Download Descargar archivo adjunto

Conjuntos Numéricos
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que tienen ciertas propiedades:
* Números Naturales (ℕ): se utilizan para contar los elementos de un conjunto.
Ejemplos: 1, 2, 5, 27, 1000
* Números Enteros (ℤ): es la unión de los naturales, el número 0, y el opuesto de cada número
natural, es decir, los números negativos
Ejemplos: -5, -2, 0 3, 5, 8
* Números Racionales (ℚ): todo número que puede representarse como el cociente, o división, de un
número entero (numerador p) por un número natural (denominador q): p/q. Es decir, una fracción.
O, equivalentemente, como el cociente entre dos números enteros p y q, siendo q distinto de 0.
IMPORTANTE: los números enteros también son racionales. En ese caso, q = 1.
Ejemplos: -1/3, 1/5, 13, 0,222…, 1,233…
* Números Irracionales (I): todo número que NO puede representarse como una fracción, donde p y
q sean enteros y q distinto de 0.
Ejemplos: π; √2; 5 - 3√7; 1; 1,101001000…
Existen dos clases de números irracionales: los números
trascendentes, como π, que se llaman así porque no son
solución de ninguna ecuación con números enteros.
Y los algebraicos , como √2, que son solución de una ecuación
con números enteros, como por ejemplo x2 = 2.
* Números Reales (ℝ): la unión entre el conjunto de los números racionales y el de los números
irracionales. Es decir, tanto los números racionales como los irracionales son números reales.
Ejemplos: todos los anteriores
En resumen, los conjuntos numéricos pueden representarse así:
Observación: hay otros números que podrías obtener, que no son reales, como las soluciones
de la ecuación x2 = -3.
Ejercicio: marcá con una X todos los conjuntos a los que pertenezca cada número
ℕ
ℤ
ℚ
I
ℝ
número
-5
0
1
3/5
1,333…
√7
√1600
-7/3
1,232342345…
5π/2

1,9
Preguntas:
A) ¿Es cierto que la resta entre dos números naturales da por resultado un número natural, en todos
los casos? ¿Y la resta entre reales?
B) ¿Y la división entre dos números naturales siempre da por resultado un natural? ¿Y entre
racionales? ¿Entre irracionales? ¿Entre reales?
C) ¿Es posible decir cuántos números naturales hay entre -3 y 5 inclusive? ¿Y enteros? ¿Y racionales?
¿Y reales?
Observación: esta forma de representar los números irracionales sólo es útil para los números
irracionales algebraicos. ¿Por qué no sirve para los números trascendentes?
Ejercitación
1) Resolver los siguientes cálculos y determinar a qué conjuntos numéricos pertenecen los resultados.
 2 .2 
a)
4
8 3

232
1
1 

1


2 
c) 
 161.0, 251 
 2  .  3  2 
2
 
3
b)  
d)

6
4
2
: 
3 
2
2. 49 : 361
3

2

2)
I) Calcular el valor exacto de:
a) La superficie de un círculo de diámetro igual a 4 dm.
b) El perímetro de un rectángulo cuya altura es de 5 cm y cuya base mide 3 cm más que el doble de la
altura.
c) La superficie de un trapecio rectángulo cuya altura mide 12 cm al igual que la base menor y la base
mayor es 2 cm menor que los 5/2 de altura.
d) La longitud de una circunferencia de radio 5 mm.
II) Indicar a qué conjuntos numéricos pertenecen los resultados obtenidos anteriormente.
3) Indicar Verdadero o Falso. Justificar cada una de las respuestas.
a) 49 tiene dos resultados pertenecientes al conjunto de los números reales.
b) El valor exacto de  es 3,14.
c) Todos los números enteros son números naturales.
d) Todos los números racionales son números reales.
e) La ecuación x 2  36 tiene una única solución real.
f) Entre dos números racionales siempre hay un número entero.
g) Entre dos números racionales siempre hay algún número racional.
h) El siguiente de 2,3 es 2,4.
4) Resolver las siguientes ecuaciones indicando conjunto solución y conjunto numérico de cada una de
las soluciones.
 3x  1
1
1 
a)
 0,5      x  
2
4
2 
1
2x x
1 
2  2
c) 0,5 
    x     
3
6
2 
3  3
3
e)
g) 

9
0,1 x 2   8 0
8


0,3
b)
1
 4  2x
1
1 3 1

 2x  1        2x 
2
3
2 2 3

 4 1
3
d)

0,5x  1 8x  4


2  0,2
0,6  1
f) 1

2 . 0,5  x  0,5  3 x
2
9
4
1
 9x  12  x  x  3x  x  1
3
h)
7x 2  4  7 0
1

1
4
0,5
 2
1
8
8
0,1 x  8 : 3
 3
 2  2
k)
 2         .  
14
 2
 5  5
5
i)
 4 x  2
4
1
1
  5      2  x
5
5
5
1 
1 
2
j) 1  3 x     2  x   1  (2  x)(2)
6 
2 
3

1
1
l)
 0, 4x 2  8  2 :  
2
2
1
1:38
Soluciones
a) S = {-3/7}
h) S = {-3}
b) S = {-1/2}
i) S = {2;-2}
c) S = {3}
j) S = {11}
d) S = {1/7}
k) S = {5;-5}
e) S = {3;-3}
l) S = {3/2;
-3/2}
5) Indicar cuáles de los siguientes números son racionales.
5,3333333333…
 1
1,4567891011…
-2,3535353…
7
3

1
27
f) S = {3/7}
g) S = {1;-1}
6) a) Escribir un número irracional comprendido entre
b) Escribir un número racional comprendido entre
2 y 2, 42
3
4 y 3
5
c) Escribir un número entero comprendido entre  y  6
2

d) Escribir dos números racionales comprendidos entre 3, 24681012... y 3, 3
e) Escribir dos números irracionales negativos, mayores que -1

7) Representar en la recta numérica: 17 ;  29 y 0, 3

8) Ordenar de menor a mayor:  ; 3, 14 ; 3, 14 ;
16
;
5
3
27
9) Colocar > , < o = según corresponda
a )   3, 14 ....... 0

e)  0, 2  0, 2 ...... 0
b) 3, 14   ....... 0
f )   10 ....... 0
c ) 3   1, 7 ........ 0

g )   0, 8  0, 8 ....... 0
 7
d ) 2, 3  ........ 0
3
3
h )  5  3 ........ 0