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LEY DE NEWTON
Para iniciar nuestros estudios de los modelos matemáticos, lo haremos con un problema
con el que estamos familiarizados, discutiendo el movimiento de una masa sujeta a un resorte, como
se ilustra a continuación:
Observaciones en esta clase de aparatos muestran que la masa, frecuentemente se encuentra
en movimiento, moviéndose hacia a tras y hacia delante (oscila), hoy en día, poca gente tiene algún
interés intrínseco en tales sistemas MASA-RESORTE. Históricamente este problema juega una
parte muy importante en el desarrollo de la física, además este simple sistema MASA-RESORTE
exhibe un desarrollo de sistemas más complejos, por ejemplo, las oscilaciones de un sistema
MASA-RESORTE, el movimiento del mecanismo de un reloj y en este sentido, también ayuda al
entendimiento del movimiento de subir y bajar de la superficie oceánica (mareas).
Los problemas físicos, no pueden ser analizados solamente por matemáticos, esto será el
primer principio fundamental de una aplicación matemática. Un sistema MASA-RESORTE, no
puede resolverse sin la formulación de una ecuación matemática que describa su movimiento,
afortunadamente, muchas observaciones experimentales culminan en la segunda ley de Newton de
movimiento, describe como una partícula reacciona a una fuerza. Newton descubrió que el
movimiento de un punto masa esta bien descrito por la famosa formula.
 d
mv 
F
dt
2.1
Donde “F” es el vector suma de todas las fuerzas aplicadas al punto masa de masa “m”. La
fuerza es igual al rango de cambio del momentum “mv”, donde “v” es la velocidad y “x” su
posición.

 dx
v
2.2
dt
Si la masa es constante, entonces:



dv
Fm
 ma
dt
2.3
Donde “a” es el vector aceleración de la masa


 dv d 2 x
a

dt dt 2
2.4
La ecuación 2.3 es la segunda ley de “NEWTON” de movimiento, y establece que la fuerza
sobre una partícula es igual a su masa multiplicada por su aceleración fácilmente denotada como “F
es igual a ma”. La aceleración resultante de un punto masa, es proporcional a la fuerza total que
actúa sobre la masa; al menos dos suposiciones son necesarias para la valides de la ley de
NEWTON”.
No existen puntos masa en la naturaleza. Así esta formula es valida únicamente hasta el
punto en el que el tamaño finito de una masa puede ser ignorada. Para nuestros propósitos, será
suficiente con discutir únicamente puntos masa. Una segunda aproximación tiene su origen en
trabajos de físicos del siglo XX en los que la ley de “NEWTON” muestra ser invalida, para
velocidades que se aproximen a la velocidad de la luz.
LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA MASA-RESORTE
Intentaremos aplicar la ley de “NEWTON a un sistema MASA-RESORTE, supondremos que la
masa se mueve en una dirección, que llamaremos “X”, y en cuyo caso esta gobernada por:
m

