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Tema 1: Polinomios
1.1 Monomios.
1.- En cada uno de los siguientes monomios, di cuál es su coeficiente y cuál su grado.
Monomio
5x
1 2
xy
0,34 x 4
 x2 y3
3x 2 y 3

9
x y

8
7
Coeficiente
Grado
2.- Efectúa las siguientes sumas de monomios:
a)  y 2  7 y 2
b)  3,4 x 2  4,7 x 2
3 2 7 2
xy  xy
4
8
2
e)  11ax  6ax 2  5ax 2
3m m m m
  
4
2 3 12
3
f) 2,7 x  4,9 x3  3,1x3  1,9 x3
c) 
d)
3.- Suma los monomios semejantes para simplificar las siguientes expresiones:
a) 3ab  a 2  5a 2  ab
c)
b)
5x 7
5 3x x
  x2  

4 2
2 4 2
ab ab a 2 3ab a 2

 

8
2
2
8
4
4.- Multiplica los siguientes monomios:
3
4
a) (3x)·(-2y)=
b) (4ab)·( a ) 
5 2
a )
6
2
3
3
e ) ( ab 3 )· ( a 2b )·( a 3b )=
4
9
5
d) ( 
c)(4ab3)·( 
5 2
yx )·(  12 y2)=
8
1.2 Polinomios:
1
1
1.- Dados los polinomios A= x 2  x  ;
2
4
B=
a) A+B+C
b) A-B-C
c) 2A-4B+C
d) –A+B+1/2C
3 2
3
x  x  y C= x 2  5 x  1 , halla:
2
4
2.- Halla los productos siguientes:
a) -5x(  2 x 2  4 x  7) =
6  10
 3
xy  y 2  xy2 
5 9
 4
c)  
5 2 2 4
8 
xy x  xy  y 2 
8 3
5
3 
7
11 
 4
y=
d)  x 3 y  x 
8
14 
 7
b)
3.- Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
1
a) (2x-3)(-3x+1)=
b) (3x-4y)(x-2y)=
c) (2 x 2  3x  1)·(2 x  3) 
d) (2 x  7)(3x 2  5 x  1) =
4 3
1 
2
x  y · x  y  
5 4
2 
3
5 4
3 
2
f)  xy  y 2 · x 2  xy  
4 5
4 
3
e) 
4.- Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante:
a) x(x+1)-3x(-x+3)+2(x2-x)=
b) (x+2)(x-3)-(x-2)·(x+3)=
c)(3x-5)(x-3)-(x+1)(3x-7)=
d) -3x(x+7)+(2x-1)(-3x+2)=
e) (2x2+x-1)(x-3)-(2x-1)(x2-x)=
f)
x
y
(2 x  4 y )  (3 x  6 y ) 
2
3
g) (3x-y)(x-2y)(2x+y)=
5.- Extrae factor común en cada una de las expresiones siguientes:
a) 3x 2 y  6 xy´9 x 2 y 3 
abc 1
 ab 
2
3
3
e) 2ab  7b  ba 2 
c)  ab 
b)
5a 3
a
 a 
2 5
7
d) 8a+10b-6c=
f) 7(x+2)-5(x+2)-3(x+2)=
1.3.- Productos notables
1.- Completa las siguientes igualdades:
a) (x-3)2= x2+9
c) (2x+1)2=
+4x+1
e) x2+16x+64=(x + )2
g) x2+16x+64 = (x+ )2
i) 9x2-4=(3x- )( +2)
2.- Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (x-3)2=
c) (3x-2)2=
e) (x-3y)2=
g) (x-3)2=
i) (x2-1)2=
b) (3x-4)2= 9x2+16
d) (1/2x+2)2=
+
+4
f) (3-x)(3+x)= 9 h) x2-10x+1= (5x)2
j) (x/2+1) (x/2-1)=
-1
b) (2x+3)2=
d) (4x-5)2=
f) (2x-3) (2x+3)=
h) (x/2-y)·(x/2+y)=
j) (x2+1)· (x2-1)=
3.- Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, o bien como producto de una suma por una
diferencia.
a) x2+10x+25
b)4 x2-12x+9
2
c) x +1-2x
d) x2+4x+4
2
e) 9x - 25
f) 16x2-1
g) 9x2-12xy+4 y2
h) x4 – 1/4
4
2
i) x +x +1/4
j) x4 -2x3+x2
Tema 2: Fracciones Algebraicas
2.1 Simplificación de facciones algebraicas:
1.- Simplifica las siguientes fracciones:
2
2x  2

