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TÉRMINOS INDEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA: (PUNTO, LÍNEA Y PLANO) Un punto sólo tiene posición en el espacio. Es la unidad indivisible de la geometría. No tiene dimensión (largo, alto, ancho) PUNTO Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. LÍNEA Línea recta Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta. Notación: ó Línea curva dirección entonces es una línea curva. Notación: Una línea puede ser recta, curva o combinada. puede extenderse en forma ilimitada. Una línea cualquiera, Rayo y una dirección. Notación: Trazo puntos terminales y se le asocia una dimensión (longitud) Notación: Plano Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor. El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones. La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo. ANGULOS Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma: a) Una letra mayúscula b) Una letra griega o c) Tres en el vértice. un símbolo en la mayúscula. abertura. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS letras Sistema sexagesimal Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo. TIPOS DE ÁNGULOS Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este caso se considera un ángulo positivo. Tipo de ángulo Cóncavo 0° < < 180° Águdo 0° < < 90° Recto = 90° Obtuso 90° < < 180° Convexo 180° < < 360° Extendido = 180° Completo = 360° Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores. PAREJA DE ÁNGULOS Ángulos adyacentes Ángulos consecutivos Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta. Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. <BAC es adyacente con <DAC Ángulos opuestos por el vértice - Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. <1, <2, <3 y <4 - Son ángulos congruentes: <1 = <2 y <3 = <4 - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad Ángulos es que suman 90°. complementarios El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa. Ángulos suplementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°. El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa. Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal. Tipos de ángulos formados Ángulos correspondientes entre paralelas. 1=5 2=6 3=7 4=8 Ángulos alternos entre paralelas. 1=7 2=8 3=5 4=6 Son Ángulos contrarios o conjugados. suplementarios 1 6 2 5 3 8 4 7 Ángulos colaterales. 1 8 2 7 3 6 4 5 CÍRCULOS Y CIRCUNFERENCIAS Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia. El círculo achurada. representa la zona El contorno de esta figura plana es la circunferencia. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA ELEMENTOS DE UN CÍRCULO ÁNGULOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA Todo ángulo inscrito ( ) es igual a la mitad del ángulo del centro, ( ) si el arco ( ) comprendido entre ellos es común. No importa la ubicación del ángulo inscrito. Todos son iguales si el arco es común. Cuando el arco coincide con el diámetro de la circunferencia, el ángulo del centro AOB es 180°. Luego el ángulo inscrito es 90°. Teorema : Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. Si los arcos son iguales = Los ángulos inscritos también: Área (A) Circunferencia No tiene área Círculo ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR Perímetro (P) (R: radio) (R: radio) en grados sexagesimales : ángulo del centro ARCO Arco (a) : Representa una fracción del perímetro. en grados sexagesimales : ángulo del centro CUADRILÁTEROS Cuadrilátero es un tipo de polígono (o figura plana cerrada) que tiene cuatro lados. Clasificación de cuadriláteros: Paralelógramos Trapecios Trapezoides Vértices : A, B, C, D Lados : a, b, c, d Ángulos : Diagonales : e, f CLASIFICACIÓN PARALELOGRAMOS TIPOS FIGURA Cuadrado Rectángulo Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d) Rombo Romboide CLASIFICACIÓN TRAPECIOS TIPOS FIGURA Trapecio escaleno: Distintos medidas en los lados no paralelos (b c) Trapecio isósceles: Un par de lados paralelos (a y d) Igual medida en los lados no paralelos (b = c) Trapecio rectangular: Un lado no paralelo perpendicular a la base CLASIFICACIÓN TRAPEZOIDES TIPOS FIGURA Trapezoide asimétrico: Cuatro lados desiguales Sin paralelos lados Trapezoide: (deltoide) Posee dos pares de lados iguales pero no paralelos. PARALELÓGRAMO CUADRADO e f (diagonales del cuadrado) e=f=a Las diagonales son bisectrices. Los cuatro triángulos internos son rectángulos isósceles y tienen igual área y perímetro (iguales) RECTÁNGULO PARALELÓGRAMO e no es perpendicular con f e=f= Las diagonales no son bisectrices. Posee iguales. dos ROMBO PARALELÓGRAMO pares de triángulos e f e f Las diagonales bisectrices son Los