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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS
DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Unidad Distrito Federal
Departamento de Matemática Educativa
Un estudio acerca de las concepciones de estudiantes de licenciatura
sobre los sistemas de ecuaciones y su solución
Tesis que presenta
Blanca Marisol Cutz Kantún
Para obtener el grado de
Maestra en Ciencias
en la especialidad de Matemática Educativa
Directora de Tesis
Dra. Asuman Oktaç
México, Distrito Federal
Diciembre, 2005
RESUMEN1
A través de diferentes trabajos de investigación que se han estado realizando acerca de sistemas de
ecuaciones lineales, se ha podido observar la existencia de diferentes fenómenos que se presentan
en el manejo del concepto de solución de los sistemas de ecuaciones lineales (e.g. Mora, 2001).
En nuestro trabajo de investigación estamos interesados en observar aquellos fenómenos
relacionados con la representación geométrica del concepto de solución de un sistema de ecuaciones
lineales con dos y tres variables, así como el pasaje que existe entre la representación geométrica y
analítica de los sistemas de ecuaciones lineales. Para tal fin hemos diseñado una serie de actividades
que contienen figuras en las que se favorecen ciertas posiciones que guardan entre sí las rectas y
planos, y que representan a los sistemas de ecuaciones mencionados anteriormente, así como
actividades en las que se pide proporcionar los sistemas de ecuaciones que correspondan a los
sistemas de ecuaciones que quedan representados por las figuras de las primeras actividades.
Las actividades 11 a 14 fueron diseñadas para hacer pensar a los estudiantes en un modo geométrico
y luego pasar a un modo estructural, y no solamente de lo geométrico a lo algebraico, puesto que al
solicitarle a los estudiantes que proporcionen el sistema de ecuaciones que representa a alguna de
las figuras previas, ellos deberán poner atención en las características o propiedades del sistema que
se representa con tales figuras, más que fijarse solamente en elementos como pendientes o
coordenadas. Esta serie de actividades fue aplicada a través de una entrevista a un grupo de 5
estudiantes que recién habían cursado la materia de Álgebra Lineal.
En el análisis de dichas entrevistas, se han podido observar fenómenos tales como, la asociación de
la solución de un sistema de tres ecuaciones con dos variables con el punto de intersección de al
menos dos de las rectas que representan al sistema, de modo que un sistema de ecuaciones que está
representado por tres rectas que se intersecan por pares tendrá tres soluciones. Los estudiantes
también consideran que un punto que se representa en tres dimensiones se verá como una recta por
el hecho de que se esté tomando en cuenta tres dimensiones, y cuando tres planos se intersecan en
una línea recta consideran que se tiene una solución para el sistema, puesto que toman a la recta
como un objeto y no como un conjunto de puntos, lo cual indica una mezcla entre los modos de
pensamiento geométrico y analítico.
Algunos de los estudiantes entrevistados mostraron tener dificultad en aceptar que las rectas se
pueden prolongar infinitamente, de modo que para resolver algunas de las actividades que se les
presentaron consideran rectas que puedan trazarse convenientemente con límites que ellos mismos
establecen, lo que hace que se encuentren en un modo puramente geométrico.
Por otro lado, también es interesante observar que existe una tendencia a considerar al conjunto de
elementos (rectas o planos) encimados, como representando un sistema sin solución, ya que
consideran a la solución como el punto (o recta) de intersección de los elementos (rectas o planos),
es decir, esperan ver el punto (o recta) de cruce para determinar el número de soluciones del
sistema.
Resulta interesante ver que ciertas concepciones que esperábamos observar y que aparecen descritas
en el análisis a priori que realizamos de las actividades de la entrevista, persisten en los estudiantes
después de haber llevado un curso de Álgebra Lineal.
Puesto que previamente se realizó un cuestionario diagnóstico a todo el grupo de estudiantes antes
de iniciar el curso de Álgebra Lineal, el profesor pudo notar la concepción de los estudiantes acerca
de la solución de un sistema de ecuaciones lineales y puso especial atención en el manejo de
sistemas de ecuaciones lineales que aparecen representados en algunas de las actividades de la
entrevista.
Estos resultados confirman que los objetos matemáticos adquieren diferentes interpretaciones en la
mente de los estudiantes, cuando se están en distintos modos de pensamiento: geométrico y
analítico (Sierpinska, 2000)
1 Este trabajo forma parte del Proyecto CONACYT N° 2002-C01-41726