4x  4
6x  6

d)
3x  3
10 x

f)
2x3  2x
2x  2

h) 2
x  2x  1
2x

5x 2
6x  3

c)
10 x  5
9x

e)
6 x 15
x3  x2
g) 2

x x
a)
i)
k)
b)
xy2

6 xy  2 y 2
j)
9a 2  10a

3a 2  15a
x 2  4x  4

2
l)
x 4
6a 3  6a 3 b

6a 3  3ab 2
2.2: Operaciones con fracciones algebraicas:
1.- Reduce a común denominador para efectuar estas operaciones. Simplifica cuando sea posible.
a)
c)
e)
g)
i)
k)
3
2
1

 2 
2
xy y
x
3x
 2x 
d)
x 1
5x  1 1
 
f)
x 1 x
2x
1


h)
x 1 x 1
x
5


j)
x3 x2
3
1


l)
2
5x  5
( x  1)
3 1
5

 2 
x 4x 2x
1
1
3
 2 

2
4 xy
2 x y 8 xy
5 x 1


3 x2
1 2x  1


x x2
x 1
3

2
x
x 1
x 1
1


2
x 4 x2
b)
2.- Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones, y simplifica los resultados:
a)
c)
3x x 2
:

2 4
5x
b)
d)
4x 2 2x3
:

5y3 y4
xy 3 6 4
· ·

12 xy xy 2
 2x 3 2  3y
: x · 
 y
 x
e) 
2
 x
 x 4
 
: x  2 ·
x2
 2 
f) 
3.- Efectúa las siguientes operaciones y simplifica los resultados:
y 
x

1   : 1   
x 
y
a) 
 1   1 
 : 1   : ( x  1) 
x 
 x  
 1 1 3a  2b  3ab

e)   
·
ab  3b  2a
a b
c) 1 
x  x2


·
x 2 4

a  ab

d) 1 
· 2 
 a b b
4  x  2

f)  x   :  2  
x  x 

b) 1 
3
Tema 3: Ecuaciones1
3.1 Resuelve mentalmente por tanteo.
1.- Busca, por tanteo una solución entera para cada ecuación.(utiliza la calculadora)
a) Resuelve mentalmente o por tanteo.
Ecuación
Soluciones
comprobación
2
x=3
x=-3
a) x  9
3 2  9 ; (3) 2  9
b) x 4  81
c) x 4  1  80
x4 1
d)
 40
2
1 1 1
e)  
4 x 2
1 1 1 3
f)   
x x x 2
1 1
g)   6
x x
1
h) x  x  x 
3
2
i) x  x
j) 2 x  x 2
k) 5 x  x 2
l) x  2x 2
x
x=0
1
4
1 1 2 1
  
4 4 4 2
0  0 2 ; 1  12
x=1
m) x(x-1)=0
n) (x-2)·(x-3)=0
x=2
x=
(2-2)·(2-3)=0
ñ)(2x-4)x=0
o)(x+1)(x-1)(x-2)=0
p) ( x  2) 5  0
2.- Busca, por tanteo, una solución entera para cada ecuación (usa la calculadora)
a) x 7 x  1
b) x 2 x  729
c) x x / 2  216
d) x x / 2  16  200
e) 3 x  6  9
f) 5 x 3  5  30
g) x 3  x 2  4
h) x 3  x 2  12
i)
x3  8
l)

j) 
x

5
 32
m) 2 x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  2  10
k)
 x
3
3
 27
x 1  9
n) x 3  x 2  x  155
4
3.- Busca, por tanteo, una solución aproximada para cada ecuación:
a) x 3  x 2  5
b) x 4  x  20
c) 2 x 5  4  31
d) x 5  20 x 2  0
e) 3x 3  2 x 2  75
f) x 3  x 2  x  200
3
 3x 
 1  3
 2

