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LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS Y PROPORCIONES
Conceptos básicos
Para introducir los conceptos básicos consideremos el siguiente ejemplo:
Supongamos que estamos interesados en determinar el número medio de
televisores por hogar en la ciudad de Lima.
Para ello consideraremos primeramente:
Población: Conjunto de personas u objetos de interés en una Investigación.
Ej: Todos los hogares de la ciudad de Lima
Muestra
Es una porción representativa de elementos de una población, elegida para su
examen o medición directa.
Note que generalmente es costoso el análisis de todos los datos, así que se
hace necesario realizar las mediciones de interés sólo en una porción
representativa de la población e inferir de ella resultados que corresponden a
la población entera.
Ej: Medir la cantidad de televisores en un grupo de hogares de varias
localidades, municipios de la ciudad de Lima, escogidos aleatoriamente de
manera conveniente.
Parámetro
Es cualquier característica de una población, como la media de la población, la
desviación de la población, etc.
Ej: Número promedio de televisores por hogar en toda la ciudad de Lima.
Estadístico
Es cualquier característica de una muestra, como la media de la muestra, la
desviación de la muestra, etc.
Ej: Número promedio de televisores calculado sólo a partir de los hogares que
fueron seleccionados en la muestra.
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Muestreo
Proceso de selección de muestras, se utiliza cuando no es posible contar o
medir todos los elementos de la población objeto de estudio.
Tipos de Muestreo
Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones:
a) Muestreo no aleatorio o de juicio: Se emplea el conocimiento y la opinión
personal para identificar aquellos elementos de la población que deben
incluirse en la muestra.
b) Muestreo aleatorio o de probabilidad: En el cual todos los elementos de la
población tienen la oportunidad de ser escogidos para la muestra. Dentro
de este tipo de muestreo se encuentran:
b.1) Muestreo aleatorio simple: el cual es un método de selección de
muestras que permite que cada muestra posible pueda ser elegida con la
misma probabilidad. Por su parte cada elemento de la población tiene la
misma oportunidad igual de ser incluido en la muestra.
b.2) Muestreo sistemático: método en el cual los elementos que se
muestrearán se seleccionan de la población en un intervalo uniforme que
se mide con respecto al tiempo, al orden o al espacio.
b.3) Muestreo estratificado: método en el que la población se divide en
grupos homogéneos, o estratos, y después se toma una muestra aleatoria
simple de cada estrato.
Aquí la variabilidad dentro de cada grupo es pequeña y entre los grupos es
grande.
b.4) Muestreo de racimo: método en el que la población se divide en
grupos o racimos de elementos, y luego se selecciona una muestra
aleatoria de estos racimos. La variabilidad dentro de cada grupo es grande
y entre los grupos es pequeña; es como si cada racimo fuese un pequeña
representación de la población en si mima.
El seleccionar uno u otro tipo de muestreo depende del problema en
cuestión.
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Analicemos nuestro ejemplo.
Imagine que decidiéramos seleccionar una muestra simple aleatoria para
nuestro propósito, esto significaría que podría darse el caso que la mayoría
de las familias seleccionadas para formar parte de la muestra fueran de un
sitio de clase alta donde quizás las casas tienen múltiples habitaciones y
cada una de ellas con un televisor, de manera que podríamos concluir que
el promedio de televisores por familia es mucho mayor que el que
realmente es en promedio por vivienda en una familia.
En este ejemplo, quizás fuese más conveniente construir algunos estratos,
que representen las diferentes zonas de Lima, y de cada uno de ellos
escoger de manera aleatoria un grupo de familia para realizar el estudio.
Error Muestral
Es la diferencia entre el parámetro de la población y el estadístico de la
muestra utilizado para estimar el parámetro.
Distribución muestral
Es una lista de todos los valores posibles de un estadístico y la probabilidad
asociada a cada valor. Se considerarán la distribución muestral de medias y la
de proporciones.
