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MATEMATICA
Guía teórico-Práctica
Unidad 30
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Triángulos
DEFINICIÓN
Los triángulos son polígonos de tres lados; una señal de tráfico de ceda el paso, una vela de
windsurf o de un velero, y algunos sándwiches tienen forma de triángulos.
Pero no todos son iguales, hay distintas clases de triángulos.
ELEMENTOS
En un triángulo, la base es uno cualquiera de sus lados y la altura es el segmento
perpendicular a la base o su prolongación, trazado desde el vértice opuesto al lado de la base.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Según sea la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Equiláteros: tienen los tres lados iguales.
Isósceles: tienen dos lados iguales.
Escalenos: tienen los tres lados desiguales.
El que ves a continuación de color rojo es un triángulo equilátero, el de color azul es isósceles y
el de color verde, escaleno:
También se pueden clasificar los triángulos según sean sus ángulos:
Acutángulos: si sus tres ángulos son agudos (< 90°).
Rectángulos: si uno de sus ángulos es recto (= 90°).
Obtusángulos: si uno de sus ángulos es obtuso (> 90°).
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El de color rojo es un triángulo acutángulo, el de color azul es rectángulo y el de color verde,
obtusángulo:
COMPLETA LAS FRASES…
a) Un triangulo es------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Un triangulo es equilátero cuando----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d) Los triángulos obtusángulos tienen un ángulo--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------e) En un triangulo la base es----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y la altura es---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f) Según sus lados, los triángulos se clasifican en------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g) Un triangulo que tiene todos sus lados iguales se llama-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------h) Un triangulo que tiene uno de sus lados rectos se llama-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
Los ángulos de cualquier triángulo suman entre los tres 180º. Si conocemos dos de ellos
podemos calcular cuánto medirá el tercero. Por ejemplo:
En el primer triángulo:
60° + 70° + C = 180°
130° + C = 180°
C=180° – 130° = 50°
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En el segundo triángulo:
90° +B+ 50° = 180°
B + 140° = 180°
B= 180° - 140° = 40°
En el tercer triángulo:
A+ 80° + 30° = 180°
A+ 110° = 180°
A= 180° - 110° = 70°
ENCUENTRA EL VALOR DEL ANGULO FALTANTE….
c
b
a
a) a = 95º
b = 45º
b) b = 65º
c = 28º
c) a = 86º 15’
b = 33º 23’
d) a = 93º 13’ 31’’
c = 14º 12’ 24’’
AREA DE UN TRIANGULO
Para calcular la fórmula del área de un triángulo cualquiera, nos fijamos en la siguiente figura:
Vamos a calcular el área del triángulo rojo. Si trazamos desde el vértice C un segmento
paralelo al lado AB, y de su misma longitud, y desde el vértice B otro segmento paralelo al lado
AC, y de su misma longitud, obtenemos un romboide, que tiene la misma base y la misma
altura que el triángulo. Como el área del romboide es: Área del romboide = base × altura
Y el triángulo ocupa la mitad de la superficie del romboide, resulta que:
El área de un triángulo es igual a su base por su altura partido por dos.
Si quieres, puedes practicar hallando el área de estos triángulos:
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ENCUENTRA EL AREA DE LOS TRIANGULOS SIGUIENTES….
a)
8 cm
15 cm
b)
11 cm
19 cm
c)
14 cm
7 cm
TEOREMA DE PITÁGORAS
5
7 cm
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI a.C. Hace poco mas de de
2000 años, descubrió una curiosa propiedad de los triángulos rectángulos de consecuencias
extraordinarias para toda la matemática.
Dice así:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”
Por tanto, la ecuación que describe el teorema de Pitágoras podemos escribirla así:
h2 = C2 + c2.
Nota: en la definición, la palabra hipotenusa se refiere a la longitud del lado mayor del triángulo
rectángulo (hipotenusa), y la palabra catetos hace referencia a la longitud de los otros dos
lados del triángulo.
También podemos definir el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:
es un triángulo;
si es un ángulo recto, entonces se cumple que BC² = AB² + AC². Esta ecuación también
describe el teorema de Pitágoras.
Los lados del triángulo rectángulo tienen nombres propios:
R AZ O N A Y R E S U E L V E … .
1) ¿Cuanto mide la hipotenusa del siguiente triangulo rectángulo,
sabiendo que el lado b=10 cm. y el lado c= 6 cm?
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2) Calcula cuanto mide el largo de un tobogán de 1,5 cm. de altura,
si desde la escalerita hasta donde termina el tobogán hay 2
metros.
3) Halla la diagonal de un rectángulo de 13 cm. por 8 cm.
4) Encuentra el lado que falta:
a)
5 cm
9 cm
b)
11 cm
61 m
c)
24 cm
7 cm
7
7 cm
ALTURAS DE UN TRIÁNGULO
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice
al lado opuesto (o su prolongación) .
ORTOCENTRO: Es el punto de corte de las tres alturas.
M E D I AN AS D E U N T R I ÁN G U L O
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado
con el vértice opuesto.
BARICENTRO: e s e l p u n t o d e c o r t e d e l a s t r e s m e d i a n a s .
El baricentro divide a cada m ediana en dos segm entos, el segmento que
une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une
baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
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M E D I AT R I C E S D E U N T R I ÁN G U L O
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado
por su punto medio.
CIRCUNCENTRO: e s e l p u n t o d e c o r t e d e l a s t r e s m e d i a t r i c e s .
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
INCENTRO: Es el punto de corte de las tres bise ctrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
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