula a través del gas, produciéndose además una fluorescencia del vidrio que se encuentra en el extremo opuesto al cátodo (el
electrodo cargado negativamente).
Al colocar un imán cerca de un tubo, Sir William Crookes observó la deflección de estos rayos
catódicos, tal cual sucede con las partículas cargadas. Al mismo tiempo, Jean Perrin en Francia
descubrió que al colocar una placa metálica en el camino del haz, ésta adquiere una carga
eléctrica negativa. Todo esto parecía indicar que estos rayos se componen de partículas cargadas
negativamente moviéndose a través del tubo. Sir Joseph John Thomson decidió entonces medir
la masa y la carga de estas supuestas partículas, y demostró la existencia de corpúsculos, hoy
llamados electrones, provenientes del interior de los átomos de los electrodos. Una forma de
realizar esto consiste en medir la razón entre la carga y la masa del electrón, con un dispositivo
como el que se muestra en la figura siguiente. Los electrones son acelerados desde el cátodo
(C) hacia el ánodo (A) antes de ingresar a una zona en donde existen un campo eléctrico ~E y
7.3 El campo magnético
275
magnético ~B.
Sea ∆φ = φa − φc la diferencia de potencial entre los electrodos. Por conservación de la energía,
la energía cinética adquirida por los electrones al pasar desde c hasta a es:
1 2
mv = e∆φ
2
y entonces la velocidad que adquieren los electrones antes de ingresar a la zona en donde se
aplica un campo magnético es:
r
2e∆φ
v=
m
Ahora, notemos que existe una solución muy particular al movimiento de una partícula bajo la
acción de la fuerza de Lorentz cuando los campos ~E y ~B son uniformes y perpendiculares entre
sí. Para un determinado valor de la velocidad ~v, la carga no sentirá fuerza alguna. En efecto,
supongamos que los campos son perpendiculares, ~E · ~B = 0. Si la velocidad de la carga es
1~ ~
E ×B
B2
entonces su trayectoria será una línea recta, con velocidad constante y en la dirección de ~v, como
si no hubiese ningún campo. Esto es fácil de demostrar, pues la fuerza de Lorentz que actúa
sobre la carga es
1
~F = q ~E +~v × ~B = q ~E + (~E × ~B) × ~B
B2
~F = q ~E − 1 ~B × (~E × ~B) = q ~E − 1 B2 ~E = ~0
B2
B2
~v =
Luego, si
1~ ~ E
E × B = î
B2
B
los electrones se moverán en una línea recta, sin ser desviados, y pasarán por un agujero centrado
en el eje del tubo. Así, se ajusta el valor de ∆φ , E y B de forma que:
~v =
e
E2
=
m 2∆φ B2
Al medir E, B y ∆V , se obtiene la razón entre la carga y la masa del electrón. Esta es, aproximadamente
MAGNETOSTATICA
276
e
= 1.7588 × 1011 C/kg
m
la cual es unas mil veces mayor que para el átomo de hidrógeno ionizado, lo cual sugiere que o
bien estas partículas poseen una carga muy elevada, o bien que son mil veces más livianas que el
átomo de hidrógeno, lo que implica que los átomos son divisibles!.
Anteriormente a los experimentos de Thomson, el valor de e había sido obtenido gracias a los
experimentos de electrólisis de líquidos de Faraday. Utilizando el valor de e/m encontrado por
Thomson, obtenemos:
m = 9.11 × 10−31 kg
Se trata entonces de una partícula 2 mil veces más liviana que el átomo mas liviano (hidrógeno)
!. Thomson concluyó que las partículas que conforman los rayos catódicos eran cargas eléctricas
muy livianas, formadas por un constituyente elemental de todo átomo, bloque fundamental de
los enlazes quimicos y de la electrónica, el electrón.
7.4
Movimiento de una carga en un campo eléctrico y magnético uniforme
Consideremos el problema de una partícula de carga q sometida a la fuerza de Lorentz, en un
caso particular y sencillo, como se muestra en la siguiente figura
Es decir, se tienen dos campos uniformes y perpendiculares ~E = E î, ~B = Bk̂. Se debe resolver
m
q
d~v
E î +~v × Bk̂
= q ~E +~v × ~B =
dt
m
de forma que
d
q
~v =
E î − ẋB jˆ + ẏBî
dt
m
De aquí se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la
partícula:
z̈ = 0
qB
ÿ = − ẋ
m
q
ẍ = (E + ẏB)
m
La solución de la primera de ellas es evidente, y está dada por
z(t) = z0 + vOzt
7.4 Movimiento de una carga en un campo eléctrico y magnético uniforme
277
es decir, la partícula describe un movimiento uniforme en la dirección z del campo magnético.
qE
Definiendo las frecuencias w0 = qB
m y w1 = m
ÿ = −w0 ẋ
ẍ = w1 + w0 ẏ
Las ecuaciones para las velocidades en x y en y están acopladas. La solución (ver apéndice 8.14)
está dada por:
v0y
v0y
v0x
w1
cos w0t +
sin w0t + 2 (1 − cos w0t) +
+ x0
w0
w0
w0
w0
v0y
v0x
w1
1
v0x
y(t) =
sin w0t +
cos w0t +
t−
sin w0t −
+ y0
w0
w0
w0
w0
w0
x(t) = −
donde la velocidad inicial de la partícula es ~v0 = (v0x , v0y , v0z ). Consideremos el caso de una
carga que se encuentra en t = 0 en el orígen y que posee una velocidad inicial en z. La trayectoria
de la carga será una espiral que se desplaza según z e y, como se ilustra en la siguiente figura.
Notar que en el plano, la carga se traslada en la dirección y, y no en la dirección del campo eléctrico x, como ocurriría si ~B = ~0. Se produce entonces una corriente en la dirección perpendicular
al campo eléctrico, llamada corriente de Hall.
7.4.1
Trayectoria circular en un campo magnético uniforme
En el caso particular ~E = 0, ~B = Bẑ, la trayectoria de una carga está dada por:
v0y
v0y
v0x
cos w0t +
sin w0t +
+ x0
w0
w0
w0
v0y
v0x
v0x
y(t) =
sin w0t +
cos w0t −
+ y0
w0
w0
w0
x(t) = −
z(t) = z0 + v0zt
MAGNETOSTATICA
278
La partícula describe una hélice cuya proyección en el plano x − y describe un movimiento
circular, cuya frecuencia angular de oscilación dada por
qB
m
En particular, si la velocidad inicial en la dirección z es nula, la trayectoria es una circunferencia
confinada en el plano x-y:
w0 =
Si v es el módulo de la velocidad, entonces se tiene
v = w0 R
y el radio de la circunferencia descrita por la carga está dado por
R=
mv
v
=
qB w0
El período de este movimiento circular estará dado por
T=
2π
2πm
=
w0
qB
Vemos entonces que un campo magnético es capaz de confinar la trayectoria de una carga en el
espacio. Este confinamiento magnético se utiliza en reactores de fusión nuclear, en los cuales
se requiere calentar un plasma a temperaturas de cientos de millones de grados Celsius!. Dado
que ningún material sólido es capaz de resistir a temperaturas tan elevadas, se utiliza un campo
magnético para confinar a las partículas del plasma en una trayectoria circular.
Ejemplo 7.2 — Espectrómetro de masas. En la figura se muestran los componentes escenciales de un espectrómetro de masas, el cual es utilizado para medir la masa de partículas
cargadas. Un ión de masa m y carga q parte del reposo y es acelerado por una diferencia de potencial ∆φ , antes de entrar a una zona donde hay un campo magnético ~B uniforme (perpendicular a
la hoja), y un campo eléctrico ~E perpendicular a ~B. Sólo las partículas que poseen una velocidad
bien determinada ~v continuarán en lína recta y abandonarán este selector de velocidades. Las
partículas emergentes entran a una segunda región donde existe otro campo magnético ~B0 , éstas
se mueven entonces en una trayectoria circular y se estrellan en un detector a distancia 2r del
punto de entrada.
7.4 Movimiento de una carga en un campo eléctrico y magnético uniforme
279
a) Encuentre la velocidad ~v con la que las partículas ingresan al selector de velocidades.
b) Encuentre el campo magnético ~B que se debe aplicar para que las partículas no sean desviadas
en la prescencia de ~E y ~B.
c) Finalmente, encuentre la masa m de la partícula suponiendo que se conoce el valor de r.