g) ( x  5) 4  14
h) 
4.- Comprueba cuáles de estos números 1, -1, 2, -2, ½; -1/2 son soluciones de las ecuaciones siguientes:
a) 2 x 3  5 x 2  x  2  0
b) x 3  x 2  4 x  4  0
c) 3x 3  3x 2  12 x  12  0
d) 4 x 4  17 x 2  4  0
5.- Escribe una ecuación de primer grado, otra de segundo grado y otra de tercer grado que tengan por
solución el valor x= 5.
3.2.- Ecuaciones de primer grado
1.- Reduce, agrupa elementos y resuelve:
a) 3x+5x-12+2x=9x-9
b) 10x+9-2x=6x+7+3x
c) 7x-4+4x=9x-5+x
d) 3(x-2)+5=4(x-1)
2.- Primero simplifica las fracciones y después resuelve:
5
a)
8x
 3  3x  1
2
b)
4x
6x
x
7
2
3
3.- Resuelve:
a)7x+5-2x=3-4x+11
b)7x+4-2x=7+2x+9
c)2(x-2)+5x=3x+2(x-5)
d)
f)2(2x+3)=5(2+x)-7x
f) 3(2  x)  1 
10 x
 3  3x  2( x  2)  14
5
6x
6x
8
3
2
4.- Aplicando la regla: “Lo que esta multiplicando pasa dividiendo, y viceversa”, un alumno ha resuelto así
esta ecuación:
4(x+1)-8=12
¿Dónde está el error?
x+1-8= 12/4
x-7=3
MAL
x=10
5.- Resuelve:
a) 4(2x-3)-5)15
b)
5  2x
1  2
3
6.- ¿Cuál de los dos proceso siguientes es correcto y cuál erróneo?
Primer Proceso
Segundo Proceso
5x-3(2x-4)=9
5x-3(2x-4)=9
5x-6x-12=9
5x-6x+12=9
-x=21
-x= -3
x= -21
x=3
Justifica la respuesta:
7.- Resuelve:
a) 1-(x+2)=8-(3-x)
b) 2(2x+4)-3(4x-2)=7-(5x-4)
8.- Primero simplifica las fracciones y después resuelve:
a)
6x  9
 5 x  2(3 x  2)
3
b)
2 x  6 8 x  20
10 x  5

 1
2
4
5
9.- Resuelven en el orden que aparecen:
6
a)
x
5
3
b)
5x  7
 2x  4
3
c)
5  3x
 6x  1
4
d)
5  3 x 12 x  2

4
2
e)
4 x  15  x
5
3x
f)
x 2  2x  6
 x3
x
g) 2 x  1 
4x  5
3
4x  1 1

3
3
h) 5(2 x  1) 
10.- Resuelve esta ecuación:
15 x  35 4  x 20 3x  3



10
3
4
18
11.- Resuelve:
a) x 
c)
x x x
   10
2 4 8
x4 x
 1
2
5
e) 2 x 
x 3x 1


4 2 6
b)
2 x 5 x 3x 9



3
6
4 4
d) 4 
f)
2 x 3 x  11

3
6
2 x  1 3x  1 5 x  2


12
9
18
12.- Compruebe la ecuación que está mal resuelta. Detecta el error y halla la solución correcta:
2·
x 1
x
4
3
2
Comprobación:
7
12·2(x+1)-24=3x
24x+24-24=3x
21x=0
x=0
Resolución correcta:
13.- Resuelve:
a) 3·
c)
x 1 1 x
 
5
2 2
b) 5 x  8  3·
x
x3
 5·
 2x  2
9
2
d) 7·
x 1
3x
x
 5·  10  9·
3
4
2
14.- ¿Cuál de estos dos procesos es correcto?
a)
x  6 3x

2
4
x 13  2 x 1


3
2
6
b)
2x-39-6x=1
-39-1=6x-2x
-40=4x
x=-10
Razona tu respuesta:
x 13  2 x 1


3
2
6
2x-3(13-2x)=1
2x-39+6x=1
8x=40
x=5
15.- Resuelve:
a)
5x 3  4 x 2 x  3 7



8
6
12
8
c)
71
5x  2 2 x  1
 3x 

2
9
6
b)
3 x  1 5 x  4 25


3
7
21
5
 3x  5 x  3 

  4 x  3x 
3 
6
 2
d) 2·
3.3.- Ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones:
1.- Resuelve:
x
 2(1  x)
 2 
0
3
3

