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LICENCIATURA EN AUDIOVISIÓN
Ing. Jorge Petrosino
Parte 1 - Números y operaciones algebraicas
Operaciones que son leyes de composición interna
Los matemáticos han ido asignando importancia a través del tiempo a ciertos tipos de
relaciones entre las operaciones (por ejemplo, la suma) y los elementos sobre los que se
realizan esas operaciones (conjuntos de números).
Así, existe una característica a la que le han prestado mucha atención y que se denomina
“ley de composición interna”. Se dice que una operación (como la suma) es una ley de
composición interna en relación con un conjunto predeterminado de números, cuando se
verifica que al aplicar la operación entre los números de ese conjunto, el resultado también
pertenece al conjunto.
Los números naturales
Para aclarar esto podemos ver un ejemplo con la suma y los números naturales. Los
números naturales son aquellos que sirven para contar cosas (son los números enteros
positivos). Son ejemplos de números naturales el 5, el 2003, y el 7473. Los números
naturales son infinitos. Sin embargo existen números que no pertenecen al conjunto de los
números naturales, como por ejemplo el –4, el 3.23, el –188.89, entre infinitos más.
Volviendo al punto central, es posible notar que la suma es una ley de composición interna
para el conjunto de los números naturales. Esto quiere decir que si sumamos dos números
naturales cualesquiera, el resultado será necesariamente otro número natural.
Pero, ¿no sucede así con todas las operaciones?
Puede mostrarse fácilmente que no es así. Si probamos con la resta, veremos que es posible
encontrar pares de números naturales tales que si se resta uno de otro el resultado no es un
número natural.
Para resolver i
Sugiero al lector que intente pensar un ejemplo de dos números naturales que, al ser
restados, den por resultado un tercer número que no pertenece a los naturales. (En las notas
al final de cada apunte pueden hallarse las soluciones).
Para el caso de los números naturales y de las operaciones de suma y resta, se trata de una
cuestión que puede parecer de poca importancia. Sin embargo hay que prestarle atención
porque permite entender lo que sucede luego con otras operaciones más complicadas y con
otros conjuntos de números.
Los números enteros
Los matemáticos intentaron resolver la cuestión de si existía un conjunto de números para el
cual la suma y la resta fueran leyes de composición interna. El nuevo conjunto definido
para lograr este propósito es el conjunto de los números enteros. Estos son los números
que no tienen parte decimal o fraccionaria, pero incluyen tanto a los números positivos, como
a los negativos y el cero. Son ejemplos de números enteros el 5, el 2003, el –5, y el –921,
entre infinitos más.
Todo número natural es un número entero, pero puede verificarse que lo contrario no es
cierto. Esto es, existen números enteros que no son números naturales (cualquier número
entero negativo cumple esta condición).
Sigamos entonces con el mismo juego.
Números y operaciones algebraicas – 2005 – pág. 2
Para resolver ii
¿Es la multiplicación una ley de composición interna para el conjunto de los números
naturales? ¿Es la multiplicación una ley de composición interna para el conjunto de los
números enteros?
¿Y que pasará con la división?
Para resolver iii
¿Es la división una ley de composición interna para el conjunto de los números naturales?
¿Es la división una ley de composición interna para el conjunto de los números enteros?
Los números racionales
Los matemáticos se preguntaron entonces si habría algún conjunto de números para el cual
la suma, la resta, la multiplicación y la división fueran leyes de composición interna. Así
llegaron a definir el conjunto de los números que hoy se llaman números racionales.
Los números racionales son los números que pueden definirse como la razón (esto es, la
división) entre dos números enteros cualesquiera. Así 3/2 (que puede leerse como 3 medios
o como 3 dividido 2). Son las conocidas fracciones estudiadas en la escuela a lo largo de
muchos años de tortura. Los números enteros son números racionales ya que pueden
expresarse como una división (así el número 4 es equivalente a 4/1).
Bueno, llegados hasta aquí estamos a la altura de lo que en la historia de la matemática
corresponde a la época previa a Pitágoras (2500 años atrás). En esa época los matemáticos
pensaban que ya conocían todos los tipos de números necesarios para realizar cualquier tipo
de operación que pareciera necesaria y útil. Pero la cosa se complicó.
