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ECUACIONES
Es una igualdad matemática donde intervienen variables y números en la que se
busca hallar el valor de las variables en una unidad de medida
Ejemplo:
5 X3 + 7 X2 - 3 X + 12 = 23
 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
Es aquella ecuación de primer grado, es decir su variable tiene como exponente
máximo de un grado.
Ejemplo:
5 X + 8 = 13
o PROCEDIMIENTO PARA DESARROLLAR UNA ECUACIÓN:
1. En cada lado de la igualdad, llamados miembros se ubican las variables
y números, tratando que en el primer miembro se ubiquen las variables y
en el segundo miembro los números.
2. Al pasar las variables o números de un miembro a otro, lo hará
cambiando de signo. Es decir, si es negativo a positivo; Y si es positivo,
a negativo.
3. Se realizará las operaciones de suma o resta, hasta quedar en el primer
miembro la variable y en el segundo miembro el número.
4. El coeficiente de la variable, al pasar al otro miembro, lo hará, a la
inversa de la operación en la que es afectada la variable. Es decir, si el
coeficiente está multiplicando pasará dividiendo y si está dividiendo
pasará multiplicando; y si esta elevado a un exponente, pasara con la
raíz y el índice correspondiente.
Ejemplo:
1) 4 X + 6
= 18 – 2X
2) 4 X + 2X = 18 – 6
3)
6 X = 12
4)
X = 12
6
5)
X = 2
EJERCICIOS N0 01
Desarrollar las siguientes ecuaciones de primer grado:
1) 9X + 7 = 31 – 3X
2) 8X + 10 = 28 – 2X
3) 5X + 3 = 15 – X
4) 7X - 4 = 21 + 2X
5) 3X - 2 = 21 + 2X
ECUACIONES EN PROBLEMAS COTIDIANOS
Las ecuaciones se usan para resolver cuestiones de la vida cotidiana, como
saber el precio de un producto o servicio, edades u otros similares.
Ejemplo:
Un cuaderno cuesta S/ 2.00 (Dos nuevos soles). Cuántos cuadernos se podrá
adquirir con S/ 18.00 (Diez y ocho nuevos soles).
a) Planteamiento de la ecuación:
2 X = 18
b) Solución del Problema:
2 X = 18
X = 18 → X = 9 cuadernos //s.s.
2
EJERCICIOS N0 02
1. Un folder cuesta S/ 3.00 (Tres nuevos soles). Cuántos folders se podrá
Adquirir con S/ 21.00 (Veinte y un nuevos soles).
2. Un menú cuesta S/ 4.00 (Cuatro nuevos soles). Cuántos menús se podrá
Adquirir con S/ 20.00 (Veinte nuevos soles).
3. Cuanto cuesta una mochila, si ya a adquirido sus útiles escolares por S/
20.00 (Veinte nuevos soles) invirtiendo en total S/ 60.00 (Sesenta nuevos
soles).
4. Cuantos cuadernos a comprado María, si ya a gastado S/ 30.00 (Treinta
nuevos soles) y cada cuaderno cuesta S/ 4.00 (Cuatro nuevos soles).
Habiendo gastado en total S/ 54.00 (Cincuenta nuevos soles).
5. Cuantas medias a comprado Rosa, si ya a gastado S/ 10.00 (Diez nuevos
soles) y cada par de medias cuesta S/ 5.00 (Cinco nuevos soles). Habiendo
gastado ya en total S/ 40.00 (Cuarenta nuevos soles).
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado, es de la forma:
4 X2 + 5 X + 12 = 6
Existen dos formas para desarrollar una ecuación de segundo grado, por el
método del aspa y por el método general:
 METODO DEL ASPA:
Ejemplo:
X2 + 4X - 3 = - 6
Solución
Luego: X2 + 4X - 3 = - 6 → X2 + 4X - 3 + 6 = 0 → X2 + 4X + 3 = 0
X2 + 4X + 3 = 0
X
3
X
3X
1
X
4X
NOTA: En ciertos casos el tercer término, se descompone mediante el M.C.M.
o en sus factores primos.
 METODO GENERAL:
Se realiza mediante el producto notable de; (X + Y)2 = X2 + 2 XY + Y2
(X + Y (2 = X2 + 2 XY + Y2 = X2 + 2YX + Y2 → 0 = X2 + 2YX + Y2 - (X + Y)2
donde: a = 1; b = 2 Y; ; c = Y2 - (X + Y)2 Luego::
: aX2 + b X + c = 0
Su desarrollo es (X + Y)2 = X2 + 2 XY + Y2 →√ (X + Y)2
X+Y
= √ X2 + 2 XY + Y2
= √ X2 + 2 XY + Y2 → X = - Y + √ X2 + 2 XY + Y2 Luego será:
X = - 2aY + √ (-2aY) 2 – 4 a ( X2 + 2 XY + Y2))
2a
EJERCICOS
Mediante el método del aspa desarrollar y hallar X:
1) ·X2 + 5X + 6 = 0
2) X2 + 7X + 12 = 0
3) X2 + 9X + 18 = 0
4) 3 X2 + 9X + 6 = 0
5) 5 X2 + 13X + 6 = 0
Mediante el método general desarrollar y hallar X:
1) ·X2 + 6X + 8 = 0
2) X2 + 7X + 10 = 0
3) X2 + 9X + 13 = 0
4) 3 X2 + 9X + 13 = 0
5) 5 X2 + 13X + 4 = 0
TRIÁNGULOS
Figura geométrica formado por la intersección de tres rectas.
