Download Cálculo del potencial y el campo electrico de un casquete semi

Física III Semestre de Otoño 2005
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Ejemplo 8
Problema 3.
Consideremos una onda monocromática plana que se propaga en el vacío a lo
largo del eje x y que viene descrita por el campo eléctrico en la forma:
E ( x, t )  E0 y sin(kx  t ) ˆj  E0 z cos(kx  t ) kˆ
a) Hallar el campo magnético B ( x, t )
b) Calcule el ángulo que hacen entre sí los campos E ( x, t ) y B ( x, t ) y el
ángulo que hace cada campo con la dirección de propagación iˆ
c) Exprese el campo magnético en función del campo eléctrico
d) Hallar la relación entre las magnitudes de los campos eléctrico
magnético
E0 y
B0
e) Calcule la densidad de energía electromagnética
w definida por
1
BB 
w  0E  E 

2
0 
f) Calcule el vector de Poynting
S definido por S 
1
0
( E  B)
g) Encuentre la relación entre el vector de Poynting S y la densidad de
energía electromagnética w
h) Calcule la Intensidad o Irradiancia I de la onda electromagnética,
definida como el promedio temporal del módulo del vector de Poynting
I S 
1
0
EB
i) Calcule el promedio temporal
w w
electromagnética definido por w  w 
de la densidad de energía
1
BB
0E  E 
2
0
j) Encuentre la relación entre la Irradiancia o intensidad de la onda y el
promedio temporal de la densidad de energía electromagnética w
Metodología: Usaremos las ecuaciones de Maxwell en una región sin cargas,
 0, y
donde no hay materiales conductores presentes, g  0 , es decir, la densidad de
corriente es cero: J  gE  0
Para este caso específico, las ecuaciones de Maxwell vienen dadas por:
  E  0,   E  
B
t
  B  0,   B   0 0
E
t
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Ejemplo 8
En este ejemplo, los campos eléctrico y magnético están polarizados elípticamente, ya
que al avanzar la onda en la dirección iˆ , la punta del vector campo eléctrico (y
también la del campo magnético) va girando describiendo una órbita elíptica, como se
puede ver si escribimos el campo eléctrico en componentes:
E y  E0 y sin(kx  t )
Ez  E0 z cos(kx  t )
Estas expresiones pueden ser re escritas en la siguiente forma:
Ey
E0 y
 sin(kx  t )
Ez
 cos(kx  t )
E0 z
Elevando al cuadrado y sumando, tenemos la siguiente ecuación de trayectoria
elíptica:
 Ey

 E0 y
2
  Ez 
  
 1
E
0
z



2
Gráficamente, mientras la onda avanza, la punta del vector campo eléctrico (en azul)
describe una elipse que va girando a la izquierda al variar   kx  t . En la figura se
muestran tres campos eléctricos
E1 , E2 , E3 , correspondientes a tres posiciones
consecutivas. El campo magnético siempre es perpendicular al campo eléctrico (en
rojo)
Ey
y
E3
E3
E2
E1
Ez
E2
B3
B2
B1
x
B1
E1
z
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Ejemplo 8
Solución:
a) Dado que conocemos el campo eléctrico E ( x, t ) , podemos obtener el campo
B( x, t ) usando la ecuación de Maxwell   E  
B
.
t
Primero calculamos el rotor del campo eléctrico y luego integramos
parcialmente en el tiempo para obtener el campo magnético, es decir,
B      E t .
Calculemos el rotor, sabiendo que:
Ex  0 , E y  E0 y sin(kx  t ) , Ez  E0 z cos(kx  t )
 E 
iˆ
ˆj

x
Ex

y
Ey
kˆ
iˆ



z
x
Ez
0
kˆ
ˆj


y
z
E0 y sin(kx  t ) E0 z cos(kx  t )
Derivando, se obtiene:
 E  ˆj kE0 z sin(kx  t )  kˆ kE0 y cos(kx  t )

Reemplazando en la integral B     E t , obtenemos


B     E t    ˆj kE0 z sin(kx  t )  kˆ kE0 y cos(kx  t ) t
Ahora calculamos las integrales parciales respecto a
1
t:
1
 sin(kx  t )t     sin(kx  t )  t    cos(kx  t )
1
1
 cos(kx  t )t     cos(kx  t )  t     sin(kx  t )
Por lo tanto, el campo magnético viene dado por:
B ( x, t ) 
k
k

 E
0z
cos(kx  t ) ˆj  E0 y sin(kx  t ) kˆ

  0 0
1
  0 0 

c
m
, donde c  3  10   es la velocidad de la luz

s
en el vacío. Finalmente escribimos
Pero

B ( x, t ) 

