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P4 Un uso práctico de la medida de la gravedad
Prospecciones geofísicas indican que a una cierta profundidad de
la corteza terrestre existe una cavidad aproximadamente esférica de
radio medio R = 2,1 km. En su interior se supone que hay gas metano,
con una densidad muy inferior a la de la Tierra. Una medida precisa de
la gravedad en el punto P de la superficie más próximo a la cavidad da
el valor g = 0,99997g0 , donde g 0 sería el valor de la gravedad en P
supuesta la Tierra esférica y homogénea, de radio RT  6370 km. Por
simplicidad no se tendrá en cuenta el efecto de la rotación de la Tierra.
(10 puntos)
P
d
1)
Haga una estimación de la distancia d entre el centro de la cavidad y el punto P de la superficie
terrestre.
2)
Suponga ahora que quiere medir g mediante un péndulo simple, cuya longitud conoce exactamente.
Calcule la precisión relativa, T/T, con la que debe medir el período para poder obtener g con un
error g = 10-4 N/kg.
V Olimpiada
IBEROAMERICANA
DE FÍSICA
V OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE FÍSICA
JACA, ESPAÑA
Septiembre de 2000
Solución
1)
Modelo:
Tierra perfectamente esférica y homogénea con una cavidad vacía,
P
también esférica, de radio R  2 km, como se muestra en la figura.
Consideramos la cavidad vacía porque la densidad del gas es mucho
d

menor que la densidad de la Tierra.
El campo gravitatorio en el punto P de la superficie será igual al

campo debido a la Tierra como si fuese perfectamente esférica y homogénea,
con densidad media , menos el campo creado por la cavidad (que se
comporta como una esfera homogénea de densidad negativa -) es decir:
g  g0  G
g  g0  G
4
3
d2
 R 3
1
d2
,.
con
g0  G
 M
M T 4R 3
 g0   G T
 R2
4 3 3
T

RT
3
MT
R T2
Como  
.
 R3 1 
R 3 1 

 1 
g
2  0
 RT d 2 
R
d
T



El dato que nos dan es g  0 ,99997g0 , luego
0,99997  1 
R3 1
,
RT d 2
y de aquí:


R3

d 
 1  0,99997R 
T

T  2
2)
L
g

1
2
d  7 km
T 1 g 1 5·10 5


T
2 g 2 10
T
 2,5·10 6
T
Calificación
1)
7 p.
2)
3 p.
V Olimpiada
IBEROAMERICANA
DE FÍSICA
V OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE FÍSICA
JACA, ESPAÑA
Septiembre de 2000
MT
4 3
R T
3
,