d2x
dt 2
F
2.5
Si no hubo fuerzas “F”, la masa pudo moverse únicamente a velocidad constante (este
enunciado, conocido como primera ley de Newton). Así al observar la variabilidad de la velocidad,
debida a la fuerza probablemente ejercida por el resorte. Para desarrollar un modelo apropiado de la
fuerza del resorte, estudiaremos los movimientos del sistema MASA-RESORTE bajo diferentes
circunstancias. Supongamos que una serie de experimentos se corrieron, en un intento por medir la
fuerza del resorte. En alguna posición, la masa pudo localizarse y no moverse, ahí el resorte no
ejerce fuerza sobre la masa. En este lugar centramos nuestros ejes coordenados; como se ve en la
siguiente figura, “X = 0” es llamado posición de equilibrio o sin extensión, del resorte.
EQUILIBRIO: NINGUNA FUERZA EJERCIDA POR EL RESORTE.
La distancia “X” es entonces referida como el desplazamiento de la posición de equilibrio o
la cantidad de alargamiento del resorte. Si alargamos el resorte (esto es X>0), entonces el resorte
ejerce una fuerza que empuja a la masa la posición de equilibrio (esto es F<0). Similarmente si el
resorte es contraído (X<0), entonces el resorte empuja la masa hacia la posición de equilibrio
(F>0), tal fuerza se la conoce como “FUERZA RESTAURADORA”, además podemos observar,
que cuando incrementemos el alargamiento del resorte, la fuerza ejercida por el resorte, se
incrementara. Así podemos obtener los resultados mostrados en la siguiente figura, donde la curva
esta dibujada suavemente conectando los datos experimentales con puntos marcados con una “x”
FUERZA EXPERIMENTAL DEL RESORTE
Hemos supuesto que la fuerza únicamente dependa de la cantidad de alargamiento del
resorte; la fuerza no depende de cualquier otra cantidad, así por ejemplo, la fuerza se supone será la
misma no importando a que velocidad se esta moviendo la masa.
Un examen cuidadoso de los datos experimentales muestra que la fuerza depende de una
formula compleja del alargamiento, sin embarga para un alargamiento del resorte que no es
demasiado grande (que corresponde a una fuerza moderada), la siguiente figura muestra esta curva
puede ser aproximada a una línea recta.
F
x
Fbx
LEY DE HOOKE: APROXIMACIÓN DE LA
FUERZA DEL RESORTE (EXPERIMENTAL)
Así
F = -kx
2.6
Es una buena aproximación para la fuerza del resorte, mientras que la masa no se aleje de su
posición de equilibrio. “k” es llamada constante del resorte, depende de la elasticidad del resorte.
Esta relación lineal entre la fuerza y la posición de la masa fue descubierta por el físico del siglo
XVII “HOOKE” y es conocida como ley de HOOKE usando la ley de Newton (segunda) y la ley de
HOOKE obtenemos:
m
d2x
dt 2
 kx
2.7
El modelo matemático más sencillo de un sistema MASA-RESORTE.
GRAVEDAD
Hemos mostrado que la ecuación diferencial
m
d2x
dt 2
 kx
Describe el movimiento de un sistema MASA-RESORTE, puede haber dificultad en
imaginar un sistema MASA-RESORTE como el siguiente.
Puede verse más razonable considerar un sistema MASA-RESORTE vertical como se
ilustra.
La derivación de la ecuación que gobierna un sistema MASA-RESORTE horizontal, no es
aplicable a un sistema vertical, existe otra fuerza - la “Gravedad” - aproximamos la fuerza de
gravedad (-mg), la masa m, multiplicada por la aceleración de la gravedad -g. La suma vertical de
las dos fuerzas y la ley de Newton llega a ser entonces:
m
d2x
dt 2
 ky  mg
2.8
Donde “y” es la coordenada vertical “y=0” es la posición en la que el resorte no ejecuta
ninguna fuerza, observe la siguiente figura.
¿Existe una posición en la que se coloque y no pueda moverse que hemos llamado posición
de equilibrio? ¿si bien existe?, entonces se sigue que:
dy d 2 y

