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Nivel: 9° año.
GEOMETRIA
Objetivo #1 : Aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco, en la resolución de ejercicios y problemas.
En 9° año estudiaremos algunas características y propiedades importantes de los triángulos,
especialmente los triángulos rectángulos. Veremos algunos teoremas y trabajaremos en el
cálculo de áreas de las figuras geométricas tratadas en sétimo año.
PITÁGORAS DE SAMOS: Filósofo y matemático griego, nacido en la isla de Samos alrededor
del año 580 a.C. Fundó la secta de los pitagóricos y tenía una moral muy severa, obligando a
sus discípulos a llevar una vida austera. Se sabe muy poco de sus inventos matemáticos y
astronómicos, sin embargo se le atribuye el descubrimiento de la tabla de multiplicar, del
sistema decimal y del teorema que lleva su nombre. En filosofía afirmó que el número es el
principio de todas las cosas.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO Recordemos que el triángulo rectángulo es aquel que posee un
ángulo recto ( de 90°). Al lado más largo del triángulo rectángulo se le llama hipotenusa y a
los otros dos lados se les llama catetos.
CATETO
HIPOTENUSA
CATETO
TEOREMA DE PITÁGORAS. Este teorema dice:
En TODO triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la SUMA de los cuadrados de los catetos.
A
c
c2 = a2 + b2
b
C
B
a
También podemos afirmar que: un cateto al cuadrado ES IGUAL a la hipotenusa MENOS el
cuadrado del otro cateto
a2 = c2  b2
y
b2 = c2  a2
2
Ejemplo: Hallar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden
3cm y 4 cm.
3
c
4
c 2 = 32 + 42
c2 = 9 + 16
c2 = 25
c  25
c =5
R/ la hipotenusa mide 5 cm.
Nota: Si dados tres números, el mayor al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos, decimos que dichos números forman una TERNA PITAGÓRICA.
Ejemplo: Los números 8, 6 y 10 forman una terna pitagórica, pues:
102 = 82 + 62
100 = 64 + 36
100 = 100
RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.
Si los tres lados de un triángulo forman una terna pitagórica, entonces el triángulo
RECTÁNGULO.
ES
En el ejemplo anterior si 8, 6 y 10 son los lados de un triángulo, dicho triángulo es rectángulo
pues como vimos los tres números forman una terna pitagórica.
Ejercicio #1: Escriba en su cuaderno el título Teorema de Pitágoras y su recíproco, número
de página y resuelva los siguientes ejercicios.
1) En un triángulo rectángulo los catetos miden 5cm y 12 cm. Halle la medida de la
hipotenusa.
2) En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 16 cm y un cateto mide 9 cm. ¿Cuánto mide
la longitud del otro cateto?.
3) Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo cuya base mide 12cm y de altura mide
5 cm.
4) El perímetro de un cuadrado es 16 m . ¿Cuánto mide su diagonal?.
5) Calcular el perímetro y el área de un rectángulo cuya diagonal mide 2,5 m y la altura 1,5 m
6) Encuentre las ternas pitagóricas de la siguiente lista:
a) 3, 6 y 9
b) 5, 12 y 13
c) 6, 8 y 10
d) 8, 15 y 17
e) 5, 6 y 8
f) 9, 12 y 15.
7) Resuelva del libro Matemática 9° año 2005 del Prof. Alexander Rodríguez, la siguiente lista
de ejercicios:
#153.
del # 135 (pág. 102) al # 156 (pág. 105); excepto el ejercicio #143, #152 y
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Objetivo 2: Aplicar las relaciones métricas en triángulos rectángulos, para resolver ejercicios y problemas.
TEOREMAS DERIVADOS DE PITÁGORAS
Del teorema de Pitágoras tenemos otros teoremas derivados de el:
1) Si a, b y c son los lados de un triángulo y "c" es el lado de MAYOR medida, tenemos
entonces que:
a) Si c2 = a2 + b2 el triángulo es RECTÁNGULO.
b) Si c2 < a2 + b2 el triángulo es ACUTÁNGULO.
c) Si c2 > a2 + b2 el triángulo es
OBTUSÁNGULO.
Ejemplo: Si 8 , 9 y 15 son las medidas de los lados de un triángulo. ¿Qué tipo de triángulo es?.
Solución:
152 = 225
82 + 92 = 64 + 81 = 145.
Por lo tanto tenemos que 152 > 82 + 92 , de esta forma el triángulo es obtusángulo.
También por sus medidas podemos decir que el triángulo es escaleno.
Ejercicio #2: Escriba en su cuaderno el título anterior (1º Teorema), número de página y
clasifique en rectángulo, acutángulo u obtusángulo y escaleno o isósceles los triángulos cuya
medida son las siguientes:
a) 11 cm , 8 cm y 6 cm.
c) 13 cm , 12 cm y 5 cm.
b) 9 cm, 8 cm y 6 cm.
d) 4 cm , 4 cm y 7 cm.