El tema es que se les ocurrió extender las operaciones, creando una operación que se llama
potenciación, y que en un principio no era más que una multiplicación repetida. Así, si alguien
quería expresar el cálculo de multiplicar cinco veces el número dos (2x2x2x2x2), podía en
realidad anotar esto como 25 (dos elevado a la quinta). Si quería indicar la multiplicación del
número 30 por sí mismo veinticinco veces, escribía simplemente 3025.
¿Para qué servía esta operación? En principio servía para ciertos cálculos de volúmenes y
superficies, útiles para la construcción edilicia y para la determinación de áreas de terrenos,
entre otras cosas. Si bien para estos cálculos prácticos alcanzaban las potencias de dos y de
tres, parecía muy razonable incluir una nueva operación matemática llamada potenciación,
que sirviera para elevar un valor a cualquier potencia, al listado de las ya conocidas.
Para resolver iv
¿Es la potenciación una ley de composición interna para algunos de los conjuntos de
números que hemos definido antes (naturales, enteros y/o racionales)?
El tema es que para cada operación que se había definido previamente existía la operación
inversa (que corresponde a algo parecido a la posibilidad de deshacer el último cálculo).
Así, la resta es la operación inversa de la suma: Si 3+2=5, entonces 5-2=3, y también 5-3=2.
La división es la operación inversa de la multiplicación: Si 3x2=6, entonces 6/2=3, y también
6/3=2.
Pues bien, ¿cuál es la operación inversa de la potenciación?
Si 32=9, ¿cuál es la operación inversa?
En primer lugar hay una diferencia con los casos anteriores. Los dos números que se suman
pueden intercambiarse sin que cambie el resultado (2+3 es igual que 3+2). Lo mismo ocurre
con la multiplicación (2x3 es igual que 3x2). Pero esto no sucede con la potenciación, ya que
32 (tres al cuadrado) que da por resultado nueve, no es igual que 2 3 (dos al cubo), que da por
resultado ocho. Así que la operación inversa deberá definirse teniendo en cuenta esta
particularidad.
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Números y operaciones algebraicas – 2005 – pág. 3
Existen dos operaciones inversas para la potenciación. Si se tiene a m=x, una operación
inversa corresponderá a averiguar la base a, y otra a averiguar el exponente m. Por el
momento sólo discutiremos la operación inversa que permite averiguar el valor de la base a.
Esta es la que se conoce como radicación (o la extracción de raíces). De modo que la
operación inversa de elevar al cuadrado es la de obtener la raíz cuadrada, y la operación
inversa de elevar al cubo, es la de obtener la raíz cúbica.
Ejemplos:
La inversa de 32=9, es √9=3 (raíz cuadrada de 9 que es igual a tres). Hay que notar que los
procesadores de texto no permiten de modo sencillo colocar la línea recta que haría de
“techo” del número nueve para escribir de forma correcta la operación de radicación.
La inversa de 23=8, es 3√8=2 (raíz cúbica de 8 que es igual a dos).
¿Cómo se obtiene la raíz cuadrada? Existe una serie de métodos, algunos de los cuales se
aprenden en la escuela, pero normalmente se olvidan con rapidez. Hoy, poca gente recuerda
el modo de calcular las raíces, y prefiere apoyarse en las calculadoras para obtener el
resultado.
Pero existe otra cuestión a la que deberíamos prestarse más atención que al modo de
obtener el resultado. Con esta nueva operación en la bolsa los matemáticos se preguntaron
si la radicación sería una ley de composición interna para el conjunto de los números
racionales. Bueno, en este caso la pregunta no resultaba tan sencilla de responder, y durante
algún tiempo supusieron que seguramente se trataba de una ley de composición interna.
¿Qué otro tipo de números podían existir?
Los números reales
El punto es que se detectó que existían casos en los que el resultado de la radicación no
pertenecía a los números racionales (esto es, que no podía expresarse como la división entre
dos números enteros). ¿No suena extraña esta afirmación?
Analicémosla con un poco más de detalle. Está claro que todo número con cifras decimales,
cuyas cifras decimales sean finitas (esto significa que en algún momento sus cifras
decimales se terminen) es un número racional.
Veamos por ejemplo el número 1.23245598. ¿Estamos seguros de que es un número
racional? Si, porque puede expresarse fácilmente como la división entre los dos números
enteros que se anotan a continuación:
123245598/100000000
¿Qué pasa entonces con otros números con decimales?