Solución
a) La velocidad v con que un ión entra al selector se obtiene por conservación de energía
1 2
mv = q∆φ
2
ya que inicialmente, ~=0. Se tiene entonces:
r
~v =
2q∆φ ˆ
j
m
b) Para que la velocidad de una partícula permanezca constante y salga a través del selector, se
requiere que la fuerza de Lorentz actuando sobre ella sea nula. Se tiene
~F = q ~E +~v × ~B = ~0
donde ~E = E î, ~B = −Bk̂, y ~v = v jˆ
qE î − qv jˆ × Bk̂ = 0 → qE = qvB
y entonces
E
B= =E
v
r
m
2q∆φ
c) Luego de ingresar a la región de campo magnético ~B0 , las partículas describen una circunferencia de radio r. La magnitud de la fuerza magnética es qvB0 . Luego:
qvB0 = m
m
qB0 =
r
r
v2
r
2q∆φ
m
Finalmente, se determina la masa de las partículas mediante:
MAGNETOSTATICA
280
m=
qB20 r2
2∆φ
Ejemplo 7.3 — El ciclotrón. El ciclotrón es un tipo de acelerador de partículas. Este consta
de dos electrodos semi-circulares huecos al interior de los cuales existe un campo magnético
uniforme perpendicular al plano de los electrodos. Se aplica una diferencia de potencial ±∆φ
oscilante entre ambos electrodos, de forma que en la región intermedia existe un campo eléctrico
oscilante. El campo eléctrico acelera los iones en el borde de uno de los electrodos hacia el
otro, en el cual describen una órbita circular que los obliga a volver a la región intermedia. El
campo magnético se ajusta de forma tal que el tiempo que se necesita para recorrer la trayectoria
semicircular sea igual al semiperíodo de las oscilaciones del campo eléctrico, de forma que
cuando el ión vuelve a la región intermedia, el campo eléctrico ha cambiado de signo y los
iones recibirán una nueva aceleración que los envía nuevamente hacia el electrodo inicial. Este
ciclo se repite y de esta forma los iones pasan múltiples veces por la zona intermedia en la cual
son acelerados por el campo eléctrico. La trayectoria de los iones será entonces una espiral en
resonancia con el campo oscilante hasta que alcanzan la periferia del aparato.
Un protón es acelerado en un ciclotrón de radio R = 2 m, ∆φ = 50 kV, y B = 1 T. Cuál es la
frecuencia de oscilación del campo eléctrico?. Cuál es la máxima energía cinética que el protón
puede adquirir (ignore efectos relativistas)?. Cuántas vueltas se requiere para alcanzar esta
energía?.
Solución
En un campo magnético uniforme, el radio r que describe una partícula de carga q , masa m y
velocidad v está dado por
r=
mv
qB
de forma que el tiempo que tarda en describir un semicirculo en uno de los electrodos es
T=
πr πm
=
v
qB
El campo eléctrico debe oscilar entonces a una frecuencia f = 1/T . Evaluando para un protón,
m p = 1.67 × 10−27 kg,q p = 1.6 × 10−19 C y para un campo magnético B = 1 T:
f = 30.49 MHz
La máxima velocidad que puede adquirir un protón es
vmax =
qBR
m
7.4 Movimiento de una carga en un campo eléctrico y magnético uniforme
281
donde R = 2 m es el radio del ciclotrón. Luego, la máxima energía cinética será
1
E = m p v2max = 3.06 × 10−11 J = 191 MeV
2
durante cada rotación, el protón recibe una energía cinética igual a ∆E = 2q∆φ = 100 keV, luego,
el número de vueltas que se requiere es
N=
191 3
× = 1910
100
Ejemplo 7.4 — Protón en campo magnético uniforme. Un protón con una velocidad v
entra en una región de campo magnético uniforme ~B = −Bk̂ (dirigido hacia dentro de la página),
como muestra la figura. El ángulo de incidencia es ϑ .
a) ¿Cuál es el ángulo de salida, φ ?
b) Determine la distancia d
Solución
a) Dado que el campo magnético uniforme es perpendicular a la velocidad, el protón describirá
una trayectoria circular, como se muestra a continuación
Tanto a la entrada como a la salida la velocidad es tangente a la trayectoria circular. Por simetría,
se tiene entonces aue ϑ = φ
b) Se tiene
d
= R cos ϑ → d = 2R cos ϑ
2
Además, de la dinámica del movimiento circular
qvB =
de aquí
mv2
R
MAGNETOSTATICA
282
R=
mv
qB
y entonces la distancia d es
d=
2mv
cos ϑ
qB
Ejemplo 7.5 — Carga en un campo magnético uniforme I. Se lanza un electrón (carga
-e) con velocidad inicial ~v en el medio de dos placas entre las cuales existe un campo magnético
~B constante (entrando a la hoja). Ignore todo efecto gravitacional.
a) ¿Hacia dónde se deflecta la trayectoria?
b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad si la partícula choca exactamente con uno de los extremos
de una de las placas?
Solución
Dado que la velocidad inicial con que incide el electrón es perpendicular al campo magnético, la
trayectoria será una circunferencia en el plano x − y mientras el electrón permanezca en la región
entre placas.
7.4 Movimiento de una carga en un campo eléctrico y magnético uniforme
283
Para analizar hacia donde se deflectará la partícula, basta con analizar que ocurre con la fuerza
de Laplace que actúa sobre el electrón en el instante inicial t = 0:
~v(0) × ~B = vî × −Bk̂ = vB jˆ
Luego en t = 0 la fuerza es
~F(0) = −evB jˆ
Es decir, la partícula es desviada hacia la placa inferior.
b) Dado que el electrón impacta con el extremo derecho de la placa inferior, la trayectoria de la
partícula es la siguiente
La magnitud de la fuerza magnética sobre el electrón es constante y dada por
| ~F |= evB
y su dirección es radial (apuntando hacia el centro de curvatura). Por dinámica circular, se tendrá
evB =
mv2
R
luego
R=
mv
eB
por otro lado, se tiene
d 2
l + R−
= R2
2
2
l 2 + R2 − Rd +
d2
l2 d
= R2 → R = +
4
d 4
entonces
mv l 2 d
= +
eB
d 4
y el módulo de la velocidad del electrón resulta ser
eB l 2 d
v=
+
m d 4
MAGNETOSTATICA
284
Ejemplo 7.6 — Carga en un campo magnético uniforme II. Una partícula de carga q y
masa m entra con velocidad v en un campo magnético uniforme B como se muestra en la figura.
¿Cuánto tiempo transcurre entre que la carga ingresa al campo magnético y sale?
Solución
La fuerza magnética sobre la carga q está dada por la fuerza de Lorentz
~F = q~v × ~B
Así, únicamente la componente de ~B perpendicular a ~v ejercerá una fuerza sobre la partícula. La
componente de la velocidad paralela a ~B se conserva, mientras que la componente perpendicular
a ~B describe una trayectoria circular. De esta forma, la trayectoria que describe la partícula es
una hélice:
Si se observa el movimiento proyectado sobre el plano perpendicular al campo magnético, la
trayectoria describe una semicircunferencia. Sea R el radio de la circunferencia, luego podemos
determinar el tiempo que demora en salir como
T=
2πR πR
= 0
2v0
v
donde v0 es la componente de la velocidad que es perpendicular al campo magnético. Ahora
debemos determinar R. De la segunda ley de Newton
mv02
=F
R
donde F es la magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre la partícula.
F = qvB sin(π/4) = qv0 B
de esta forma
mv02
= qv0 B
R
7.4 Movimiento de una carga en un campo eléctrico y magnético uniforme
285
R=
Finalmente
T=
mv0
qB
π mv0 πm
=
v0 qB
qB
Ejemplo 7.7 — El efecto Hall. Considere una placa conductora de largo l, sección rectangular
de ancho a y espesor b. La placa es atravesada por una densidad de corriente J~ uniforme y
paralela a su longitud (según y). El conductor posee n cargas libres (de carga q) por unidad de
volumen.
a) Escribir la relación entre la densidad de corriente J~ y n.
Ahora se aplica un campo magnético ~B en la dirección z.
b) Cual es el efecto del campo ~B sobre las cargas libres?. A qué fuerzas se encuentran sometidas
y qué ocurre en las paredes laterales x = 0 y x = a?. Sobre qué pared se produce una acumulacion
de cargas q?.
Las paredes sobre las cuales hay una acumulacion o deficit de cargas se comporta como las
armaduras de un condensador plano y se establece entre ellas un campo eléctrico ~EH (el campo
de Hall).
c) Cuál es el efecto del campo ~EH sobre las cargas libres?.
d) Para que valor del campo ~EH se logra un regimen de equilibrio en el cual el efecto del campo
magnético ~B se anula?. Cual es entonces la trajectoria de las cargas libres?.
e) Cuál es la tensión de Hall VH que aparece entre las caras implicadas en el efecto Hall?.
Introduzca la constante de Hall RH = −1/nq. Cómo se puede utilizar el efecto Hall para medir
la valor de un campo magnético desconocido (sonda a Efecto Hall)?.