cuatro triángulos internos son iguales en área y perímetro ROMBOIDE PARALELÓGRAMO e no es perpendicular con f e f Las diagonales no son bisectrices. Posee dos pares de triángulos iguales. TIENE DOS PARES DE LADOS CONSECUTIVOS IGUALES. TRAPECIO ISÓSCELES e no es perpendicular con f e=f Las diagonales no son bisectrices. AE = EB, ED = EC, EG = 2EF El trazo FG (perpendicular a las bases divide a cada base en la mitad) TRAPECIO RECTÁNGULO e f Las diagonales no son bisectrices ni perpendiculares. Cuadriláteros TRAPEZOIDES No posee paralelismo. Tiene dos diagonales. La suma de ángulos internos es 360° FIGURA los PERÍMETRO [u] ÁREA [u2] cuadrado A = a2 P=4·a rectángulo P = 2 · (a + b) A=a·b rombo P=4·a e, f: diagonales romboide P = 2 · (a + b) A=a·h trapecio P=a+b+c+d TRIÁNGULOS DEFINICIONES Triángulo es un tipo de polígono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados. El triángulo ilustrado en la figura indica: o Triángulo ABC : o Lados : o Ángulos : ABC ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO - Vértice : A , B , C ELEMENTOS PRIMARIOS - Lados : a , b , c - Ángulos : - Altura : ha , hb , hc - Simetral : Sa , Sb , Sc ELEMENTOS SECUNDARIOS - Mediana : ma , mb , mc - Bisectriz : ba , bb , bc - Transversal de gravedad : ta , tb , tc PROPIEDADES DE SUS LADOS: a, b, c La suma de dos de sus lados debe a+b>cya+c>byb+c>a ser mayor que el tercero. La resta de dos de sus lados debe a–b<cya–c<byb–c<a ser menor que el tercero. Ejemplo: Es posible construir un triángulo disponiendo de los lados a = 10 [u], b = 5 [u] y c = 2 [u] Solución: Utilizando cualquiera de las propiedades ya sea de la suma o resta es posible determinar si se puede construir un triángulo. Seleccionando la propiedad de la suma tenemos, para los datos del problema: Proposición a = 10 , b = 5 , c =2 a + b > c a + c > b b +c > a 10 + 5 > 2 , Verdadero 10 + 2 > 5 , Verdadero 5 + 2 > 10 , Falso De la tabla se deduce que existe una condición que no se cumple. Para que se pueda construir un triángulo todas las proposiciones deben ser verdaderas. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS ÁNGULOS INTERNOS: La suma de los ángulos internos suman 180°. ÁNGULOS EXTERNOS: Un triángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos La suma de los ángulos externos suman 360°. adyacentes. Ejemplo: De la figura se tiene que ACD = 120°, a. : CBA = 40°. Determinar los ángulos Cálculo de + 40° + 120° = 180° b) Cálculo de : 40° + = 180° ( = 140°) 120° + = 180° ( = 60°) c) Cálculo de + : (De ec. 2) 140° + 60° = 360° CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Equilátero Clasificación según sus Isósceles lados (a, b, c) Escaleno Clasificación Acutángulo según sus ángulos interiores Rectángulo ( ) Todos iguales los lados Ejemplos: = b Un lado distinto Todos los desiguales lados Tres ángulos agudos Un ángulo recto a=b=c < 90° Ejemplos: = 90° a c Obtusángulo Un ángulo obtuso Ejemplos: > 90° ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO ALTURAS (h) Acutángulo ha , hb , hc. H (ortocentro se ubica dentro del ) La altura se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste. Rectángulo H (ortocentro se ubica en vértice C) Las alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro (H) obtusángulo H (ortocentro ubicado fuera del ) TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t) Una transversal de gravedad une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Concurren a un mismo punto, denominado centro de gravedad del triángulo (T) T se ubica siempre dentro del triángulo. En la transversal de gravedad se cumple: Bisectriz (b) Las bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad. Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita. Este punto se denomina inscentro. (P) Simetral (S) Las simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados. Las tres simetrales concurren a un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circunscentro. Mediana Las medianas unen los puntos medios de los lados. Las áreas de cada triángulo parcial obtenido al trazar las medianas, son iguales y cuatro veces menor que el área del ABC. Área( AFD= FBE= DFE= DEC) opuesto. Cada mediana mide la mitad de su lado opuesto, o cada lado mide el doble que su mediana paralela. 