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Física 2º Bach.
Campo eléctrico
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
19/02/10
Nombre:
Problemas
[3 PUNTOS /UNO]
1. Dos conductores esféricos concéntricos huecos, de radios 6,00 y 10,0 cm, están cargados con -4,00 nC y
6,00 nC respectivamente. Calcula:
a) Los valores de la intensidad de campo electrostático en los puntos que distan del centro de las esferas
4,00; 8,00 y 12,0 cm.
b) El potencial eléctrico en esos mismos puntos.
Solución
2. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el centro M de la base de un triángulo
equilátero de 60,0 cm de lado, con la distribución de cargas puntuales de la figura.
b) El trabajo de la fuerza necesaria para mover una carga de -5,00 pC desde el
punto M hasta el centro del triángulo sin variación de energía cinética.
(Cargas con 3 cifras significativas.)
Solución
1 nC
DATOS: K = 1/(4πε0) = 9,00×109 N·m2·C-2
1 nC
Cuestiones
[2 PUNTOS/UNA]
M
-2 nC
1. Demuestra que el campo electrostático creado por un plano infinito con una distribución uniforme de carga en un punto a una distancia r del plano: (sólo la correcta)
a) es nulo
b) es constante
c) disminuye con la distancia al plano
d) disminuye con el cuadrado de la distancia al plano.
Solución
2. La ley de Coulomb y la ley de Newton de la gravitación universal:
a) son iguales
b) sólo se diferencian en los valores de las constantes y en que una se aplica a cargas y la otra a masas
c) sólo se parecen en que su alcance es infinito y la dirección de la fuerza es la linea entre los objetos
d) ninguna de las opciones anteriores es totalmente correcta.
Solución
Soluciones
Problemas
1. Dos conductores esféricos concéntricos huecos, de radios 6,00 y 10,0 cm, están cargados con -4,00 nC y
6,00 nC respectivamente. Calcula:
a) Los valores de la intensidad de campo electrostático en los puntos que distan del centro de las esferas
4,00; 8,00 y 12,0 cm.
b) El potencial eléctrico en esos mismos puntos.
Examen
Probl.1
Probl.2
Cuest.1
Cuest.2
Rta.: a) E4 = 0; E8 = 5,63×103 N/C; E12 = 1,25×103 N/C; b) V4 = -60 V; V4 = 90 V; V4 = 150 V
Solución:
a) Por el principio de superposición, la intensidad del campo electrostático en un punto sometido a la influencia de varias cargas, es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas en ese punto independientes de las otras cargas.
6 nC
-4 nC
E = Ei + Ee
a
El campo eléctrico en el interior de una esfera conductora hueca es nulo,
ya que toda la carga está en la superficie de la esfera.
El campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora hueca tiene
dirección radial y vale lo mismo que si toda la carga estuviese concentrada en el centro de la esfera.
b
c
a.1) Un punto que diste 4,00 cm está en el interior de ambas esferas, por lo que el campo creado en ese punto por cada una de ellas es nulo y también lo es el campo resultante.
E4 = E4i + E4e = 0 + 0 = 0
a.2) El punto a 8 cm del centro, está dentro de la esfera exterior pero fuera de la esfera interior. Tomando
que el punto está en el eje X
⃗ 8 =E
⃗ 8 i + ⃗
E
E8e =K
Qi
−9
−4×10 ⃗
⃗i +⃗
0 =9,00×109 ·
i =−5,63×103 ⃗i N/C
2
r
0,080 2
el vector campo está en la dirección del radio y dirigido hacia el centro de la esfera
a.3) El punto a 12 cm del centro, está fuera de ambas esferas.
⃗ 12= ⃗
⃗ 12 e=K
E
E12 i + E
Qi
r 2i
⃗i +K
Qe
−9
−9
⃗i =9,00×109 · −4,00×10 ⃗i +9,00×109 · 6,00×10 ⃗i =1,25×103 ⃗i N/C
2
re
0,120 2
0,1202
b) El potencial eléctrico en un punto interior de una esfera hueca de radio R y carga Q es constante, y vale lo
mismo que en su superficie:
V i =K
Q
R
El potencial eléctrico de una esfera conductora hueca de radio R y carga Q en un punto exterior que dista r
del centro de la esfera vale lo mismo que si toda la carga estuviese concentrada en el centro de la esfera.