El número 455.23 puede expresarse como 45523/100 (al dividirlo por cien se obtiene el
resultado con las cifras decimales que se tenía originalmente). Si se analizan estos ejemplos
con cierto cuidado podrá concluirse fácilmente que cualquier número decimal con un número
finito de cifras decimales podrá ser expresado como la división entre dos números enteros.
Pero, ¿es que existen números con infinitas cifras decimales?
En principio, existen números con cifras decimales que se repiten periódicamente. Así 1/9
(un noveno, o uno dividido nueve), da por resultado el número 0,11111... (y los puntos
suspensivos indican que nunca se acaba la cantidad de cifras decimales).
Si hacemos 1/11, obtenemos 0.090909... (donde el par de cifras 09 no se termina nunca).
Puede demostrarse (pero no lo haremos aquí) que si un número tiene infinitas cifras
decimales, pero a partir de algún punto existe una repetición de sus cifras, entonces puede
expresarse como la división entre dos números enteros y por lo tanto se trata de un número
que pertenece al conjunto de los racionales.
¿Existirá un número con infinitas cifras decimales que no se repitan nunca? Parece medio
irracional pensar en tal clase de números. Tanto que cuando se descubrió que estos
números existían se los denominó números irracionales.
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Números y operaciones algebraicas – 2005 – pág. 4
Volvamos ahora a la cuestión principal de si la radicación es una ley de composición
interna para los números racionales. Si no fuese así, ¿cómo podríamos darnos cuenta de
ello?
El procedimiento parece que tendría que ser más o menos como sigue. Se elige un número y
una raíz, y se aplica el método de cálculo para obtener esa raíz (por ejemplo la raíz
cuadrada) de ese número (por ejemplo 5). Si al realizar el cálculo vamos obteniendo el
resultado con sus decimales correspondientes cifra tras cifra, y en algún momento el proceso
de cálculo se detiene, porque obtenemos la solución completa, entonces estamos seguros de
que se trata de un número racional. El problema es que si seguimos calculando y el proceso
no se detiene (porque el resultado sigue dándonos nuevas cifras decimales), no podemos
estar seguros de si se trata de un número racional o no. Quizás el proceso se detenga en
algún momento, o podamos demostrar que a partir de cierto punto las cifras decimales se
repiten, pero si esto no sucede no podemos determinar cuántas cifras decimales tendríamos
que seguir calculando para llegar a este punto.
Este problema quedó sin solución durante algún tiempo, o mejor dicho, se supuso que la
solución era que “la radicación seguramente era una ley de composición interna”, aún sin
contar con una demostración que soporte esta afirmación.
La cuestión es que realmente se demostró con el tiempo que la radicación no es una ley de
composición interna dentro de los números naturales. Es necesario extender este conjunto
de números para incluir otros, que se decidieron llamar “números irracionales”. Este nombre
surgió debido a la gran sorpresa que causó la demostración de que efectivamente había
números cuyos decimales son infinitos y no se repiten nunca, y a que resulta necesario
incluir a estos números para poder dar cuenta de las soluciones de ciertas operaciones de
radicación.
Dicho en otras palabras, es posible encontrar un número racional a y un número natural b,
tales que la raíz b-ésima del número a produzca como resultado un número que no
pertenece a los racionales. El ejemplo más clásico es el de la raíz cuadrada de 2, que da un
resultado que no puede expresarse mediante ninguna cantidad finita de cifras decimales (se
necesitaría una cantidad infinita de decimales para escribirlo correctamente).
¿Pero entonces cómo es posible anotar a un número como la raíz de 2? Simplemente se lo
deja expresado como √2 , o se anota un valor aproximado con unas pocas cifras decimales,
a sabiendas de que no estamos expresando el valor correcto (√2 es aproximadamente igual
a 1.4142...).
¿Cómo lograron demostrar esto los matemáticos? Mediante formas de razonar más
complejas. Sugerimos buscar la demostración de por qué la raíz cuadrada de dos no puede
ser un número racional, en libros de texto de nivel medio, como los mencionados en la
bibliografía del curso. El modo típico de demostrar esto es mediante un método que se llama
“por reducción al absurdo”. Como resulta algo incómodo para las personas que no tienen
cierto entrenamiento en matemática, hemos decidido no incluirlo en este apunte.
A aquellos que no busquen la demostración les sugerimos hacer un esfuerzo para creer que
los matemáticos lograron demostrar fehacientemente que la raíz cuadrada de dos daba un
resultado que no podía expresarse mediante un número finito de cifras decimales, sabiendo
además que no era el único caso.
