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ELEMENTOS ORBITALES -
PROBLEMA POSICIÓN
Norte Celeste
Eje Orbita
i
n = Longitud Nodo Ascendente
a
tic
Eclip
Plan
Orbita
rb
o O
it al
to = Instante paso por Perihelio
to
i = Inclinación Orbita-Ecliptica
 = Argumento Perihelio

Punto Aries
n
Nodo
Para determinar la posición de un Planeta, cometa , astronave ... se requiere:
1. Fijar el Plano de la órbita respecto al de la Eclíptica y orientar dicha órbita dentro de su plano orbital; es decir:
Inclinación = i
Longitud Nodo ascendente = n
Argumento Perihelio = 
2.
El tamaño y forma de la órbita:
Semieje mayor = a
Excentricidad = e
Estos datos tienen unas variaciones debido a los movimientos de Presesión de los Equinoccios y de Nutación
Orbita Eliptica
Astro
t
r
Centro
c
Av = Anomalía Verdadera
r = Radio vector
Av
Ae
a
Ae = Anomalía Excéntrica
to
SOL
a = Semieje mayor
c
e=
Excentricidad
a
3.
Posicionar el astro sobre la órbita en un cierto instante ; dicha Posición viene determinada por la Anomalía Verdadera A v y
el Radio vector r, que son las Coordenadas Elípticas del astro.
Para calcular estas posiciones se necesitan los datos de:
Epoca de paso por el Perihelio = t0
Velocidad media = v
(bien sea en º/dia bien en rad/dia ...)
o bien su Período medio
T  1,00004024. a 3
(a en U.A. y T en años)
Otros datos de la trayectoria o elipse suelen ser:
Distancia máxima Sol-Astro (AFELIO)
Q = a.(1+e)
Y su Velocidad es mínima
Distancia mínima Sol-Astro (PERIHELIO)
Vmin  V .
1 e
1 e
q= a.(1-e)
Y su Velocidad es máxima
Vmax  V .
1 e
1 e
La Anomalía media “ Am ” se define como el arco de círculo que describiría el astro en el instante t desde t 0, si se moviera por
una trayectoria circular de radio “a” con velocidad media “v” uniforme.
Am = v . (t –t0)
A partir de esta anomalía media se calcula la Anomalía Excéntrica Ae por medio de la ecuación de Kepler:
Ae = Am + e . Sen(Ae)
que en trayectorias elípticas se resuelve por aproximaciones sucesivas.
Y conocida la anomalía excéntrica, se calculan las coordenadas elípticas: Anomalía Verdadera A v y el radio vector r mediante las
ecuaciones:
 1 e
 A 
A v  2 . ArcTan
. Tan e  
 2 
 1 e
a.(1  e 2 )
r
1  e . Cos(A v )
4. Convertir las Coordenadas Elípticas en Coordenadas Heliocéntricas y posteriormente en Geocéntricas.
Primeramente se obtienen las Coordenadas Eclípticas Heliocéntricas ( Xe , Ye , Ze) que están referidas al plano de la Eclíptica y
centro el Sol:
Xe = r . ( Cos(n).Cos(+Av) – Cos(i).Sen(n).Sen(+Av) )
Ye = r . ( Sen(n).Cos(+Av) + Cos(i).Cos(n).Sen(+Av) )
Ze = r . Sen(i).Sen(+Av)
De aquí, se puede pasar a coordenadas heliocentricas esféricas (longitud, latitud y radio)
PARA LOS PLANETAS PERTURBADOS (Jupiter,saturno y urano) hay que corregir estas coordenadas heliocéntricas eclípticas
(Ver NOTA al final)
Estas se convierten en Ecuatoriales Heliocéntricas (al girar los ejes un ángulo
convertirlas al ecuador (ángulo de la eclíptica y ecuador celeste):
-  en torno a la línea de los Equinoccios) para
Xh = Xe
Yh = Ye . Cos() – Ze . Sen()
Zh = Ye . Sen() + Ze . Cos()
Mediante una traslación al origen de la Tierra, se convierten en Ecuatoriales Geocéntricas (centro en la Tierra):
Xg = Hh + Xsol
Yg = Yh + Ysol
Zg = Zh + Zsol
En donde (Xsol, Ysol, Zsol) son las coordenadas Heliocéntricas de la Tierra y cambiadas de signo
Y por último las Polares Geocéntricas:
 Yg 
α  ArcTan
 Xg 




δ  ArcTan


r 
Xg  Yg
2
Zg
Xg  Yg
2
2
2




 Zg 2
que dan la Ascensión Recta , Declinación y la Distancia Planeta-Tierra
Estas coordenadas son las mismas para cualquier observador de la Tierra en todo instante pues están referidas al centro de la misma.
Evidentemente a partir de ellas habrá que determinar las coordenadas de observación según el lugar, es decir, las coordenadas
Topocéntricas (que sólo para la Luna y satélites artificiales terrestres cercanos dan alguna variación importante) .
