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DE LAS CLASES ECUACIONALES, LO CALCULABLE Y OTRAS
REVELACIONES DE LOS FUNDAMENTOS.
Mi colega filósofa Mónica Jaramillo me hizo una pregunta a quemarropa, en medio de
un tinto y un cigarrillo en don Cafeto, que no he tenido la oportunidad de contestarle
personalmente. En verdad le hubiera debido indagar algo más sobre el sentido de su
pregunta. Recordando la pregunta aparece como un “papayaso” u oportunidad para
recalcar que en toda escuela de filosofía debería existir una sentencia a la entrada
parecida y con el mismo espíritu de la que existía a la entrada de la Academia de Platón:
“Que no entre aquí quien no sepa geometría”. Tal como ahora me la imagino, la
pregunta me parece muy interesante, aunque tal vez la cambié, adaptándola a mis gustos
y mis necesariamente escasos conocimientos. Era algo sí cómo ¿en las matemáticas
todo se describe por ecuaciones? Debo decir en principio, que ésta es una inquietud de
la Lógica Matemática, de la Teoría de modelos y de la llamada Álgebra Universal y que
su respuesta puede parecer contundente y sencilla: los objetos que se pueden definir por
ecuaciones son los más populares y los más fáciles de trabajar, pero en ningún momento
son todos. Vale la pena profundizar algo sobre esta afirmación e intentaré hacerlo de
manera coloquial, seguramente recaeré en mi terca apreciación sobre la importancia de
que todos los filósofos y también los abogados (¿dónde estás Fermat?), manejen
acertadamente los métodos de deducción formal. Por otra parte por no usar el lenguaje
matemático, necesariamente careceré del rigor que tanto defiendo y en conjunto estas
elucubraciones serán imprecisas. No conviene pues, suponer que con esta breve lectura
se entenderán las cosas bien, pues es necesario entender los enunciados, condiciones y
demostraciones de los teoremas, resolver problemas y ejercicios, para finalmente
plantearse una buena cantidad de interesantísimas y sorprendentes preguntas, algunas de
las cuales talvez no están resueltas por la humanidad en los momentos actuales. Estas
elucubraciones quieren apenas ser motivaciones para entrar a estos apasionantes temas
que digámoslo de una vez, en vez de ser totalizantes, dejan percibir un mundo muy
extenso que no se puede ser atrapado por la racionalidad matemática.
El uso de las ecuaciones y su manipulación no se le puede achacar a ningún matemático
en particular. La llamada álgebra simbólica que precedió al álgebra retórica es sin duda
una gran creación humana y comunitaria del renacimiento. El gran aporte cartesiano fue
el relacionar las nacientes ecuaciones con las figuras geométricas de los griegos. A
partir de Descartes y hasta finales del siglo XIX el análisis se centró en trabajar con
estas ecuaciones, sin entender muy bien qué era lo que ellas representaban. Al igual que
los infinitésimos, el concepto de función y el mismo concepto de número permanecen
por tres siglos escondidos tras bambalinas, siendo ellos la base de ese gran edificio que
se construía y que hoy constituyen las matemáticas de las carreras de ingeniería. En la
segunda mitad del siglo XIX George Cantor estudiando el significado de funciones
definidas por sumas trigonométricas infinitas descubre los números transfinitos.
Podemos decir que el tránsito del siglo XIX al XX en matemáticas con la llamada crisis
de los fundamentos supone una mirada retrospectiva (mejor introspectiva) de la
matemática hacia la matemática. Los matemáticos aclaran, qué es un número, una
función, una teoría axiomática, una ecuación, etc. En ello colaboran entre otros,
Dedekind, Frege, Peano, Hilbert, Russell y claro el mismo Cantor. Hablar de la crisis de
los fundamentos no es del todo acertado, más conveniente sería decir algo así como la
“revelación de los fundamentos”.