¿Hay entonces un nuevo conjunto de números más amplio que el de los racionales? Si, y es
el conjunto de los números reales. Los números reales están formados por todos los
números racionales (los que pueden expresarse mediante la división entre dos números
enteros) y los números irracionales (los que requieren infinitas cifras decimales para ser
representados correctamente).
La sensación que pueden tener algunos alumnos es la de que existen unos pocos números
irracionales: raíz cuadrada de cinco, raíz cuadrada de dos, el famoso número π (PI) de los
círculos, y unos pocos más). En realidad esta es una idea equivocada. Existen infinitos
números irracionales, e incluso puede afirmarse, aunque suene extraño, que hay más
números irracionales que números racionales. Profundizar en esta cuestión nos llevaría lejos
de nuestra intención principal, así que lo dejaremos allí, como un simple comentario.
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Números y operaciones algebraicas – 2005 – pág. 5
Es importante decir que la obtención de la raíz no es la única manera de llegar a obtener un
número irracional. Mediante la operación de radicación se descubrieron estos números, pero
luego de descubiertos se pudo demostrar que son infinitos.
Los números complejos
La radicación nos llevó a ampliar el conjunto de números para incluir a los irracionales, pero
el tema no termina allí. La misma radicación nos obliga a una nueva ampliación.
¿Es el conjunto de los números reales suficiente para que la radicación sea una ley de
composición interna? No. Recordemos que para que sea ley de composición interna
deberíamos poder estar seguros de que si aplicamos una raíz cualquiera a un número real
cualquiera el resultado debería ser un número real. El ejemplo más conocido que no tiene
solución dentro de los reales es el de la raíz cuadrada de menos uno. La raíz cuadrada de
cualquier número debería dar un resultado tal que si este último es elevado al cuadrado se
vuelve a obtener el número original. Bueno, resulta que no existe ningún número real que
elevado al cuadrado de por resultado el valor de –1. Lo mismo sucede con la raíz cuadrada
de cualquier número negativo.
A esta altura, cualquier lector debe estar casi desesperanzado, pensando que se trata de un
cuento que nunca terminará. Por un lado, ya parece demasiado haber tenido que admitir
números de infinitas cifras decimales, como para pensar que puede quedar aún algo más por
descubrir, o por inventar. Un poco más de paciencia que estamos cerca de completar la
historia.
Si pensamos en representar gráficamente a los conjuntos de números que vimos podríamos
tener algo como lo siguiente:
Números naturales ( N)
1 2 3
Números enteros ( Z)
-3 -2 -1
0 1 2 3
-3 -2 -1
0 1 2 3
-3 -2 -1
0 1 2 3
Números racionales ( Q)
Números reales ( R)
En esta representación gráfica no existe diferencia entre la recta que representa los puntos
de los números racionales y la que representa a los números reales. El caso es que es
imposible representar esta diferencia, pero una primera aproximación (algo ingenua, pero
que puede resultar una primerísima descripción útil) es pensar que a la recta de los números
racionales le falta completar ciertos intersticios (como si tuviera poros o agujeritos
incompletos). El tema es que están tan, pero tan juntos, que resulta imposible mostrar en un
gráfico esa diferencia, no importa cuánto se amplíe la escala del gráfico.
¿Qué más queda?
Bueno, queda ver qué tenemos que incluir además de los irracionales en el conjunto de
números a utilizar para lograr que la operación de radicación se convierta en una ley de
composición interna. Debemos incluir, como mínimo, al resultado de la raíz cuadrada de
menos uno, y este resultado sabemos que no es un número real.
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Números y operaciones algebraicas – 2005 – pág. 6
Algún grupo de matemáticos seguramente habrá pensado que ya habían utilizado la etiqueta
de “irracional”, para hablar de números extraños. ¿Qué otra les quedaba? Quizás podría
pensarse que si todos los números conocidos se llamaban reales (racionales más
irracionales), entonces los nuevos números podrían llamarse “imaginarios”.
Al conjunto formado por los números reales más los números imaginarios se lo llama el de
los números complejos.
¿Cuáles son los números imaginarios? ¿Qué son? En principio puede utilizarse un truco que
ya mencionamos al hablar de la raíz cuadrada de 2. Ya que no podía representarse este
número mediante ninguna cantidad finita de cifras decimales se sugirió dejar expresada la
operación (esto es, dejar anotado √2, en vez de intentar anotar el número que le
corresponde). Así, en un primer intento se pensó en dejar anotado el valor de √(-1) para
expresar el resultado de la raíz cuadrada de menos uno.