V e =K
Q
r
El potencial en un punto debido a varias carga es la suma algebraica de los potenciales creados por cada una
de las cargas en ese punto, sin influir la presencia de las otras cargas.
b.1) El potencial creado por cada esfera en el punto interior vale lo mismo que en la superficie de cada esfera, por lo que el potencial a 4,00 cm vale
V 4 =9,00×109 [ N · m 2 ·C−2 ]
−4,00×10−9 [C]
6,00×10−9 [ C]
+9,00×109 [ N · m 2 ·C−2 ]
=−600[ V]+540[ V]=−60 V
0,0600[ m]
0,100 [ m]
b.2) El punto a 8,00 cm está fuera de la esfera interior y dentro de la esfera exterior.
V 8 =9,00×109 [ N· m 2 · C−2 ]
−4,00×10−9 [C]
6,00×10−9 [C]
+9,00×109 [ N· m 2 · C−2 ]
=−450[ V]+540[ V]=90 V
0,0800 [m ]
0,100[ m ]
b.3) Ahora el punto se encuentra fuera de ambas esferas.
−4,00×10−9 [C]
6,00×10−9 [ C]
V 12=9,00×109 [ N · m 2 · C−2 ]
+9,00×109 [ N · m 2 ·C−2 ]
=−300[ V]+450[ V]=150 V
0,120 [m ]
0,120[ m]
1 nC
2. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el centro M de la base de un triángulo equilátero de 60,0 cm de lado, con la distribución de cargas puntuales de la figura.
b) El trabajo de la fuerza necesaria para mover una carga de -5,00 pC desde el punto M hasta el centro del triángulo sin variación de energía cinética.
(Cargas con 3 cifras significativas.)
DATOS: K = 1/(4πε0) = 9,00×109 N·m2·C-2
1 nC
Examen
Probl.1
Probl.2
Cuest.1
Cuest.2
Rta.: a) EM = 300 i – 33,3 j N·C-1 b) WEXT (M→N) = –6,34×10-11 J
M
-2 nC
Solución:
C
a) La intensidad de campo eléctrico en un punto debido a una distribución de cargas puntuales se calcula por el principio de superposición.
E = ∑Ei
La intensidad de campo eléctrico en un punto a una distancia r de
una carga puntual Q viene dado por la expresión:
M
A
EA
EC
= K Q 
E
ur
r2
EB
B
EM
Se dibuja el vector intensidad de campo eléctrico en el punto GMdebido a cada una de las cargas y el vector
intensidad de campo eléctrico resultante.
Se calculan primero las distancias entre los puntos:
rAM = rBM = 0,300 m
r CM= √(0,600[ m]) −(0,300 [ m]) =√ 0,270 [m ]=0,520 m
2
2
2
Se calcula la intensidad de campo eléctrico en el punto M debido a cada una de las cargas:
⃗ A→ M =K
E
QA
r 2AM
ur =9,00×109 [ N·m2 · C−2 ]
⃗
1,00×10−9 [C] ⃗
i
(0,300[ m])2
EA→M = 100 i N·C-1
Por simetría
EB→M = 200 i N·C-1
⃗ C → M =K
E
QA
r 2CM
ur =9,00×10 9 [ N·m2 · C−2 ]
⃗
1,00×10−9 [C] ⃗
i
(0,520 [m ])2
EC→M = –33,3 j N·C-1
El campo resultante en el punto M vale:
EM = EA→M + EB→M + EC→M = 300 i – 33,3 j N·C-1
b) El trabajo de la fuerza eléctrica (conservativa) cuando se traslada una carga q entre dos puntos A y B es
igual a la variación de energía potencial cambiada de signo:
WA→B = q (VA – VB)
El potencial eléctrico VA en un punto A a una distancia r de una carga Q es:
VA = K Q / r
Se calcula el potencial eléctrico en los puntos inicial (M) y final (N) debidos a las cargas.