Me detendré y limitaré al popular concepto de función. Se dice por ejemplo, que el área
de un triángulo depende de la base y la altura, es decir el área es función de la base y de
la altura. Originalmente una función se concibe como una fórmula o manera (algoritmo)
de relacionar diferentes variables. Así se entendía en un principio y así lo enseñan
algunos profesores del siglo XXI tal vez porque no entienden las aclaraciones que se
hicieron en el siglo XIX o porque suponen que como recurso pedagógico es válido. Aún
en libros del 2004 se puede encontrar definiciones como: “Una función es una regla que
a cada elemento de un conjunto llamado dominio le hace corresponder un único
elemento de otro conjunto llamado recorrido”. Con la revelación de los fundamentos se
concibe una función como un conjunto de parejas que cumple cierta propiedad pero que
no necesariamente requieren una fórmula o algoritmo. Traduzcamos la pregunta de
Mónica a este contexto así: ¿Hay funciones que no correspondan a una fórmula,
ecuación y/o algoritmo?
Y los números transfinitos nos ayudan a separar tales conceptos. Según la aritmética
transfinita de Cantor hay muchos infinitos, en particular el infinito de los números
naturales, que es el primer cardinal infinito, es estrictamente más pequeño que el de los
números reales. Hablando en términos informáticos modernos, un conjunto tiene el
infinito de los naturales (también se dice infinito numerable) si sus elementos se pueden
colocar en una lista (infinita). Los números enteros, que incluyen los naturales y sus
negativos, son infinitos numerables ya que los podemos colocar en una lista:
0,1,-1,2,-2,3,-3,…
Realmente deberíamos ser algo más formales, aquí apenas sugerimos una lista, el lector
intuirá qué sigue y podrá dar una fórmula o algoritmo para determinar el n-ésimo
término. Un poco más laborioso y más divertido, es colocar los racionales (aquellos
números de la forma p/q con p y q enteros) en una lista. Por ejemplo hagamos una lista
(apenas la sugerimos) de los racionales positivos entre 0 y 1:
0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5…
Se notará que los ordenamos según el denominador de la fracción irreducible y este
orden no corresponde al orden usual. Aquí es importante resaltar que las palabras sobre
un alfabeto finito son también un conjunto numerable y podemos pensar en un concepto
bien amplio de palabra: por ejemplo se puede hacer una lista de todas las novelas y
discursos que susceptibles de ser escritos en español o en cualquier lenguaje. Por tanto
las ecuaciones y los algoritmos o reglas en un lenguaje determinado conforman un
infinito numerable. Esto no es realmente sorprendente sino por el descubrimiento de
Cantor de que existen conjuntos que no se pueden colocar en una lista, esto es infinitos
no numerables. Por ejemplo, los números reales entre 0 y 1. Si hacemos cualquier lista
de números reales entre 0 y 1 siempre faltará alguno, realmente la mayoría. Pues bien,
el infinito de las funciones es más grande que el infinito de las ecuaciones, entonces hay
muchas funciones, de nuevo realmente la mayoría, que no corresponden a ninguna
ecuación. Es más, aquellas que tienen algoritmo para ser calculadas son enumerables,
pues al fin y al cabo, los algoritmos son palabras sobre un alfabeto finito y por tanto los
posibles algoritmos son numerables. Entonces podemos decir que la mayoría de las
funciones no tienen algoritmos para ser calculadas. Mostrar una sola de ellas es muy
difícil pues al intentarlo posiblemente estaríamos dando el algoritmo.
Preguntas equivalentes se trabajan también con respecto a las estructuras y a sistemas
lógicos. Hay estructuras algebraicas que se pueden caracterizar por axiomas que son
ecuaciones y otras que no. Hay sistemas lógicos que se dejan axiomatizar finitamente y
hay otros que no. El famoso Teorema de Gödel es un resultado sofisticado en este
sentido.
Limitándonos a las funciones ¿qué significa que su cardinal sea superior al de los
algoritmos? Como ya se dijo, que la mayoría de las funciones no tiene un algoritmo,
menos aún una fórmula que determine el valor asociado para un elemento dado. Los
matemáticos, los científicos y los ingenieros, nos la jugamos con las que sí tienen
algoritmos y esperamos aproximarnos a cualquiera que nos encontremos con aquellas
que sí son calculables. Pero esto aunque no se niega práctico es, en cierto sentido, una
ilusión. Las funciones de la vida cotidiana (son mucho más de las que uno espera) no
tienen porqué tener una fórmula o algoritmo para calcularlas, es decir la mayoría son
no calculables. Estas son las que entusiasman a los espíritus sensibles de los artistas.
Hay entonces mundos en los que para entrar, es necesario despojarse de cualquier
ropaje matemático.