2 ÁREAS EN TRIÁNGULOS A : Área ; alturas : ha, hb, hc ; lados : a, b, c Fórmula general Ejemplo 1: Calcular el área de un triángulo sabiendo que la altura en B es igual a 20 metros y la base es 10 metros. Solución: No se puede calcular el área con la información existente debido a que la altura (hb = 20 metros) y la base (c = = 10 metros) conocida no son compatibles para el cálculo del área. Ejemplo 2: Calcular el área de un metros. Solución: Reemplazando: PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS ABC cuya altura en es igual a 3 metros y de base = 5 P : Perímetro es la suma de todos sus lados. P=a+b+c ÁREA Y PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS Área (A) , altura (h) , Perímetro (P) P = 3a En un equilátero coinciden las: alturas, bisectrices, transversales de gravedad y simetrales. TRIÁNGULO RECTÁNGULO Área : A Catetos : a y b Hipotenusa : c Perímetro : P La Área de un triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras fórmula de área puede expresar como: cálculo también se Este teorema relaciona todos los lados de un triángulo rectángulo. a 2 + b 2 = c2 I a2 = cq b2 = cp II hc2 = pq Teorema de Euclides La altura (hc) también puede escribirse como: hc = TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE INTERÉS TEOREMA de Thales de Si un ángulo es cortado por paralelas, se originan segmentos proporcionales. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados respectivamente proporcionados. POLIGONOS IRREGULARES REGULARES Sus lados son distintos o ángulos Sus lados son iguales y ángulos internos distintos. internos iguales. NÚMERO DE LADOS NOMBRE nágono DIAGONALES: Para cualquier polígono, la fórmula para hallar la cantidad de diagonales que posee es: Ejemplo: Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28 lados. En este caso n = 28, luego Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales. ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar la medida de cada ángulo interno es: Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulos internos es: 180(n – 2) NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígono regular. VOLUMEN Nombre Cubo Hexaedro Dibujo o Desarrollo Área Volumen A = 6a2 V = a3 Paralelepípedo u ortoedro A = 2(ab+ac+bc) Prisma AT = 2AB + AL V = abc V = ABH Cilindro Pirámide AT = AB + AL Cono Tronco pirámide de Tronco cono de AT = AB1 + AB2 + AL esfera Medidas de Volumen El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado. Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000. Medidas de Superficie Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado. Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100. Medidas de longitud Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija, universal e invariable. El sistema de unidades de medida que incluye al metro junto a sus múltiplos y submúltiplos se llama Sistema Métrico Decimal. Volumen en cuerpos poliédricos regulares El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto está formado por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de volumen . Unidades de medida del volumen Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm3 . Volumen del cubo unidad = 1 cm3 En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas: Arista del cubo Unidad de Volumen Abreviatura unidad 1 Milímetro 1 Centímetro 1 Decímetro 1 Metro 1 Decámetro 1 Hectómetro 1 Kilómetro asociada Milímetro cúbico Centímetro cúbico Decímetro cúbico Metro cúbico Decámetro cúbico Hectómetro cúbico Kilómetro cúbico mm3 cm3 dm3 m3 Dm3 Hm3 Km3 Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen. Medición del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas Volumen de un cubo Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares. El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista: Vcubo=(3cm)3 = 33 cm3 = 27cm3 Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a través de la fórmula: El volumen a · a · a = a3 de un cubo se puede también definir como el producto del área de la cara basal a · a por la altura a, es decir: V = a · a · a= (a · a ) · a = a2 · a = a3 Volumen de un paralelepípedo Un paralelepípedo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces es le denomina paralelepípedo recto, en caso contrario se trata de un paralelepípedo oblicuo. El volumen del paralelepípedo recto se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vértice. Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6: Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula: El volumen a · b · c de un paralelepípedo recto se puede también definir como el producto del área de la cara basal a · b por la altura c, es decir: V = (a · b ) · c = a · b · c El procedimiento para calcular el volumen de un paralelepípedo oblicuo varía respecto al del paralelepípedo recto sólo en que la altura debe medirse en la perpendicular levantada desde el plano que contiene a base inferior hasta algún punto de la base superior, como muestra la línea roja en la figura adjunta. Si las aristas de un paralelepípedo oblicuo son 2, 3 y 4 cm (como muestra la figura adjunta) entonces su volumen se obtiene