V M =V A →M +V B → M+V C → M=K
9
2
−2
(
V M =9,00×10 [ N· m · C ]
QA
Q
Q
+K B +K C
r AM
r BM
r CM
)
1,00×10−9 C −2,00×10−9 C 1,00×10−9 C
+
+
=−12,7 V
0,300[ m ]
0,300[ m ]
0,520 [m ]
El punto N se encuentra en el centro del triángulo. La distancia d del punto N a cualquier
vértice es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto contiguo al ángulo de 30º
mide 0,300 m:
cos 30=
d=
9
2
0,300
d
N
d
30
0,300
=0,346 m
cos 30
−2
(
V N =9,00×10 [ N· m · C ]
M
)
1,00×10−9 C −2,00×10−9 C 1,00×10−9 C
+
+
=0 V
0,346[ m]
0,346[ m ]
0,346 [m ]
El trabajo de la fuerza del campo eléctrico es:
WCAMPO(M→N) = q (VM – VN) = -5,00×10-12 [C] (–12,7 – 0) [V] = 6,34×10-11 J
El trabajo de la fuerza exterior para que la carga se desplace sin variación de energía cinética:
WEXT (M→N) = –WCAMPO(M→N) = –6,34×10-11 J
Cuestiones
1. Demuestra que el campo electrostático creado por un plano infinito con una distribución uniforme de carga en un punto a una distancia r del plano: (sólo la correcta)
a) nulo
b) constante
c) disminuye con la distancia al plano
d) disminuye con el cuadrado de la distancia al plano.
Examen
Probl.1
Probl.2
Cuest.1
Cuest.2
Solución:
El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga encerrada por dicha superficie dividido entre ε0.
=∯ 
E ·d 
S=
Q ENCERRADA
0
Se dibuja un fragmento del plano infinito y el punto P donde se va a determinar el vector intensidad de campo eléctrico.
E
1. A partir de la simetría de la distribución de carga en el plano, se ve
que la dirección del campo eléctrico en el punto P es perpendicular al
plano.
d
S
P
+
2. Se toma como superficie cerrada, un cilindro de radio arbitrario con
una de sus bases que pase por el punto P y la otra colocada simétricamente con respecto al plano.
+
+
3. Se calcula el flujo a través de la superficie cerrada del cilindro, sumando las contribuciones de cada parte:
- Flujo a través de cada una de las bases del cilindro: el campo E y el
vector superficie S son paralelos, por lo que:
+
+
+
+
S
+
+
+
+
+
+
+
+
S
E
E · dS = │E│·│dS│ = E · dS
El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la base:

 SB
 B =∬ 
E· d 
S=∬∣E∣·d
S =∣E∣·
para cada una de las bases.
- Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es perpendicular al vector superficie dS superficie lateral, por lo que el producto escalar es nulo:
E · dS = 0
y el flujo a través de la superficie lateral es nulo.
- El flujo total es:
Φ = 2 │E│S
4. La carga que hay en el interior de la superficie cerrada es la que hay en una superficie S del plano igual al
area de las bases. Si hay una densidad de carga σ = Q / S constante,
QENCERRADA = σ · S
5. Aplicando el teorema de Gauss
Φ = QENCERRADA / ε0
igualando al flujo obtenido antes y despejando el módulo del campo eléctrico
│E│= σ / (2 ε0)
que es independiente de la distancia d del punto al plano.
2. La ley de Coulomb y la ley de Newton de la gravitación universal:
a) son iguales
b) sólo se diferencian en los valores de las constantes y en que una se aplica a cargas y la otra a masas
c) sólo se parecen en que su alcance es infinito y la dirección de la fuerza es la linea entre los objetos
d) ninguna de las opciones anteriores es totalmente correcta.
Examen
Probl.1
Probl.2
Cuest.1
Cuest.2
Solución:
ANALOGÍAS
•
Las fuerzas están dirigidas en la línea que une los cuerpos.
•
Son conservativas.
•
Son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.
•
Tienen alcance infinito.
•
La expresión matemática es muy parecida.
DIFERENCIAS
•
La fuerza gravitatoria es universal: actúa sobre todos los cuerpos. La eléctrica sólo actúa sobre cuerpos con carga eléctrica.
•
La fuerza gravitatoria es siempre de atracción, mientras que la eléctrica puede ser de atracción (cargas de diferente signo) o de repulsión (cargas de igual signo).
•
La constante eléctrica es muchísimo mayor que la constante gravitatoria G. por lo que la fuerza gravitatoria es muy débil comparada con la eléctrica.
•
La fuerza eléctrica puede apantallarse y depende del material en el que se encuentren inmersas las
cargas, mientras que la gravitatoria no.