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Se sabe que el campo eléctrico de un anillo cargado
uniformemente, con carga Q, a una distancia x de su centro, a
lo largo de un eje perpendicular a su plano es:
E ( x) =
(x
K 0Q
2
+R
)
2 32
(ver: Física, tomo II, Serway, p. 725).
Derivando con respecto a x, e igualando a cero, obtenemos un
máximo (o un mínimo).
⎡ ( x 2 + R 2 )3 2 − x ⋅ 3 2 ( x 2 + R 2 )1 2 ⋅ 2 x ⎤
dE
⎥
= K 0Q ⎢
32
2
2
⎢
⎥
dx
x
+
R
(
)
⎣
⎦
KQ
= 2 0 2 ⎡⎣ R 2 − 2 x 2 ⎤⎦ = 0
(x + R )
KQ
pero como 2 0 2 ≠ 0
(x + R )
Entonces:
R2 − 2 x2 = 0
R
∴ x=
2
Mediante la segunda derivada se determina si este valor
corresponde a un mínimo o un máximo de E.
⎡ ( x 2 + R 2 ) ⋅ ( −4 x ) − ( R 2 − 2 x 2 ) ⋅ ( 2 x ) ⎤
d 2E
⎥
= K 0Q ⎢
4
2
2
2
⎢
⎥
dx
x
+
R
(
)
⎣
⎦
−6 K 0QR 2 x
=
4
2
2
x
+
R
(
)
Evaluando en x =
−6 K 0QR
2
d E
=
2
dx
R
2
3
⎛R
⎞
2⎜
+ R2 ⎟
⎝ 2
⎠
2
2
Al ser menor que cero
tenemos que se trata de un
máximo.
<0
Finalmente, evaluando E en
R
2
Q
R 2
⎛ R ⎞
E⎜
=
⋅
⎟
32
⎝ 2 ⎠ 4πε 0 ( R 2 2 + R 2 )
Emáx =
(6
Q
3πε 0 R 2
)