Download Triángulo dentro del círculo

Triángulo dentro del círculo
Se tiene un triángulo equilátero inscripto en un círculo de radio r . Como muestra
la figura.
¿Qué área tiene dicho triángulo?
A continuación hacemos un gráfico donde dibujamos el punto medio de la
circunferencia, al que llamamos C. Y además dibujamos el triángulo que queda
formado entre 2 de los puntos del triángulo original y el punto medio de la
circunferencia.

Lo que habría que explicar es cómo nos damos cuenta que el ángulo A CB mide
120°. La razón es sencilla. Para dibujar un triángulo equilátero inscripto en una
circunferencia, hay que ir girando la misma cantidad de grados cada vez que
uno va a dibujar el punto correspondiente a dicho triángulo. Como a la tercera
vez tengo que dar toda la vuelta, giramos 120° cada vez. Los otros 2 ángulos
son iguales ya que obviamente el triángulo ABC es isósceles ya que los lados
AC y BC miden r (igual al radio de la circunferencia)
Si llamamos L a la longitud de los lados del triángulo rectángulo. Podemos,
viendo el siguiente dibujo plantear una ecuación usando la función coseno.

L
2
r
0,8660  2  r 
L
Cos(30  )
Y la altura del triángulo la podemos calcular como h1  r
Pero para medir h1 basta plantear lo siguiente:
h1
Seno(30) 
L
2
1
L
4

h1
Entonces, la altura del triángulo rectángulo se calcula como
h1  r

1
Lr
4

1
0,8660  2  r   r
4
1,4330  r

Entonces, al calcular el área del triángulo nos da aproximadamente:
0,8660  2  r  1,4330  r
 1,240978  r 2
2