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Distribución muestral de medias
1. Definición: es la distribución de probabilidad de todas las medias posibles
de muestras de un tamaño dado, n, de una población.
2. Media de las medias muestrales: es el promedio de todos los valores
posibles de las medias que se pueden generar mediante las diversas
muestras aleatorias simples. Se puede demostrar que el valor esperado de
las medias muestrales es igual a la media poblacional; es decir E (x)  
3. Error estándar de la media: es la desviación estándar de la distribución de
muestreo de la media, por lo que mide el grado en que se espera que
varíen las medias de las diferentes muestras de la media de la población,
debido al error aleatorio en el proceso de muestreo. Al disminuir el error
estándar, el valor de cualquier media de muestra probablemente se
acercará al valor de la media de la población. (efecto del tamaño de la
muestra sobre el error típico, es decir, a medida que aumenta el tamaño
de la muestra, se incrementa la precisión con la que se puede usar la
media de muestra para estimar la media de la población, sin embargo, rara
vez vale la pena tomar muestras excesivamente grandes ya que el error
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estándar de la media varía inversamente con
n , por lo que hay una
utilidad decreciente en el muestreo).
Usos: indica el tamaño del error de azar que se ha cometido, y además
señala la probable precisión que obtendremos si utilizamos una estadística
de muestra para estimar un parámetro de población.
La distribución muestral de medias tiene un error estándar igual a:
 Para población infinita con n>30, muestreo con reemplazo o población
normal :  x 

n
 Para población finita o muestreo sin reemplazo con
x 

n
.
n
 0.05 :
N
N n
N 1
Donde  es la desviación estándar de la población y n el tamaño de la
muestra. Al factor
N n
se le denomina factor de corrección
N 1
4. Teorema del límite central: es un teorema a través del cual se asegura que
la distribución de muestreo de la media se aproxima a la normal, al
incrementarse el tamaño de la muestra. Este teorema permite usar
estadística de muestra para hacer inferencias con respecto a los
parámetros de la población, sin saber nada sobre la forma de la
distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos
obtener de la muestra. Para efectos prácticos el tamaño de la muestra
debe ser n  30.
Nota: si la distribución de la población es bastante simétrica, la
distribución muestral de la media se aproxima a la normal si se
seleccionan muestras pequeñas.
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Aplicaciones:
Una aplicación muy corriente y útil de la distribución muestral es
determinar la probabilidad de que la media de una muestra caiga dentro
de un intervalo determinado. Puesto que la distribución muestral seguirá
una distribución normal (ya sea porque la muestra se toma de una
distribución normal, o porque n
 30 y el teorema del límite central
garantice la normalidad en el proceso de muestreo), se podrá utilizar la
variable tipificada para obtener la información necesaria en la toma de
decisiones.
z
x
x
1. Teorema del límite central: es un teorema a través del cual se asegura que
la distribución muestral de la proporción se aproxima a la distribución
normal, al incrementarse el tamaño de la muestra. Este teorema permite
usar estadística de muestra para hacer inferencias con respecto a los
parámetros de la población, sin saber nada sobre la forma de la
distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos
obtener de la muestra. Para efectos prácticos el tamaño de la muestra
debe ser n  50.
2. Aplicaciones: una aplicación muy corriente y útil de distribución muestral es
determinar la probabilidad de que la proporción de una muestra caiga
dentro de un intervalo determinado. Puesto que la distribución muestral
seguirá una distribución normal (ya sea porque la muestra se toma de una
distribución normal, o porque n  30, según otros autores) y np como n(1p) deben ser mayores a 5, (el teorema del límite central garantiza la
normalidad en el proceso de muestreo), se podrá utilizar la variable
tipificada para obtener la información necesaria en la toma de decisiones.
