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IES El Cabanyal FÍSICA 2n Batxillerat
UNIDAD 5 Relatividad restringida (especial) y Física cuántica 09/04/2014
Las cuestiones se puntúan sobre 1,5 puntos y los problemas sobre 2 puntos
Datos, carga del electrón e = 1,6.10-19 C; masa en reposo, me = 9,1.10-31 kg, velocidad de la luz en
el vacío, c = 3.108 m/s, constante de Planck = 6,63.10-34 J.s.
CUESTIONES
1.- (a) Enuncia los postulados de la relatividad especial.
(b) Describe brevemente los resultados experimentales no predichos o explicados por la Física
Clásica que se predicen o explican con la Teoría Especial de la Relatividad.

2.- (a). Demuestra, con ayuda de la mecánica relativista, que al aplicar una fuerza constante F a
un cuerpo de masa en reposo mo, la máxima velocidad que puede adquirir es c.
(b) Si se aplica una fuerza constante a un cuerpo durante un tiempo indefinido, explica cómo
variará con el tiempo la velocidad que adquiere.
3.- (a) Enuncia la hipótesis de De Broglie y explica su significado.
(b) Calcula lo longitud de onda asociada a un haz de electrones que se mueve con una energía de
5 eV.
4.- Escribe la expresión del principio de indeterminación o incertidumbre de Heisenberg. Explica lo
que significa cada término de dicha expresión.
PROBLEMAS
PROBLEMA 1.- Un electrón de energía cinética 0,511 MeV se acelera hasta que su energía total
sea 3 MeV. Calcula:
a) La velocidad inicial del electrón.
b) El momento lineal del electrón acelerado.
PROBLEMA 2.- (a) La longitud de onda umbral de cierto metal es 4.10-7 m. Si se iluminara con
luz de longitud de onda 3,5.10-7 m, ¿cuál sería la energía cinética máxima de los fotoelectrones?
(0,8 puntos)
(b) Calcula el potencial de frenado necesario si se ilumina dicho metal con luz ultravioleta de
frecuencia 1,5.1015 Hz (0,6 puntos)
c) ¿Qué pasaría si se iluminara la fotocélula con luz azul de frecuencia 7.1014 Hz? (0,6 puntos)
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UNIDAD 5 Relatividad restringida y Física cuántica 09/04/2014
Datos, carga del electrón e = 1,6.10-19 C; masa en reposo, me = 9,1.10-31 kg, velocidad de la luz en
el vacío, c = 3.108 m/s.
RESPUESTAS
CUESTIONES
1.- (a) Enuncia los postulados de la relatividad especial.
(b) Describe brevemente los resultados experimentales no predichos o explicados por la Física
Clásica que se predicen o explican con la Teoría Especial de la Relatividad.
Repuesta
(a) El primer postulado afirma que “las leyes físicas han de tener la misma expresión
matemática para todos los sistemas de referencia inerciales” (los sistemas de referencia
inerciales han de ser SR libres de interacciones o que la suma de todas ellas sea nula).
Esta afirmación equivale a rechazar el movimiento o reposo absoluto.
El segundo postulado afirma que “la velocidad de propagación de la luz en el vacío es
constante para todos los observadores, con independencia del movimiento del foco
luminoso o del receptor”.
(b) Entre los resultados experimentales inexplicables por la Mecánica Clásica destaca la la
dilatación del tiempo para un observador en movimiento, respecto de un observador en
reposo, puesto de manifiesto en el aumento de vida media de los muones que llegan
hasta la superficie de la Tierra, respecto de los muones generados en las colisiones del
laboratorio atómico que se desintegran en menor tiempo; la existencia de una velocidad
límite (experimento de Bertozzi: los electrones acelerados con enorme energía varios MeV
no alcanzan la velocidad de la luz y cada vez aumenta menos su velocidad aunque se
mantenga la fuerza aceleradora). También la curvatura de la luz al pasar por un campo
gravitatorio intenso (E = mc2).