0
dt dt 2
y las dos fuerzas deben balancearse.
0 = -ky - mg
vemos que:
y
m
g
k
Es la posición de equilibrio de este sistema MASA-RESORTE-GRAVEDAD y no el “Y=0”
EFECTO GRAVITACIONAL SOBRE EL EQUILIBRIO MASA-RESORTE.
Unicamente en esta posición, la fuerza balanceara la fuerza hacia arriba del resorte, este se
estira hacia abajo una distancia “mg/k” cuando la masa es agregada, un resultado que no es
sorprendente. Para una masa mayor el resorte se alargara más. La rigidez del resorte (k – grande),
menor estiramiento del resorte (también razonable).
Es frecuentemente ventajoso trasladar un sistema coordenado con un origen en “y = 0”
(posición sin estiramiento del resorte), a uno con un origen en “y= mg/k” (posición de equilibrio
con la masa). Sea “z” igual al desplazamiento desde esta posición de equilibrio.
mg
 mg 
z  y  
y
k
 k 
Como
m
d2y
dt 2
  ky  mg  m
d2z
dt 2
  kz
Esta última ecuación es equivalent e a
m
d2x
dt 2
  kx
2.9
Así la masa se moverá verticalmente, alrededor de una posición de equilibrio vertical, de la
misma manera como la masa se moviera horizontalmente en una posición de equilibrio horizontal.
Por esta razón continuaremos estudiando el sistema MASA-RESORTE, a través del sistema
vertical.
OSCILACIÓN DE UN SISTEMA MASA-RESORTE
Procederemos a analizar la ecuación diferencial que describe un sistema MASARESORTE.
m
d2x
dt 2
 kx
2.10
La fuerza reestablecedora es proporcional al alargamiento del resorte. Aunque esta ecuación
ha sido derivada usando algunas aproximaciones y suposiciones, se espera que el entendimiento de
su solución ayude en investigaciones más exactas (algunas de las cuales investigaremos). La
ecuación 2.10 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes y
tienen una solución general de la forma.
x t   C1 cos t  C 2 sen t
2.11
Donde 2 = k/m y donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Demos un breve repaso a la
técnica estándar de resolverlas.
La solución general de una ecuación diferencial homogénea, lineal y de segundo orden, es
una combinación lineal de dos soluciones homogéneas y son usualmente en forma de exponenciales
sencillos ert el exponencial especifico es obtenido por sustitución directa de la forma asentada ert,
en la ecuación diferencial.
Si ert es sustituida en la ecuación 2.10 entonces una ecuación cuadratica para “r” es
obtenida.
mr2 = -k
Las dos raíces son imaginarias “r = ± i” donde  
k
m
Así la solución general es una combinación lineal de ei t y e- i t
i.e
x = aei t + be- i t
2.12
Donde “a y b” son constantes arbitrarias, sin embargo la solución anterior involucra una
función exponencial de un argumento imaginario. El desplazamiento “x” debe ser real, para mostrar
como la ecuación 2.12 puede expresarse en términos de funciones reales, llamemos.
ei t
= cos t + i sen t
una expresión similar para e- i t = cos t – i sen t
2.13
2.14
Donde hemos usado que la función coseno es par (cos (-y) = cos y) y que la función seno es
impar (sen (-y) = -sen y) y estas ultimas dos ecuaciones 2.13 y 2.14 son llamadas, formulas de
EULER; que al aplicarlas a la ecuación 2.12 obtenemos:
x = aei t
+ be- i t
x = a(cos t + i sen t) + b(cos t – i sen t)
x = (a+b) cos t + i (a-b) sen t
Hagamos:
C1 = a+b
Entonces obtenemos
y
C2 = i(a-b)
x = C1 cos t + C2 sen t
Las constantes C1 y C2 son arbitrarias, ya que dado cualquier valor de C1 y C2 existen
valores de “a y b” a saber
a = 1/ 2 (C1 – iC2)
b = 1/ 2 (C1 + iC2)
Es usual memorizar el resultado que hemos obtenido:
Una combinación lineal arbitraria de e i  t y e- i  t
x = aei  t + be-i  t
Es equivalente a una combinación lineal arbitraria de “cos t y sen t”
x = C1 cos t + C2 sen t
En lo de arriba establecemos sin duda alguna que la solución general de la ecuación:
m
Es de la forma
Donde  
d2x
dt 2
 kx
x = C1 cos t + C2 sen t
k
m
y, C1 y C2 son constantes arbitrarias i.e. la solución general es una
combinación lineal de dos funciones osciladoras: un seno y un coseno, una expresión equivalente
para la solución:
x = A sen (t + o)
Usando la identidad:
sen (A+B) = cos A sen B + sen A cos B
Aplicando a nuestro caso:
A sen (t + o) = A (cos t sen o + sen t cos o) 
 A sen (t + o) = A sen o cos t + A cos o sen t
En cuyo caso hacemos:
C1 = A sen o
C2 = A cos o
Y obtenemos que:
A sen (t + o) = C1 cos t + C2 sen t
Si damos valores a C1 y C2 vemos que ambos, “A” y “o” pueden determinarse dividiendo
las dos ecuaciones, obtenemos una expresión para “tan o” y usando “sen² o + cos² o = 1” resulta
en una ecuación para “A”;
A  C12  C 22


