Download Campo magnético producido por una corriente que circula a lo largo

MAGNETISMO
Desde el siglo VI a. C. ya se conocía que el óxido ferroso-férrico, al que
los antiguos llamaron magnetita, poseía la propiedad de atraer partículas de
hierro. Hoy en día la magnetita se conoce como imán natural y a la propiedad
que tiene de atraer los metales se le denomina “magnetismo”.
Los chinos fueron los primeros en descubrir que cuando se le permitía a
un trozo de magnetita girar libremente, ésta señalaba siempre a una misma
dirección; sin embargo, hasta mucho tiempo después esa característica no se
aprovechó como medio de orientación. Los primeros que le dieron uso práctico
a la magnetita en función de brújula para orientarse durante la navegación
fueron los árabes.
Como todos sabemos, la Tierra constituye un gigantesco imán natural;
por tanto, la magnetita o cualquier otro tipo de imán o elemento magnético que
gire libremente sobre un plano paralelo a su superficie, tal como lo hace una
brújula, apuntará siempre al polo norte magnético. Como aclaración hay que
diferenciar el polo norte magnético de la Tierra del Polo Norte geográfico. El
Polo Norte geográfico es el punto donde coinciden todos los meridianos que
dividen
la Tierra, al igual que ocurre
con
el Polo Sur.
Sin embargo, el polo norte magnético se encuentra situado a 1 200
kilómetos de distancia del norte geográfico, en las coordenadas 78º 50´ N
(latitud Norte) y 104º 40´ W (longitud Oeste), aproximadamente sobre la isla
Amund Ringness, lugar hacia donde apunta siempre la aguja de la brújula y no
hacia el norte geográfico, como algunas personas erróneamente creen.
La
gigantesco imán con sus. correspondientes polos
Tierra
constituye
un.
IMANES PERMANENTES
Cualquier tipo de imán, ya sea natural o artificial, posee dos polos
perfectamente diferenciados: uno denominado polo norte y el otro denominado
polo sur.
Todos los imanes tienen dos polos: uno norte (N) y otro sur (S).
Una de las características principales que distingue a los imanes es la
fuerza de atracción o repulsión que ejercen sobre otros metales las líneas
magnéticas
que
se
forman
entre
sus
polos.
Cuando enfrentamos dos o más imanes independientes y acercamos
cada uno de ellos por sus extremos, si los polos que se enfrentan tienen
diferente polaridad se atraen (por ejemplo, polo norte con polo sur), pero si las
polaridades son las mismas (polo norte con norte, o polo sur con sur), se
rechazan.
Si enfrentamos dos imanes con polos diferentes se
atraen, mientras que si los polos enfrentados son iguales, se repelen.
Cuando aproximamos los polos de dos imanes, de inmediato se
establecen un determinado número de líneas de fuerza magnéticas de
atracción o de repulsión, que actúan directamente sobre los polos enfrentados.
Las líneas de fuerza de atracción o repulsión que se establecen entre
esos polos son invisibles, pero su existencia se puede comprobar visualmente
si espolvoreamos limallas de hierro sobre un papel o cartulina y la colocamos
encima de uno o más imanes.
INDUCCIÓN MAGNÉTICA
Si cogemos un alambre de cobre o conductor de cobre, ya sea con forro
aislante o sin éste, y lo movemos de un lado a otro entre los polos diferentes de
dos imanes, de forma tal que atraviese y corte sus líneas de fuerza magnéticas,
en dicho alambre se generará por inducción una pequeña fuerza electromotriz
(FEM), que es posible medir con un galvanómetro, instrumento semejante a un
voltímetro, que se utiliza para detectar pequeñas tensiones o voltajes.
Este fenómeno físico, conocido como "inducción magnética" se origina
cuando el conductor corta las líneas de fuerza magnéticas del imán, lo que
provoca que las cargas eléctricas contenidas en el metal del alambre de cobre
(que hasta ese momento se encontraban en reposo), se pongan en movimiento
creando un flujo de corriente eléctrica. Es preciso aclarar que el fenómeno de
inducción magnética sólo se produce cada vez que movemos el conductor a
través de las líneas de fuerza magnética. Sin embargo, si mantenemos sin
mover el alambre dentro del campo magnéticos procedente de los polos de los
dos
imanes,
no
se
inducirá
corriente
alguna.
En esa propiedad de inducir corriente eléctrica cuando se mueve un
conductor dentro de un campo magnético, se basa el principio de
funcionamiento
de
los
generadores
de
corriente
eléctrica.
Ahora bien, si en vez de moverlo colocáramos el mismo conductor de
cobre dentro del campo magnético de los dos imanes y aplicamos una
diferencia de potencial, tensión o voltaje en sus extremos, como una batería,
por ejemplo, el campo magnético que produce la corriente eléctrica alrededor
del conductor al circular a través del mismo, provocará que las líneas de fuerza
o campo magnético de los imanes lo rechacen. De esa forma el conductor se
moverá hacia un lado o hacia otro, en dependencia del sentido de circulación
que tenga la corriente, provocando que rechace el campo magnético y trate de
alejarse
de
su
influencia.
Cuando aplicamos una diferencia de potencial, tensión o voltaje a un conductor
y lo situamos dentro de las líneas de fuerza de un campo magnético, como el
de dos imanes, por ejemplo, éste será rechazado hacia uno u otro lado, en
dependencia del sentido de dirección que tenga la corriente que fluye por el
conductor.
El campo magnético que se crea alrededor del alambre de cobre o
conductor cuando fluye la corriente eléctrica, hace que éste se comporte
también como si fuera un imán y en esa propiedad se basa el principio de
funcionamiento
de
los
motores
eléctricos.
En la actualidad la magnetita no se emplea como imán, pues se pueden