2.- (a). Demuestra, con ayuda de la mecánica relativista, que al aplicar una fuerza constante F a
un cuerpo de masa en reposo mo, la máxima velocidad que puede adquirir es c.
(b) Si se aplica una fuerza constante a un cuerpo durante un tiempo indefinido, explica cómo
variará con el tiempo la velocidad que adquiere.
Respuesta
(a) La masa relativista, esto es, la masa de una partícula que se mueve con velocidad v respecto
de un observador que ha medido una masa en reposo mo, vienen dada por
m
mo
v2
1 2
c
, por lo que, a medida que la velocidad v se cerque
a c el denominador de la ecuación se aproxima a cero, lo que
significa que m se acercará a infinito cuando v   (con
cualquier fuerza la aceleración tenderá a cero). La velocidad se
acercará asintóticamente a c.
(b) Al aplicar la fuerza constante, cuando v<<c, la velocidad
aumentará linealmente (aceleración constante), pero a medida
que v se acerque a c, según acabamos de ver, la masa
aumentará y se acercará asintóticamente a . La gráfica
adjunta representa esta situación.
v
c
t
3.- (a) Enuncia la hipótesis de De Broglie y explica su significado.
(b) Calcula lo longitud de onda asociada a un haz de electrones que se mueve con una energía de
5 eV.
(1,5 punts)
Respuesta
(a) De Broglie señala que la luz no es un corpúsculo o una unda, sino que tiene una naturaleza
dual, esto es, se comporta siempre como onda y como corpúsculo; aunque no se puedan observar
en las mismas experiencias, al mismo tiempo, el carácter ondulatorio y el carácter corpuscular. Es
decir, el carácter ondulatorio se pone de manifiesto en determinadas circunstancias, mientras que
el carácter corpuscular se pone de relieve en otras circunstancias diferentes.
Por otro lado, De Broglie atribuye este carácter dual a toda la materia, asociando la energía en
movimiento, o mejor, el momento lineal a la frecuencia de la onda que lleva asociada, esto es h. 
= pc, (1) donde p es el momento lineal de la partícula y  la frecuencia de la onda asociada, o
bien,  = h/p. (2)
(b) La velocidad de los electrones, según la mecánica clásica es
v
2.Ec

m
2.5.1,6.10 19
= 1,33.106 m/s << c, por lo que se puede obviar las correcciones de la
31
9,1.10
mecánica relativista.
De la ecuación (2)  =
h
6,67.10 34
= 5,49.10-10 m

m.v 9,1.10 31.1,33.10 6
4.- Escribe la expresión del principio de indeterminación o incertidumbre de Heisenberg. Explica lo
que significa cada término de dicha expresión.
Respuesta
En la mecánica determinista la variación de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo
(dp/dt) es igual a la fuerza que actúa sobre la partícula. Para conocer la posición de la partícula en
un instante dado debemos conocer su posición y velocidad en otro instante y las fuerzas que
actúan sobre la partícula (es decir, debemos conocer las condiciones iniciales). La imprecisión
dependerá de los dispositivos de medida, que podemos hacer muy inferiores a las magnitudes
macroscópicas medidas. Pero esto no es válido para el mundo submicroscópico porque es
imposible conocer las condiciones iniciales sin alterarlas (por ejemplo, “ver” la posición de un
electrón conlleva hacer chocar un fotón contra él, modificando las condiciones “iniciales”). En el
mundo submicroscópico, el grado de incertidumbre en la posición, momento lineal, etc, están
ligados entre sí.
Heisemberg propuso en 1927 la idea siguiente: si la longitud de onda y el momento lineal están
relacionados, (su producto es p = h), el producto de la imprecisión en dicho momento lineal por la
imprecisión en la medida de las distancias, nunca podrá ser inferior a h/4, esto es, la mitad
constante de Planck racionalizada. Es decir, debería cumplirse que el límite de la imprecisión
viene determinado por el producto de las imprecisiones del momento lineal y de la posición, p.x,
que es la mitad de la constante de Planck racionalizada, o sea,
p. x  h/4 
En el caso de partículas macroscópicas esta imprecisión es ridícula comparada con las
magnitudes que se manejan habitualmente. La imprecisión es enorme en el caso del fotón, lo que
conlleva centrar el estudio del micromundo en funciones de probabilidad, dado que no se puede
conocer con precisión, y de forma simultánea, el momento lineal y la posición (ni, por
consiguiente, la trayectoria). La ecuación anterior, constituye la expresión matemática de un
principio de indeterminación, que se denomina Principio de Indeterminación o incertidumbre
de Heisenberg.
También propuso que el límite del producto de la imprecisión la energía por la imprecisión en el
tiempo, era la mitad de la constante de Planck racionalizada, esto es, . t  h/4
PROBLEMAS
PROBLEMA 1.- Un electrón de energía cinética 0,511 MeV se acelera hasta que su energía total
sea 3 MeV. Calcula:
a) La velocidad inicial del electrón.
b) El momento lineal del electrón acelerado.
Respuesta
a) La energía total inicial del electrón es Eo = m.c2, donde m es la masa del electrón con la
velocidad que lleva: La energía cinética es
Ec = 0,511 MeV = 0,511.1,6.10-19.106 = 8,18.10-14 J.
Pero, Etotal = mc2 + Ec = mc2 = Ereposo + Ec = me.c2 + Ec
 Ec = me.c2 + me.c2 = me(-1)c2 = 8,18.10-14 J. Se calcula ahora el factor .
=
1