Solución
a) La densidad de corriente está dada por J~ = qn~v, donde ~v es la velocidad de las cargas libres en
el conductor. Dado que la corriente circula en la dirección jˆ, se tiene ~v = v jˆ y entonces
J~ = qnv jˆ
b) El campo magnético ~B ejerce una fuerza adicional sobre las cargas, dada por la fuerza de
Laplace:
~FB = q~v × ~B = qv jˆ × ~Bk̂ = qvBî
MAGNETOSTATICA
286
Luego, la fuerza magnética acelera a las cargas en la dirección î perpendicular a la corriente
(notar que si q < 0, entonces v < 0). Si q > 0, la trayectoria de las cargas será desviada hacia la
pared x = a, mientras que si q < 0, las cargas serán desviadas hacia la pared x = 0. Se produce entonces una acumulación de cargas en una de las paredes y un déficit de cargas en la pared opuesta.
c) El campo eléctrico ~EH = −EH î generado entre las placas genera una fuerza electrostática
adicional sobre las cargas libres, dada por
~FH = q~EH = −qEH î
notar que si q > 0, la placa x = d será cargada positivamente y EH > 0. Si q < 0, EH < 0. En
todos los casos, la fuerza asociada al campo de Hall será según −î, es decir, en la dirección
opuesta a la fuerza de Laplace.
d) Para que el efecto del campo magnético sobre las cargas se anule en régimen estacionario, se
debe tener:
~FB + ~FH = 0
qvBî − qEH î = 0 → EH = vB
en régimen estacionario, la cargas se mueven (en promedio) en una línea recta paralela a la
~
densidad de corriente J.
e) La tensión de Hall VH que aparece entre las paredes laterales es:
VH = φ (x = 0) − φ (x = a) = −aEh = −avB
Notar que si I es la corriente que circula por la placa, entonces I = abJ = abqnv, luego v =
I/(abqn):
VH = −
BI
BI
= RH
bqn
b
donde RH = −1/(nq) es la resistencia de Hall, la cual depende únicamente de la densidad de
cargas libres en el conductor. Así, si se desea determinar la magnitud de un campo eléctrico ~B
desconocido, se aplica una corriente I en la placa de forma perpendicular al campo magnético,
se mide la tensión VH que aparece entre las paredes laterales y entonces:
B=
VH b
IRH
Ejemplo 7.8 — Aplicación del efecto Hall 1. Considere una banda de cobre de largo a = 2
cm y espesor b = 1 mm. Este es atravesado por una corriente de 50 A y sometido a un campo magnético uniforme de 2 T. Los portadores de cargas libres son electrones (q = −e = −1.6 × 10−19
C). El número de electrones libres por metro cúbico es n = 8 × 1028 m−3 .
a) Calcule la velocidad de desplazamiento de los electrones.
b) Calcule el valor del campo y de la tensión de de Hall VH .
7.4 Movimiento de una carga en un campo eléctrico y magnético uniforme
287
Solución
a) La velocidad de desplazamiento ~v de los electrones se relaciona con la densidad de corriente J~
mediante
J~ = −ne~v
luego, la magnitud está dada por:
v=
J
I
=
= 1.95 × 10−4 m/s
ne abne
b) La tensión de Hall se escribe:
VH = RH
BI
BI
=
= 7.81 µV
b
ben
y el campo de Hall
EH = VH /a = 3.9 × 10−4 V/m
Ejemplo 7.9 — Aplicación del efecto Hall 2. Se mide un campo de Hall de 2.5 mV/m
para una densidad de corriente de 107 A/m2 en un campo de B = 1 Tesla. Calcule la densidad
volumetrica de electrones libres en el sodio y compare con el número de átomos de sodio (masa
atomica del sodio 23 g, densidad 0.97 g/cm−3 , número de avogadro: 6.02 × 1023 ).
Solución
Se tiene:
VH = RH
BI
b
El campo de Hall está dado por EH = VH /a, donde a es el ancho del conductor, y considerando
que la densidad de corriente se puede escribr J = I/(ab), donde b es el espesor, se tiene:
EH = VaH = RH BJ
y entonces la resistencia de Hall RH está dada por:
RH =
EH
1
= 2.5 × 10−10 m3 /C =
BJ
en
con esto obtenemos la densidad volumétrica de electrones en el sodio:
n=
1
= 2.5 × 1028 m−3 = 2.5 × 1022 cm−3
eRH
b) La masa de un átomo de sodio está dada por:
23 g
mNa =
= 3.8206 × 10−23 g
6.02 × 1023
y dada la densidad ρ = 0.97 g/cm3 , la densidad de átomos de sodio es:
ρ
= 2.5 × 1022 cm−3
mNa
de forma que cada átomo de sodio aporta un electrón libre.
MAGNETOSTATICA
288
7.5
Campo generado por una corriente - Ley de Biot-Savart (1820)
Los franceses Jean-Baptiste Biot y Félix Savart demostraron experimentalmente en 1820 que
la aguja de un compás cambia de dirección en la cercanía de un cable por el cual pasa una
corriente. Al variar la distancia entre el cable y la aguja del compás, lograron establecer la ley
matemática para el campo magnético generado por una corriente arbitraria. La ley de Biot-Savart
es la ley fundamental de la magnetostática, que juega el rol equivalente a la ley de Coulomb en
electrostática.
Este descubrimiento motivó a muchos físicos a establecer relaciones matemáticas entre corrientes
y campos magnéticos. André-Marie Ampère fue el primero en establecer una fórmula para la
fuerza de interacción entre dos cables con corriente. Fue también Ampère quien estableció la
hoy conocida Ley-de Ampère, que equivale a la ley de Gauss para el magnetismo, y que veremos
en el capítulo siguiente.
A continuación, vamos a deducir la ley de Biot-Savart a partir de la definición del campo
magnético generado por una partícula puntual en movimiento (Ec. (7.5)).
7.5.1
Campo magnético generado por una distribución continua de corriente
Consideremos una región del espacio Ω que encierra una carga (densidad ρ) en movimiento.
Suponemos que la densidad de corriente en todo punto de Ω es independiente del tiempo (corriente estacionaria). Un elemento de volumen d 3 x0 ubicado en ~x0 ∈ Ω está entonces caracterizado
~ x0 ) = ρ(~x0 )~v(~x0 ),
por un elemento de carga dq(~x0 ) = ρ(~x0 )d 3 x0 y una densidad de corriente J(~
donde ~v representa el campo de velocidades.
El campo magnético en ~x generado por las cargas que se desplazan en el volumen d 3 x0 está dado
por (Ec.7.5):
d ~B(~x) =
µ0
~x −~x0
~x −~x0
µ0 3 0 ~ 0
dq(~x0 )~v(~x0 ) ×
d
x
J(~
x
)
×
=
4π
|~x −~x0 |3 4π
|~x −~x0 |3
(7.9)
Finalmente, el campo total en ~x será la integral sobre Ω dada por:
~B(~x) = µ0
4π
7.5.2
ZZZ
Ω
d 3 x0
~ x0 ) × (~x −~x0 )
J(~
|~x −~x0 |3
(7.10)
Campo magnético generado por un circuito lineal de corriente uniforme
Ahora consideremos un circuito lineal de sección infinitesimal dS (constante) por el cual circula
una corriente uniforme I. De esta forma, el módulo de la densidad de corriente J~ es también
7.5 Campo generado por una corriente - Ley de Biot-Savart (1820)
289
constante, mientras que su dirección será tangente a la línea que describe el conductor. Consideremos un punto ~x0 al interior del conductor, y tomemos el elemento de volumen d 3 x0 = dldS,
donde dl(~x0 ) es el elemento diferencial de longitud en dicho punto. Tenemos que
~ x0 ) = J(~
~ x0 )dSdl = Jtˆ(~x0 )dSdl(~x0 )
d 3 x0 J(~
donde tˆ(~x0 ) es la dirección de la densidad de corriente. Dado que JdS = I es la corriente a través
~ = dltˆ, obtenemos, usando (7.9), el campo generado por este elemento
del cable, y escribiendo dl
de corriente Id~l:
d ~B(~x) =
µ0 Id~l(~x0 ) × (~x −~x0 )
4π
|~x −~x0 |3
Finalmente, obtenemos la expresión de la ley de Biot-Savart para un circuito lineal.
Definición 7.5.1 — Ley de Biot-Savart (1820). Sea un circuito lineal descrito por la curva
Γ, por el cual circula una corriente I. El campo magnético en ~x generado por este circuito
está dado por la ley de Biot-Savart:
~B(~x) = µ0 I
4π
7.5.3
(~x −~x0 )
d~l(~x0 ) ×
|~x −~x0 |3
Γ
Z
(7.11)
Líneas de campo
~ en todo
Son las líneas orientadas de tal forma que la tangente coincide con la dirección de ~B(M)
punto M del espacio. El número de líneas que atraviesa una superficie unitaria normal a ~B es
proporcional a | ~B |. Contrariamente a las líneas de campo eléctrico, su dirección no es normal,
sino que tangente a las fuentes de campo. Las líneas de campo magnético rodean entonces a las
corrientes eléctricas que las generan.
MAGNETOSTATICA
290
Ejemplo 7.10 — Campo de una línea de corriente. Un alambre delgado y rígido que lleva
una corriente I es colocado a lo largo del eje x. Calcular el campo magnético en el punto P.
Analice el caso particular en que el alambre es simétrico con respecto al eje y.
¿Qué sucede cuando el cable es infinitamente largo?. Cuál es la corriente necesaria para que una
brújula ubicada a 10 cm del cable sienta un campo magnético 10 veces superior al de la tierra
(BT = 0.2 G)?.
Solución
Consideremos un elemento diferencial de línea d~x0 = dxî en el punto xî que lleva una corriente I
en la dirección î.
