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TÉRMINOS INDEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA: (PUNTO,
LÍNEA Y PLANO)
Un punto sólo tiene posición en el espacio.
Es la unidad indivisible de la geometría.
No tiene dimensión (largo, alto, ancho)



PUNTO
Línea es una figura geométrica que se genera
por un punto en movimiento.

LÍNEA
Línea recta

Si el punto se mueve sin cambiar de dirección,
entonces es una línea recta.
Notación:

ó
Línea curva
dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Una línea puede ser recta, curva o combinada.
puede extenderse en forma ilimitada.

Una línea cualquiera,
Rayo
y
una dirección.
Notación:

Trazo
puntos terminales y se le asocia una
dimensión (longitud)
Notación:
Plano
Un plano es una superficie que tiene longitud
y anchura pero no espesor.
El plano tiene dos dimensiones a diferencia
de la mayoría de los casos que nos rodean
que están en tres dimensiones.
La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros,
circunferencia, círculo.
ANGULOS
Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se
llaman lados y el punto común vértice.
Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:
a) Una letra mayúscula b) Una letra griega o c)
Tres
en el vértice.
un símbolo en la mayúscula.
abertura.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
letras
Sistema sexagesimal
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de
estas partes constituyen un grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que
corresponden, cada una de ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60")
correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.
TIPOS DE ÁNGULOS
Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un
reloj, en este caso se considera un ángulo positivo.
Tipo de ángulo
Cóncavo
0° <
< 180°
Águdo
0° <
< 90°
Recto
= 90°
Obtuso
90° <
< 180°
Convexo
180° <
< 360°
Extendido
= 180°
Completo
= 360°
Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no
incluyendo estos valores.
PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos
adyacentes
Ángulos
consecutivos
Son ángulos que tienen un lado
común y los otros dos
pertenecen a la misma recta.
Son ángulos que tienen un lado
común y el mismo vértice.
<BAC es adyacente con <DAC
Ángulos
opuestos por el
vértice
- Dos líneas que se intersectan
generan ángulos opuestos por
el vértice. - Son ángulos no
adyacentes. <1, <2, <3 y <4
- Son ángulos congruentes:
<1 = <2 y <3 = <4
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad
Ángulos
es que suman 90°.
complementarios
El <BAC es adyacente al <DAC
y viceversa.
Ángulos
suplementarios
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad
es
que
suman
180°.
El <BAC es adyacente al <DAC
y viceversa.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
Tipos de ángulos formados
Ángulos
correspondientes
entre
paralelas.
1=5
2=6
3=7
4=8
Ángulos
alternos
entre
paralelas.
1=7
2=8
3=5
4=6
Son
Ángulos contrarios o conjugados.
suplementarios
1
6
2
5
3
8
4
7
Ángulos colaterales.
1
8
2
7
3
6
4
5
CÍRCULOS Y CIRCUNFERENCIAS
Es el lugar geométrico de todos los
puntos que conforman esta figura y
que equidistan de un punto llamado
centro de la circunferencia.
El círculo
achurada.
representa
la
zona
El contorno de esta figura plana es
la circunferencia.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
ELEMENTOS DE UN CÍRCULO
ÁNGULOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Todo ángulo inscrito ( ) es igual a
la mitad del ángulo del centro, ( ) si
el arco ( ) comprendido entre
ellos es común.
No importa la ubicación del ángulo
inscrito. Todos son iguales si el arco
es común.
Cuando el arco
coincide con el
diámetro de la circunferencia, el
ángulo del centro AOB es 180°.
Luego el ángulo inscrito es 90°.
Teorema : Todo ángulo inscrito en
una semicircunferencia es un
ángulo recto.
Si los arcos son iguales
=
Los ángulos inscritos también:
Área (A)
Circunferencia
No tiene área
Círculo
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Perímetro (P)
(R: radio)
(R: radio)
en grados sexagesimales
: ángulo del centro
ARCO
Arco (a) : Representa una fracción del perímetro.
en grados sexagesimales
: ángulo del centro
CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero es un tipo de polígono (o figura plana cerrada) que tiene
cuatro lados.
Clasificación de cuadriláteros:
Paralelógramos
Trapecios
Trapezoides
Vértices : A, B, C, D
Lados : a, b, c, d
Ángulos :
Diagonales : e, f
CLASIFICACIÓN PARALELOGRAMOS
TIPOS
FIGURA
Cuadrado
Rectángulo
Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y
d)
Rombo
Romboide
CLASIFICACIÓN
TRAPECIOS
TIPOS
FIGURA
Trapecio escaleno:
Distintos medidas en los lados no
paralelos (b c)
Trapecio isósceles:
Un par de lados
paralelos (a y d)
Igual medida en los lados no paralelos
(b = c)
Trapecio rectangular:
Un lado no paralelo perpendicular a la
base
CLASIFICACIÓN
TRAPEZOIDES
TIPOS
FIGURA
Trapezoide asimétrico:
Cuatro lados desiguales
Sin
paralelos
lados
Trapezoide: (deltoide)
Posee dos pares de lados iguales
pero no paralelos.
PARALELÓGRAMO
CUADRADO