Datos de los Planetas y sus variaciones seculares en J2000.0
a = a + ax * dias
semieje (U.A)
e = e + ex * dias
excentricidad
i = i + ix * dias
inclinacion (º)
n = n + nx * dias
nodo (º)
 =  + x * dias
argumento perihelio (º)
M0 = anomalia media en j2000.0 (º)
v= velocidad media diaria (º/dia)
dias= son los diasjulianos desde 2000.0
Un dato necesario es la oblicuidad de la Eclíptica ( ε ) que en la fecha actual tiene un valor pero disminuye en función de los días
transcurridos y también a largo plazo (Movimiento de Precesión) de la fecha:
Oblicuidad
ε = 23,4393 – 3,563.10-7 *Dias
Si se considera a largo plazo la Precesión habrá que sumar a la longitud de la eclíptica el término: 3,8239.10 -5 * ( 355,2422*(Epoca2000,0) - Dias) ; siendo época la fecha en anos.
Tierra
n = 0: nx = 0
i = 0: ix = 0
 = 282.9404: x = 0.0000470935
a = 1: ax = 0
e = 0.016709: ex = -0.000000001151
M0 = 356.047: v = 0.9856002585
Mercurio
n = 48.3313: nx = 0.0000324587
i = 7.0047: ix = 0.00000005
 = 29.1241: x = 0.0000101444
a = 0.387098: ax = 0
e = 0.205635: ex = 0.000000000559
M0 = 168.6562: v = 4.0923344368
Venus
n = 76.6799: nx = 0.000024659
i = 3.3946: ix = 0.0000000275
 = 54.891: x = 0.0000138374
a = 0.72333: ax = 0
e = 0.006773: ex = -0.000000001302
M0 = 48.0052: v = 1.6021302244
Marte
n = 49.5574: nx = 0.0000211081
i = 1.8497: ix = -0.0000000178
 = 286.5016: x = 0.0000292961
a = 1.523688: ax = 0
e = 0.093405: ex = 0.000000002516
M0 = 18.6021: v = 0.5240207766
Jupiter
n = 100.4542: nx = 0.0000276854
i = 1.303: ix = -0.0000001557
= 273.8777: x = 0.0000164505
a = 5.20256: ax = 0
e = 0.048498: ex = 0.000000004469
M0 = 19.895: v = 0.0830853001
Saturno
n = 113.6634: nx = 0.000023898
i = 2.4886: ix = -0.0000001081
 = 339.3939: x = 0.0000297661
a = 9.55475: ax = 0
e = 0.055546: ex = -0.000000009499
M0 = 316.967: v = 0.0334442282
Urano
n = 74.0005: nx = 0.000013978
i = 0.7733: ix = 0.000000019
 = 96.6612: x = 0.000030565
a = 19.18171: ax = -0.0000000155
e = 0.047318: ex = 0.00000000745
M0 = 142.5905: v = 0.011725806
Neptuno
n = 131.7806: nx = 0.000030173
i = 1.77: ix = -0.000000255
 = 272.8461: x = -0.000006027
a = 30.05826: ax = 0.00000003313
e = 0.008606: ex = 0.00000000215
M0 = 260.2471: v = 0.005995147
Pluton
La teoría clásica no sirve para Plutón. La exactitud para este planeta entre 1800 y 2100 viene determinada por unas ecuaciones
expresadas en Heliocéntricas Esféricas de longitud, Latitud y radio o distancia, que luego se convierten a Geocéntricas de manera
igual que el resto de planetas:
A partir de los valores:
S = 50,03 + 0,033459652*Dias
(en grados)
P = 238,,95 + 0,003968789*Dias (en grados)
Las Heliocéntricas Esféricas vienen dadas por :
Longi = 238,9508 + 0,00400703c*Dias – 19,799*Sin(P) + 19,848*Cos(P) +lon1+ lon2 + lon3 + lon4 + lon5 + lon6
Lon1= + 0,897*Sin(2*P) – 4,956*Cos(2*P)
Lon2 = 0,61*Sin(3*P) + 1,211*Cos(3*P)
Lon3 = -0,341*Sin(4*P) – 0,19*Cos(4*P)
Lon4 = +0,128*Sin(5*P) – 0,034*Cos(5*P)
Lon5 = - 0,038*Sin(6*P) + 0,031*Cos(6*P)
Lon6 = + 0,02*Sin(S-P) – 0,01*Cos(S-P)
Latit = - 3,9082 – 5,453*Sin(P) – 14,975*Cos(P) + lat1 + lat2 + lat3 + lat4 + lat5 + lat6
Lat1 = + 3,527*Sin(2*P) + 1,673*Cos(2*P)
Lat2 = - 1,05*Sin(3*P) + 0,328*Cos(3*P)
Lat3 = + 0,179*Sin(4*P) – 0,292*Cos(4*P)
Lat4 = + 0,019*Sin(5*P) + 0,1 Cos(5*P)
Lat5 = - 0,031*Sin(6*P) – 0,026*Cos(6*P)
Lat6 = + 0,011*Cos(S-P)
Dist = 40,72 + 6,68*Sin(P) + 6,9*Cos(P) + dis1 + dis2
Dis1 = - 1,18*Sin(2*P) – 0,03*Cos(P)
Dis2 = + 0,15*Sin(3*P) – 0,14*Cos(3*P)
Y se pasan a coordenadas eclípticas heliocéntricas
Xe = Dist * Cos(Longi) * Cos(Latit)
Ye = Dist * Sin(Longi) * Cos(Latit)
Ze = Dist * Sin(Latit)
Y a partir de aquí se determinan las coordenadas Ecuatoriales Heliocéntricas y después las geocéntricas como el resto de los
planetas.