Para calcular el campo magnético en el punto P utilizamos la ley de Biot-Savart. Según nuestra
elección del origen, se tiene ~x = a~j y ~x0 = xî. Así
d ~B(~x) =
aquí, ~x −~x0 = a jˆ − xî y luego |~x −~x0 | =
elemento diferencial de corriente queda
µ0 d~x0 × (~x −~x0 )
I
4π
|~x −~x0 |3
√
a2 + x2 . Con esto, la contribución al campo de este
µ0 dxî × a jˆ − xî
µ0
adxk̂
~
d B(~x) =
I
=
I 2
3/2
2
2
4π (a + x )
4π (a + x2 )3/2
Y el campo total en P será
~B(P) = µ0 I
4π
Z L2
adxk̂
−L1 (a2 + x2 )3/2
donde L1 y L2 están definidos mediante los ángulos ϑ1 y ϑ2 :
tan ϑ1 =
a
→ −L1 = a cot(−ϑ1 )
L1
tan ϑ2 =
a
→ L2 = a cot ϑ2
L2
7.5 Campo generado por una corriente - Ley de Biot-Savart (1820)
291
Para resolver esta integral, utilizamos el siguiente cambio de variables:
x = a cot ϑ → dx = −a csc2 ϑ dϑ
y la integral queda
~B = µ0 I
4π
Z ϑ2
dϑ a(−a csc2 ϑ )k̂
−ϑ1
(a2 + a2 cot2 ϑ )3/2
µ0
=−
I
4πa
Z ϑ2
dϑ sin ϑ k̂
−ϑ1
~B = µ0 I (cos ϑ1 + cos ϑ2 ) k̂
4πa
En el caso simétrico se obtiene imponiendo ϑ2 = ϑ1 , y L1 = L2 = L/2, entonces
L
cos ϑ1 = √
2
L + a2
y el campo está dado por
~B(P) = µ0 I √ L
k̂
2πa L2 + a2
Para el caso de un alambre infinitamente largo, tomamos el limite L → ∞:
~B(P) = µ0 I k̂
2πa
Notemos que en este límite, el sistema posee simetría cilíndrica, y las líneas de campo magnético
son circulares. Este resultado se comprobará más adelante con la ley de Ampère.
Para a = 10 cm, la corriente necesaria para generar un campo de B = 2G = 2 × 10−4 T será:
I=
2πaB
= 100 A
µ0
MAGNETOSTATICA
292
Ejemplo 7.11 — Campo en el eje de una espira circular. Considere una espira circular
que lleva corriente I en el sentido indicado por la figura. Calcule el campo magnético en el punto
P, ubicado a una distancia z en el eje de simetría de la espira
Solución
Consideremos un elemento diferencial de corriente ubicada en el punto~x0 = R cos φ î + sin φ jˆ =
Rr̂(φ ). El elemento de corriente será Id~x0 , con d~x0 = Rdφ ϑ̂ y ϑ̂ = (− sin φ î+cos φ jˆ). Utilizando
la ley de Biot-Savart, se tiene:
d ~B(~x) =
µ0 I d~x0 × (~x −~x0 )
4π |~x −~x0 |3
con |~x −~x0 | = (R2 + z2 )1/2 . Así:
Rdφ φ̂ × zk̂ − Rr̂
µ
I
µ0 I (R2 k̂ + Rzr̂)
0
d ~B(~x) =
=
dφ
4π
4π (R2 + z2 )3/2
(R2 + z2 )3/2
Con esto
~B(~x) = µ0 I
4π
Z 2π
dφ
0
(R2 k̂ + Rz sin φ jˆ + Rz cos φ î)
(R2 + z2 )3/2
Las integrales según î y jˆ son nulas, como se puede anticipar por argumentos de simetría. Finalmente el campo magnético a una distancia z del anillo es:
~B(~x) = µ0 I
4π
Z 2π
dφ
0
R2
µ0 I
R2
k̂
=
k̂
2 (R2 + z2 )3/2
(R2 + z2 )3/2
Ejemplo 7.12 — Campo creado por una solenoide. Una solenoide consiste en un conjunto de espiras circulares de mismo eje y radio, juxtapuestas de forma tal que hay n espiras por
unidad de largo. Cuál es el campo magnético creado en un punto sobre el eje de la espira?.
7.5 Campo generado por una corriente - Ley de Biot-Savart (1820)
293
Solución
Sea M un punto sobre el eje de la solenoide. Consideremos una sección de espesor dx alrededor
del punto P situado a una distancia x de M. El campo en M será la superposición de ndx espiras
(ver 7.11):
d ~B = ndx
µ0 I
R2
î
2 (R2 + x2 )3/2
y el campo total será la integral:
~B = nµ0 I
2
Z x2
x1
R2
dxî
(R2 + x2 )3/2
2
Utilizando el siguiente
√ cambio de variable x = R/ tan α = R cot α, se tiene dx = −R/ sin αdα.
2
2
Además, sin α = R/ R + x y entonces
~B = nµ0 I
2
Z α2
sin3 α −R
α1
R
sin α
dα î =
2
nµ0 I
2
Z α2
(− sin α)dα î
α1
donde los ángulos α1 y α2 se muestran en la figura siguiente:
Finalmente
~B = nµ0 I (cos α2 − cos α1 )x̂
2
Para una solenoide infinita, α1 → π, α2 → 0 y se obtiene
MAGNETOSTATICA
294
~B = nµ0 I x̂
Ejemplo 7.13 — Campo de un disco cargado en rotación. Considere un disco muy
delgado que tiene una densidad de carga superficial σ uniformemente distribuída. El disco se
pone a girar a velocidad angular w en torno a su eje. Encuentre el campo magnético en el eje del
disco.
Solución
En el ejemplo 7.11 se determinó el campo magnético en el eje de un anillo de corriente I de radio
r, esto es
~B(z) =
µ0 Ir2
2(z2 + r2 )3/2
Podemos ver el disco como una superposición de anillos con corriente de ancho infinitesimal dr,
de esta forma por el principio de superposición el campo magnético total será la suma de las
contribuciones de estos anillos. Veamos que ocurre en la porción de disco comprendida entre r y
r + dr, con r ∈ (0, R)
La carga contenida en este anillo es
dq = σ 2πrdr
la rotación del disco le asocia a este anillo una corriente. La carga dq da una vuelta completa en
un tiempo
∆t =
2π
w
de forma que la corriente asociada es
dI =
dq wσ 2πrdr
=
= σ wrdr
∆t
2π
7.5 Campo generado por una corriente - Ley de Biot-Savart (1820)
295
el campo magnético a una distancia z sobre el eje del disco generado por este anillo es
d ~B(z) =
µ0 dIr2
drµ0 wσ r3
k̂
=
k̂
2(z2 + r2 )3/2
2(z2 + r2 )3/2
Integrando sobre todo el disco:
~B(z) =
Z R
drµ0 wr3 σ
0
k̂ =
2(z2 + r2 )3/2
µ0 wσ
2
Z R
0
r3 dr
k̂
(z2 + r2 )3/2
Realizando el cambio de variable u2 = z2 + r2 , 2udu = 2rdr
Z
Z
Z
z2
z2
r3 dr
u(u2 − z2 )du
=
du
1
−
=
u
+
=
u3
u2
u
(z2 + r2 )3/2
luego:
Z
De esta forma
p
r3 dr
z2
2 + r2 + √
=
z
(z2 + r2 )3/2
z2 + r2
p
z2
R
2
2
~B(z) = µ0 wσ
z +r + √
k̂
2
2
2
0
z +r
p
p
z2
z2
2
2
2
~B(z) = µ0 wσ
√
√
k̂
z +R +
− z −
2
z2 + R2
z2
~B(z) = µ0 wσ
2
p
z2
µ0 wσ 2z2 + R2
2
2
√
z +R + √
− 2 | z | k̂ =
− 2 | z | k̂
2
z2 + R2
z2 + R 2
Ejemplo 7.14 — Campo de una espira de forma particular. Considere la espira de cor-
riente formada por segmentos radiales y arcos de circunferencia como se muestra en la figura.
Obtenga el campo magnético ~B en el punto P.
MAGNETOSTATICA
296
Solución
Para obtener el campo magnético en P, utilizaremos el principio de superposición, notando que
el campo total en P será la suma de las contribuciones de las secciones 1,2,3,4 y 5.
Si fijamos el origen en P, notamos inmediatamente que las contribuciones de los segmentos 1
y 5 son nulas, ya que en ambos casos el elemento de línea d~x0 es paralelo al vector ~x −~x0 , con
~x = ~0. Para la sección 2, calculemos primero el campo generado por el elemento de corriente de
la figura siguiente:
Tenemos
d ~B2 =
µ0 d~x0 × (~x −~x0 )
I
4π
|~x −~x0 |3
Utilizando coordenadas polares, ~x0 = br̂ = b(cos φ 0 î + sin φ 0 jˆ) y
d~x0 = bdφ 0 − sin φ 0 î + cos φ 0 jˆ
Además |~x −~x0 |3 = | −~x0 |3 = b3 , con lo que
− sin φ î + cos φ jˆ × −b(cos φ î + sin φ jˆ)
µ0
µ0
~
Ibdφ
=
Idφ k̂
d B2 =
3
4π
b
4πb
Así, el campo total en P debido al arco exterior (sección 2) es
φ
µ0 Iφ
~B2 = µ0 I
dφ k̂ =
k̂
4πb 0
4πb
Ahora, para el arco interior (sección 4) el procedimiento es totalmente análogo, con la diferencia
de que la distancia ahora es a, y que la corriente va en el sentido opuesto al del arco exterior,
luego:
Z
~B4 = − µ0 Iφ k̂
4πa
Por último, para la sección 3, es fácil notar que su contribución es nula, ya que en este caso, el
vector d~x0 apunta en la dirección contraria al vector unitario radial en coordenadas polares, y a
7.5 Campo generado por una corriente - Ley de Biot-Savart (1820)
297
su vez ~x0 apunta en la dirección radial, de esta forma, el producto vectorial d~x0 × (~x −~x0 ) es 0
en todo el segmento 3. Resumiendo, solo los segmentos 2 y 4 contribuyen al campo en P, y el
campo total será la suma de ambas contribuciones
~B = ~B2 + ~B4 = µ0 Iφ 1 − 1 k̂
4π
b a
Ejemplo 7.15 — Campo cerca de una esquina. Un conductor rectilíneo con corriente I
baja por el eje y hasta el orígen, y luego continúa en dirección horizontal. Muestre que el campo
magnético en el punto (x, y) con x > 0, y > 0 está dado por
!