multiplicando el área de la base (2 · 3 = 6) por la altura del mismo (6 · 4 = 24), es decir: Por lo tanto, si las aristas de la base de un paralelepípedo miden a y b, y su altura mide h entonces su volumen se calcula a través de la fórmula del paralelepípedo recto: El volumen a · b · h de un paralelepípedo oblicuo de aristas basales a, b y altura h también se puede definir como el producto del área de la cara basal a · b por la altura h, es decir, V = (a · b ) · h = a · b · h Volumen de un cilindro recto Un cilindro recto, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos círculos, y por una superficie que las rodea por su borde, como muestra la figura adjunta. El volumen de un cilindro recto de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h. Sabemos que el área de un círculo de radio r es: Acírculo = p · r2 El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir: Vcilindro = Acírculo · h o sea: El volumen p · r2 · h de un cilindro recto de base circular (con radio r) y altura h también se puede definir como el producto del área de la cara basal p · r2 por la altura h, es decir, V = (p · r2) · h = p · r2 · h Volumen de un cilindro oblicuo de base circular Un cilindro oblicuo, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pasan por un segmento de recta que, a diferencia del cilindro recto, no es perpendicular a ambos círculos, y rodeado por una superficie que ajusta a los círculos, como muestra la figura adjunta. El volumen de un cilindro oblicuo de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h. Sabemos que el área de un círculo de radio r es: Acírculo = p · r2 El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir: Vcilindro = Acírculo · h o sea: Podemos resumir el cálculo del volumen de paralelepípedos y cilindros en el siguiente esquema: Medición del volumen de algunos cuerpos simples con sólo una cara de base Las pirámides Una pirámide es un poliedro formado por un polígono, llamado base, y por caras laterales triangulares con un vértice común llamado vértice de la pirámide. Dependiendo del número de lados del polígono base (o equivalentemente del número de caras laterales) se clasifican en pirámides triangulares, cuadrangulares, etc. Volumen de una pirámide recta de base cuadrada Una pirámide recta de base cuadrada es aquella cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el vértice de la pirámide es perpendicular al plano de su base. Además, la longitud h de ese segmento se llama altura de la pirámide. Ver figura adjunta: El volumen de la pirámide recta de base cuadrada se obtiene dividiendo por tres al producto entre su área basal a2 y su altura h, es decir: Volumen de una pirámide oblicua de base cuadrada Una pirámide oblicua de base cuadrada es aquella cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el vértice de la pirámide hasta su base no es perpendicular al plano de la base. La perpendicular bajada desde el vértice de la pirámide hasta su base (o al plano que contiene a la base) se llama altura de la pirámide. En la figura adjunta, la altura tiene longitud h. El volumen de la pirámide oblicua de base cuadrada se obtiene de manera análoga al de las pirámides rectas, usando la misma fórmula, es decir: Volumen de conos rectos La figura siguiente muestra un cono recto de radio basal r y altura h. La base del cono es un círculo, cuya área es: Acírculo = p · r2 El volumen del cono recto corresponde a la tercera parte del producto entre el área de su base y su altura, es decir: Volumen de conos oblicuos El cálculo del volumen en los conos oblicuos es análogo al de los cilindros rectos. Podemos observar en la figura adjunta, un cono oblicuo de altura h y radio basal r. Su volumen se obtiene, una vez más, de manera análoga al del cono recto y su fórmula es la misma: Podemos resumir el cálculo del volumen de pirámides y conos en el siguiente esquema: Medición del volumen de la esfera El volumen de una esfera de radio r se obtiene a través de la fórmula: Arquímides ideó un método simple para determinar el volumen de la esfera. Imaginó una semiesfera, un cono y un cilindro juntos. Supuso que la esfera tenía radio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R. También supuso que las alturas del cono y el cilindro medían R como muestra la siguiente figura: De estas figuras, son conocidos los volúmenes: - Del cilindro: radio R y altura R, o sea p·R2·R = p·R3 - Del cono: radio R y altura R, o sea (p·R2·R )/3 = (p·R3)/3 Luego cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia d de la parte superior de las figuras. Luego se preguntó cómo serían las secciones determinados por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro: La