Download campos_electrico_y_magnetico

EL CAMPO ELÉCTRICO Y EL CAMPO MAGNÉTICO
Prof. Omar Contreras
Consideremos el Campo Magnético y el Campo Eléctrico que produce una corriente de
iones positivos, moviéndose hacia la derecha por un tubo delgado, junto con otra
corriente igual pero de iones negativos moviéndose hacia la izquierda. Estudiaremos su
vi
vi
vi
vi
FM
q
vq
Desde el sistema S’ se indica la Fuerza
Magnética sobre una carga q producida
por las corrientes de iones. La carga q se
mueve con velocidad vq hacia la derecha.
efecto sobre una carga q que se mueve con velocidad vq hacia la derecha. Sin pérdida de
generalidad y solo para simplificar los cálculos, supongamos que la carga se mueve con
la misma velocidad que los iones positivos, es decir; vq = vi.
Usaremos cuatro sistemas de referencia (Los dos primeros muy poco):
1. Sistema en el cual los iones positivos están en reposo, su densidad lineal de
carga será o , con o > 0.
2. Sistema en el cual los iones negativos están en reposo, su densidad lineal de
carga será - o , con o > 0.
3. Sistema S o sistema laboratorio que corresponde con los valores indicados en la
figura.
4. Sistema S’ en el cual la carga q está en reposo. Es decir, que se mueve respecto a
S hacia la derecha con velocidad vi.
Para tomar en cuenta los efectos relativistas debemos considerar los siguientes puntos:

Los efectos de los Campo Magnético y Eléctricos sobre la carga q, los estudiaremos a


 
través de la fuerza de Lorentz: F  q E  q v  B .

Para un ión que se mueve con velocidad vi, el espacio se contrae según la Ecuación de
v i2
., siendo Lo cualquier distancia en el sistema en que los
c2
iones están en reposo. Por lo tanto en el sistema S se modifica la densidad lineal de
carga respecto al sistema en el que los iones están en reposo. Como desde S las
velocidades de los iones positivos y negativos son iguales, también serán iguales sus
contracciones.
Lorentz: L 0  L o
1
1


La velocidad de los iones medida desde S’ se modifica según las ecuaciones de
transformación de las velocidades:
vi  vq
2 vi
 vi  vq
v 
 0 , y v '

vi vq
vi vq
v2
1 2
1 2
1  2i
c
c
c
La Fuerza sobre la carga q se modifica respecto a S’, según la ecuación:


F
.
F 
v i2
1 2
c
Desde el Sistema S:
Si o es la densidad lineal de carga en el sistema en que los iones positivos se
encuentran en reposo, el principio de conservación de la carga establece que:
o L”o = + Lo.
- o L”o = - - Lo,
Similarmente,
ó:
 
o
v2
1  2i
c
y  
o
v2
1  2i
c
.
Como ambas densidades lineales de carga son iguales (su signo lo vamos a escribir
explícitamente en las ecuaciones), el Campo Eléctrico neto sobre la carga externa q es
cero y por lo tanto también es cero la Fuerza Eléctrica sobre ella.
FE = 0
Para calcular la fuerza magnética sobre la carga q calculemos primero la corriente:
I + =  + vi ; I - =  - vi = I + ;
I = 2 I+
Con lo cual el campo magnético es, usando la Ley de Ampère:
 I   v
0  o vi
B 0  0  i 
2r
r
v2
 r 1  2i
c
Y la fuerza magnética FM = q B vi , queda:
FM 
 0  o q v i2
v i2
 r 1 2
c
Desde el Sistema S’:
La carga q está en reposo y así:
FM = 0
2
Los iones positivos también están en reposo ( v+’ = 0 ) y por lo tanto ’+ = 
conservación de la carga nos da el valor de la densidad de iones negativos:

   v 2 
2o L2o  2 L2o 1  i2  , ó:
c 

2
2o
4 v i2 c 2
c 4  v i4  2 c 2 v i2 c 2  v i2 
, ó:
 1



c 2  v i2 2
c 2  v i2 2
c 2  v i2 2
2
 o c 2  v i2

  c 2  v i2
Y la densidad de carga total que “ve” la carga q será:
 c 2  v i2 
2  o v i2



 TOT         o 1  2


2 
c2
 c  vi 
o
. La
1
.
v i2
1 2
c
Usando la Ley de Gauss encontramos el campo eléctrico:
 TOT
 o v i2
1
.
E 


2
2r
 o c r
v i2
1 2
c
2
1
La fuerza Eléctrica de atracción es, usando que c 
:
oo
FE  q E  
 o  o v i2 q
 v2 
 r 1  2i 
 c 
Colofón:
Que solo haya fuerza Magnética en S y solo fuerza Eléctrica en S’ no quiere decir que
sea la misma fuerza, pero, comparando las ecuaciones de las fuerzas en los sistemas S y
S’ obtenemos:
FM
FE 
v2
1  2i
c
Es decir, La Fuerza Eléctrica en S’ es la Transformación de la Fuerza Magnética en S.
En otras palabras, es la misma fuerza vista desde sistemas diferentes, con lo cual
Einstein unificó los Campos Eléctrico y Magnético, los cuales ahora forman un Tensor
Electromagnético de segundo rango:
 0

Ex
F  
E
 y
E
 z
 Ex
 Ey
0
Bz
 Bz
0
By
 Bx
 Ez 

 By 
.
Bx 

0 
3