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Observación:
En la terminología estadística, la distribución de muestreo que se obtendría
al tomar todas las muestras de un tamaño dado constituye una distribución
teórica de muestreo. En la práctica, el tamaño y el carácter de la mayor
parte de las poblaciones impiden que los responsables de las decisiones
tomen todas las muestras posibles de una distribución de población, sin
embargo, se han desarrollado fórmulas para estimar las características de
estas distribuciones teóricas de muestreo, haciendo innecesario que se
recolecten grandes números de muestras. En casi todos los casos, los
responsables de las decisiones sólo toman una muestra de la población,
calculan estadísticas para esa muestra y de esas estadísticas infieren algo
sobre los parámetros de toda la población.
Distribución Muestral
A partir de las muestras seleccionadas de una población pueden construirse
variables aleatorias alternativas, de cuyo análisis se desprenden interesantes
propiedades estadísticas. Las dos formas más comunes de estas variables
corresponden a las distribuciones muestrales de las medias y de las
proporciones.
Distribución muestral de las medias
Dada una población constituida por un número “n” de elementos, cuya media
aritmética es µ y donde la desviación típica viene dada σ, pueden formarse n 2
muestras con reemplazamiento distintas, formadas por los elementos de la
población.
Para cada una de estas muestras es posible una media muestral, que
denotaremos con el símbolo X . Un ejemplo de la tabla de muestras de
tamaño 2, tomada de la población {1, 3, 5}, con sus medias aritméticas
reflejadas, sería
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Muestra
Media
1;1
1;3
1;5
3;1
3;3
3;5
5;1
5;3
5;5
1
2
3
2
3
4
3
4
5
A partir de la variable estadística original x de la población se puede construir
una nueva variable estadística X , que tendría como valores las medias de las
muestras tomadas de la población. La media aritmética de esta distribución
muestral de las medias se denota por x , y su desviación típica por x
Parámetros de la distribución muestral de las medias de tamaño 2.
Establecida una distribución muestral de las medias de tamaño 2, su
esperanza matemática adopta el valor siguiente:
E( X )   x    E( X )
siendo µ la media aritmética de la población; la media aritmética de todas las
medias, E ( X ) la esperanza matemática de la variable aleatoria X (para la
distribución muestral de medias; E(X) la esperanza matemática de la variable
aleatoria X de la población
En una distribución muestral de las medias, la variable aleatoria media
muestral sigue una ley normal descrita como N (  ,  / n ).
Extracción
Con reemplazo
Infinita
Población
Finita (N)
Sin reemplazo
x  
x  
x  / n
x  / n
x  
x  
x  / n
 x  ( / n ). ( N  n) /( N 1)
Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las medias de tamaño
n:
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS PROPORCIONES
Sea una población formada por n elementos, de los cuales algunos poseen
una determinada característica y otros no (llamaremos p a la proporción de los
elementos que poseen la característica, y q = 1 - p a la de los restantes
elementos). Entonces, es posible extraer muestras de la población de manera
que a cada una se asocie como valor la proporción de la característica
analizada.
Por ejemplo, en la población {1, 2, 3}, la característica par tiene un valor p = 1/
3, mientras que la impar es q = 2/ 3. Mediante la tabla siguiente de muestras
se construye una nueva distribución muestral de las proporciones.
Muestra
Proporción
1;1
1;2
1;3
2;1
2;2
2;3
3;1
3;2
3;3
0
0.5
0
0.5
0
0.5
0
0.5
0
Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las proporciones de
tamaño n:
Extracción
Con reemplazo
p  p
Infinita
Población
Sin reemplazo
p  p
 p  pq / n
 p  pq / n
Finita (N)
p  p
p  p
 p  pq / n
 p  ( pq / n) ). ( N  n) /( N  1)
Una distribución muestral de las proporciones se comporta como una
distribución normal descrita por los parámetros.
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Distribución muestral de las medias
La distribución muestral de las medías sigue una ley normal cuyos parámetros
son la media µ y la desviación típica dividida por la raíz de n: N (µ, σ/√n). La
tipificación de esta distribución con el cambio.
z
x
/ n
produce una distribución normal centrada N (0,1).