e
f (diagonales del
cuadrado)


e=f=a
Las diagonales son
bisectrices.
Los cuatro triángulos
internos son rectángulos
isósceles y tienen igual área
y perímetro (iguales)

RECTÁNGULO
PARALELÓGRAMO

e no es perpendicular con f


e=f=
Las diagonales no son bisectrices.
Posee
iguales.
dos
ROMBO
PARALELÓGRAMO

pares
de
triángulos



e
f
e f
Las diagonales
bisectrices
son

Los cuatro triángulos
internos son iguales en área y
perímetro

ROMBOIDE
PARALELÓGRAMO



e no es perpendicular con f
e f
Las diagonales no son
bisectrices.


Posee
dos
pares
de
triángulos iguales.

TIENE DOS PARES DE
LADOS
CONSECUTIVOS
IGUALES.
TRAPECIO ISÓSCELES

e no es perpendicular
con f


e=f
Las diagonales no son
bisectrices.


AE = EB, ED = EC, EG
= 2EF

El
trazo
FG
(perpendicular a las bases
divide a cada base en la
mitad)
TRAPECIO RECTÁNGULO

e
f


Las diagonales no son
bisectrices ni perpendiculares.
Cuadriláteros
TRAPEZOIDES


No posee paralelismo.
Tiene dos diagonales.

La suma de
ángulos internos es 360°
FIGURA
los
PERÍMETRO [u]
ÁREA [u2]
cuadrado
A
=
a2
P=4·a
rectángulo
P = 2 · (a + b)
A=a·b
rombo
P=4·a
e, f:
diagonales
romboide
P = 2 · (a + b)
A=a·h
trapecio
P=a+b+c+d
TRIÁNGULOS
DEFINICIONES
Triángulo es un tipo de polígono (o
figura plana y cerrada) que tiene tres
lados.
El triángulo ilustrado en la figura indica:

o
Triángulo ABC
:
o
Lados
:
o
Ángulos
:
ABC
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
- Vértice : A , B , C
ELEMENTOS PRIMARIOS
- Lados : a , b , c
- Ángulos :
- Altura : ha , hb , hc
- Simetral : Sa , Sb , Sc
ELEMENTOS SECUNDARIOS - Mediana : ma , mb , mc
- Bisectriz : ba , bb , bc
- Transversal de gravedad : ta , tb , tc
PROPIEDADES DE SUS LADOS:
a, b, c
La suma de dos de sus lados debe
a+b>cya+c>byb+c>a
ser mayor que el tercero.
La resta de dos de sus lados debe
a–b<cya–c<byb–c<a
ser menor que el tercero.
Ejemplo:
Es posible construir un triángulo disponiendo de los lados a = 10 [u], b = 5 [u] y c = 2 [u]
Solución:
Utilizando cualquiera de las propiedades ya sea de la suma o resta es posible determinar si
se puede construir un triángulo.
Seleccionando la propiedad de la suma tenemos, para los datos del problema:
Proposición
a = 10 , b = 5 , c =2
a + b > c a + c > b b +c > a
10 + 5 > 2 , Verdadero 10 + 2
> 5 , Verdadero 5 + 2 > 10 ,
Falso
De la tabla se deduce que existe una condición que no se cumple.
Para que se pueda construir un triángulo todas las proposiciones deben ser verdaderas.
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
ÁNGULOS INTERNOS:
La suma de los ángulos internos
suman 180°.
ÁNGULOS EXTERNOS:
Un triángulo externo es igual a la
suma de los dos ángulos internos
La suma de los ángulos externos
suman 360°.
adyacentes.
Ejemplo: De la figura se tiene que
ACD = 120°,
a.
:
CBA = 40°. Determinar los ángulos
Cálculo de
+
40°
+
120°
=
180°
b) Cálculo de
: 40° +
=
180° ( = 140°) 120° +
= 180°
( = 60°)
c) Cálculo de
+
: (De ec. 2)
140°
+
60°
=
360°
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Equilátero
Clasificación
según
sus Isósceles
lados (a, b, c)
Escaleno
Clasificación
Acutángulo
según
sus
ángulos
interiores
Rectángulo
(
)
Todos
iguales
los
lados
Ejemplos:
=
b
Un lado distinto
Todos
los
desiguales
lados
Tres ángulos agudos
Un ángulo recto
a=b=c
< 90°
Ejemplos:
= 90°
a
c
Obtusángulo
Un ángulo obtuso
Ejemplos:
> 90°
ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO
ALTURAS (h)
Acutángulo
ha , hb , hc.
H (ortocentro se ubica dentro del
)
La altura se obtiene al trazar una
línea perpendicular desde el vértice
al lado opuesto o a la prolongación
de éste.
Rectángulo
H (ortocentro se ubica en vértice C)
Las alturas concurren a un mismo
punto llamado ortocentro (H)
obtusángulo
H (ortocentro ubicado fuera del
)
TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t)
Una transversal de gravedad une un
vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Concurren a un mismo punto,
denominado centro de gravedad
del triángulo (T)
T se ubica siempre dentro del
triángulo.
En la transversal de gravedad se
cumple:
Bisectriz (b)
Las bisectrices dividen cada ángulo
interno por la mitad.
Todas las bisectrices concurren a
un mismo punto que es el centro de
una circunferencia inscrita.
Este punto se denomina inscentro.
(P)
Simetral (S)
Las
simetrales
son
las
perpendiculares trazadas en los
puntos medios de los lados.
Las tres simetrales concurren a un
punto que es el centro de la
circunferencia circunscrita. A este
punto
se
le
denomina
circunscentro.
Mediana
Las medianas unen los puntos
medios de los lados.
Las áreas de cada triángulo
parcial obtenido al trazar las
medianas, son iguales y cuatro veces
menor que el área del ABC.
Área( AFD= FBE= DFE= DEC)
opuesto.
Cada mediana mide la mitad de su
lado opuesto, o cada lado mide el
doble que su mediana paralela.
2
ÁREAS EN TRIÁNGULOS
A : Área ; alturas : ha, hb, hc ; lados : a, b, c
Fórmula general
Ejemplo 1: Calcular el área de un triángulo sabiendo que la altura en B es igual a 20 metros y la
base
es
10
metros.
Solución:
No se puede calcular el área con la
información existente debido a que la
altura (hb = 20 metros) y la base (c =
= 10 metros) conocida no son
compatibles para el cálculo del área.
Ejemplo 2: Calcular el área de un
metros.
Solución:
Reemplazando:
PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS
ABC cuya altura en es igual a 3 metros y de base
= 5
P : Perímetro es la suma de todos
sus lados.
P=a+b+c
ÁREA Y PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
Área (A) , altura (h) , Perímetro (P)
P = 3a
En un
equilátero coinciden las: alturas, bisectrices, transversales de
gravedad y simetrales.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Área : A
Catetos : a y b
Hipotenusa : c
Perímetro : P
La
Área de un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
fórmula
de
área
puede expresar como:
cálculo
también
se
Este teorema relaciona todos los
lados de un triángulo rectángulo.
a 2 + b 2 = c2
I
a2 = cq b2 = cp
II
hc2 = pq
Teorema de Euclides
La altura (hc) también puede escribirse como: hc =
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE INTERÉS
TEOREMA de Thales
de
Si un ángulo es cortado por
paralelas,
se
originan
segmentos proporcionales.
Dos triángulos son
semejantes
cuando
tienen sus ángulos
respectivamente
iguales y sus lados
respectivamente
proporcionados.
POLIGONOS
IRREGULARES
REGULARES
Sus lados son distintos o ángulos Sus lados son iguales y ángulos
internos distintos.
internos iguales.
NÚMERO DE LADOS
NOMBRE
nágono
DIAGONALES: Para cualquier polígono, la fórmula para hallar la cantidad de diagonales que
posee es:
Ejemplo:
Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28 lados.
En este caso n = 28, luego
Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales.
ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar la medida de cada
ángulo interno es:
Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulos internos es:
180(n – 2)
NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígono regular.
VOLUMEN
Nombre
Cubo
Hexaedro
Dibujo
o
Desarrollo
Área
Volumen
A = 6a2
V = a3
Paralelepípedo
u ortoedro
A = 2(ab+ac+bc)
Prisma
AT = 2AB + AL
V = abc
V = ABH
Cilindro
Pirámide
AT = AB + AL
Cono
Tronco
pirámide
de
Tronco
cono
de
AT = AB1 + AB2 + AL
esfera
Medidas de Volumen
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuantas veces
entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro
cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado.
Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus múltiplos y
submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000.
Medidas de Superficie
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de
medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado
de un metro de lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y
submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.
Medidas de longitud
Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de
medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la
misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es
fija, universal e invariable. El sistema de unidades de medida que incluye al metro junto a sus
múltiplos y submúltiplos se llama Sistema Métrico Decimal.
Volumen en cuerpos poliédricos regulares
El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo
con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen
será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que
contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto
está formado por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25
unidades de volumen .
Unidades de medida del volumen
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el
volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro,
un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su
arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro
cúbico y se abrevia por 1 cm3 .
Volumen del cubo unidad = 1 cm3
En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del cubo Unidad de Volumen Abreviatura
unidad
1 Milímetro
1 Centímetro
1 Decímetro
1 Metro
1 Decámetro
1 Hectómetro
1 Kilómetro
asociada
Milímetro cúbico
Centímetro cúbico
Decímetro cúbico
Metro cúbico
Decámetro cúbico
Hectómetro cúbico
Kilómetro cúbico
mm3
cm3
dm3
m3
Dm3
Hm3
Km3
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes
obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo
unidad tiene otra unidad de volumen.
Medición del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas

Volumen de un cubo
Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice
convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.
El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como
muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm
entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:
Vcubo=(3cm)3 = 33 cm3 = 27cm3
Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:
El volumen a · a · a = a3 de un cubo se puede también definir como el producto del área de la cara
basal a · a por la altura a, es decir:
V = a · a · a= (a · a ) · a = a2 · a = a3

Volumen de un paralelepípedo
Un paralelepípedo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas
cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras
laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces es le denomina
paralelepípedo recto, en caso contrario se trata de un paralelepípedo oblicuo.
El volumen del paralelepípedo recto se calcula multiplicando las longitudes de las
tres aristas convergentes a un vértice. Por ejemplo, si las aristas de un
paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene
multiplicando 2 · 3 · 6:
Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se
calcula a través de la fórmula:
El volumen a · b · c de un paralelepípedo recto se puede también definir como el producto del área
de la cara basal a · b por la altura c, es decir:
V = (a · b ) · c = a · b · c
El procedimiento para calcular el volumen de un paralelepípedo oblicuo varía
respecto al del paralelepípedo recto sólo en que la altura debe medirse en la
perpendicular levantada desde el plano que contiene a base inferior hasta
algún punto de la base superior, como muestra la línea roja en la figura
adjunta.
Si las aristas de un paralelepípedo oblicuo son 2, 3 y 4 cm (como muestra la
figura adjunta) entonces su volumen se obtiene multiplicando el área de la
base (2 · 3 = 6) por la altura del mismo (6 · 4 = 24), es decir:
Por lo tanto, si las aristas de la base de un paralelepípedo miden a y b, y su altura mide h entonces
su volumen se calcula a través de la fórmula del paralelepípedo recto:
El volumen a · b · h de un paralelepípedo oblicuo de aristas basales a, b y altura h también se
puede definir como el producto del área de la cara basal a · b por la altura h, es decir,
V = (a · b ) · h = a · b · h