Ejemplos de números imaginarios puros podrían ser √(-1), 3x√(-1), √(-3), e infinitos otros.
Con el tiempo se decidió crear un nuevo símbolo para expresar la raíz de menos uno. Este
símbolo suele ser la letra i (o la letra j, en algunas disciplinas en las que la letra i ya se usaba
frecuentemente, como en la electrónica).
Así el número imaginario √(-1) se anotará simplemente como i. El número 3x√(-1) se anotará
como 3i.
¿Qué pasa con otros números imaginarios como √(-3)? En realidad, siempre puede operarse
con la raíz de modo que quede expresado como una parte real que multiplica a √(-1). En el
ejemplo mencionado puede operarse del siguiente modo:
√(-3) es igual que √(3x(-1)), que es igual a √(3)x√(-1)
quedando expresado entonces como √3xi.
Un número complejo puede tener sólo parte real, sólo parte imaginaria, o tener tanto parte
real como parte imaginaria.
Ejemplos de números complejos son:
 2 + i (si, expresado así como una suma de dos partes que en realidad está
representando a un sólo número),
 3.2.i
 8.5
Como resumen de lo discutido:
Los números naturales ( N) son los que sirven para contar (números positivos sin
decimales)
Los números enteros ( Z) son todos los que no tienen cifras decimales (incluyen a los
naturales y agregan el cero y los negativos).
Los números racionales ( Q) son los que pueden ser expresados como la división
entre dos enteros.
Los números reales ( R) son los que incluyen a los números racionales, y que
además incorporan a los irracionales (números con infinitas cifras decimales no
repetitivas).
Los números complejos ( C) son los que incluyen a los números reales, y que
además incorporan a los números imaginarios.
Los matemáticos lograron demostrar que las operaciones de suma, resta, multiplicación,
división, potenciación y radicación son leyes de composición interna dentro del conjunto de
los números complejos. Así, la raíz de cualquier complejo da un resultado también complejo.
El presente apunte no pretenden profundizar con la noción de números complejos ni con las
operaciones a realizar con ellos, sino solamente brindar un panorama general de la
estructura de los tipos de números utilizados en matemática.
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Números y operaciones algebraicas – 2005 – pág. 7
SOLUCIONES
Se trata de un ejercicio muy simple, sólo para iniciar el trabajo. Si al número 3 (natural) le
resto el número 4 (también natural), el resultado es –1 (un número negativo, que no
pertenece a los números naturales).
i
Toda multiplicación entre dos números naturales, da por resultado un número natural. Por
ejemplo: 15x4 da por resultado 60 que también es un número natural.
Toda multiplicación entre dos números enteros, da por resultado un número entero. Por
ejemplo: 15x(-4) da por resultado –60, que es un número entero.
ii
La división no es ley de composición interna para el conjunto de los naturales, ni tampoco lo
es para el conjunto de los enteros. Por ejemplo: 3 dividido 2 da por resultado 1,5, que no es
un número natural, ni es un número entero. De forma similar, 3/(–2) da por resultado –1,5,
que tampoco es un número entero.
iii
La respuesta a esta pregunta depende del modo en que se defina la potenciación. Por el
momento utilizaremos la definición de potencia como multiplicación repetida. Según esta
definición la base podría ser un número de cualquier tipo, pero el exponente sólo puede ser
un número natural. No tiene sentido, bajo esta primer definición, multiplicar a un número por
sí mismo una cantidad de veces negativa o fraccionaria. Así, al preguntar si es ley de
composición interna para determinado conjunto de números sólo estaríamos variando la
base, mientras que el exponente seguiría siendo siempre natural.
iv
Si la base es un número natural, el resultado es un número natural
Si la base es entera, el resultado es un número entero.
Si la base es racional, el resultado es un número racional.
Si la base es real, el resultado es un número real.
Para potencias de exponente natural (e incluso para exponente entero) puede verificarse que
la potenciación es ley de composición interna para bases que pertenezcan a los números
racionales. Sin embargo, en los casos en que tanto la base como el exponente pueden ser
racionales, la potenciación deja de ser ley de composición interna, como podrá
comprenderse al avanzar con los temas de potenciación.
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