Probabilidad de las medias
Consideremos el ejemplo siguiente. Sea una población que sigue la
distribución normal N (100,15). Si se toma una muestra de tamaño 36, la
probabilidad de que la muestra tenga una media inferior a 105 sería:
N (100,15 / √36) =N (100, 2,5)
La probabilidad P sería:
P ( X ≤105)= P [Z ≤ (105 – 100/2,5)]= P (Z ≤ 2) = 0, 9772.
Consultando la tabla de la distribución normal N (0,1):
Distribución muestral de las proporciones
La distribución muestral de las proporciones es de tipo normal, si presenta los
siguientes parámetros
N ( p, pq / n )
Si la variable se tipifica como: la ley se transforma en N (0,1).
Z  ( p  p) / pq / n
Probabilidad de las proporciones
Hallemos la probabilidad de que al lanzar 100 veces al aire una moneda, salga
cara entre un 45% y un 55%:
N ( p, pq / n) = N (0.5, (0.5)(0.5) / 100 )
La variable es: N (0.5, 0.05)
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Entonces si se tipifica la función:
P (0.45≤ p≤0.55)= P (0.445 – 0.5) /0.05 ≤ Z ≤ (0.555 – 0.5)/0.05)=
P (-1.1≤z≤1.1) = P (z≤1.1) – P (z≤-1.1) = 0.86433 – 0.13567 =0.72866
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. EJEMPLO (resuelto)
El CI de los alumnos de un centro especial de se distribuye normalmente con
media 80 y desviación típica 10. Si extraemos una muestra aleatoria simple de
25 alumnos:
a) Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga
como mínimo una puntuación en CI de 75?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea mayor de 75?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como máximo 83?
d) ¿Qué valor debería tomar la media aritmética para que la probabilidad de
obtenerlo en esa muestra sea como máximo 0,85?
X  N(80,10)
X  N(80, 2)
Si la variable de partida no es normal
Cuando la variable X con media u y desviación típica <72, no sigue un modelo
de distribución conocido, la distribución muestra] de X se parece más a la de la
distribución normal a medida que crece el tamaño de las muestras sobre las
que se calcula.
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Teorema del Límite Central
Independientemente de cómo sea la distribución de X, la distribución muestral
de X tiende a la normal cuando el tamaño de las muestras tiende a infinito.
Mediante este teorema podemos calcular probabilidades asociadas a los
valores de las medias cuando se desconoce la forma de la distribución
muestral de partida, siempre y cuando las muestras sean lo suficientemente
grandes. Algunos autores plantean que el parecido con la distribución normal
empieza a ocurrir desde tamaños muestrales de 30 observaciones.
El valor de n afecta al error típico de la media,  (X)
2. EJERCICIO
La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviación típica 12.
Si extraemos una muestra aleatoria simple de 16 alumnos:
1. Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al
menos una puntuación de 45?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea menor de 58?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como mínimo 45?
4. ¿Qué valores debería tomar la media aritmética para que exista una
probabilidad de 0,38 de encontrar valores entre ellos?
5. ¿Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabilidad de
encontrar medias superiores a 52 fuese 0,2578?
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Solución
1) 0,6628
2) 0,9962 3) 0,9525
4) X; = 48,50 y X; = 51,50
5) n = 15 sujetos
3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN
Si tenemos n observaciones (X1, X2,..., X„) dicotómicas y definimos:
X,”Numero de aciertos con probabilidad  ”
Entonces: X  B (x, n,  ) E(X) = n - 
 ( X )  n .(1   )
EJEMPLO:
Distribución del número de aciertos en un test de 5 ítems con p = 0,50
Xi
0
1
2
3
4
5
F(xi)
0.031
0.156
0.312
0.312
0.156
0.031
Si ahora definimos la variable
P
X1
Proporción de aciertos con probabilidad  "
n
El estadístico proporción (P) se distribuye mediante el modelo Binomial:
B (x, n,  " ).