fabricar imanes permanentes artificiales de forma industrial a menor costo.
En la actualidad se fabrican imanes permanentes artificiales, para su
empleo, por ejemplo, en la fabricación de altavoces para equipos de audio,
dinamos para el alumbrado en las bicicletas, pequeños motores para uso en
juguetes o en equipos electrónicos, en la junta hermética de la puerta de los
frigoríficos y, por supuesto, en la fabricación de brújulas.
Los altavoces de los equipos de sonido emplean,
comúnmente, un imán permanente.
ELECTROMAGNETISMO
En 1820 el físico danés Hans Christian Oerted descubrió que entre el
magnetismo y las cargas de la corriente eléctrica que fluye por un conductor
existía una estrecha relación
Cuando eso ocurre, las cargas eléctricas o electrones que se
encuentran en movimiento en esos momentos, originan la aparición de un
campo magnético tal a su alrededor, que puede desviar la aguja de una brújula.
Si cogemos un trozo de alambre de cobre desnudo, recubierto con
barniz aislante y lo enrollamos en forma de espiral, habremos creado un
solenoide con núcleo de aire.
Si a ese solenoide le aplicamos una tensión o voltaje, desde el mismo
momento que la corriente comienza a fluir por las espiras del alambre de cobre,
creará un campo magnético más intenso que el que se origina en el conductor
normal de un circuito eléctrico cualquiera cuando se encuentra extendido, sin
formar
espiras.
Bobina solenoide con núcleo de aire construida con alambre. desnudo de
cobre enrollado en forma de espiral y protegido con. barniz aislante. Si a esta
bobina le suministramos corriente. eléctrica empleando cualquier fuente de
fuerza electromotriz, como. una batería, por ejemplo, el flujo de la corriente
que circulará a. través de la bobina propiciará la aparición de un campo
magnético. de cierta intensidad a su alrededor.
Después, si a esa misma bobina con núcleo de aire le introducimos un
trozo de metal como el hierro, ese núcleo, ahora metálico, provocará que se
intensifique el campo magnético y actuará como un imán eléctrico (o
electroimán), con el que se podrán atraer diferentes objetos metálicos durante
todo el tiempo que la corriente eléctrica se mantenga circulando por las espiras
del
enrollado
de
alambre
de
cobre.
Bobina solenoide a la que se le ha introducido un núcleo metálico. como el
hierro (Fe). Si comparamos la bobina anterior con núcleo< de aire con la
bobina de esta ilustración, veremos que ahora las< líneas de fuerza
magnética se encuentran mucho más< intensificadas al haberse convertido
en un electroimán.
Cuando el flujo de corriente eléctrica que circula a través del enrollado
de cobre cesa, el magnetismo deberá desaparecer de inmediato, así como el
efecto de atracción magnética que ejerce el núcleo de hierro sobre otros
metales. Esto no siempre sucede así, porque depende en gran medida de las
características del metal de hierro que se haya empleado como núcleo del
electroimán, pues en algunos casos queda lo que se denomina "magnetismo
remanente" por un tiempo más o menos prolongado después de haberse
interrumpido totalmente el suministro de corriente eléctrica.
La ley de Biot-Savart
El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo
magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una
corriente de intensidad i.
B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, ut es un
vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido
de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. ur es un
vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de
corriente, 0/4 = 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades.
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un
conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.
El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una
dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el
punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al
producto vectorial ut ur
Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.
Se integra sobre la variable  , expresando las variables x y r en función del
ángulo  .
R=r·cos , R=x·tan .
En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético producido
por una corriente rectilínea indefinida en el punto P. Cuando se dibuja en un
papel, las corrientes perpendiculares al plano del papel y hacia el lector se
simbolizan con un punto  en el interior de una pequeña circunferencia, y las
corrientes en sentido contrario con una cruz  en el interior de una
circunferencia tal como se muestra en la parte derecha de la figura.
La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado
por la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del
sacacorchos o la denominada de la mano derecha.
La ley de Ampère
La ley de Gauss nos permitía calcular el campo eléctrico producido por una
distribución de cargas cuando estas tenían simetría (esférica, cilíndrica o un
plano cargado).
Del mismo modo la ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético
producido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría.
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los
de la ley de Gauss.
1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del
campo magnético
2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular
la circulación del campo magnético.
3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado
4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
1. La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano
determinado por la corriente y el punto.
2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada
en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular
Campo magnético producido por una corriente rectilínea