1
1
x
µ
I
y
0
~B(x, y) =
+ + p
k̂
+ p
4π x y y x2 + y2 x x2 + y2
Solución
Sea P un punto sobre el plano (x,y) con x > 0, y > 0. El campo magnético en P será la
superposición del campo creado por la sección vertical y el de la sección horizontal. Sea Γ1 la
sección horizontal. El campo magnético en P se obtiene a partir de la ley de Biot-Savart
~B1 (x, y) = µ0
4π
~B1 (x, y) = µ0 I
4π
~x −~x0
µ0 I
=
d~x I ×
0
3
|~x −~x |
4π
Γ1
Z
Z ∞
0
dx0 î ×
0
(x − x0 )î + y jˆ
((x − x0 )2 + y2 )3/2
Podemos utilizar la sustitución tan ϑ =
Z
dx0
0 )2 3/2
1 + (x−x
2
y
= −y
Z
(x−x0 )
y ,
(x−x0 )
y ,
sec2 ϑ dϑ
3/2
(1 + tan2 ϑ )
Z ∞
dx0 î ×
0
=
µ0 I
k̂
4πy2
(x, y) − (x0 , 0)
| (x, y) − (x0 , 0) |3
Z ∞
0
1
dx0 0 )2 3/2
1 + (x−x
2
y
0
luego sec2 ϑ dϑ = − dxy , y entonces
= −y
Z
sec2 ϑ dϑ
= −y
sec3 ϑ
0
Z
dϑ cos ϑ = −y sin ϑ
es fácil ver que sin ϑ = √ 2(x−x ) 0 2 , de forma que
y +(x−x )


!
∞ µ I 1
0)
x
µ
I
(x
−
x
0
0
 =
~B1 (x, y) = −
k̂
k̂  q
+ p
4πy
4π y y x2 + y2
0
2
2
0
y + (x − x )
Ahora, como tan ϑ =
Ahora, para el segmento horizontal, basta intercambiar el rol de x e y
MAGNETOSTATICA
298
~B2 (x, y) = µ0 I
4π
1
y
+ p
x x x 2 + y2
!
k̂
Finalmente
~B(x, y) = µ0 I
4π
1 1
x
y
+ + p
+ p
x y y x2 + y2 x x2 + y2
!
k̂
Ejemplo 7.16 — Bobinas de Helmholtz. Considere dos bobinas de N vueltas de radio R,
cada una perpendicular al eje z, con sus centros localizados en z = l/2 y z = −l/2. Existe
una corriente constante I en el mismo sentido en cada bobina, como se muestra en la figura.
Encuentre el campo magnético en el eje a una distancia z del centro de una de las bobinas.
Verifique que la primera derivada del campo en el punto medio es nula.
Solución
Del ejemplo 7.11, tenemos que para una espira circular con corriente I, radio R y a una distancia
z de su centro, el campo en el eje de simetría es
R2
~B(~x) = µ0 I
k̂
2 (R2 + z2 )3/2
Como una bobina consta de N espiras circulares separadas por una distancia despreciable con
respecto a z, podemos utilizar el principio de superposición y obtener el campo generado por una
bobina de N vueltas
R2
~B(~x) = µ0 NI
k̂
2 (R2 + z2 )3/2
Ahora, sea un punto en el eje k̂, a una distancia z del origen, el campo generado por la bobina
inferior es entonces
R2
~B1 (zk̂) = µ0 NI
k̂
2 (R2 + (z + l/2)2 )3/2
y el campo generado por la bobina superior
R2
~B2 (zk̂) = µ0 NI
k̂
2 (R2 + (z − l/2)2 )3/2
Y el campo magnético total, por el principio de superposición, es:
2
1
1
~B(zk̂) = µ0 NIR
+
k̂
2
(R2 + (z − l/2)2 )3/2 (R2 + (z + l/2)2 )3/2
7.5 Campo generado por una corriente - Ley de Biot-Savart (1820)
299
Notemos que la primera derivada con respecto a z está dada por
dB µ0 NIR2
=
dz
2
−
3(z − l/2)
3(z + l/2)
−
5/2
2
2
((z − l/2) + R )
((z + l/2)2 + R2 )5/2
Se puede notar de inmediato que en el punto medio z = 0 se tiene
dB =0
dz z=0
También se puede demostrar que si la distancia l entre ambas bobinas se escoge igual a R (radio
de las espiras), se obtiene que
d 2 B d 3 B =
=0
dz2 z=0 dz3 z=0
Esta configuración se conoce como bobinas de Helmhotz, la cual produce un campo magnético
aproximadamente uniforme alrededor de z = 0. Si se expande en torno a este punto:
B(z) = B(0) +
1 d4B
(0)z4 + ...
4! dz4
Es decir, el cambio en la magnitud del campo magnético en el punto medio para pequeñas
variaciones de z es del orden de z4 !.
Ejemplo 7.17 — Campo de un cilindro con corriente superficial. Un cilindro de radio a
y largo h tiene una corriente superficial I uniformemente distribuída en el manto. Calcule el
campo magnético producido sobre su eje.
Solución
El sistema se puede ver como un conjunto de espiras por las cuales circula una corriente
infinitesimal dada por
Idz0
h
distribuídas uniformemente a lo largo de la dirección z. El campo en el eje, a una distancia z del
centro de una espira (ver 7.11) con corriente Idz0 /h en z0 es
d ~Bz0 =
µ0 dz0
Ia2 k̂
2h (a2 + (z − z0 )2 )3/2
MAGNETOSTATICA
300
Si definimos z = 0 como el extremo derecho del cilindo, el campo magnético total es entonces la
superposición siguiente:
~B = µ0
2h
Z h
o
dz0
Ia2
k̂
(a2 + (z − z0 )2 )3/2
Usando el cambio z − z0 = a tan ϑ , −dz0 = a sec2 ϑ dϑ
~B = µ0 I
2h
Z ϑ2
ϑ1
−dϑ a3 sec2 ϑ
µ0 I
k̂ = −
2h
(a2 + a2 tan2 ϑ )3/2
Z ϑ2
cosϑ dϑ k̂
ϑ1
~B = − µ0 I (sinϑ2 − sinϑ1 )k̂
2h
donde
z−h
sin ϑ2 = p
2
a + (z − h)2
z
sin ϑ1 = √
z2 + a2
Finalmente
~B = µ0 I
2h
h−z
z
p
+√
z2 + a2
a2 + (z − h)2
!
k̂
7.6
Fuerza entre conductores de corriente
Una corriente experimenta una fuerza en la prescencia de un campo magnético. Esto se debe a
que cada portador de carga será sometido a la fuerza de Lorentz. Consideremos un segmento
diferencial de corriente en un punto ~x0 , de sección ∆S(~x0 ), largo dl(~x0 ) y densidad de corriente
~ x0 ).
J(~
Sobre este volumen la fuerza total será:
d ~F(~x0 ) = Nq~v(~x0 ) × ~B(~x0 )
donde N es el número de cargas presente. Si n es la densidad de carga por unidad de volumen,
luego N = n∆Sdl y se tiene:
d ~F(~x0 ) = ∆S(~x0 )dl(~x0 )nq~v(~x0 ) × ~B(~x0 )
7.6 Fuerza entre conductores de corriente
301
~ x0 ) = nq~v(~x0 ) y entonces
pero la densidad de corriente es, por definición, J(~
~ x0 ) × ~B(~x0 )
d ~F(~x0 ) = ∆S(~x0 )dl(~x0 )J(~
definiendo d~l(~x0 ) como el vector de magnitud dl(~x0 ) y cuya dirección coincide con la de la
densidad de corriente, se tiene finalmente la fuerza de Laplace:
d ~F(~x0 ) = Id~l(~x0 ) × ~B(~x0 )
(7.12)
donde I es la corriente que circula por el conductor. La fuerza total sobre un conductor rectilíneo
descrito por la curva Γ está dada por
~F =
I
Id~x × ~B(~x)
Γ
7.6.1
Fuerza sobre un circuito en prescencia de un campo uniforme
Como ejemplo, consideremos un conductor que lleva corriente I en la prescencia de un campo
magnetico unforme ~B, como se muestra en la figura
Tenemos entonces que la fuerza sobre este conductor está dada por
Z b ~F = I
d~x × ~B(~x) = I (~xb −~xa ) × ~B(~x)
a
Sea ~l =~xb −~xa el vector dirigido desde a hacia b. Con esta notación
~F = I~l × ~B
Ahora veamos que sucede si el conductor constituye un circuito cerrado de forma arbitraria,
entonces la fuerza será
I
~FB = I
d~x × ~B
Γ
Pero
I
d~x = ~0
Γ
La fuerza neta sobre un circuito cerrado en un campo magnético uniforme es nula, ~F = ~0
MAGNETOSTATICA
302
Ejemplo 7.18 — Fuerza magnética sobre un semicirculo. Considere el circuito cerrado
de la figura que lleva una corriente I en el sentido contrario al reloj. Un campo magnético
uniforme apuntando en la dirección jˆ es aplicado. Encuentre la fuerza magnética que actúa sobre
el elemento rígido y sobre el arco semicircular. Verifique que la fuerza total se anula.
