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Universidad Panamericana
Estadística I
Prof. Andrés Sandoval H
Estadística I
3. PROBABILIDAD
3.1 Conceptos básicos
A continuación se presentan los conceptos de probabilidad y de experimento,
resultado y evento, que son los conceptos básicos que deben comprenderse para
adentrarse en el estudio de la probabilidad.
Probabilidad. Es un valor entre uno y cero, inclusive, que describe la posibilidad de
que ocurra un resultado o evento determinado como consecuencia de la
realización de un experimento.
Experimento. Es un proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de varias
observaciones posibles.
Resultado. Es una consecuencia particular de un experimento.
Evento. Es la colección de uno o varios resultados de un experimento.
3.2 Definición de probabilidad según las tres escuelas de pensamiento
diferentes: la teoría clásica, la teoría de frecuencia y la teoría subjetiva
Como ya se mencionó, existen tres escuelas de pensamiento principales, cada
una con su propia forma de definir la probabilidad.
La teoría clásica. Que está dentro de la corriente de la “probabilidad objetiva”, se
basa en la suposición de que los resultados de un experimento son igualmente
probables. Bajo este enfoque, la probabilidad de que un evento ocurra se calcula
dividiendo el número de resultados favorables entre el número de posibles
resultados.
# de resultados favorables
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Probabilidad de un evento =
# de resultados posibles
CLÁSICA
Algunas condiciones que es necesario cumplir para utilizar la probabilidad clásica
u objetva son que lo eventos sean mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos.
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Mutuamente excluyentes. Se refiere a que la ocurrencia de cualquiera de los
eventos implica que ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo.
Colectivamente exhaustivos. Se refiere a que por lo menos uno de los eventos
tiene que ocurrir en cada experimento.
Algunos ejemplos de experimentos de este tipo de probabilidad son el lanzar un
dado, tirar un volado. O sacar una carta de una baraja al azar.
Es importante mencionar que para calcular la probabilidad objetiva o clásica, no se
necesita realizar el experimento.
La teoría de frecuencia. Es una derivación de la probabilidad objetiva y es también
llamada probabilidad histórica o probabilidad empírica y sostiene que la
probabilidad de que un evento ocurra a la larga se determina observando el
número de veces que ocurrió en el pasado. Expresado en una fórmula es de la
siguiente manera:
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Probabilidad de un evento =
# de veces que ocurrió el
evento en el pasado
# de observaciones
HISTÓRICA
Algunos ejemplos de este tipo de probabilidad son: la probabilidad de que un
alumno de la UP consiga empleo mientras estudia la carrera, basada en el número
de alumnos que lo han hecho en un lapso determinado. Otro ejemplo es la
probabilidad de que alguien repruebe la materia de estadística, basada en el
número de alumnos que han reprobado la materia en semestres anteriores.
La teoría subjetiva. Se refiere a la posibilidad de que un evento particular ocurra,
que es asignada por un individuo basándose en la información que tenga
disponible y en su propia experiencia o presentimientos.
Ejemplos de probabilidad subjetiva son las apuestas en eventos atléticos o
deportivos o la estimación del futuro de una acción.
El siguiente diagrama esquematiza los distintos tipos de probabilidad.
Tipos de probabilidad
Probabilidad Objetiva
Probabilidad clásica
Probabilidad Subjetiva
Probabilidad empírica
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3.3 Reglas para el cálculo de probabilidades
Existen algunas reglas que son útiles para el cálculo de la probabilidad, de manera
genérica se dividen en reglas de la adición y reglas de la multiplicación, aunque
cada una tiene casos especiales.
Regla especial de la adición. Establece que si dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de
sus probabilidades.
REGLA ESPECIAL DE LA ADICIÓN
P(A o B) = P(A) + P(B)
De lo anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra A más la
probabilidad de que no ocurra A debe sumar 1. A esto se le llama la regla del
complemento. Esta regla establece que para determinar la probabilidad de que
ocurra un evento se puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra. En una
fórmula se establece de la siguiente manera:
REGLA DEL COMPLEMENTO
P(A) = 1 – P(~ A)
Regla general de la adición. Establece que si dos eventos A y B no son
mutuamente excluyentes la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la
suma de sus probabilidades menos la probabilidad de que ocurran ambos de
manera simultánea.
REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN
P(A o B) = [P(A) + P(B)] – P(A y B)
Regla especial de la multiplicación. Establece que si dos eventos A y B son
independientes la probabilidad de que ocurran ambos se calcula multiplicado sus
probabilidades.
Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no
afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIÓN
P(A y B) = P(A) P(B)
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Regla general de la multiplicación. Establece que si dos eventos A y B no son
independientes la probabilidad de que los dos eventos ocurran se encuentra
multiplicando la probabilidad de que ocurra A por la probabilidad condicional de
que ocurra B si ocurre A.
REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN
P(A y B) = P(A) P(B | A)
3.4 Análisis combinatorio
Se llama combinación al número de maneras de escoger r objetos de un grupo de
n objetos sin importar el orden. La fórmula para calcular las combinaciones es:
n!
FÓRMULA PARA LAS COMBINACIONES
nCr =
r!(n – r)!
3.5 Teorema de Bayes
El teorema de Bayes sirve para calcular, a partir de que ha ocurrido un suceso B,
las probabilidades de un suceso A. La fórmula de Teorema de Bayes es la
siguiente:
P(A1) P(B1 | A1)
P(A1| B1) =
P(A1) P(B1 | A1) + P(A2) P(B1 | A2) + P(A n) P(B1 | A n)