1
 E0 z cos(kx  t ) ˆj  E0 y sin(kx  t ) kˆ
c
8

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Ejemplo 8
Gráficamente, en forma esquemática lo que ocurre es lo siguiente:
Otro esquema gráfico donde se muestra la longitud de onda
relaciona con la velocidad de propagación c en la forma:
,
la cual se
  c
donde  es la frecuencia de la onda. Recordemos además que el número
angular de onda o módulo del vector de propagación viene dado por:
k
2

y que la frecuencia angular se relaciona con la frecuencia a través de:
  2 .
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Ejemplo 8
b) Para calcular los ángulos entre los vectores, realizaremos varios productos
punto. Para facilitar la escritura usaremos la siguiente sustitución:   kx  t

 
1
E  B  E0 y sin  ˆj  E0 z cos  kˆ   E0 z cos  ˆj  E0 y sin  kˆ
c
1
E  B    E0 y E0 z sin  cos   E0 y E0 z sin  cos    0
c

Es decir:
E ( x, t )  B ( x, t )  0
Dado que el producto punto entre los campos es cero, para todo valor de x y
para todo valor de t , podemos asegurar que los campos eléctrico y magnético
siempre son ortogonales entre sí cuando se mueven en el espacio y en el
tiempo.
Veamos ahora los productos punto entre los campos y la dirección de
propagación

iˆ :

E  iˆ  E0 y sin  ˆj  E0 z cos  kˆ  iˆ  0


1
B  iˆ   E0 z cos  ˆj  E0 y sin  kˆ  iˆ  0
c
Dado que los productos punto son cero, E  iˆ  0, B  iˆ  0 , se confirma que los
campos eléctrico y magnético son perpendiculares a la dirección de propagación
iˆ y que los tres forman una triada ordenada.
c) Para expresar el campo magnético en función del campo eléctrico, basta
comparar las dos expresiones de los campos:
E ( x, t )  E0 y sin  ˆj  E0 z cos  kˆ
y


1
 E0 z cos  ˆj  E0 y sin  kˆ
c
Podemos demostrar que el campo magnético se puede escribir en la siguiente forma:
iˆ
B( x, t )   E ( x, t )
c
B ( x, t ) 
Para demostrarlo, basta con realizar el producto cruz de la derecha:
iˆ
iˆ
 E ( x, t )    E0 y sin  ˆj  E0 z cos  kˆ 

c
c 
E0 y
E
iˆ
 E ( x, t ) 
sin  iˆ  ˆj  0 z cos  iˆ  kˆ
c
c
c
finalmente obtenemos:
E0 y
E
iˆ
 E ( x, t )   0 z cos  ˆj 
sin  kˆ
c
c
c
resultado que coincide con la expresión del campo magnético.
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Ejemplo 8
Queda así demostrado que
iˆ
B( x, t )   E ( x, t )
c
donde el vector unitario iˆ representa un vector en la dirección de propagación
de la onda, el eje x en este ejemplo.
d) Calculemos ahora los módulos
E0 y B0 de cada campo y la relación que
existe entre ellos.
Módulo del campo eléctrico:
E  E0  E  E  E0 y sin  ˆj  E0 z cos  kˆ
E0  E02y sin 2   E02z cos 2 
Nótese que el módulo del campo varía al variar
  kx  t ,
como debe ser, ya
que el campo está polarizado elípticamente.
Módulo del campo magnético:
B  B0  B  B 
B0 
1
 E0 z cos  ˆj  E0 y sin  kˆ
c
1
E02y sin 2   E02z cos 2 
c
Comparando las dos expresiones, vemos que entre los módulos existe la
siguiente relación:
B0 
E0
c
Lo cual implica que la magnitud del campo magnético
comparada con la magnitud del campo eléctrico
B0 es muy pequeña
E0 .
e) Calculemos la densidad de energía electromagnética
w definida por
1
BB 
w  0E  E 

2
0 
En el punto d) calculamos E  E
y obtuvimos:
E  E  E  E sin   E cos 
2
0
2
0y
2
2
0z
2
también calculamos B  B
y obtuvimos:
B  B  B    0 0   E sin   E02z cos 2  
2
0
2
0y
2
Reemplazando estos resultados en la expresión de la densidad de energía
electromagnética, obtenemos:
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Ejemplo 8
 0 0  E02y sin 2   E02z cos2   
1
2
2
2
2

w    0  E0 y sin   E0 z cos   

2
0


luego,
w   0  E02y sin 2   E02z cos 2  
O en función del módulo del campo eléctrico

w  0 E  E

Explícitamente
w   0  E02y sin 2  kx  t   E02z cos 2  kx  t  
f)
Calculemos el vector de Poynting
S
1
EB 
0
1
0
E
0y
S definido por S 
1
0
( E  B)
 