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Las probabilidades asociadas al estadístico P pueden obtenerse mediante la
tabla de la Binomial con parámetros n y  " .
En el ejemplo:
Distribución de la proporción de aciertos en un test de 5 ítems con  " = 0,50
Xi
0
1
2
3
4
5
Pi
0
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
F(xi)
0.031
0.156
0.312
0.312
0.156
0.031
Por tanto:
1) Probabilidad de que se acierten el 40% de los ítems:
P (P;=0,40)=P(X,=2)=0,312
2) Probabilidad de que se acierten como máximo el 60% de los ítems:
P (P; ≤ 0,60) = P(x, ≤ 3) = 0,811
4. EJEMPLO (resuelto)
Un psicólogo clínico afirma que con su terapia para tratar "el miedo a volar en
avión" se recupera el 80% de los pacientes. Si seleccionamos al azar 16
pacientes que han acudido a su consulta durante los últimos 3 meses por este
tema, ¿cuál es la probabilidad de que al menos el 75% se hayan recuperado y
puedan tomar aviones?
X: N° de pacientes recuperados... X  B (x, n = 16, p= 0,80)
P: Proporción de pacientes recuperados.... P  B (x, n= 16, z= 0,80)
El 75% son 12 sujetos
P (Pi  0,75)=P (Xi  12)=1-F (11)=1-(0+0+0+0+0+0+0+0,001+0,006+ + 0,020
+ 0,055 + 0,120) = 0,798 (según tablas de la binomial)
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Aproximación a la normal
Si
n es suficientemente grande
0,20 ≤  ≤ 0,80
Entonces la probabilidad de P se puede aproximar mediante el modelo normal
Con
X: "Número de aciertos"
5. EJERCICIOS
1) Un partido político cree que el 60% del electorado está a favor de su
programa. Como su líder encuentra que esta predicción es demasiado
optimista decide hacer un sondeo con una muestra de 90 personas. ¿Cuál
será la probabilidad de que como máximo 60 personas estén a favor de su
partido?
2) Disponemos de los datos del I.N.E. (Instituto Nacional de Estadística) sobre
el aumento del empleo durante el año 98, el cual se encuentra en un 45%.
Si tomamos una muestra aleatoria de 200 ciudadanos. ¿Cuál es la
probabilidad de que más del 50% tenga empleo?
Soluciones: 1) 0,9192
2) 0,0869 (con corrección por continuidad).
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6. Ejemplo
Considerar una población que consiste de 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 20.
Solución:
1) Calculamos la media y desviación estándar de dicha población.
Descripción Estadística
Variable
N
Nean
Median
Pr Nean
C1
9
3.09
13.00
9.89
Variable
Min
Max
Q1
Q3
C3
3.00
20.00
5.00
13.50
S-Dex
5.42
S3Hean
1.81
2) Extraemos 30 muestras de tamaño 4 de dicha población, ejecutando 4
veces la siguiente secuencia Cate Random Data Sample from columns.
Guardar cada una de las 4 observaciones de las muestras en 4 columnas
distintas-0bs1, Obs2, Obs3, y Obs4.
3) Tercero, calculamos las medias de todas esas muestras usando la opción
Raw Statistcs del menú Calc y matamos de ver gráficamente al menos si
hay acercamiento a Normalidad.
Se eligen las 30 muestras.
Las medidas estadísticas de la media muestral son:
Variable
N
Nean
Median
Pr Nean
C1
30
13.108
10.125
10.019
Variable
Min
Max
Q1
Q3
C3
3.250
16.750
7.938
11.875
S-Dex
2.806
S3Hean
0.512

Interpretación: Notar que la media de las medias muestrales µ=l0.108

Que está bien cerca de la media poblacional µ =9.89. Además la
desviación estándar de la media muestral es 2806 mientras que  n es
igual a 5.42/2=2.71 ambos valores también están relativamente cerca. El
histograma si está un poco alejado de la normalidad.