C
 0  tg 1  1
 C2



1
2
La expresión x = A sen (t + o), es especialmente conveniente para dibujar el
desplazamiento como una función del tiempo. Muestra que la suma de cualquier múltiplo de “cos
t” mas cualquier múltiplo de “sen t” es así mismo una función sinusoidal como esta dibujado:
T
A sen (t + o)
A
PERIODO Y AMPLITUD DE OSCILACIÓN
“A” es la llamada amplitud de oscilación. Es fácil calcularla si C1 y C2 son conocidas. La
fase de oscilación es “t + o”.
Donde:
o = la fase en “t = 0”
En muchas situaciones esto concuerda con el movimiento observado en un sistema
“MASA-RESORTE”. Este movimiento esta referido como un movimiento armónico simple. La
masa oscila sinusoidalmente alrededor de la posición de equilibrio en “x = 0”. La solución es
periódica en el tiempo, como se ilustro arriba, la masa alcanza después su desplazamiento máximo
(x-grande) y nuevamente regresa a la misma posición. La oscilación completa repite por si misa al
cabo de “T unidades”, de tiempo, llamado el “periodo de oscilación”. Matemáticamente una
función “ƒ(t) se dice ser periódica con periodo “T”.
ƒ(t + T) =ƒ(t)
Para determinar el periodo “T”, llamemos a las funciones trigonométricas que son
periódicas con periodo 2, así para una oscilación completa como “t” crece a “t + T”, de la
ecuación 2.15 “t + o” deberá cambiar en 2
[ (t + T) + o] - [t + o] = 2 
 (t + T) + o - t - o = 2

t + T + o - t - o = 2

T = 2
Consecuentemente el periodo “T” es
T
Donde:
2
n
o bien
T  2
m
k
2.16
 = la frecuencia circular y es el movimiento de periodos en 2 unidades de tiempo:
2
k