Solución
Tenemos un campo uniforme dado por ~B = B jˆ , llamemos ~F1 y ~F2 a las fuerzas actuando sobre el
segmento rígido y la parte semicircular, respectivamente. La fuerza sobre el segmento rígido es
~F1 = I
Z
R
~ × B jˆ = I
dx
Z
−R
R
dx î × B jˆ = I2Rî × B jˆ = 2IRBk̂
−R
Ahora, para calcular ~F2 , notamos que elemento infinitesimal d~x en el semicírculo se puede
escribir como
d~x = Rdϕ(− sin φ î + cos φ jˆ)
~ es
La fuerza que actúa sobre un elemento dx
d ~F2 = Id~x × ~B = IRdφ − sin φ î + cos φ jˆ × (B jˆ) = −IBRdφ sin φ k̂
Integrando sobre el arco semicircular, tenemos
~F2 = −IBRk̂
Z π
dφ sin φ = −2IBRk̂
0
Así, la fuerza neta que actúa sobre el circuito completo es
~Fnet = ~F1 + ~F2 = ~0
7.6 Fuerza entre conductores de corriente
303
Consistente con el hecho de que la fuerza sobre un circuito cerrado en un campo magnético
uniforme es nula.
Ejemplo 7.19 — Fuerza entre 2 corrientes rectilíneas. Considere dos alambres paralelos
de largo l separados por una dstancia a l y que llevan corrientes I1 e I2 en la dirección x.
Calcule la fuerza entre ambos conductores.
Solución
La fuerza magnética ~F1 , que ejerce el alambre 2 sobre el alambre 1, se puede obtener como
~F1 = I1
Z
1
d~l1 (~x0 ) × ~B(~x0 )
donde ~B es el campo magnético creado por el conductor 2. Para un conductor rectilíneo
infinitamente largo, las líneas del campo magnético son círculos concéntricos en el plano
perpendicular al conductor. Así, como a l, podemos considerar a ambos conductores como
infinitamente largos y en un punto arbitrario P (lejos de los extremos) sobre el conductor 1
tenemos:
~B2 = µ0 k̂
2πa
que apunta en dirección perpendicular al conductor 1, como se ve en la figura
Al ser este campo aproximadamente uniforme a lo largo del conductor 1, y siendo éste un
alambre rectilíneo, la fuerza que experimenta está dada por
~F1 = I1~l × ~B2 = I1 l jˆ × µ0 I2 k̂ = µ0 I1 I2 l î
2πa
2πa
Esta fuerza apunta hacia el conductor 2. Resulta evidente que ~F2 = −~F1 . De esta forma, 2 cables
paralelos que llevan corriente en la misma dirección se atraerán. Por otro lado, si las corrientes
fluyen en direcciones opuestas, la fuerza resultante será repulsiva.
MAGNETOSTATICA
304
Ejemplo 7.20 — Fuerza entre espira rectangular y corriente rectilínea. Calcular la fuerza
resultante sobre la espira con corriente I2
Solución
Para obtener la fuerza total sobre la espira, sumamos las fuerzas sobre las secciones 1,2,3 y 4.
Tenemos
~F1 = I2
Z c
0
d~l1 × ~B1
donde c es el largo de la espira rectangular. El campo en la sección 1 es uniforme y está dado por
~B1 = − µ0 I1 k̂
2πa
Así
~F1 = I2
Z c
dy jˆ × −
0
µ0 I1
µ0 cI1 I2 ˆ
k̂ = −
j × k̂
2πa
2πa
~F1 = − µ0 cI1 I2 î
2πa
Ahora, para la sección 3, el campo se obtiene reemplazando a por a + b y I2 por −I2 en la fórmula
anterior:
~F3 = µ0 cI1 I2 î
2π(a + b)
La fuerza sobre la sección 2 será
~F2 = I2
Z b
0
d~l2 × ~B2
donde b es el ancho de la espira retangular, luego:
~F2 = −I2
Z b
0
dxî ×
µ0 I1
k̂
2π(a + x)
7.6 Fuerza entre conductores de corriente
305
Notemos que
~F4 = I2
Z 0
b
−dxî ×
−µ0 I1
k̂ = −~F2
2π(a + x)
se tiene entonces que F2 y F4 se cancelan, luego, la fuerza total sobre la espira es
µ
I
I
c
1
1
0
1
2
~F = ~F1 + ~F3 =
−
î
2π
(a + b) a
Notar que la fuerza es atractiva.
Ejemplo 7.21 — Fuerza entre una espira circular y una corriente rectilínea. Una corri-
ente I fluye en un anillo circular de radio R, y una corriente I 0 en un conductor rectilíneo muy
largo que se encuentra en el mismo plano del anillo. Si 2α es el ángulo subtendido por el circulo
en el punto mas cercano del conductor rectilineo, encuentre la fuerza entre los dos circuitos
Solución
Sea k̂ la normal al plano que contiene ambos circuitos (saliendo de la hoja). El campo magnético
generado por la distribución de corriente rectilínea está dado por
0
~B(~x) = µ0 I k̂
2πr
donde r es la distancia al conductor rectilineo. Sea Id~l un elemento de corriente sobre el circuito
circular, como muestra la figura
Se tiene
Id~l = IRdϑ ϑ̂
con lo que la fuerza magnética que actúa sobre este elemento de corriente es
µ0 I 0
µ0 II 0 R
µ0 II 0 R
~
~
~
d F = Id l × B = IRdϑ ϑ̂ ×
k̂ =
dϑ ϑ̂ × k̂ =
dϑ r̂
2πr
2πr
2πr
donde r = d + R sin ϑ , y sin α = Rd , de forma que
MAGNETOSTATICA
306
µ0 II 0 R
µ0 II 0
dϑ r̂ =
dϑ r̂
2πR (sin ϑ + cscα)
2π (sin ϑ + cscα)
d ~F =
Escribiendo explícitamente la dependencia de r̂ en ϑ
d ~F(ϑ ) =
dϑ µ0 II 0
cos ϑ î + sin ϑ jˆ
2π (sin ϑ + cscα)
La fuerza total sobre el circuito circular será
0
~F = µ0 II
2π
Z
2π
dϑ cos ϑ î
+
sin ϑ + cscα
0
dϑ sin ϑ jˆ
sin ϑ + cscα
Z 2π
0
Consideremos la siguiente integral
Z 2π
I=
0
eiϑ
=
dϑ
sin ϑ + b
Z 2π
dϑ cos ϑ
0
sin ϑ + b
+i
Z 2π
dϑ sin ϑ
sin ϑ + b
0
Luego, si determinamos la parte real e imaginaria de I, tendremos la fuerza ~F. Para esto,
consideremos la integral en el plano complejo
dz
Γ 1/(2i)(z − 1/z) + b
I
donde Γ es la circunferencia de radio 1, es decir:
z = eiϑ , ϑ ∈ (0, 2π), dz = idϑ eiϑ
entonces
dz
=i
|z|=1 1/(2i)(z − 1/z) + b
I
Z 2π
dϑ
0
eiϑ
=i
1 iϑ
−iϑ ) + b
2i (e − e
Z 2π
dϑ
0
eiϑ
= iI
sin ϑ + b
Por otro lado
dz
=
|z|=1 1/(2i)(z − 1/z) + b
I
dz
I
|z|=1 1
2i
z2 −1
z
2izdz
I
=
+b
|z|=1
z2 − 1 + 2ibz
En definitiva corresponde a integrar una función compleja con dos polos
2izdz
|z|=1 (z − z0 )(z − z1 )
I
donde z0 y z1 son soluciones de
√
−2ib ± −4b2 + 4
z + 2ibz − 1 = 0 → z =
2
2
7.6 Fuerza entre conductores de corriente
307
p
1 − b2
√
En este caso, b = cscα > 1, de forma que z = −ib ± i b2 − 1, y los polos están dados por
p
z0 = i
b2 − 1 − b
z = −ib ±
p
z1 = −i b + b2 − 1
√
Notar que | z1 |> b > 1, mientras que | z0 |= b − b2 − 1 < 1. En efecto, uno puede ver si para
algún b > 1, | z0 |≥ 1, entonces:
p
p
b − b2 − 1 ≥ 1 → b2 − 1 ≤ b − 1
b2 − 1 ≤ b2 − 2b + 1 → −1 ≤ 1 − 2b → b ≤ 1
contradiccion!. Luego z0 es el único polo encerrado por Γ. Así, por el teorema de Cauchy:
2izdz
2iz
4πz0
= 2πi lim
=−
z→z0 z − z1
z0 − z1
|z|=1 (z − z0 )(z − z1 )
I
√
y dado que z0 − z1 = i2 b2 − 1
dz
=−
|z|=1 1/(2i)(z − 1/z) + b
I
2π
√
b2 − 1 − b
2b
√
= −π 2 − √
= iI
b2 − 1
b2 − 1
Finalmente, obtenemos:
iI = i
Z 2π
dϑ cos ϑ
0
sin ϑ + b
−
Z 2π
dϑ sin ϑ
0
2b
= −π 2 − √
sin ϑ + b
b2 − 1
Así:
Z 2π
dϑ cos ϑ
0
sin ϑ + b
=0
Z 2π
dϑ sin ϑ
0
2b
= π 2− √
sin ϑ + b
b2 − 1
Escribiendo b = cscα, se tiene
Z 2π
0
dϑ sin ϑ
= π (2 − 2 cos α)
sin ϑ + cscα
MAGNETOSTATICA
308
Finalmente
~F = µ0 II 0 1 −
1
cos α
jˆ
7.7
Momento magnético
En electrostática, vimos que un sistema de dos cargas de igual magnitud y signo contrario
está completamente descrito por su momento dipolar ~p. Hemos visto también que un medio
dieléctrico puede ser visto como una colección de momentos dipolares microscópicos, y que
el medio está completamente caracterizado por su polarización ~P, que representa el momento
dipolar por unidad de volumen.