El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r,
paralelo al vector dl.
El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos
los puntos de dicha circunferencia.
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
4. Despejamos el módulo del campo magnético B.
Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.
Fuerza entre dos corrientes rectilíneas
Sean dos corrientes rectilíneas indefinidas de intensidades Ia e Ib paralelas y
distantes d.
El campo magnético producido por la primera corriente rectilínea en la posición
de la otra corriente es
De acuerdo con la regla de la mano derecha tiene el sentido indicado en la
figura, en forma vectorial Ba=-Bai
La fuerza sobre una porción L, de la segunda corriente rectilínea por la que
circula una corriente Ib en el mismo sentido es
Como podemos comprobar, la fuerza que ejerce el campo magnético producido
por la corriente de intensidad Ib sobre la una porción de longitud L de corriente
rectilínea de intensidad Ia, es igual pero de sentido contrario.
La fuerza por unidad de longitud ente dos corrientes rectilíneas indefinidas y
paralelas, distantes d es
La unidad de medida de la intensidad de la corriente eléctrica, el ampere, se
fundamenta en esta expresión:
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose
en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección
circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el
vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.
Si las corrientes tienen sentido opuesto, la fuerza tiene el mismo módulo pero
de sentido contrario, las corrientes se atraen, tal como se aprecia en la figura
Dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas, separadas una distancia d


las corrientes eléctricas que circulan en el mismo sentido, se atraen
las corrientes eléctricas que circulan en sentido contrario, se repelen
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
indefinida de sección circular.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida
uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro
radio interior a.
1. La dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al
plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es
decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que
pasa por el punto P.
2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino
cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r,
centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al
mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha
circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea
B·2 r
3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de
radio r (en color azul) en los dos casos siguientes.

r<a
4.-Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de
radio r<R es una parte de la intensidad total i.
5.-Aplicando la ley de Ampère

r>a
4.-La intensidad que atraviesa la circunferencia de radio
5.-Aplicando la ley de Ampère
Campo magnético producido por una corriente que circula a lo
largo de un cilindro hueco.
En el siguiente applet se representa mediante flechas el campo magnético
producido por una corriente rectilínea indefinida, perpendicular al plano del
applet y dirigida hacia el lector.
Pulsando en el botón titulado Siguiente, se representa el campo magnético
producido por dos, tres, cuatro, etc, corrientes rectilíneas indefinidas situadas
sobre la superficie lateral y paralelas al eje de un cilindro de radio a.
Cuando el número de corrientes equidistantes es grande, se anula el campo
magnético en el interior, (para r<a), en el exterior el campo magnético es
tangente a circunferencias concéntricas de radio r>a. Vamos a ver cómo en
esta situación es aplicable la ley de Ampère.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida
uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro
hueco de radio interior a y exterior b.
1. Como hemos observado en el applet, la dirección del campo magnético
en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la
corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de
radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P.
2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino
cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r,
centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al
mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha
circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea
B·2 r
3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de
radio r (en color azul) en los tres casos siguientes.
4. r<a
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio
r<a es cero. Aplicando la ley de Ampère
B·2 r= 0 ·0
B=0
El campo magnético es nulo para r<a tal como hemos comprobado en el
applet.

