Download Microsoft Word - Points_Lines_and_Distance_Teacher

Ángulos Interiores de Polígonos Regulares
NOTAS DEL PROFESOR
GEOMETRÍA INSPIRADA: CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
Objetivos Matemáticos
 Los alumnos encontrarán la medida del ángulo central de un
polígono regular.
 Los alumnos relacionarán a la suma de los ángulos
interiores de un triángulo a la suma de los ángulos interiores
de un polígono regular.
 Los alumnos aplicarán las representaciones geométricas de
las expresiones (n - 2) 180 y 180n - 360 para determinar la
medida del ángulo interior de un polígono regular.




Descargar documento TI-Nspire
Abrir un documento
Desplazarse entre páginas
Mover un objeto agarrando y
arrastrando un punto
 Clic sobre los iconos ¤ y £
de un slider
Vocabulario
•
Ángulo Central
•
Ángulo de la Base
•
El Interior del Ángulo
•
Triángulo Isósceles
•
Polígono Regular
Habilidades en el uso de la
Tecnología TI-Nspire™:
Consejo de Enseñanza:
 Estar seguro que el tamaño de la
fuente en tu calculadora TI-Nspire
es seleccionado a Medio.
Acerca de la Lección
•
Esta lección consiste en cambiar el número de lados de un
polígono regular.
•
Como resultado los estudiantes:
• Observan las consecuencias de esta manipulación sobre
el ángulo central.
• Deducen la relación entre el ángulo central y el número de
lados de un polígono regular.
• Tienen en cuenta las consecuencias de esta manipulación
sobre el número de triángulos inscritos en cada polígono.
• Deducen la relación entre los ángulos de la base de los
triángulos isósceles y la medida de un ángulo interior.
• Deducen la equivalencia geométrica y algebraica de las
expresiones (n - 2) 180 y 180n - 360, que se puede
utilizar para encontrar la suma de los ángulos interiores
de todos los polígonos convexos regulares e irregulares.
Materiales para la Lección:
Actividad del Estudiante:
Angulos_Interiores_de_Poligonos_
Regulares _Estudiante.PDF
Angulos_Interiores_de_Poligonos_
Regulares _Estudiante.DOC
Documento TI-Nspire:
Angulos_Interiores_de_Poligonos_
Regulares.tns
Visite www.algebrainspirada.com
para actualización de lecciones, y
videos con consejos de enseñanza.
Prerrequisito de Conocimiento
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 °.
GEOMETRÍA INSPIRADA
Página 1
©2009 education.ti.com Latinoamérica
Ángulos Interiores de Polígonos Regulares
NOTAS DEL PROFESOR
GEOMETRÍA INSPIRADA: CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
TI-Nspire Problema/Página 1.2
1. Utilice los polígonos y las
medidas del ángulo central
para completar la tabla
siguiente.
a. Cada polígono regular se
divide en triángulos. ¿Qué tipo
de triángulos son? ¿Por qué?
b. Para cada polígono regular,
¿cuál es la relación entre estos
triángulos? ¿Por qué?
c. Utilice el patrón de la tabla
para encontrar la medida del
ángulo central de un octógono
regular (8 lados).
GEOMETRÍA INSPIRADA
Polígono Regular
# de Lados
Triángulo
3
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
n-gono
n
360°