En la prescencia de un campo eléctrico ~E, un dipolo siente una fuerza ~F = ~∇(~p · ~E) y un torque
~τ = ~p × ~E. De forma análoga, vamos a definir el momento magnético ~µ de una corriente cerrada
de forma que la fuerza y torque sobre ésta en la prescencia de un campo magnético se escriben
~F = ~∇(~µ · ~B)
~τ = ~µ × ~B
.
7.7.1
Torque sobre una espira
Veamos que sucede cuando colocamos una espira rectangular que lleva corriente estacionaria I
en el plano XY , ante la prescencia de un campo magnético uniforme ~B(~x) = Bî paralelo al plano
de la espira.
Vemos que las fuerzas magnéticas actuando en los segmentos 1 y 3 son nulas debido a que los
vectores ~l1 = −bî y ~l3 = bî son paralelos al campo magnético ~B . Por otro lado, las fuerzas
actuando en los segmentos 2 y 4 son
~F2 = I −a jˆ × Bî = IaBk̂
~F4 = I a jˆ × Bî = −IaBk̂
7.7 Momento magnético
309
De aquí es claro que la fuerza neta es nula, como es de esperar para una corriente cerrada en
prescencia de un campo magnético uniforme. Sin embargo, las fuerzas ~F2 y ~F4 producirán un
torque que genera una rotación de la espira con respecto al eje y.
El torque con respecto al centro de la espira es
~τ = −b/2î × ~F2 + b/2î × ~F4 = (−b/2)î × IaBk̂ + (b/2î) × −IaBk̂
~τ =
IabB IabB
+
2
2
jˆ = IabB jˆ = IAB jˆ
Donde A = ab representa el área de la espira. Es conveniente introducir el vector de área
~S = An̂
con n̂ el vector unitario en la dirección normal al plano de la espira. En este caso, tenemos n̂ = k̂.
La expresión para el torque se puede reescribir entonces como
~τ = I~A × ~B
Consideremos ahora el caso más general donde la espira forma un ángulo ϑ con respecto al
campo magnético
De la figura
~r2 =
b
− sin ϑ î + cos ϑ k̂ = −~r4
2
y el torque neto es
~τ =~r2 × ~F2 +~r4 × ~F4 = 2~r2 × ~F2 = 2
b
− sin ϑ î + cos ϑ k̂ × (IaBk̂)
2
~τ = IabB sin ϑ jˆ = I~A × ~B
MAGNETOSTATICA
310
Se obtiene la misma expresión obtenida anteriormente. Notar que el torque es nulo cuando la
normal a la espira está orientada en la dirección paralela al campo magnético. El vector I~A es,
por definición, el momento magnético de la espira:
~µ = I~A
La dirección de ~µ es la misma que la del vector de área ~S (perpendicular al plano de la espira).
Con esto, el torque sobre una espira de corriente es
~τ = ~µ × ~B
Una espira en un campo magnético girará hasta que su momento magnético esté completamente
alineado con el campo. Notar la analogia con el torque que ejerce un campo eléctrico sobre un
dipolo.
Definición 7.7.1 — Momento magnético. El momento magnético µ de una corriente
cerrada I arbitraria definida por la curva Γ (no necesariamente plana) está dado por:
~µ =
I
2
I
~x0 × d~l(~x0 )
(7.13)
Γ
para una corriente plana, la ecuación (7.13) se reduce a ~µ = IAn̂, con A el área encerrada
por la corriente y n̂ el vector normal al plano que contiene a la corriente (si la corriente se
enuentra en el plano x − y, n̂ = k̂ si la corriente circular en el sentido contrario al reloj). De
forma aún más general, el momento magnético de una distribución arbitraria de corriente J~
contenida un volumen Ω está dado por:
~µ =
1
2
ZZZ
~ x0 )d 3 x0
~x0 × J(~
Ω
En el sistema internacional, la unidad del momento magnético es Am−2 o, equivalentemente,
JT−1 .
Ejemplo 7.22 — Espira en equilibrio. Un circuito cuadrado rígido de lado L y masa M está
pivoteado en torno a uno de sus ejes en prescencia de un campo magnético ~B uniforme, y el
campo gravitatorio. El circuito lleva una corriente I que es capaz de mantenerlo en equilibrio en
un ángulo ϑ . Encuentre el sentido y magnitud de dicha corriente.
7.7 Momento magnético
311
Solución
Para el equilibrio, se requiere que el torque neto sobre la espira con respecto a algún punto de
aceleración nula sea cero. Se escoge como origen O el punto medio entre A y A0 .
Para el torque que ejerce el peso, se tiene
~τ =~r × ~F =
l
sin ϑ î − cos ϑ jˆ × −Mg jˆ
2
Mgl
sin ϑ k̂
2
Por otro lado, el torque que ejerce la fuerza magnética es
~τ = −
~τ = ~µ × ~B
donde ~µ es el momento magnético de la espira
~µ = IAn̂ = Il 2 n̂
Requerimos en primer lugar que este torque tenga dirección k̂. Luego n̂ debe tener la dirección
de ~µ en el dibujo, lo que permite deducir la dirección de la corriente I
~τ = ~µ × ~B = Il 2 B cos ϑ k̂
El equilibrio exige entonces
l
Mg sin ϑ k̂ − Il 2 B cos ϑ k̂ = 0
2
MAGNETOSTATICA
312
Luego, la corriente I debe ser
I=
Mg tan ϑ
2lB
Ejemplo 7.23 — Campo de una espira cuadrada. Una espira cuadrada de lado l está en
el plano xy con su centro en el origen. Transporta una corriente I.
a) Determine el campo magnético ~B en cualquier punto del eje z.
b) Demuestre que para z >> l el campo magnético se puede aproximar como
~
~B ≈ µ0 µ
2πz3
en donde ~µ = l 2 I k̂ es el momento magnético de la espira.