2.17
T
m
El número de oscilaciones es unidad de tiempo es la frecuencia “ƒ”

ƒ
1 
1 k


T 2 2 m
Medidas en ciclos por segundo (HERTZ), puesto que un sistema MASA-RESORTE
1 k
normalmente oscila con frecuencia
este valor es conocido como la frecuencia natural de un
2 m
sistema MASA-RESORTE, de masa “m” y constante del resorte “k”. Otros sistemas físicos tienen
frecuencia natural de oscilación diferente.
DESARROLLO CUALITATIVO Y CUANTITATIVO DE UN SISTEMA
MASA –RESORTE
Para entender las predicciones de un modelo matemático de un sistema MASA-RESORTE,
el efecto de variación en los diferentes parámetros debe investigarse. Una formula importante es la
derivada del periodo de oscilación.
T  2
k
m
2.18
Supongamos que usamos en resorte fuerte, esto es, uno cuya constante “k” sea grande, con
la misma masa, sin contar con una formula matemática, ¿qué diferencias en el movimiento
ocurrirán?. Comparemos dos diferentes resortes, abajo representados.
Uno de los cuales tiene una fuerza restablecedora grande por ser fuerte y de aquí que
regrese mas rápidamente a su posición de equilibrio. Así sospechamos que una “k” grande es el
acortador del periodo. La ecuación 2.18 también predice estas características cualitativas. O de otra
forma, si la masa es incrementada usando el mismo resorte, entonces la formula muestra que el
período incrementa. El sistema oscila mas lentamente (¿es esto razonable?) en cualquier problema
comparamos tanto como sea posible nuestra intuición acerca de que sucederá con lo que predice la
formula. Si las dos coinciden entonces esperamos que nuestra formula dará los efectos cuantitativos
para un problema dado.- uno de los mayores propósitos del uso de las matemáticas. En particular
para un sistema MASA-RESORTE, podemos sospechar, sin uso de la matemáticas que
incrementando la masa, incrementamos el periodo, pero es dudoso que podamos conocer que
cuadriplicando el peso, resulta en un incremento en el periodo, en un factor dos.
En los modelos matemáticos, usualmente los resultados cualitativos son al menos
parcialmente entendidos. Los resultados cuantitativos son frecuentemente desconocidos. Cuando los
resultados cuantitativos son conocidos (debido quizás a experimentos precisos). Entonces los
modelos matemáticos son deseados para descubrir entre otras cosas, que mecanismos cuentan mas
para los datos conocidos i.e que cantidades son importantes y cuales pueden ser ignoradas, en
problemas complejos, algunas veces, dos o más efectos interactuan.
Aunque cada uno por si mismo es cualitativamente y cuantitativamente entendido su
interacción puede necesitar un análisis matemático en forma, para lograr entender lo cualitativo.
Si nuestra intuición acerca de un problema no corresponde a lo que una formula matemática
predice, entonces se hace necesario de investigaciones mas profundas quizás la intuición sea
incorrecta, en cuyo caso la formulación matemática y la solución en la improvisación directa de un
entendimiento cualitativo, o de otra forma, puede ocurrir que la intuición sea correcta y
consecuentemente no hubo error matemático en la derivación de la formula o el modelo en el que se
baso el análisis necesita mejorarse.
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Hemos mostrado que:
x = C1 cos t + C2 sen t
2.19
Es la solución general de la ecuación diferencial que describe un sistema MASARESORTE:
d2x
m 2  kx
2.20
dt
Las constantes C1 y C2 deben determinarse de las ecuaciones iniciales del sistema MASARESORTE, es decir, de la forma en que inicia el movimiento el sistema.
Un método sencillo es jalar (o empujar) la masa a alguna posición –digamos x0- y de ahí
soltarla.
En un sentido matemático, se requiere determinar la solución a 2.20 que satisfaga las
condiciones iniciales de que la masa esta en x0 en el tiempo t  0, esto es:
x(t)  x(0)  x0
Aquí mismo (t  0) la velocidad de la masa
dx 
 x  v es cero.
dt
Por lo que:
dx  t 0 
dt
0
Con lo anterior podemos establecer que para este ejemplo se cumplen las condiciones
iniciales (c.i.) siguientes:
En t  0,
x(t  0)  x(0)  x0
y
x ( t 0)  x (0)  0
Para resolver problemas con valor inicial, las constantes C1 y C2 se deben determinar, así
como 2.19 satisface las condiciones iniciales será suficiente con derivar respecto al tiempo, debido a
que involucra la velocidad y entonces sustituir las c.i., esto es:
Como x  C1 cos t + C2 sen t
 x  C1 sen t  C 2  cos t

2.21
Luego, de acuerdo a lo establecido:
x ( t 0)  x (0)  x 0
x ( t 0)  x (0)  0
Tenemos que al sustituir en 2.19 y 2.21 respectivamente:
En t  0 x0  C1 cos (0) + C2 sen (0)
y
0  C1 sen (0) + C2 cos (0)