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Si se incrementa el tamaño de las muestras se puede notar una mejor
aproximación a la Norma!
Histograma de la distribución de las medidas maestrales del Ejemplo 6.1
7. Ejemplo
Según reportes del centro nacional para estadísticas de salud, alrededor del
20 % de la población masculina adulta de los Estados Unidos es obesa Se
elige al azar una muestra de 150 hombres adultos en los Estados Unidos.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Haya a lo más 25 personas obesas?
b) Haya más de 22 pero menos de 35 obesos?
c) Haya por lo menos un 25% de obesos en la muestra?
Solución
Sea X el número de personas obesas en la muestra. Usando aproximación
normal a la Binomial se tiene que:
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8. Ejemplo
El precio medio de ventas de casa nuevas en una ciudad americana es de
$115 000 con una desviación típica de $25 000. Se toma una muestra
aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta
sea menor de $110 000?
X: Precios de venta de las casas.
Dado que el tamaño de muestra n=100 > 30 podemos utilizar el Teorema
Central del Límite, así que tenemos que:
9. Ejemplo
Se ha tomado una muestra de 16 directores de 100 oficinas de una ciudad con
el fin de estimar el tiempo medio diario que emplean en desplazarse hasta su
trabajo. Si la media de los tiempos es de 87 minutos y la desviación típica de
20 minutos, calcule la probabilidad de que la media muestral sea menor de
100 minutos.
Como la población es finita y la muestra es sin reemplazo, debemos verificar si
es o no necesario el empleo del factor de corrección para calcular el error
muestral.
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Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios
de todas las corporaciones medianas se distribuye normal con una media de
12.2% y una desviación típica de 3.6%. Si se toma una muestra aleatoria de
nueve observaciones de esta población, calcule la probabilidad de que el
incremento medio muestral porcentual sea menor del 10%.
Como la distribución de la población es normal, tenemos que los parámetros
de la distribución muestral de la media son:
Es realmente muy poco probable que el incremento medio porcentual esté por
debajo del 10%.
Distribución muestral de proporción
3. Definición: es la distribución de probabilidad de todos los valores posibles
de la proporción muestral ( p )
4. Media de las proporciones muestrales: es la media de todos los valores
posibles de las proporciones que se pueden generar mediante las diversas
muestras aleatorias simples. Se puede demostrar que la media de las
proporciones muestrales p será igual a  (proporción de la población). El
valor esperado de las proporciones muestrales es igual a la proporción
poblacional; es decir, E ( p )=p.
5. Error estándar de la proporción: es la desviación estándar de la distribución
de muestreo de la proporción, por lo que mide el grado en que se espera
que varíen las proporciones de las diferentes muestras de la proporción de
la población, debido al error aleatorio en el proceso de muestreo.
La distribución de muestreo tiene un error estándar igual a:
 Para población infinita con n>30 o muestreo con reemplazo:
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Para población finita y muestreo sin reemplazo con 05, 0
En ambos caso  es 1 proporción en la población y n el tamaño de la
muestra.
11. Ejemplo
Se toma una muestra de 250 casas de una población de edificios antiguos
para estimar la proporción de casas de este tipo. Supongamos que el 30% de
todos los edificios son antiguos. Hallar la probabilidad de que la proporción de
edificios antiguos esté entre 0.25 y 0.35.
Tenemos que p=0.3 y n = 250, note que aquí la población es infinita. Así que
Es muy probable que la probabilidad de que la proporción de edificios antiguos
esté en ese intervalo.
12. Ejemplo
Se ha estimado que el 43% de los licenciados en economía consideran que es
muy importante que se imparta un curso de ética en economía. De una
población de 800 estudiantes se tomó una muestra de 80. Calcular la
probabilidad de que más de la mitad de ellos opinen de ese modo.
En este necesitamos el factor de corrección dado que:
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Por tanto es pequeña la probabilidad de que más de la mitad de los
estudiantes consideren necesario que se imparta ética en la licenciatura de
economía.
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