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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
DEFINICIÓN: Dependencia Lineal
Se dice que un conjunto de funciones f1  x  , f 2  x  ,... , f n  x  es linealmente
dependiente en un intervalo I si existen constantes c1 ,c2 ,
que
, cn no todas nulas, tales
c1 f1  x   c2 f 2  x   ...  cn f n  x 
para toda x en el intervalo.
DEFINICIÓN: Independencia Lineal
Se dice que un conjunto de funciones f1  x  , f 2  x  ,... , f n  x  es linealmente
independiente en un intervalo I si las únicas constantes para las cuales
c1 f1  x   c2 f 2  x   ...  cn f n  x   0
para toda x en el intervalo, son c1  c2  . . .  cn  0 . Es decir, sólo admite la solución
trivial.
EL WRONSKIANO
TEOREMA: Criterio para funciones linealmente independientes.
Supóngase que
f 1  x  , f 2  x  , ..., f n  x  tienen al menos n  1 derivadas. Si el
determinante
f1
f2
...
fn
f1'
f 2'
...
fn'
...
f 1( n  1 )
f 2( n  1 )
...
f n( n  1 )
es diferente de cero por lo menos en un punto del intervalo I , entonces las funciones
f 1  x  , f 2  x  , ..., f n  x  son linealmente independientes en el intervalo.
TEOREMA: Principio de superposición-ecuaciones homogéneas
Sean y 1 , y 2 , ..., y k soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden n en un
intervalo I . Entonces la combinación lineal
y  c1 y 1  x   c 2 y 2  x   ...  c k y k  x 
En donde las constantes c i , i  1 , 2 , ... ,k son constantes arbitrarias, es también una
solución en el intervalo.
COROLARIOS
(A) Si y 1  x  es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea,
entonces un múltiplo constante de ella, y  c 1 y 1  x  , es también una
solución.
(B) Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre satisface a la solución
trivial y  0 .
TEOREMA: Criterio para soluciones linealmente independientes
Sean y 1 , y 2 , ..., y n n soluciones de la ecuación diferencial lineal, homogénea de orden
n , en el intervalo I . Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente
en I si y sólo si


W y 1 , y 2 , ..., y n  0
para toda x en el intervalo.
DEFINICIÓN: Conjunto fundamental de soluciones
Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier conjunto
y 1 , y 2 , ..., y n de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial
lineal homogénea de orden n en el intervalo I.
TEOREMA: Criterio para soluciones linealmente independientes
Sean y 1 , y 2 , ..., y n un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial
lineal homogénea de orden n en un intervalo I . Entonces para cualquier solución
Y  x  , pueden encontrarse constantes C1 , C 2 , ...,C n tales que
Y  C1 y 1  x   C 2 y 2  x   ...  C n y n  x 
DEFINICIÓN: Solución general-ecuaciones homogéneas
Sean y 1 , y 2 , ..., y n un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial
lineal homogénea de orden n en un intervalo I . La solución general de la ecuación, en
el intervalo, se define como
y  c1 y 1  x   c 2 y 2  x   ...  c n y n  x 
donde c i , i  1 , 2 , ... ,n , son constantes arbitrarias.
REDUCCIÓN DE ORDEN
Una de las formas en las que es posible obtener una segunda solución de una EDO,
cuando se conoce una solución de la misma, es a partir del proceso llamado Reducción
de Orden, el cual se describe enseguida.
Dada una solución no trivial * f  x  de la ecuación diferencial
y  p  x y  q  x  y  0 , es posible determinar una segunda solución linealmente
independiente y  x  , si se conoce una primera solución, como se enuncia enseguida.
La solución y  x  se puede obtener sustituyendo p  x  y f  x 
directamente en la llamada fórmula de reducción de orden:
y  x  f  x

 p x  d x
e 
 f  x  
2
dx
Debe tenerse presente que si la ecuación diferencial no está normalizada, deberá
normalizarse para aplicar ésta última expresión
*La solución trivial es f  x   0
Para profundizar sobre este subtema, les comparto la siguiente liga de internet
http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/4.LinealesOrdenSuperior/ImpReduccion.pdf
Luego de presentar esta recopilación de conceptos, y con el objeto de fortalecerlos
se procederá a realizar lo que se indica a continuación.
DEBERÁN ESTUDIARSE MUY BIEN ESTAS NOTAS (LA MAYORÍA DE LOS
CONCEPTOS CORRESPONDEN A SUS ANTECEDENTES DE ÁLGEBRA
LINEAL), ASÍ COMO LO VISTO EN CLASE, PARA RESPONDER
CORRECTAMENTE LO QUE SE INDICA.
LEAN CUIDADOSAMENTE LO QUE SE SOLICITA ANTES DE EMPEZAR A
RESOLVER.
TAREA
1) Considerando que y1  x   cos  3x  y y2  x   sen  3x  son soluciones de la ED
y  9 y  0 en   ,   , obtenga la solución general de esta ED.
2) Determine si las funciones y1  x   sen2 x  cos 2 x y y2  x   3 son linealmente
independientes. También calcule el wronskiano
3) Determine si las funciones
W  y1, y2   x 
y1  x   e 3 x y y2  x   e 4 x
independientes. También calcule el wronskiano
son linealmente
W  y1, y2   x 
4) A continuación se dan una ecuación diferencial y una solución no trivial
f  x  , obtenga una segunda solución linealmente independiente (EMPLEE
LAS NOTAS SOBRE REDUCCIÓN DE ORDEN).
y  2 y  15 y  0 ; f  x   e 3 x
x y   x  1 y  y  0 , donde x  0 , y la solución no trivial es f  x   e x
5) Verifique que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de
soluciones de la ecuación diferencial indicada. Posteriormente, forme la solución
general.
y  y  12 y  0 ; e 3 x , e 4 x


6) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
c)
2 y  5 y  3 y  0
y  9 y  0
y  4 y  5 y  0
Con objeto de que recuerden y repasen algunos de los conceptos de su
curso de Álgebra sobre polinomios, a continuación se pide obtener las
raíces de los polinomios indicados:
a ) P  x   x 3  6 x 2  12 x  8
b ) P  x   4 x3  4 x2  x
c) P  x   x 4  x 3  x 2
d ) P  x   x 5  2 x 4  17 x 3