v
1  2
c

2
1

v
1  2
c

2






; sustituyendo, 8,18.10-14 = 9,1.10-31(- 1).(3.108)2 ;  = 2;
= 2; 0,5 =

v2
1  2
c


 ; 0,25 =


v2
1  2
c


 ;

v2
 2
c

 = 0,75 ; v = 0,866 c= 2,598.108 m/s

E
E.v
.mov  2 .
2
mo c
c
La velocidad se puede calcular v si se tiene en cuenta que E = mc2 = me.c2 = 3.106.1,6.104,8.10 13
19
= 4,8.10-13 J;   
= 5,86
9 ,1.10 31 .9.1016
b) El momento lineal del electrón es p = m.v= mo.v =
 v2
= 5,86; 0,17062 = 1  2
c


v2 
1  2 
c 

1

v2
  2 = 0,97088 v = 0,985.c = 2,956.108 m/s
c

E .v
= 1,58.10-21 kg.m.s-1
2
c
EL problema se resuelve también si se tiene en cuenta la relación
El momento lineal es p =
E = (pc) + (moc )  p =
2
2
2 2
E 2  ( mo c 2 ) 2
c
PROBLEMA 2.- (a) La longitud de onda umbral de cierto metal es 4.10-7 m. Si se iluminara con
luz de longitud de onda 3,5.10-7 m, ¿cuál sería la energía cinética máxima de los fotoelectrones?
(0,8 puntos)
(b) Calcula el potencial de frenado necesario si se ilumina dicho metal con luz ultravioleta de
frecuencia 1,5.1015 Hz (0,6 puntos)
c) ¿Qué pasaría si se iluminara la fotocélula con luz azul de frecuencia 7.1014 Hz? (0,6 puntos)
Respuesta
a) La energía de la radiación incidente se emplea en arrancar los fotoelectrones (trabajo de
extracción) y dotarlos de energía cinética. La energía de la radiación es h, donde  es la
frecuencia, de acuerdo con Planck, y el trabajo de extracción ho. Por consiguiente, h =
ho + Ecmax (1)  Ecmax = h( -  o) (2)
Las frecuencias de las radiaciones están relacionadas con las longitudes de onda  =
c/(3), por lo que ,
 = 3.018/3,5.10-7 = 8,57.1014 Hz;  = 3.018/4.10-7 = 7,5.1014 Hz,
Sustituyendo en (2) se tiene, Ecmax = 6,63.10-34.(8,57 -7,50).1014 = 7,15.10-20 J.
b) El potencial de frenado por la carga del electrón es la energía cinética máxima, esto es, h
= ho + Vf.e
h(   o ) 6 ,63.10 34 (15  7 ,5 ).1014

 Vf 
= 3,11 V
e
1,6.10 19
c) Dado que la radiación tiene una frecuencia menor que la frecuencia umbral calculada en el
apartado a) ( = 7,5.1014 Hz ), no se producirá el efecto fotoeléctrico.