Perturbaciones de Jupiter, Saturno y Urano
jupiter:
l1 = -0.332 * Sin(2 * Mjup - 5 * Msat- 67.6)
l2 = -0.056 * Sin(2 * Mjup - 2 * Msat + 21)
l3 = 0.042 * Sin(3 * Mjup - 5 * Msat + 21)
l4 = -0.036 * Sin(Mjup - 2 * Msat)
l5 = 0.022 * Cos((Mjup - Msat)
l6 = 0.023 * Sin(2 * Mjup - 3 * Msat + 52)
l7 = -0.016 * Sin(Mjup - 5 * Msat - 69)
plon = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6 + l7
plat = 0
pdis = 0
saturno:
l1 = 0.812 * Sin(2 * Mjup - 5 * Msat - 67.6)
l2 = -0.229 * Cos(2 * Mjup - 4 * Msat - 2)
l3 = 0.119 * Sin(Mjup - 2 * Msat - 3)
l4 = 0.046 * Sin(2 * Mjup - 6 * Msat - 69)
l5 = 0.014 * Sin(Mjup - 3 * Msat + 32)
l1 = -0.02 * Cos(2 * Mjup - 4 * Msat - 2)
l2 = 0.018 * Sin(2 * Mjup - 6 * Msat - 49)
plon = l1 + l2 + l3 + l4 + l5
plat = l1 + l2
pdis = 0
urano:
l1 = 0.04 * Sin(Msat - 2 * Mura + 6)
l2 = 0.035 * Sin(Msat - 3 * Mura + 33)
l3 = -0.015 * Sin(Mjup - Mura + 20)
plon = l1 + l2 + l3
plat = 0
pdis = 0
NOTA
Para estos planetas las perturbaciones implican correcciones en las coordenadas esféricas de la manera siguiente:
A partir de la eclipticas Xe Ye Ze
se calculan las Esféricas Heliocéntricas
Longit = ArcTang (Ye/Xe)
Dist  Xe2  Ye 2  Ze2
Latit = ArcTang (Ze/Dist)
Y se corrigen estos valores:
Longit = Longit + plon
Latit = Latit + plat
Dist = Dist + pdis
Resultando las nuevas Eclípticas Heliocéntricas:
Xe= Dist * Cos(Longit) * Cos(Latit)
Ye= Dist * Sin(Longit) * Cos(Latit)
Ze = Dist * Sin(Latit)
Y a partir de aquí se determinan las coordenadas Ecuatoriales Heliocéntricas .......
CALCULO DE POSICIÓN DE LOS ASTEROIDES
A partir de los datos orbitales del Asteroide para la época a calcular su posición (los datos de “n” , “” y “i” son válidos para
una época específica que en general suele ser 2000,0) , sólo se modificará sustancialmente el elemento de la órbita “n” o longitud del
nodo ascendente ,que hay que actualizarle a la época actual “N” y que es suficiente con modificarle por Precesión:
N = n (época de 2000,0) + 3,82394.10 -5. DiasFechaHasta2000
En cuanto al cálculo de la Anomalía Media “Am” para la fecha que deseamos, (aquí se dá el dato de la Anomalía Media M0 en la fecha
de Epoca), se agrega a la Anomalía media de la Época la velocidad diaria por el número de dias transcurridos desde la época, hasta
la fecha deseada , es decir :
Am = M0 + v*Dias
(si no se conoce “v” , se calcula por : v = 360/Periodo (º / dia) y si no se conoce el periodo, éste
se puede calcular el Período = 365,2568984 * a 1,5 dias )
Si se desea conocer la fecha de Paso por el Perihelio = t0 se opera:
Paso Perihelio .... t0 = Epoca (de la Anomalía M0 dada ) - P* (M0/360)
Epoca se expresa en años decimales , M0 en grados y P(Período) en años decimales
Con todos los elementos orbitales y los actualizados se recurren a las mismas ecuaciones de los planetas.
CALCULO DE POSICIÓN DE COMETAS (EN ÓRBITA ELÍPTICA)
Normalmente se dá como dato la fecha de Paso por el Perihelio = t 0 (lo que indica que la Anomalía Media M0 = 0 en ese instante)
y la Anomalía Media “M” en la fecha deseada se calcula por:
Am = 360 * (DiasFechadeseadaHasta t0)/Periodo
Este Periodo está en días y el resultado de Am está en grados.
El resto de actuación es similar al de planetas.