Algunas caídas son el medio para levantarse a situaciones más felices
Otros teoremas derivados del Teorema de Pitágoras son los que se obtienen al trazar la
ALTURA correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
2) La altura trazada sobre la hipotenusa define DOS triángulos rectángulos SEMEJANTES entre
sí y SEMEJANTES al triángulo original: CBA   DCA   DCB.
3)
TEOREMA DE LA ALTURA:
PROPORCIONAL entre las medidas de
La altura trazada sobre la hipotenusa es MEDIA
los segmentos que esta determina sobre la hipotenusa:
h2 = n  m
4
4)
El producto de los catetos ES IGUAL al producto de la hipotenusa por la altura trazada
sobre ella.
a b = c h
5) El cuadrado de un cateto ES IGUAL al producto de la hipotenusa por la proyección de
dicho cateto sobre ella.
a2 = m  c
b2 = n  c
y
Ejemplo: Con la ayuda de su profesor, halle la medida de a, b y h en la siguiente figura.
9
b
15
h
a
R/ h = 12,
b = 16
y
a = 20.
Ejercicio #3: Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios.
1) En la siguiente figura, halle la medida de: "x", "y" y "h".
5
Lo importante es
permanecer en el
camino aunque te
equivoques, te
tropieces o te
detengas
x
h
3
y
3) Resuelva los ejercicios del # 159 (pág. 106) al # 166 ( pág. 107) del libro Matemática 9°
año 2005 del Prof. Alexander Rodríguez.
Objetivo #3: Aplicar las relaciones de medida entre los lados de triángulos rectángulos isósceles y en
triángulos rectángulos con ángulos agudos de 301 y 60º, en la resolución de problemas.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES
Se les llama triángulos rectángulos especiales a los siguientes dos tipos de triángulos:
a) Triángulo rectángulo isósceles cuyos ángulos internos miden 90°, 45° y 45°.
b) Triángulo rectángulo cuyos ángulos internos miden 90°, 30° y 60°.
En ellos tenemos las siguientes características respecto a la medida de sus lados, las cuales nos
facilitan el cálculo de los mismos en este tipo de triángulos.
45°
30°
L
2
L
L 3
2
L
45°
60°
L
L
2
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Ejercicio #4: Escriba en su cuaderno el título anterior, número de página y resuelva los
siguientes ejercicios.
1) El triángulo de la figura adjunta es rectángulo isósceles.
a) Si a = 3 cm
b) Si c = 2 2
entonces
e) Si
a
c
entonces a = _______ cm.
c) Si c = 6 cm entonces
d) Si a = 5 cm
c = _______ cm.
a = ________ cm.
a
entonces el perímetro mide ______ cm.
c = 8 cm entonces el área es _________ cm2 .
2) Si la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 1 cm.
a) Halle la medida de sus lados.
b) Halle la medida de su perímetro.
c) Halle la medida de su área.
3) De acuerdo a la figura adjunta:
a) Si c = 4 cm entonces a = _____cm
y b = _______ cm.
b) Si b = 3 cm entonces c = ______cm y a = _______ cm.
30°
a
c
c) Si a = 7 3 cm entonces b= _____cm y c = _____cm.
d) Si a = 48 cm entonces c = ______ cm y b = ______cm.
60°
b
e) Si c = 8 cm entonces el perímetro es __________ cm.
f) Si b = 4 cm entonces el área mide __________ cm2.
4) Si en un triángulo rectángulo uno de sus ángulos mide 30° y el cateto opuesto mide 5 cm.
a) Halle el perímetro del triángulo.
b) Halle el área del triángulo.
LAS CIRCUNSTANCIAS SON BUENAS O MALAS,
SEGÚN LA VOLUNTAD Y LA FORTALEZA DE TU CORAZÓN.
APRENDE A CONVERTIR TODA SITUACIÓN DIFÍCIL
EN UN ALMA PARA TRIUNFAR, CON LA AYUDA DE DIOS.
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Objetivo 4: Aplicar la formula de Herón, en el cálculo de las áreas de figuras geométricas y solución de
problemas.
FÓRMULA DE HERÓN
La fórmula de Herón sirve para calcular el área de un triángulo conociendo solamente la
medida de sus lados. En ella a, b y c son las medidas de los lados del triángulo y "s" es el
semiperímetro ( mitad del perímetro).
A  s s  a s  bs  c
Ejemplo: Con ayuda de su profesor halle el área de un triángulo cuyos lados miden 5, 7 y 6 cm
Ejercicio #5: Escriba en su cuaderno el título anterior y número de página y proceda a
resolver los siguientes ejercicios.
1) Halle el área de los triángulos cuyos lados miden respectivamente:
El gran talento
a) 6 cm , 8 cm y 12 cm .
no consiste en
b) 3 cm, 4 cm y 5 cm.
saber lo que se ha
de decir, sino en
c) 16 cm , 30 cm, y 21 cm
saber lo que se ha
d) 14 cm, 9 cm y 7 cm.
de callar
2) Halle el área de la siguientes figuras:
a)
3m
b)
3 cm
2m
2m
2m
2m
5 cm
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