Solución
a) Una forma de resolver esto es mediante aplicación directa de la ley de Biot Savart
~B(~x) = µ0 I
4π
d~x0 × (~x −~x0 )
|~x −~x0 |3
Γ
I
donde Γ es la curva que representa la distribución de corriente. Ésta puede ser dividida en 4
segmentos rectilíneos
Las parametrizaciones son las siguientes
l
0
~x1 =
î + y jˆ → d~x10 = dy jˆ, y ∈ −l/2, l/2
2
l ˆ
= −xî + j → d~x20 = −dxî, x ∈ −l/2, l/2
2
l
0
~x3 = − î − y jˆ → d~x30 = −dy jˆ, y ∈ −l/2, l/2
2
~x20
7.7 Momento magnético
l ˆ
0
~x4 = xî − j → d~x40 = dxî, x ∈ −l/2, l/2
2
313
Entonces, si ~x = zk̂ es un punto sobre el eje z
l
d~x1 × (~x −~x1 ) = zdyî + dyk̂
2
l
d~x2 × (~x −~x2 ) = zdx jˆ + dxk̂
2
l
d~x3 × (~x −~x3 ) = −zdyî + dyk̂
2
l
d~x4 × (~x −~x4 ) = −zdx jˆ + dxk̂
2
Por último
1
1
1
=
=p
2
2
|~x −~x1 | |~x −~x3 |
z + y + (l/2)2
1
1
1
=
=p
2
2
|~x −~x2 | |~x −~x4 |
z + x + (l/2)2
Con esto el campo magnético en ~x será la siguiente superposición
)
(Z
Z l/2
l/2
ˆ + l/2dxk̂
µ
I
zdy
î
+
l/2dy
k̂
zdx
j
0
~B =
+
4π
−l/2 (z2 + y2 + (l/2)2 )3/2
−l/2 (z2 + x2 + (l/2)2 )3/2
)
(Z
Z l/2
l/2
µ0 I
−zdx jˆ + l/2dxk̂
−zdyî + l/2dyk̂
+
+
4π
−l/2 (z2 + y2 + (l/2)2 )3/2
−l/2 (z2 + y2 + (l/2)2 )3/2
De aquí se aprecia que las componentes según î y jˆ se anulan, obteniéndose
)
( Z
Z l/2
l/2
µ
I
l/2dx
k̂
l/2dy
k̂
0
~B =
2
+2
4π
−l/2 (z2 + y2 + (l/2)2 )3/2
−l/2 (z2 + x2 + (l/2)2 )3/2
~B = 4µ0 I
4π
Z l/2
l/2dyk̂
−l/2 (z2 + y2 + (l/2)2 )3/2
µ0 lI
=
2π
Z l/2
−l/2
dyk̂
(z2 + y2 + (l/2)2 )3/2
Utilizando
Z
dx x2 + a2
−3/2
=
a2
x
√
x2 + a2
se obtiene
l/2
y
~B = µ0 lI
2π (z2 + (l/2)2 ) (z2 + (l/2)2 + x2 )1/2 −l/2
MAGNETOSTATICA
314
Finalmente
2
k̂
~B = µ0 l I
2π (z2 + (l/2)2 ) (z2 + 2(l/2)2 )1/2
b) Si z >> l, el campo magnético es, a orden cero en l/z:
2
2
~
~B ≈ µ0 l I k̂ = µ0 l I k̂ = µ0 µ
2
3
2π z z
2πz
2πz3
Ejemplo 7.24 — Momento magnético del átomo de hidrógeno. En el modelo clásico
del átomo de hidrógeno, el electrón describe una órbita circular de radio a0 = 5.29 × 10−11 m en
torno al protón. Esto equivale a una corriente circular a la cual se le puede asociar un momento
magnético. Dicho en otras palabras, existe una relación entre el momento angular del electrón y
su momento magnético.
Por definición, el momento magnético del electrón será ~µ = ISk̂, donde el área de la órbita es
S = πa20 y la corriente está dada por I = −e/T . El período de la órbita es T = 2πa0 /v con v la
velocidad del electrón. Finalmente
~µ = −ev
a0
k̂
2
notando que el momento angular de electrón es ~L = a0 me vk̂, se obtiene
~µ = −
e ~
L = γe~L
2me
donde γe se conoce como razon giromagnética. La relación ~µ = γe~L es absolutamente general, y
asocia un momento magnético a todo momento angular del electrón. La velocidad del electrón
en su órbita está dada por el equilibrio de fuerzas e2 /(4πε0 a20 ) = me v2 /a0 , luego
s
v=
e2
= 2.2 × 106 m/s
4πε0 a0 me
y entonces
µ = ev
a0
= 9.3 ×−24 JT−1 = µB
2
Donde µB = 9.274 × 10−24 JT−1 se conoce como el magnetón de Bohr.
7.7 Momento magnético
315
Además del momento angular orbital ~L, el electrón posee un momento angular intrínseco ~S, que
no posee un equivalente clásico, llamado spin. En consecuencia, un electrón cuyo momento
angular orbital es nulo (~L = ~0), posee de todas formas un momento magnético ~µ = γe~S. La razón
giromagnética asociada al spin resulta ser γe = −ge e/2me , donde el factor ge ≈ 2 corresponde a
una corrección al resultado clásico.
Ejemplo 7.25 — El spin del electrón. La magnitud del momento angular de spin del electrón
es S = h̄/2, donde h̄ = h/(2π) y h = 6.626 × 10−34 Js es la constante de Planck. De esta forma,
la magnitud del momento magnético asociado al spin electrón es
µ=
ge eh̄
eh̄
≈
= µB
4me
2me
Es decir, igual al magnetón de Bohr. Se suele pensar el spin del electrón como una rotación
del electrón sobre si mismo. Sin embargo, la velocidad de rotación necesaria para generar
un momento orbital de magnitud h̄/2 tendría que ser más grande que la velocidad de la luz!.
Modelando al electrón como una esfera de radio re ∼ 10−15 m (ver radio clásico del electrón en
la sección 3.14) y carga −e en rotación a velocidad angular w, su momento angular será
2
h̄
L = me re2 w =
5
2
y la velocidad v = wre está dada entonces por:
v=
5h̄
≈ 1300 × 108 m/s
4me re
Es decir, unas 400 veces la velocidad de la luz!.
Ejemplo 7.26 — Precesión de Larmor. Hemos visto que en general, existe una estrecha
relación entre el momento angular ~L de una partícula (electrón, protón, un átomo) y su momento
magnético µ, en efecto:
~µ = γ~L
donde γ = −eg/(2m) es la razón giromagnética, y donde el factor de Landé g depende de la
partícula o átomo en cuestión. Utilizando el teorema del momento angular, se tiene:
~τ =
d~
L
dt
en la prescencia de un campo magnético ~B, el torque sobre el momento magnético está dado por:
1 d~µ
τ = ~µ × ~B =
γ dt
d~µ
= γ~µ × ~B
dt
esta ecuación indica que si se aplica en t = 0 un campo magnético fijo ~B = B0 k̂, el momento
magnético µ precesa entonces en torno al eje k̂ con una frecuencia angular independiente de la
orientación de µ, dada por
wL = −γB0
MAGNETOSTATICA
316
µ
~
llamada también frecuencia de Larmor. En efecto, dµz /dt = 0 ya que ~B · d~
dt = 0, y como | µ | es
constante, µ se desplaza con una velocidad angular wL sobre un cono de ángulo ϑ que existe en
t = 0 entre el campo aplicado y el momento magnético ~µ. En efecto:
µ̇x = −wL µy µ̇y = wL µx
De esta forma, cada isótopo posee una frecuencia de Larmor propia, lo que se utiliza por ejemplo
en la espectrostcopía de resonancia magnética nuclear.
7.8 Resumen y fórmulas escenciales
7.8
317
Resumen y fórmulas escenciales
• Las cargas eléctricas en movimiento generan un campo magnético ~B, el cual es un campo
vectorial definido sobre todo el espacio ~B : R3 → R3 . Existe una relación profunda entre
los campos eléctricos y magnéticos. En efecto, considerando un sistema de referencia S0 en
el cual una carga está en reposo, un observador verá únicamente un campo electrostático,
mientras que en cualquier otro sistema de referencia, un observador verá una carga en
movimiento, y entonces, un campo magnético. Electricidad y magnetismo son aspectos de
un mismo fenómeno.
• El campo magnético generado por una densidad de corriente J~ : R3 → R3 está dado por la
integral (Ecuación (7.10))
ZZZ
~ x0 ) × (~x −~x0 )
µ
J(~
0
~B(~x) =
d 3 x0
4π
|~x −~x0 |3
R3
• El campo generado por una corriente lineal definida por la curva Γ está dado por la ley de
Biot-Savart, que es un caso particular de (7.10):
Z
0
~B(~x) = µ0 I d~l(~x0 ) × (~x −~x )
4π Γ
|~x −~x0 |3
• Gracias a la distribución de Dirac, la densidad de corriente asociada a una carga puntual
q, de velocidad ~v y ubicada en ~x0 se puede escribir como una densidad de volumen
~ x) = q~vδ (~x −~x0 ). De esta forma, se obtiene el campo magnético de una carga puntual:
J(~
ZZZ
q~vδ (x − x0 ) × (~x −~x0 )
µ0
(~x −~x0 )
~B(~x) = µ0
d 3 x0
=
q~v ×
0
3
3
4π
|~x −~x |
4π
|~x −~x0 |3
R
• La fuerza que experimenta una carga q en prescencia de un campo magnético ~B es
~Fq = q~v × ~B
Esta fuerza es responsable de una gran variedad de fenómenos. Una carga libre en un
campo magnético uniforme y perpendicular a la velocidad de las carga, describe una
qB
trayectoria circular de radio R = mv
qB y de frecuencia w = v/R = m . En un medio conductor
por el cual pasa una corriente I, la aplicación de un campo magnético B perpendicular a
la corriente genera una tensión transversal a la corriente, llamada tensión de Hall y dada
BI
por VH = − qnb
, donde b es el espesor del conductor. El efecto Hall puede ser utilizado
para medir campos magnéticos, al aplicar una corriente a través de un conductor cuya
conductividad es conocida, y al medir VH , es posible determinar B.
• A una corriente cerrada I se le puede asociar un momento magnético µ. Si la corriente
está descrita por una curva plana que encierra una superficie A de normal n̂, se tiene
~µ = IAn̂
Existe una relación fundamental entre el momento angular de una partícula y su momento
magnético, ~µ = γ~L. Un electrón posee un momento magnético intrínseco asociado a su
spin S = h̄/2, que corresponde a un momento angular sin equivalente clásico, y que está
dado por
µB =
eh̄
= 9.3 × 10−24 J/T
2me