Volumen de un cilindro recto
Un cilindro recto, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras
circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de
recta perpendicular a ambos círculos, y por una superficie que las rodea por su
borde, como muestra la figura adjunta.
El volumen de un cilindro recto de base circular de radio r y altura h se obtiene
multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h.
Sabemos que el área de un círculo de radio r es:
Acírculo = p · r2
El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el
área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir:
Vcilindro = Acírculo · h
o sea:
El volumen p · r2 · h de un cilindro recto de base circular (con radio r) y altura h también se puede
definir como el producto del área de la cara basal p · r2 por la altura h, es decir,
V = (p · r2) · h = p · r2 · h

Volumen de un cilindro oblicuo de base circular
Un cilindro oblicuo, de base circular, es un cuerpo formado por dos
caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pasan por un
segmento de recta que, a diferencia del cilindro recto, no es
perpendicular a ambos círculos, y rodeado por una superficie que ajusta
a los círculos, como muestra la figura adjunta.
El volumen de un cilindro oblicuo de base circular de radio r y altura h
se obtiene multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h.
Sabemos que el área de un círculo de radio r es:
Acírculo = p · r2
El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el
área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir:
Vcilindro = Acírculo · h
o sea:
Podemos resumir el cálculo del volumen de paralelepípedos y cilindros en el siguiente esquema:
Medición del volumen de algunos cuerpos simples con sólo una cara de base

Las pirámides
Una pirámide es un poliedro formado por un polígono, llamado base, y por caras laterales
triangulares con un vértice común llamado vértice de la pirámide. Dependiendo del número de
lados del polígono base (o equivalentemente del número de caras laterales) se clasifican en
pirámides triangulares, cuadrangulares, etc.

Volumen de una pirámide recta de base cuadrada
Una pirámide recta de base cuadrada es aquella cuya base es un
cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el vértice de
la pirámide es perpendicular al plano de su base. Además, la longitud
h de ese segmento se llama altura de la pirámide. Ver figura adjunta:
El volumen de la pirámide recta de base cuadrada se obtiene
dividiendo por tres al producto entre su área basal a2 y su altura h, es
decir:

Volumen de una pirámide oblicua de base cuadrada
Una pirámide oblicua de base cuadrada es aquella cuya base es un
cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el vértice de
la pirámide hasta su base no es perpendicular al plano de la base. La
perpendicular bajada desde el vértice de la pirámide hasta su base (o
al plano que contiene a la base) se llama altura de la pirámide. En la
figura adjunta, la altura tiene longitud h.
El volumen de la pirámide oblicua de base cuadrada se obtiene de manera análoga al de las
pirámides rectas, usando la misma fórmula, es decir:

Volumen de conos rectos
La figura siguiente muestra un cono recto de radio basal r y altura h. La
base del cono es un círculo, cuya área es:
Acírculo = p · r2
El volumen del cono recto corresponde a la tercera parte del producto entre
el área de su base y su altura, es decir:

Volumen de conos oblicuos
El cálculo del volumen en los conos oblicuos es análogo al de los
cilindros rectos. Podemos observar en la figura adjunta, un cono oblicuo
de altura h y radio basal r. Su volumen se obtiene, una vez más, de
manera análoga al del cono recto y su fórmula es la misma:
Podemos resumir el cálculo del volumen de pirámides y conos en el siguiente esquema:
Medición del volumen de la esfera
El volumen de una esfera de radio r se obtiene a través de la fórmula:
Arquímides ideó un método simple para determinar el volumen de la esfera. Imaginó una
semiesfera, un cono y un cilindro juntos. Supuso que la esfera tenía radio R y tanto el cono como el
cilindro con el mismo radio basal R. También supuso que las alturas del cono y el cilindro medían R
como muestra la siguiente figura:
De estas figuras, son conocidos los volúmenes:
- Del cilindro: radio R y altura R, o sea p·R2·R = p·R3
- Del cono: radio R y altura R, o sea (p·R2·R )/3 = (p·R3)/3
Luego cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia
d de la parte superior de las figuras. Luego se preguntó cómo serían las secciones determinados
por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:

La sección del cilindro
En el cilindro la sección que determina el plano es claramente un círculo de radio R y su área es:

La sección de la semiesfera
En la semiesfera, la sección circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un
radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. La siguiente figura muestra la situación:
El área del círculo de radio r, es:
Además, usando el Teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo de lados R , d y r se cumple
que:

La sección en el cono
El cono que consideró Arquímides, tiene altura y radio basal R, por lo tanto el triángulo formado por
dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de
triángulos, el circulo que determina el plano que corta al cono tiene radio d. La siguiente figura lo
muestra:
En el cono, la sección que determina el plano, es un círculo de radio d y su área es:

Juntando las fórmulas
Hasta ahora sabemos que:
pero de la semiesfera obtuvimos que:
Si en el área del cilindro reemplazamos R2 por r2 + d2 entonces tendremos que:
Es decir, la suma de las áreas de las secciones del cono y la semiesfera es igual al área de la
sección del cilindro.
Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones (que forma el
plano al cortar las figuras) como rebanadas finas, para cada trío de rebanadas tendríamos que:
Rebanada del cilindro = Rebanada de la semiesfera + Rebanada del cono
De la relación anterior podríamos suponer entonces que:
Volumen del cilindro = Volumen de la semiesfera + Volumen del cono
y si reemplazamos en esta relación las fórmulas conocidas del volumen del cono y el cilindro,
entonces es posible determinar el volumen de la semiesfera:
Despejando,
Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble del de la semiesfera:
El método de Arquímedes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso.
Arquímedes quedó tan maravillado con él, que dispuso grabar en su tumba esta figura, en recuerdo
de su idea:
Clasificación de los cuerpos
Se puede observar del diagrama que a partir de esta clasificación existen básicamente tres formas
de calcular su volumen: el de los cilindros, el de las pirámides y el de la esfera.
Medición del volumen en cuerpos no regulares

Por desplazamiento de líquido
Cuando un sólido no tiene una forma geométrica que permita determinar por cálculo su
volumen, se mide éste directamente. El procedimiento se le atribuye a Arquímedes.
Supongamos que se desea saber el volumen de una piedra pequeña. Por lo general
las piedras tienen una forma muy irregular, por lo que es muy difícil calcular su
volumen comparándolo con un cubo unidad. En estos casos se calcula su volumen por
desplazamiento de agua.
En un recipiente graduado vertemos un líquido y, a continuación, sumergimos en él el
sólido cuyo volumen deseamos conocer. El aumento de nivel del líquido nos permitirá,
por sustracción, determinar el volumen del sólido. Normalmente el líquido empleado
será agua, pero si el sólido se disuelve en ella (por ejemplo la sal o el azúcar)
usaremos otro líquido que no disuelva al sólido.
El siguiente diagrama muestra un objeto irregular y un recipiente con 9 centímetros cúbicos de
agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella.
Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que provocó:
Al introducir el objeto al recipiente el agua subió su nivel marcando un volumen de 11 cm 3. Antes
de introducirlo el volumen del agua marcaba 9 cm 3 por lo que la diferencia de volumen se debe al
objeto.
El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto, menos el volumen
del agua sin el objeto:
V = 11 cm 3
-
9 cm 3
=
2 cm 3
Por lo tanto el objeto tiene un volumen de 2 cm
3.
Este método es bastante sencillo, pero es útil sólo para objetos pequeños que no absorben el
líquido en el que son sumergidos. No es posible usarlo para medir el volumen de una pirámide
Egipcia, por ejemplo.

Principio de Cavalieri
Otra manera de conocer el volumen de un sólido cuando no tiene una forma geométrica que
permita calcular su volumen a través de las fórmulas vistas es usa. Veamos un ejemplo que
visualiza este principio.
Usando tres montoncitos de 15 fichas (monedas de $10 u objetos similares, todos iguales) y una
cinta de cartulina cuyo ancho sea mayor que el diámetro de las fichas, ordena las fichas en 3 pilas
de modo que sólo una sea recta y las otras dos sean oblicuas o sinuosas y a continuación pasa la
cinta entre las fichas a la misma altura en las tres pilas.
Notarás que las áreas de las fichas que tocan la cinta son iguales para las tres pilas y si pasas la
cinta a cualquier otra altura, las áreas de las fichas siguen siendo iguales. El Principio de
Cavalieri asegura que si esto ocurre para cualquier altura entonces las tres pilas tienen el mismo
volumen.