sección del cilindro En el cilindro la sección que determina el plano es claramente un círculo de radio R y su área es: La sección de la semiesfera En la semiesfera, la sección circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. La siguiente figura muestra la situación: El área del círculo de radio r, es: Además, usando el Teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo de lados R , d y r se cumple que: La sección en el cono El cono que consideró Arquímides, tiene altura y radio basal R, por lo tanto el triángulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de triángulos, el circulo que determina el plano que corta al cono tiene radio d. La siguiente figura lo muestra: En el cono, la sección que determina el plano, es un círculo de radio d y su área es: Juntando las fórmulas Hasta ahora sabemos que: pero de la semiesfera obtuvimos que: Si en el área del cilindro reemplazamos R2 por r2 + d2 entonces tendremos que: Es decir, la suma de las áreas de las secciones del cono y la semiesfera es igual al área de la sección del cilindro. Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones (que forma el plano al cortar las figuras) como rebanadas finas, para cada trío de rebanadas tendríamos que: Rebanada del cilindro = Rebanada de la semiesfera + Rebanada del cono De la relación anterior podríamos suponer entonces que: Volumen del cilindro = Volumen de la semiesfera + Volumen del cono y si reemplazamos en esta relación las fórmulas conocidas del volumen del cono y el cilindro, entonces es posible determinar el volumen de la semiesfera: Despejando, Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble del de la semiesfera: El método de Arquímedes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso. Arquímedes quedó tan maravillado con él, que dispuso grabar en su tumba esta figura, en recuerdo de su idea: Clasificación de los cuerpos Se puede observar del diagrama que a partir de esta clasificación existen básicamente tres formas de calcular su volumen: el de los cilindros, el de las pirámides y el de la esfera. Medición del volumen en cuerpos no regulares Por desplazamiento de líquido Cuando un sólido no tiene una forma geométrica que permita determinar por cálculo su volumen, se mide éste directamente. El procedimiento se le atribuye a Arquímedes. Supongamos que se desea saber el volumen de una piedra pequeña. Por lo general las piedras tienen una forma muy irregular, por lo que es muy difícil calcular su volumen comparándolo con un cubo unidad. En estos casos se calcula su volumen por desplazamiento de agua. En un recipiente graduado vertemos un líquido y, a continuación, sumergimos en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer. El aumento de nivel del líquido nos permitirá, por sustracción, determinar el volumen del sólido. Normalmente el líquido empleado será agua, pero si el sólido se disuelve en ella (por ejemplo la sal o el azúcar) usaremos otro líquido que no disuelva al sólido. El siguiente diagrama muestra un objeto irregular y un recipiente con 9 centímetros cúbicos de agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella. Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que provocó: Al introducir el objeto al recipiente el agua subió su nivel marcando un volumen de 11 cm 3. Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 9 cm 3 por lo que la diferencia de volumen se debe al objeto. El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto, menos el volumen del agua sin el objeto: V = 11 cm 3 - 9 cm 3 = 2 cm 3 Por lo tanto el objeto tiene un volumen de 2 cm 3. Este método es bastante sencillo, pero es útil sólo para objetos pequeños que no absorben el líquido en el que son sumergidos. No es posible usarlo para medir el volumen de una pirámide Egipcia, por ejemplo. Principio de Cavalieri Otra manera de conocer el volumen de un sólido cuando no tiene una forma geométrica que permita calcular su volumen a través de las fórmulas vistas es usa. Veamos un ejemplo que visualiza este principio. Usando tres montoncitos de 15 fichas (monedas de $10 u objetos similares, todos iguales) y una cinta de cartulina cuyo ancho sea mayor que el diámetro de las fichas, ordena las fichas en 3 pilas de modo que sólo una sea recta y las otras dos sean oblicuas o sinuosas y a continuación pasa la cinta entre las fichas a la misma altura en las tres pilas. Notarás que las áreas de las fichas que tocan la cinta son iguales para las tres pilas y si pasas la cinta a cualquier otra altura, las áreas de las fichas siguen siendo iguales. El Principio de Cavalieri asegura que si esto ocurre para cualquier altura entonces las tres pilas tienen el mismo volumen.