B
c
a
Ө
β
A
b
C
1. ELEMENTOS:
a) LADOS: Representado por letras minúsculas de acuerdo al vértice opuesto.
b) ÁNGULO INTERIOR: Formado por la intersección de dos a dos rectas que
miran hacia adentro de la figura. Ө
c) ANGULO EXTERIOR: Determinado por un lado y la prolongación del otro. β
d) PERÍMETRO: Representado pro 2p, que es la suma de los tres laos. a – b - c
2. CLASES DE TRIÁNGULOS:
I. POR LA CARACTERÍSTICA DE SUS ÁNGULOS:
Los triángulos pueden ser de dos tipos:
a) Triángulo Rectángulo: Cuando uno de sus ángulos interiores es recto
b) Triángulo Oblicuángulo: Pueden ser de dos sub tipos:
1) Triángulo Acutángulo: Cuando sus tres ángulos interiores son agudos o
menores a 900.
2) Triángulo Obtusángulo: Cuando uno de sus ángulos interiores, es mayor
a 900 o es obtuso.
B
B
B
A
C
A
C
A
C
(b – 1)
(a)
(b – 2)
II. POR LA CARACTERÍSTICA DE SUS LADOS:
Los triángulos pueden ser de tres tipos:
a) Triángulo Equilátero: Cuando sus tres lados son iguales y sus ángulos interiores
miden 600 cada uno.
b) Triángulo Isósceles: Cuando tiene dos lados iguales y los ángulos interiores de
pie de los laos iguales, también son iguales.
c) Triángulos Escalenos: Cuando sus tres laos son desiguales y sus tres ángulos
interiores también son desiguales.
B
B
A
C
(a)
B
A
C
(b)
A
C
( c)
3. LINEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO:
a) ALTURA: Es el segmento BH perpendicular, trazada desde el vértice B al
lado opuesto AC o a su prolongación.
B
B
h
A
H
C
H
A
C
b) MEDIANA: Se llama mediana al segmento BM, trazado desde el vértice B al
punto medio M del lado opuesto AC
B
B
m
A
M
C
A
M
C
d) BISECTRIZ INTERIOR: Es el segmento BN que divide al ángulo interior, en
dos ángulos iguales.
B
B
Ө
b
Ө
Ө
Ө
A
N
C
A
N
C
d) BISECTRIZ EXTERIOR: Es el segmento CT que divide al ángulo exterior,
en dos ángulos iguales.
T
B
T
B
Ө
Ө
Ө
A
C
Ө
Ө
A
C
e) MEDIATRIZ: Es aquella recta perpendicular L, a unb lado en el punto
medio de este.
B
B
L
A
L
C
A
C
4.- IGUALDAD DE TRIANGULOS:
Dos triángulos se llaman
respectivamente iguales.
iguales,
cuando
sus
lados
y
ángulos
son
a) CASO I : LADO ANGULO LADO (L.A.L.):
Dos triángulos son iguales si tienen dos pares de lados iguales y los dos ángulos
comprendidos entre dichos lados, también iguales.
B
E
Ө
Ө
=
2
1
A
C
D
F
b) CASO II: ANGULO LADO ANGULO:
Dos triángulos son iguales, si tienen dos pares de ángulos iguales y los dos lados
comprendidos entre dichos ángulos, también iguales.
Ө
Ө
=
Β
1
β
2
c) CASO III: LADO - LADO - LADO:
Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres pares de lados respectivamente
iguales.
=
1
2
4. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
a) CASO I: CATETO – CATETO:
B
E
=
1
A
2
C
D
F
b) CASO II: CATETO – ÁNGULO:
B
E
=
1
A
c)
Ө
2
Ө
C
D
F
CASO III: HIPOTENUSA - ANGULO:
B
E
=
1
2
Ө
A
Ө
C
D
F
d) CASO IV: HIPOTENUSA – CATETO:
B
E
=
1
A
2
C
D
F
EJERCICIOS N0 02
1.- En un triángulo isósceles se traza su altura, en caso de los triángulos rectángulos,
los dos triángulos rectángulos formados son iguales.
a)
Caso I
b) Caso II
c) Caso III d) Caso IV
B
1
A
2
H
C
2.- En el siguiente triángulo se tiene los siguientes datos. Calcular el ángulo X
a) 300
b) 400
c) 450 d) 600
e) N.A.
=
600
X
4.- Calcular el ángulo X
a) 450
b) 300
300
c) 600
d) 800 e) N.A.
=
X
5.- Cuales son los casos de un triángulo cualquiera y cuales de un triángulo
rectángulo..
S.S.