b) (5  x) 
a) 2
c)
e)
2x  3 2x  1
4x  1

 x  1
5
2
10
x 1
2x  3
 x
2
4
3x  6
7
3
16 x  5
 3x  5 3x  1 

 2x
  3x 
2 
5
 5
d) 2·
f)
3x  1
x 1
 2x 
2
2
8
g) x 
3 x
2
1  x
3
3
h) x 
2x  7
1 x
 2x 
4
2
3.4.-Ecuaciones de segundo grado:
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2  9 x  14  0
b) 2 x 2  6 x  20  0
c) x 2  4 x  3  0
d) 8 x 2  6 x  1  0
e) 20 x 2  3x  2  0
f) x 2  10 x  25  0
g) 9 x 2  6 x  1  0
h) x 2  6 x  10  0
i) x 2  2 x  1  0
j) 2 x  3  0
2
2.- Resuelve estas ecuaciones y compara sus soluciones:
a) x 2  4 x  3  0
b) x 2  4 x  4  0
c) x 2  4 x  5  0
¿Qué observas?
3.- Resuelve estas cuatro ecuaciones
a) x 2  14 x  49  0
b) 5 x 2  12 x  36  0
c) 4 x 2  12 x  9  0
d) 9 x 2  5 x  7  0
4.- Comprueba que estas cuatro ecuaciones de segundo grado tienen solo una solución
a) x 2  14 x  49  0
b) 5 x 2  12 x  36  0
c) 4 x 2  12 x  9  0
d) 9 x 2  6 x  1  0
¿Qué tiene que ocurrir en una ecuación de segundo grado para que solo tenga una solución?
5.-Comprueba que estas cuatro ecuaciones de segundo grado no tiene solución:
9
a) x 2  4 x  5  0
b)  x 2  5 x  10  0
c) 3 x 2  5 x  3  0
d)  2 x 2  3x  4  0
e) ¿Qué tiene que ocurrir en una ecuación de segundo grado para que no tenga una solución?
6.- Resuelve:
a) 7 x 2  21x  0
b) 2 x 2  18  0
c)5x(x+4)=0
d) 2 x 2  18  0
e) x 2 
7
x0
2
f) 3 x 2  15  0
g) 5 x 2  3x  3  x  3x 2  2 x  6
h) 4 x 2  6 x  2 x 2
i) 3( x  5) 2  75  0
j) 2 x 2  10  0
7.- Resuelve:
a) 3x 2  2 x  3  2 x 2  7  x
b) 2 x(2 x  5)  18  x(7  x)  12
c) x(2 x  1) 
3 3x 2  x 1


5
5
15
d) x( x  1)  1 
5 x(2 x  1)