1
sin  ˆj  E0 z cos  kˆ   E0 z cos  ˆj  E0 y sin  kˆ
c

Usando la forma del determinante del producto cruz, podemos escribir:
iˆ
1
0 E0 y sin 
c
0  E0 z cos 
EB 
kˆ
ˆj
E0 z cos 
E0 y sin 
Obtenemos un vector en la dirección de propagación de la onda
EB 
S
Pero
S
1
0
iˆ :
1 2
E0 y sin 2   E02z cos 2   iˆ

c
( E  B) 
1
E02y sin 2   E02z cos 2   iˆ

0 c
 
0
1
 0 0 
, luego
0 c
0
0
1
0
( E  B) 
0 2
 E sin 2   E02z cos2   iˆ
0 0 y
Explícitamente nos queda:
S
0 2
E0 y sin 2  kx  t   E02z cos2  kx  t   iˆ

0
Veamos otra forma de calcular el vector de Poynting, usando la relación entre
iˆ
E y B encontrada en el punto c): B   E
c
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Ejemplo 8
S
1
0
( E  B) 
 iˆ

E   E 
0
c

1
Usando la identidad vectorial:




a  b  c  b  a  c   c a  b , obtenemos:
 iˆ
 1 ˆ
i E  E  E E  iˆ 
E   E  


0
c

c
0


Pero E  iˆ  0 (como vimos en punto b)), pues son perpendiculares, luego se tiene
una expresión general en función del módulo cuadrado del campo eléctrico:
0
S
E  E iˆ
0
S

1

 


Donde hemos usado la relación:

1
 0 . Pero en el punto d) obtuvimos el
0 c
0
módulo del campo eléctrico:
E  E  E02  E02y sin 2   E02z cos2 
Reemplazando obtenemos
S
0

E  E  iˆ  0  E02y sin 2   E02z cos2   iˆ

0
0
Expresión idéntica a la obtenida más arriba por otro método. Explícitamente nos
queda:
S
0 2
E0 y sin 2  kx  t   E02z cos2  kx  t   iˆ

0
Nótese que el vector de Poynting es una función altamente variable en el espacio y
en el tiempo y que apunta en la dirección de propagación.
g) Encontremos la relación entre el vector de Poynting
energía electromagnética w
Usemos los resultados obtenidos:
S
S y la densidad de
0

E  E  iˆ  0  E02y sin 2   E02z cos2   iˆ

0
0


w   0 E  E   0  E02y sin 2   E02z cos2  
Reemplazando
w en S obtenemos
0  w  ˆ
1
S
wiˆ
 i 
0   0 
 0 0
Usando el valor de la velocidad de la luz en el vacío c , nos queda:
S  cwiˆ
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Ejemplo 8
Es decir, el vector de Poynting transporta densidad de energía a la velocidad de la
luz en la dirección de propagación de la onda.
h) Calculemos la Intensidad o Irradiancia I de la onda electromagnética,
definida como el promedio temporal en un periodo del módulo del
vector de Poynting I  S

1
0
EB
Usemos la última forma general del vector de Poynting
S
0
 E  E  iˆ
0
tomemos su módulo:
S S 
0
E  E
0
explícitamente
S
0 2
 E sin 2  kx  t   E02z cos2  kx  t 
0 0 y
Tomemos ahora los promedios temporales para tener una magnitud medible, dado
que el campo es altamente variable en el tiempo:
I S  S 
0
EE
0
Explícitamente:
I S 
0 2
E0 y sin 2  kx  t   E02z cos2  kx  t 
0


Donde los paréntesis ... indican el promedio temporal:
sin 2  kx  t  
1 T 2
sin  kx  t  t
T 0
cos 2  kx  t  
1 T
cos 2  kx  t  t

0
T
y
donde el periodo T viene dado por T 
sin 2  kx  t  

2

T
sin 2  kx  t  
1
2

T
0
0
2

  
sin 2  kx  t  
 t
  
sin 2  kx  t  t 
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Ejemplo 8
1  t 1
1 2 1

sin  kx  t  
 sin(2t )  


2  2 4
 0 2 2 2
1
sin 2  kx  t  
2
del mismo modo:
1
cos 2  kx  t  
2
Entonces la Irradiancia o Intensidad de la onda I viene dada por:
T
2
I S 
i)
1 0
E02y  E02z 

2 0
Calculemos el promedio temporal
w w
electromagnética.
Consideremos el promedio temporal de
w
de la densidad de energía
w  w  0 E  E

w  w   0 E02y sin 2  kx  t   E02z cos2  kx  t 

Pero ya conocemos el valor de los promedios de las funciones armónicas, por lo
tanto, obtenemos
1
w   0  E02y  E02z 
2
j)
Encontremos la relación entre la Irradiancia o intensidad de la onda y el
promedio temporal de la densidad de energía electromagnética w
Tomemos promedio temporal al módulo de la última relación encontrada,
S  cwiˆ , es decir,
S c w
Pero S  I es la Irradiancia o Intensidad de la onda, luego la relación es:
I  cw
Cuando la onda avanza en la dirección de propagación, el eje
x en este
ejemplo, el campo eléctrico E ( x, t ) y el campo magnético B ( x, t ) van rotando,
pero siempre se mantienen perpendiculares entre sí y además cada uno de ellos
es perpendicular a la dirección de propagación.
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