Donde se ve fácilmente que:
C1  x0 y C2  0
Y de esta manera, 2.19 adquiere la forma:
x  x0 cos t
En este caso muy particular, se ha considerado que x ( t 0)  0 esto no siempre es cierto,
puede darse el caso en que sea distinta de cero, por lo que la regla general para condiciones iniciales
podría ser:
x ( t 0)  x 0
x ( t 0)  x 0
x ( t 0)  x 0 (Aceleración)
TORSION
La torsión es un fenómeno que se observa principalmente en la aplicación de pares torsores
en elementos de sección circular, teniendo mayor aplicación en los árboles de transmisión,
utilizados para transmitir potencia de un punto a otro, como una turbina de vapor a un generador
eléctrico o de un motor a una máquina herramienta o del motor a eje de transmisión al automóvil.
Estos árboles pueden ser sólidos o pueden ser huecos. Considerando, por ejemplo, el sistema que
consta de la turbina A y el generador B conectados por el árbol de transmisión AB y
descomponiendo el sistema en tres componentes, observamos que la turbina aplica un par torsor o
momento de torsión T sobre el árbol y este aplica un momento de torsión igual al generador. El
generador reacciona ejerciendo un momen6to de torsión igual y opuesto T’ sobre el árbol y éste lo
aplica a la turbina.
DEFORMACIONES DEBIDAS A LA TORSION
Considerando un árbol circular unido a un soporte fijo en un extremo. Si el momento de
torsión T se aplica en el otro extremo, el eje quedará sometido a torsión, y el extremo libre rotará un
ángulo  llamado ángulo de torsión. Puede comprobarse experimentalmente que, dentro de un cierto
intervalo de valores de T, el ángulo de torsión para un árbol del mismo material y sección pero el
doble de longitud, se duplicará bajo el mismo momento de torsión T. Un propósito de nuestro
análisis será encontrar una relación específica entre ,L y T; otro será determinar la distribución de
esfuerzos cortantes en el árbol.
Debemos hacer notar una propiedad importante de los árboles circulares: todas las
secciones transversales a lo largo del árbol roten cantidades diferentes, cada sección rotará como
una losa sólida rígida. La propiedad de la que estamos hablando es característica de los árboles
circulares, sean sólidos o huecos; no gozan de ella los árboles de sección no circular. Por ejemplo,
cuando se somete una barra cuadrada a torsión, sus diversas secciones no permanecen constantes
sino que alabean.
El hecho de que las secciones transversales de un árbol circular permanezcan planas y sin
distorsión se debe a su simetría axial, es decir, a que apariencia permanece igual cuando es
observado desde una posición fija y rotado, un ángulo arbitrario con respecto a su eje.
ANGULO DE TORSION EN EL INTERVALO ELÁSTICO
Se supone que todo el árbol permanece elástico. Considerando primero un caso de longitud
L, de sección transversal uniforme de radio c, sometiendo a un momento de torsión T en su extremo
libre, como la relación del ángulo de torsión  y la deformación máxima de corte max se define
como sigue:
c
 max 
L
pero, en el intervalo elástico, el punto de fluencia no es excedido en ninguna parte del árbol,
la Ley de Hooke es válida y tenemos:
 max

Tc
o  max  max 
G
G
JG
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
TL

JG
 max 
Con  en radianes. La relación obtenida muestra que, dentro del intervalo elástico, el ángulo
de torsión  es proporcional al momento de torsión T aplicado al árbol.
La última ecuación proporciona un método conveniente para determinar el módulo de
rigidez de un material. Se coloca una probeta de material en forma de barra de diámetro y longitud
conocidos, en una máquina de prueba de torsión. Se aplican momentos de torsión T de magnitud
creciente y se registran los valores correspondientes del ángulo de torsión  en una longitud L. Se
comprueba que, mientras no se exceda el esfuerzo de fluencia del material, los puntos del gráfico T están sobre una recta. La pendiente de dicha recta es la cantidad JG/L, de donde se obtiene G.
TORQUE O MOMENTO
Esta definido como cualquier causa que tiende a producir un cambio en el movimiento
rotacional de un cuerpo sobre el cual actúa. El torque es el producto de una fuerza y la distancia
perpendicular, tomada desde el punto de giro, a la línea de acción de la fuerza.
MOMENTO DE INERCIA
Se conoce como la medida de resistencia a la aceleración angular y esta definida como:

J  rdm
Donde r = Distancia del eje a “dm”
dm = elemento de masa
SEGUNDA LEY DE NEWTON (PARA MOVIMIENTO ROTACIONAL)
Para un cuerpo rígido en una rotación pura alrededor de un eje fijo, la segunda ley de
Newton establece que:
Torque  momento de inercia  aceleración angular

i.e.
 T  J
 T  J
Donde:
T = Es la suma de todos los torques que actúan alrededor de un eje.
J = Momento polar de inercia del área.
  