6
3
2
2
2
e???? 11( x  1)  (2 x  3)  4 x  1 ????????f????
g)
10
h)
3.5.- Propiedades de las soluciones de las ecuaciones de Segundo grado
1.-Utilizando el discrimínate, indica el número de soluciones que tiene cada una de las ecuaciones de
segundo grado:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2.- En cada uno de los siguientes apartados, da un valor del coeficiente para que a ecuación correspondiente
tenga: I) Una solución, II) Dos soluciones; III) Ninguna solución:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.- Escribe en caso una ecuación de segundo grao cuyas raíces sean:
a) 3 y 1
b) 11 y -11
c) -8 y 5
d) -9 y -3
e) -4 y 0
f) -2/3 y 1
4.- Escribe, en cada caso, una ecuación de segundo grado de la que conocemos la suma y el producto de sus
raíces:
a) s=2; p=3
b) s=-5; p =4
11
c) s= - 4; p= -7
d) s=-1/2; p =3
e) s= -2/3; p=1
f) s=2/7; p =2
3.6.- Otras ecuaciones:
1.- Resuelve:
a)
45x-7=2(25x-5)
b) ;
c)
d)
e)
d)
2.- Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(Saca factor común e iguala a o cada factor)
(Iguala a o cada factor)
Tema 4: Sistema de ecuaciones lineales:
4.1.- Método de sustitución.
12
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
i)
h)
j)
4.2.- Método de Igualación:
1.- Resuelve:
a)
b)
13
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
d)
4.3.- Método de reducción
1.- Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
14
i)
j)
4.4.- Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales:
1.- Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.5.- Resolución de sistemas en general:
1.- Resuelve atendiendo a las sugerencias que se indican:
a)
b)
c)
d)
2.- Resuelve, haciendo las sutituciones adecuadas:
a)
Sustitución ideal: en la segunda ecuación (x-y) por 3
15
b)
c)
d)
3.- Resuelve por el método que consideres más adecuado:
a)
b)
c)
e)
d)
f)
g)
h)
4.6.- Sistemas sin solución o con infinitas soluciones:
1.- Completa:
a)
Compatible y determinado
b)
c)
d)
16
e)
f)
2.- Completa:
3.- Discute las soluciones de estos sistemas según los valores de a:
a)
b)
4.7.- Sistemas no lineales:
1.- Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Tema 5: Traducción al lenguaje algebraico:
5.1.- Expresión algebraica de enunciados:
1.- Asocia cada enunciado con la expresión algebraica que le corresponde:
a) Un número menos su tercera parte
b) Los dos séptimos de un número
c) Un número que supera a otro en 13 unidades
d) El precio de un bolso aumentado en un 15%
e) La edad de mi abuelo hace 13 años.
1,15x
x-13
n(n+1)
13x
x-x/3
17
f) El precio de un libro rebajado un 10%
g) El espacio recorrido en x horas por un móvil que va a 13 km/h.
h) El producto de dos números enteros consecutivos.
i) La suma de las edades de un padre y un hijo dentro de 8 años
j) Un número de dos cifras
0,9x
x+13
(x+8)+(y+8)
10x+y
2x/7
2.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones, empleando una sóla incognita:
a) El triple de un número
b) El triple de un número más cinco unidades.
c) La mitad de un número
d) Los tres quintos de un número menos uno.
e) Un número más su mitad.
f) Un número entero más su anterior.
g) Un número entero más su siguiente.
h) La suma de tres números enteros consecutivos.
i) El producto de un número entero por su anterior.
j) El cociente entre un número entero y su siguiente.
3.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones, empleando dos incógnitas:
a) La suma de dos números cualesquiera.
b) El resultado de quitarle a un número los dos tercios de otro número.
c) La diferencia de los cuadrados de dos números.
d) El cuadrado de la diferencia de dos números
e) El producto de dos números, incrementado en cinco unidades.
f) El cociente de dos números, incrementando en cinco unidades
g) Un número, más el doble de otro, menos la mitad del producto de ambos.
h) La media de dos números y el siguiente del primero.
i) El cincuenta por ciento de la diferencia de dos números.
j) Un número más el 25% de otro número.
4.- Escribe algebraicamente la mediada de los lados de las siguientes figuras, atendiendo a las condiciones
que se indican:
a) La base de un rectángulo de 15 m más larga que altura.
b) La altura del rectángulo es un tercio de la base.
c) El perímetro de un paralelogramo es de 50 cm.
d) El perímetro de un triángulo isósceles mide 12 m.
e) Las diagonales de un rombo miden a y b
f) El área de un rectángulo es 24 m2
18
5.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a) La edad de Pepe es x. Dentro de 9 años su edad será……..
b) Un número es x. Los tres quintos de ese número menos unos son…..
c) En un gallinero hay x gallinas. Entre picos y patas hay……
d) En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 45º y cada uno de los ángulos iguales mide x grados. La
suma de los tres es…..
e) Un chico tiene x litros; otro, 6 menos y otro, 3 más. Entre los tres tienen……
f) Un bidón tiene x litros. . Se extrae 1/5 del total y después 10 litros. Quedan…..
g) Dos discos cuestan x pesetas cada uno. En uno me rebajan el 15% t en el otro, el 10%. Tengo que pagar
por los dos……..
h) Carmen tiene x años y su padre el triple. Dentro de 5 años, la suma de sus edades será……..
i) En un huerto de x m2 sed han plantado los 2/3 de su superficie de tomates. Del resto, la mitad se dedica a
cebollas. Quedan sin plantar…….
5.2.- Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
1.- Calcula un número cuya mitad es 63 unidades menor que su doble.
2.- Calcula el número sabiendo que sus tres cuartos superan en 22 unidades a su mitad.
3.- Rosa ha comprado dos CD de música que ayer vendían al mismo precio, pero se encuentra con que uno
está rebajado un 15% y el otro un 10%. Así se ahorra 3 euros. ¿Cuánto costaba originalmente cada CD?
4.- Un número impar, su siguiente y su anterior suman 213. Calcúlalos.
Tr5
19