Download Arcos y ángulos en la circunferencia

1
Liceo Nocturno de Puriscal
Profesor: José Pablo Vargas Vargas
Departamento de Matemática
NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Relaciones métricas entre ángulos del círculo y el arco
que interceptan)
Nota:
Recordemos que la medida angular de una círcunferencia es de 360º, o bien
de 2 radianes. Si trazamos en diámetro, este divide a la circunferencia en
dos semicircunferencias cuya medida angular es de 180º cada una.
180
A
A
O
O
B
B
A
O
B
180
Definición (Ángulo Central):
Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro
de la circunferencia y cuyos lados son dos radios de la misma
circunferencia.
A
O
B
O: Centro de la circunferencia
Teorema 1 (Medida del Ángulo Central)
La medida del ángulo central es igual a la medida de su arco correspondiente
y viceversa. Es decir: mAOB   , mAB  x    x
Ejemplos:
B
1. Averigüe el valor de x en cada caso
A
2X
4X 3X
C
2. Si
mCAD  76º
entonces averigüe
mCD (menor) y mCD (mayor)
C
A
D
2
Liceo Nocturno de Puriscal
Profesor: José Pablo Vargas Vargas
Departamento de Matemática
NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Relaciones métricas entre ángulos del círculo y el arco
que interceptan)
Definición (Ángulo Inscrito):
Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos
lados son secantes a la misma.
C
O
B
A
O: Centro de la circunferencia
Teorema 2 (Medida del ángulo Inscrito):
La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco
comprendido entre sus lados. Es decir
i) Si la medida del arco
mCA  
entonces
mCBA 

2
ii) Por otro lado si mCBA   entonces la medida del arco
Ejemplos:
1. De acuerdo con los datos de la figura determine el valor
de φ
2X
mCA  2
C
B
A
φ
3X
4X
2. En la figura adjunta BC es diámetro y
Averigüe la medida de ABC
a : b :: 5 : 4 .
a
C
O
c
B
b
A
3
Liceo Nocturno de Puriscal
Profesor: José Pablo Vargas Vargas
Departamento de Matemática
NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Relaciones métricas entre ángulos del círculo y el arco
que interceptan)
Definición (Ángulo Semi-inscrito)
Un ángulo semi-inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la
circunferencia y cuyos lados están contenidos en una
tangente y una secante.
A
O
O: Centro de la circunferencia
B
C
Teorema 3 (Medida del ángulo Semi-inscrito):
La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco
comprendido entre sus lados.
i) Si la medida del arco
ii) Por otro lado si
mAB  2
mAB  
mABC  
entonces
mABC 

2
entonces la medida del arco
A
O
B
C
Ejemplos:
1. En la figura AB es tangente a la circunferencia en el punto
mBC  240º . Halle la medida del ABC
B
A
O
C
B
y
4
Liceo Nocturno de Puriscal
Profesor: José Pablo Vargas Vargas
Departamento de Matemática
NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Relaciones métricas entre ángulos del círculo y el arco
que interceptan)
2. En la figura los cuerdas AB y BC son de igual medida y
a la circunferencia. Halle la medida del DAC
AD
es tangente
B
A
C
D
Teorema 4
Las rectas secantes y paralelas a la circunferencia generan arcos
congruentes.
Si
m
 
m // n entonces x  y
y
x
n
Teorema 5
Cuerdas de igual medida subtienden arcos de igual medida
Si
AB  DC entonces x  y
B
xº
A
D
yº
C
5
Liceo Nocturno de Puriscal
Profesor: José Pablo Vargas Vargas
Departamento de Matemática
NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Relaciones métricas entre ángulos del círculo y el arco
que interceptan)
PRÁCTICA #3
EJERCICIOS SOBRE “RELACIONES MÉTRICAS ENTRE ÁNGULOS DEL
CÍRCULO Y EL ARCO QUE INTERCEPTAN”
1. Halle la medida de los ángulos y arcos indicados en las figuras. En cada
caso O representa el centro de la circunferencia.
(1)
(4)
(7)
(10)
A
B
A
A
R
O
T
O
S
D
B
O
D
B
C
E
W
Y
mAB  90º
mAOB  ___
mAEB  ____
(2)
H
D
mRW  130º
mTSR  ____
mRSW  ___
mRS  ___
mSYW  ___
(5)
C
mBAD  40º
mCOB  ___
(11)
(8)
B
C
45
40
A
B
C
E
O
mAD  60º
mABC  75º
mDC  ___
O
C
G
B
F
O
mEF  60º
A
mEDF  ____
mDE  ____
mCBA  135º
mDGF  ____ mBEC  ____
mDHE  ____ mBC  ___
E
(3)
S
T
mRS  90º
mRST  ___
mRES  ____
mACD  ___
mCDA  ___
(9)
K
(12)
R
G
D
O
B
mDOB  30º
mDB  ___
mDEB  ___
Q
O
H
R
E
D
A
M
(6)
E
mABO  30º
mAOC  __
M
mMK  90º
mGH  70º
Halle las medidas
de todos los
arcos y todos los
ángulos.
P
N
MN  NP  PQ
mMOP  100º
mPRO  ___
6
Liceo Nocturno de Puriscal
Profesor: José Pablo Vargas Vargas
Departamento de Matemática
NIVEL: UNDÉCIMO AÑO
Tema: Geometría (Relaciones métricas entre ángulos del círculo y el arco
que interceptan)