# de lados
Medida de
Ángulo Central
360°
 120°
3
360°
 90°
4
360°
 72°
5
360°
 60°
6
360° 360°

n
n
Cada polígono se divide en triángulos isósceles. Todos los
radios de un círculo son congruentes. Ya que dos de los
catetos de cada triángulo son radios, el triángulo debe ser
isósceles.
Consejo de Enseñanza: Si los estudiantes “flotan” sus cursores en
el perímetro de cada polígono regular, las palabras "diagrama de
dispersión" pueden aparecer. Los polígonos son controlados por
una gráfica de dispersión oculta.
Para cada polígono regular, todos los triángulos isósceles
inscritos son congruentes. Todos los radios de un círculo son
congruentes, por lo tanto 2 lados de cada triángulo son
congruentes. Los lados de cada polígono regular también son
congruentes. Por lo tanto, los triángulos son congruentes de
acuerdo con el teorema de congruencia SSS.
360° = 45°
Página 2
©2009 education.ti.com Latinoamérica
Ángulos Interiores de Polígonos Regulares
NOTAS DEL PROFESOR
GEOMETRÍA INSPIRADA: CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
TI-Nspire Problema/Página 2.2
2. Magdalena creó la tabla siguiente para explorar la relación entre el número de triángulos y las
medidas de ángulos en polígonos regulares.
a. Completa la tabla de Magdalena.
Polígono
Regular
# de
Lados
# de
Triángulos
Suma de los
Ángulos Interiores
# de Triángulos(180°) – 360° =
Suma de los
Angulo de la
Base de un 
Triángulo
3
3
3 (180°) – 360°
=
180°
60°
Cuadrilátero
4
4
4 (180°) – 360°
=
360°
90°
Pentagono
5
5
5 (180°) – 360°
=
540°
108°
Hexagono
6
6
6 (180°) – 360°
=
720°
120°
n-gono
n
n
n (180°) – 360°
=
n (180°) – 360°
b. Cuando el número de lados
de un polígono regular
aumenta en 1, ¿por qué la
suma de los ángulos
interiores se incrementa en
180°?
180°-360°/n
Cuando el numero de lados de un polígono regular se
incrementa en uno, el numero de triangulos que pueden ser
trazados dentro del piligono tambien se incrementa en uno,
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
180°, la suma de los ángulos interiores tambien ángulo
interior se ángulo interior incrementa en 180°.
Consejo de Enseñanza: Asegúrese de que los estudiantes
comprendan la construcción que está provocando que esto
suceda. El polígono se divide en triángulos de tal manera que se
reúnen en el centro y se extienden para tener una base que es
uno de los lados del polígono. Pregunte a los estudiantes por que
ellos deberían restar 360 °.
c. Utilice el patrón de la tabla
para encontrar la suma de
los ángulos de la base de
un
triángulo
isósceles
trazada desde el centro de
un nonágono regular (9
lados).
GEOMETRÍA INSPIRADA
180°-(360°/n)
Página 3
©2009 education.ti.com Latinoamérica
Ángulos Interiores de Polígonos Regulares
NOTAS DEL PROFESOR
GEOMETRÍA INSPIRADA: CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
d.
Cuando los triángulos
isósceles congruentes son
trazados desde el centro
de un polígono regular,
¿por qué es la suma de los
ángulos de la base de
cualquiera de los triángulos
isósceles equivalente a la
medida de un ángulo
interior del polígono?
Dado que los triángulos isósceles trazada desde el centro de un
polígono regular son congruentes, sus partes correspondientes
son también congruentes. Por lo tanto, los ángulos de la base de
todos los triángulos son congruentes. Como los ángulos
adyacentes de las bases de los triángulos adyacentes forman un
ángulo interior, la suma de los ángulos de la base es equivalente
a la medida de un ángulo interior.
TI-Nspire Problema/Página 3.2
2. Magdalena creó la tabla siguiente para explorar la relación entre el número de triángulos y las
medidas de ángulos en polígonos regulares.
a. Completa la tabla de Magdalena.
Polígono
Regular
Triángulo
# de
Lados
# de
Triángulos
3
1
# de Triángulos(180°) – 360° =
1(180°)
Suma de
los Ángulos
Interiores
Medida de
los Ángulos
Interiores
Suma Ángulos Interiores
=
# de Lados
180°
= 180°
 60°
3
Cuadrilátero
4
2
2(180°)
360°
= 360°
 90°
4
Pentágono
5
3
3(180°)
540°
= 540°
 108°
5
Hexágono
6
4
4(180°)
720°
= 720°
 120°
6
n-gono
n
n-2
(n-2)180°
= (n-2)180°
(n - 2)180°
n
GEOMETRÍA INSPIRADA
Página 4

(n - 2)180°
n
©2009 education.ti.com Latinoamérica
Ángulos Interiores de Polígonos Regulares
NOTAS DEL PROFESOR
GEOMETRÍA INSPIRADA: CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
b. Utilice el patrón de la tabla
para encontrar la medida
del ángulo interior de un
decágono regular
(10 - 2)180°
 144°
n
Consejo de Enseñanza: Use esto como un momento “enseñable”
cuando complete la tabla para el n-gono.
4. La suma de los ángulos
interiores
puede
ser
calculada
utilizando
la
expresión de José
(N - 2)180, o 180n - 360 (como
lo ha hecho Magdalena).
a. ¿Cuál es la relación entre
estas dos expresiones?
Las expresiones (n - 2)180 y 180n - 360 son equivalentes de
acuerdo a las propiedades conmutativa y distributiva.
Consejo de Enseñanza: Cuando se discute la expresión (n-2)180,
considerar la necesidad de agrupar símbolos en torno a la expresión
(n - 2). Es posible que desee utilizar la propiedad distributiva para
mostrar a los estudiantes que las expresiones (n - 2)180 y n-2(180)
no son equivalentes.
b.
¿Cómo pueden estas
expresiones ser modeladas
geométricamente?
La expresión (n - 2)180 se puede modelar geométricamente
dibujando segmentos no congruentes de un solo vértice de un
polígono a sus vértices restantes. La suma de los ángulos
interiores de estos triángulos es la suma de los ángulos
interiores del polígono. La expresión 180n - 360 se puede
modelar geométricamente dibujando segmentos congruentes
desde el centro de un polígono a cada vértice. La suma de los
ángulos interiores del polígono es la suma de los ángulos
interiores de estos triángulos menos la suma de los ángulos
centrales, que es siempre 360°.
Consejo de Enseñanza: Anime a los estudiantes para referirse a
los problemas 2 y 3 en el archivo de tns.
5. Un polígono irregular no es
equiángulo y equilátero.
¿Pueden ser utilizados los
métodos de Magdalena o
José para determinar la
suma de los ángulos
interiores de un polígono
irregular? ¿Por qué si o por
qué no?
Ambos métodos se pueden utilizar para determinar la suma de
los ángulos interiores de un polígono irregular, ya que, para cada
método, el número de triángulos de un polígono dibujado en el
interior no cambia cuando el polígono tiene diferentes longitudes
laterales y medidas de ángulos.
Consejo de Enseñanza: Es posible que desees ampliar esta
situación para verificar la respuesta. También puedes hacer que los
estudiantes inserten una página nueva y esquematizar la situación
sobre el archivo tns.
Resumiendo:
Al término del debate, el profesor debe garantizar que los estudiantes sean capaces de entender:
 Cómo determinar la medida del ángulo central de un polígono regular.
 La relación entre la suma de los ángulos interiores de un triángulo y la suma de los ángulos interiores
de un polígono regular e irregular.
 Cómo aplicar las representaciones geométricas de las expresiones (n - 2)180 y 180n - 360 para
determinar la medida del ángulo interior de un polígono regular.
GEOMETRÍA INSPIRADA
Página 5
©2009 education.ti.com Latinoamérica