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Ondas Electromagnéticas
Ecuaciones de Maxwell
Hemos establecido previamente las ecuaciones del Campo Electromagnético, en las
condiciones más generales posibles. Este conjunto de ecuaciones, denominado
Ecuaciones de Maxwell, describe todos los fenómenos electromagnéticos, a nivel
macroscópico.
Las relaciones generales entre los campos macroscópicos son
Para poder resolver las ecuaciones, se debe conocer las relaciones constitutivas,
entre
y
, entre
y
, y entre
Las ecuaciones de Maxwell en el vacío (
son:
y
.
,
,
,
)
Estas ecuaciones implican la existencia de `ondas electromagnéticas', que se
propagan en el vacio con velocidad
. Por el momento, tomemos c
como una definición (es fácil ver que tiene las dimensiones de una velocidad), y
tratemos de obtener una ecuación que involucre solamente a
último, tomemos el rotor de la 'ecuación de Faraday',
. Para hacer esto
(54)
lo cual da,
(55)
Finalmente, se tiene
(56)
Esta es la llamada ecuación de ondas para el campo eléctrico. El campo magnético
satisface la misma ecuación de ondas.
(57)
El valor de
(km/s), representa la velocidad de propagación de los
frentes de onda (en realidad es la 'velocidad de fase').
Hay varias preguntas que uno se puede hacer, y que responderemos a
continuación. En primer lugar, ¿Cómo se produce una onda electromagnética?. La
respuesta mas simple es que basta tener cargas en movimiento acelerado, o
corrientes que varían en el tiempo.
Figure 9.1: El punto de emisión y recepción de una onda están separados por un
tiempo
, en que d es la distancia entre los puntos.
Para dar una descripción matemática del proceso de emisión de una onda
electromagnética, deberemos obtener los campos eléctrico y magnético, o bien los
potenciales dinámicos,
y
. Observamos, en forma muy simple, que
los potenciales anteriores satisfacen las ecuaciones de onda siguientes:
Recordamos que el potencial estático
satisface
(58)
Como éste potencial satisface una ecuación diferencial similar a la ecuación de
ondas, suponemos que la forma del potencial es también similar. Hay una
importante diferencia, la que ilustramos en la figura, pues cuando se detecta una
onda en el punto , en el instante t, ésta fue emitida en el instante anterior t', en
un punto
, tal que t-t' = d/c, en que d es la distancia entre los puntos de emisión
y recepción. Se dice entonces que el potencial es retardado. De esta forma,
escribimos
(59)
en que
.
Hemos visto que, en las zonas sin cargas ni corrientes, las ecuaciones de Maxwell
conducen a las ecuaciones de ondas para los campos
y
. En las zonas en que
existen cargas y corrientes, es mejor buscar las ecuaciones para los potenciales.
Tomemos primero el potencial magnético
obteniendo
, y reemplazamos en la ley de Faraday,
(60)
Deducimos entonces que
(61)
Tomamos ahora la ecuación para el campo
, y obtenemos
(62)
Tenemos entonces la siguiente ecuación para el potencial
,
(63)
Se impone usualmente la llamada condición de Lorentz, que establece que la
cantidad entre paréntesis en al lado derecho de la ecuación anterior se anula
idénticamente,
(64)
Con esto, es potencial
, satisface la ecuación de ondas clásica, con fuentes, que
escribimos anteriormente. Reemplazando en la ley de Gauss, se obtiene tambien la
ecuación de ondas para el potencial
. Hay que hacer notar que, como se dijo ya
en magnetostática, existe una ambiguedad en la definición del potencial
permite imponer una condición de 'gauge' como la condición de Lorentz.
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, que