 = aceleración angular:   
VIBRACION TORSIONAL LIBRE
La vibración torsional se refiere a la vibración de un cuerpo rígido alrededor de un eje de
referencia específico. En este caso, el desplazamiento se mide en términos de una coordenada
angular. El momento de restablecimiento se debe, ya sea a la torsión de un elemento elástico o al
momento no equilibrado de una fuerza o de un par.
En la siguiente figura, del extremo de una barra se soporta un disco que tiene una masa
relativamente grande con relación a la de la barra, y el otro extremo de la barra está fijo a una base
rígida. Si la barra es elástica, cualquier desplazamiento angular del disco lejos de la posición de
equilibrio creará un momento de restablecimiento de:
M
JG
l
En donde J es el segundo momento de área (momento polar de inercia de área) alrededor
del eje de la flecha, G es el módulo de rigidez, l es la longitud de la flecha y  es la medida de
coordenadas angulares del disco con respecto al eje de la barra.
Este momento de restablecimiento, es directamente proporcional al ángulo  y la constante
de proporcionalidad es definida como la constante torsional del resorte.
kt 
M

kt 
JG
l
Luego entonces:
El torque interno restablecedor que se opone al desplazamiento angular  es entonces:
MR  k t 
GJ

l
y deberá ser igual y opuesto al torque aplicado M si el disco estuviera en una posición de
equilibrio estático.
Ahora supongamos que al disco se le aplican condiciones iniciales; debido a la inercia del
propio disco y al torque elástico restablecedor de la flecha, el disco oscila, entonces para obtener la
ecuación diferencial de movimiento aplicamos el principio de D’Alembert:
Con
Y
MAPLIC.  MEFEC.
GJ
M APLIC  k t   

l
M EFEC  I
con I momento de inercia del disco
Entonces la ecuación diferencial es:
 k t   I o bien I  k t   0
De donde se puede obtener la frecuencia natural como:
n 
kt
GJ

;
I
Il
f 
1 kt
2 I
Y cuya solución de la ecuación diferencial es:
 (t)  C1 cos t  C 2 sen t
O bien
 (t)   sent  
RESORTES
Hasta hora hemos empleado los resortes, utilizando el concepto intuitivo que tenemos, a
continuación daremos una definición que servirá par ampliar el concepto. Que servirá para ampliar
el concepto, como es de esperarse un resorte es un elemento mecánico que se usa con el objeto de
ejercer fuerzas, proporcionar flexibilidad y almacenar energía (o absorber), en general pueden
clasificarse como de alambre, planos o con formas especiales, teniendo variaciones es estas
divisiones.
Se fabrican con el fin de resistir cargas tensión, compresión o torsión, un resorte es un
elemento mecánico que puede ser deformada por una fuerza externa tal que la deformación es
directamente proporcional a la fuerza o torque que le es aplicado, esto puede traducirse en la
siguiente formula:
F=kx
Donde “k” es una contante de proporcionalidad que es llamada también constante de
resorte (sus unidades son fuerza / desplazamiento).
Para el caso de resortes torsionales ó rotacionales tenemos que: el torque aplicado al
extremo libre y el cambio neto en el desplazamiento angular esta relacionado por:
M  kt 
Donde “kt” es la constante torsional del resorte y “” es el desplazamiento angular.
La aplicación de los resortes es muy variado y existen combinaciones en donde debemos
establecer para poder resolver problemas que surgen con frecuencia, veamos lo siguiente:
PROBLEMAS
Obtener la constante del resorte equivalente para el sistema mostrado en la siguiente
figura.
k1  k 2 ; k1  k 2
F  kx
F  k1x  k 2 x
k equiv x  F  x k 1  k 2 
EN PARALELO k e qu iv  k 1  k 2
Encontrar la constante del resorte equivalente para el sistema mostrado en la siguiente
figura.
Para resortes en serie y de acuerdo a la geometría de la figura, vemos que la fuerza es la
misma, así:
k1  k 2 ;
xy  x  y
F1  k 1 x ; F2  k 2 y
k equiv 
x
F
xy
F
F
; y
k1
k2
k equiv 
F
F
 1
1 