a<r<b
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio
a<r<b es una parte de la intensidad total i.
Si la corriente i está uniformemente distribuida en la sección  b2- a2. La
corriente que atraviesa la circunferencia de radio r es la que pasa por la
sección pintada de color rojo, cuya área es  r2- a2.
Aplicando la ley de Ampère

r>b
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio
r>b es la intensidad i. El módulo del campo magnético B en un punto P situado
a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es
Fuerza entre corrientes de sección no nula
Hemos estudiado la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas,
paralelas separadas una distancia d. Cuando las corrientes circulan en el
mismo sentido, la fuerza es atractiva y cuando las corrientes circulan en sentido
contrario la fuerza es repulsiva. Hemos supuesto que el radio de la sección de
las corrientes es muy pequeña comparada con la distancia d de separación
entre las mismas.
En este apartado, vamos a considerar dos casos:


Cuando una de las corrientes tiene sección rectangular
Cuando una de las corrientes tiene sección circular
y que las dimensiones de la sección son comparables con la separación d entre
las mismas. Este aparatado, es de interés para los lectores que disfruten con el
cálculo integral.
Corriente de sección rectangular
El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, para distancias
mayores que el radio de la sección circular, es.
Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre una corriente
rectilínea indefinida de sección rectangular de dimensiones 2l (largo)y 2w
(ancho), distante d.
Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de
corriente de dimensiones dx y dy.
Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la
sección rectangular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal (en
color azul) es
La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L



cuyo módulo es
dirección es radial
sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)
Las componentes de dicha fuerza son:
dFx=dFcosθ
dFy=dFsenθ
Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza
resultante tiene la dirección del eje X
El término ente paréntesis corresponde a la fuerza entre dos corrientes
rectilíneas indefinidas paralelas que distan d.
Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble
La integral con respecto a x es inmediata
Ahora, tenemos que resolver la integral
Integramos por partes
Descomponemos la integral racional en la suma de dos integrales, del siguiente
modo
Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas
A=0, C=0, B=-2a2, D=2b2
Una vez que tenemos la función integrando calculamos el valor de la integral
definida.
La fuerza resultante es
La fuerza de atracción entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, se ve
afectada por un factor multiplicativo f que depende de las dimensiones (w, l) de
sección rectangular de la corriente y de su separación d de la corriente
rectilínea que produce el campo magnético.
Corriente de sección circular
Calculamos ahora, la fuerza sobre una corriente indefinida de sección circular
de radio R, que dista d de la corriente rectilínea indefinida que produce el
campo magnético, ambas conducen la misma intensidad i pero en sentidos
contrarios.
El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, es.
Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre la corriente de
sección circular de radio R, que dista d de la corriente rectilínea.
Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de
corriente de dimensiones dx y dy.
Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la
sección circular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal es
La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L



cuyo módulo es
dirección es radial
sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)
Las componentes de dicha fuerza son:
dFx=dFcosθ
dFy=dFsenθ
Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza
resultante tiene la dirección del eje X
El término ente paréntesis, corresponde a la fuerza entre dos corrientes
rectilíneas indefinidas paralelas que distan d.
Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble
Manteniendo y constante, como en la figura, los límites de integración de x son
x1 y x2
La integral con respecto a x es inmediata
Ahora tenemos que resolver la integral
Hacemos el cambio de variable y=Rsenθ, dy=Rcosθ·dθ
con a=d2+R2 y b=2dR
Los nuevos límites de integración son –π/2 y π/2 que emplearemos para
calcular la integral definida una vez conocida la función integrando. Integramos
por partes
El resultado es
Para calcular la segunda integral, empleamos las relaciones trigonométricas
Para calcular la segunda integral, hacemos el cambio de variable, tanθ=t,
dθ=dt/(1+t2)
Es una integral racional que descomponemos en la suma de dos integrales, del
siguiente modo
En este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas
A=0, C=0, B=-2a(a2-b2)/b, D=2a/b
Deshacemos los cambios
Finalmente, la integral queda
Teniendo en cuenta que a=d2+R2 y b=2dR. La integral vale
La resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético producido por la
corriente rectilínea sobre los elementos diferenciales de la corriente de sección
R es
La fuerza de atracción es la misma que la deducida para conductores
rectilíneos indefinidos de pequeña sección comparada con la separación d
entre las corrientes paralelas.