F

 k1 k 2 
1
k e quiv 
1
1

k1 k 2
F
F

k1 k 2
EN SERIE

PROBLEMA DE APLICACION
DATOS
m = 30 kg
;
k1 = k5 = 3 kg/m
;
k2 = k3 = k4 = 3 kg/m
X
,
CONDICIONES INICIALES
xo = 0.01 m
;
xo = 0.1 m/s
ENCONTRAR
Wn
,
T
Graficar.
;
f
,
X para toda t = 0.5 seg
Kequiv  K 2  K 3  K 4  2  2  2  6kg / m
Kequiv SERIE 
n 
K

m
1
1
1
1


K1
K EQUIV
K5

1
 1.2KN / m
1 1 1
 
3 6 3
1200
; n  6.324rad / seg
30
m
30
 2
, T  0.99seg .
K
1200
1
1
f 

 1c.p.s
T
0.99
x  A sen( t  o )
T  2
x  A cos( t  o )
Para un t = 0
X = 0.01 = C1 cos w (0) + C2 sen w(0)
C1 = 0.01
Xo = 0.1 = - C1 w sen w(0) + C2 w cos w(0)
C2 = 0.1/ w = 0.1/ 6.32 = 0.015
X = 0.01 cos(6.32 t) + 0.015 sen (6.32 t)
Xo = -0.01(6.32) sen (6.32 t) + 0.015 (6.32) cos (6.32 t)
Xo = - 0.0632 sen (6.32 t) + 0.0948 cos 6.32 t
A  C1  C 2 
o  tan 1
0.01   0.015   0.01802
2
2
C1
0.01
 tan 1
 33.69
C2
0.015
 X  0.01802 sen( 6.32t  33.69 )
X  0.1138 cos( 6.32t  33.69 )
Para un “t = 0.5 seg
X = 0.01 cos (6.32)(0.5) + 0.015 sen (6.32)(0.5) = 0.0108 m
X = 0.01802 sen [(6.32)(0.5) + 33.69] = 0.0108 m
X = -0.0632 sen (6.32)(0.5) + 0.0948 cos (6.32)(0.5) = 0.0911 m/s
X = 0.1138 cos [(6.32)(0.5) + 33.69°] = 0.0910 m/s
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
Xo
A
t
0.01
Xo
De acuerdo con el D.C.L. observamos que:
F  mg cos  y FT   mg sen 
También sabemos que Ft  mr y por la segunda ley de Newton
Ft  ma t  mL con

mL  mg sen 
d 
    2

dt
 L  g sen   0
2
Ft  mL  mg sen 
i.e.

  g sen   0
L
Para oscilaciones pequeñas, i.e., para valores pequeños , podemos establecer:
g
  sen  luego      0
L
Esta última ecuación es conocida como la ecuación diferencial de movimiento del péndulo
simple para oscilaciones pequeñas.
Ahora, por otro lado, podemos encontrar esta última ecuación, aplicando el principio de la
conservación de la energía al péndulo simple, el cual establece que la suma de la EC y EP de una
masa m (de un péndulo simple) es constante en el tiempo i.e.
EC + EP  cte.
Sabemos que:
EC  1/2 mv2 y EP  mgh  EC + EP  1/2 mv2 + mgh  cte.
2
Expresamos esto último como:
De la figura:
h  L  L cos   L1  cos 
1
 d 
mL2    mgh  cte.
2
 dt 

2
1
1  d 
1  d  g
 d 
mL2    mgL 1  cos   L    g1  cos      1  cos   cte.
2
2  dt 
2  dt  L
 dt 

Derivando :
d 2
dt
2

2
1 d  d 
d g
d  d 2   g
d




1

cos


0

 0 i.e.
 2   sen 




2 dt  dt 
dt  L
dt  dt  L
dt

g
sen   0
L

Si  es pequeño

  g   0
L
La solución de esta última ecuación es: (t)  A sen t + B cos t, A y B son constantes 
  A cos t  B sen t y   A2 sen t  B2 cos t  2 A sen t  B cos t  i.e.
(t)
(t)
  2  
(t)
g
g
g

sustituyendo en     0 obtenemos :  2     0    2    0
L
L
L

como   0
T  2
L
.
g
 2  
g
g
g
2
1
 2  ó n 
como f 

L
L
L
 n 2
g
1
y como T  
L
f